Многокритериальная оптимизация систем обслуживания с отказами, функционирующих в условиях конкуренции входящих потоков Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 519.248: 519.6

МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ СИСТЕМ ОБСЛУЖИВАНИЯ С ОТКАЗАМИ, ФУНКЦИОНИРУЮЩИХ В УСЛОВИЯХ КОНКУРЕНЦИИ

ВХОДЯЩИХ ПОТОКОВ

В. А. Чекменев., Т. Д. Чекменева

MULTICRITERIAL OPTIMIZATION FOR QUEUEING SYSTEMS WITH REFUSALS OPERATING AT COMPETITIVE INPUT FLOWS

V. A. Chekmenev, T. D. Chekmeneva

В статье рассматривается подход к оптимизации функционирования систем обслуживания, основанный на принципах устойчивости, выгодности и справедливости при распределении заявок на обслуживание от разных клиентов. Ставится задача многокритериальной оптимизации, для решения которой применяются методы теории игр. Получены аналитические решения для ряда систем обслуживания с отказами.

The article describes an approach to optimizing of the functioning of queueing systems based on the principles of sustainability, profitability and equity in the allocation of support requests from different clients. The main goal is multicriterial optimization by methods of the theory of games. Analytical solutions for some of queueing systems with refusals have been obtained.

Ключевые слова: системы массового обслуживания, многокритериальная оптимизация, теория игр.

Keywords: queueing systems, multicriterial optimization, theory of games.

Введение

При исследовании информационных систем различного назначения и их оптимизации традиционно руководствуются принципом однозначности цели, т. е. качество функционирования рассматриваемой системы описывается только одной целевой функцией. Однако существование конкуренции между входящими потоками информации, наличие неопределенностей, порождаемых стохастической природой поступающих в систему потоков, неполнотой знаний

о состоянии каналов передачи, наличием нескольких целевых функций и т. п. требует новых подходов к исследованию и оптимизации таких систем. При этом основными чертами оптимальности следует считать интуитивные представления об устойчивости, выгодности и справедливости принимаемых решений для всех пользователей информационной или обслуживающей системы [1].

В данной работе даётся постановка и аналитическое решение задачи анализа и оптимизации ряда математических моделей информационных систем, описываемых системами массового обслуживания (СМО) с отказами, с точки зрения новых подходов, предложенных в нашей работе «Оптимизация управления СМО с конкурирующими потоками» [2].

Постановки задач для разных типов систем отличаются числом каналов (рассматриваются двух- и многоканальные системы), а также законами распределения времени обслуживания (экспоненциальным и произвольным с известными первыми моментами). Общим для всех задач является предположение о входящих потоках, которые образуются разными пользователями. Приведем общую часть постановки задачи оптимизации распределения заявок по каналам обслуживания с точки зрения минимизации числа отказов.

Постановка задачи. Рассмотрим систему массового обслуживания (СМО) с отказами с т (в общем случае), параллельно функционирующими обслуживающими приборами (каналами). На вход СМО по-

ступают п независимых простейших потоков интенсивности Л, (,'=1,...,п). Будем считать, что требования (заявки) каждого потока генерируются отдельным лицом (пользователем) А,- (,'=1,...,п). Пользователь А,-направляет свои требования на каждый обслуживающий прибор с определённой вероятностью Ху (/' - номер прибора). Задача оптимизации состоит в определении оптимального распределения (х1 ,..., хп) заявок для каждого пользователя в условиях конкуренции пользователей за средства обслуживания. В качестве показателей эффективности распределения заявок по приборам берётся среднее число отказов в обслуживании за единицу времени для каждого пользователя А, (1=1,...,п), которое очевидно зависит от выбора всех пользователей, т. е. Ь, = Ь, (х1,.,хп). Таким образом, получаем задачу оптимизации, которая формулируется как задача теории игр.

Так как пользователи формируют свои потоки независимо друг от друга и каждый стремится минимизировать число отказов в обслуживании, то задачу оптимизации можно сформулировать в виде бескоалиционной игры п лиц:

г = < I,{х, ,{ь, >,

где I - множество игроков (пользователей),

х I = |Х = (Х,1,..., Хгш ) : Ху е [0,1] Х у = ^

- множество стратегий ,-го игрока, I — 1,..., п;

п

X — II [0,1] - множество стратегий всех игроков,

1

Ь1 (х1,.,хп) - функция потерь ,-го игрока, х, е X ,

I — 1,..., п.

Оптимальное решение бескоалиционной игры определяется в виде ситуации равновесия. Ситуация

* / * * ч

х — (Х1,..., Хп) называется равновесной, если ни

один из игроков не заинтересован отклониться от нее, т. е. для любых IеI и х, еХ, справедливо:

* * *

Ц (x1,..., Х, ^.^ Хп) <

* * * *

< ь,(Х1,..., xI■-l,Х,, xг+l,..., x„),, — 1,...п.

Для нахождения ситуации равновесия можно использовать необходимые и достаточные условия экстремума в предположении, что точка равновесия является внутренней точкой множества стратегий, и * * * * функции потерь Ь (^..^ ХХ, xг+l,..., Хп) непрерывно дифференцируемы по Х, еХ, .

Рассмотрим задачу оптимизации шире, опираясь на вышеуказанные представления об устойчивости, выгодности и справедливости оптимальных решений. Очевидно, что ситуация равновесия характеризует устойчивость принимаемых решений. Свойства выгодности принимаемого решения отражают его оптимальность по Парето. Справедливость понимается как равенство функций потерь игроков в ситуации равновесия. Для рассматриваемых СМО это эквивалентно равенству интенсивностей Л входящих потоков (,'е I). ***

Ситуация х — (Х1,..., Хп) называется Парето-оптимальной, если не существует другой ситуации х:

п

хе X — I [0,1], для которой имеет место вектор-

1

ное неравенство Ь,(х ) > Ь(х) , ,'=1,...,п. Для поиска Парето-оптимальной ситуации можно воспользоваться следующим утверждением [3].

Утверждение. Если для некоторых а, > 0,, е I, Х* е X имеет место равенство:

Ш1П

х є X

Ё агЬг ( Х ) = Ё агЬг ( Х ‘) і = 1 і = 1

*

(1)

Ц(хі’-’х«) = Л,ЁхРі(хі’-’х«X і=1,->п

і=і

где хі = (хі1,.,хіт) - вектор вероятностей распределения заявок і-го пользователя по т приборам, Рі(х1,.,хп) - стационарные вероятности того, что занят і-й прибор (/ = 1,., т).

На основании теоремы просеивания и объединения простейших потоков по полиномиальной схеме образуется т простейших потоков к обслуживающим приборам с интенсивностями Л,- = ЪЛх і ( = 1,..., т). Это позволяет провести декомпозицию СМО на т однолинейных марковских СМО. Опираясь на известные результаты для однолинейных СМО с отказами, получим выражения для вероятностей состояний Р,(хь...,хп):

Р, хп) = Л, ,(м +Л,), і = и.т,

откуда

т

Ц(xl,•••,хп) = ЛЁхіЛ, ,(М+Лі), і = 1,•••,п

і=1

Ставится задача: найти оптимальное распределе-

у * * ч

ние (х1 ,•••, хп) заявок по каналам для каждого пользователя в условиях конкуренции пользователей за средства обслуживания. Рассмотрим задачу оптимизации СМО, опираясь на представления устойчивости, выгодности, справедливосте

Оптимизация. Ситуация равновесия ***

х = (х1 ,•••, хп) определяется из следующих усло-

вий:

то ситуация х оптимальна по Парето.

Для определения оптимальности по Парето (в

предположении, что все О, > 0,, е I равны между собой) составляется функция

п п

ь (Х) — X ОСЦ, ( Х) — О X Ь, ( Х ) и определяется ,—1 ,—1

её минимум. Далее показывается, что полученная ситуация равновесия является также Парето-опти-мальной.

Данной постановке задачи удовлетворяют многоканальные марковские и полумарковские СМО с отказами, рассмотренные ниже.

1. Марковские СМО с отказами

Постановка задачи [4, с. 333 - 334]. Рассмотрим т -канальную СМО (с т параллельно функционирующими обслуживающими приборами) с отказами. Пусть на вход системы поступают п независимых простейших потоков заявок интенсивности Л, (, = 1,., п). Время обслуживания заявки на каждом приборе есть случайная величина, подчиненная показательному распределению с параметрами Л ( = 1,...,т). В качестве показателя эффективности распределения заявок по приборам выберем среднее число отказов в обслуживании за единицу времени для каждого пользователя:

у * * * *4

дЦ (Х1,...,Хг■_1, ^ , хМ,-:,хП)

і) дх,

І = 1,:;т; і = 1,:;П

= 0;

(2)

2) матрица Гессе функции

* * * *

Ц (х1 ,•••, хг-_1, хг, х/+1 ,•••, Хп ), в которой производные

д2 Т Ґ * * * * N

Ц(xl,•••, Х,Х^^^ х) х

дхі дх гк

х (і, к = 1,...,т; і = 1,...,п)

(3)

найдены

при условии Ё Х, = 1, і = 1,_, п , - по-

і=1

ложительно определена;

т

ЁХ, =1, i = \•••n^,

3) ,=1

х, >0, i'=l,•••5n) і^•••т

(4)

Для нахождения ситуации равновесия (т. е. минимизации функций Ь1 при наличии ограничений) воспользуемся методом множителей Лагранжа. Для функций Лагранжа вида:

^ (^..^ Хп ) — Ь (Х1,..., Хп ) -

-Д-(Ё ХУ - 1) ^ — n),

х

где р1 - множители Лагранжа, условия (2)-(4) приводят к системе:

~\Г-Ж { * * * *\

зг,(xl,..., х-^х,,xг+l,..., Хп)

д хі

і = 1,_, т, і = 1,_, п,

^(x*,•••, х*_ь х, x*+і,•••, х*) дД

= 0,

= 0, і = 1,_, п.

Для рассматриваемой СМО эти условия представляют собой систему нелинейных уравнений по переменным , р1 (1 = 1,., п, ] = 1,., т):

Л2 + міЛ і + хіЛм]

(м+Л і)

Д

Л

і = 1,_, т, і = 1,_, п

Ё хі _1 = 0 і = і,•••,

і=1

пЛ1 + (п + 1)Л1м1 (м1 + Л1) пЛ і2 + (п + 1)Л іМі (мі +Л і)2

Л і =-

Сі і + 1/С1Т4Ц

2С

0 і

(9)

у — ^..^ т.

Просуммируем выражения (9) по } = 2,., т. С

т п

учетом очевидного равенства Е— у — Е Л полу-

У—1 ,—1

чим уравнение относительно Л1:

С і + УС2 _ 4СС2 і

2С

0 і

(5)

(5')

ЕЛ —Л1+Е-

,—1 У—2

Подставляя в это уравнение выражения для С^, Сц, C2J, найдем:

п т —

ЕЛ = л, +Ел —,

,-1 у-2 Л

откуда получаем единственное решение:

Суммируя уравнения (5) по і = 1,.,п, получим систему уравнений в виде:

пЛі 2+(п+1)Л;м1 ^ Д \ Л )У] =ЁТ> і=l,•••m, (6)

(М+Лі )2 1=Ґ Лі

т

Ёх = 1, і =1,_,п і=і

Так как левые части уравнений (6) равны одному и тому же числу, то систему можно переписать в виде:

ЁЛ

Л і = Мі

ЁМ,

і=1

(10)

Подставляя (10) в (9), можно найти все ЛJ (| = 2,., т), которые равны между собой и равны -1.

Для определения ситуации равновесия выразим х^ из системы (5) через неизвестные коэффициенты Р1 (1 = 1,., п):

Д Л +—; )2 Л +—у)—;

Х« — Д 111

, і = 2,_, т, (7)

^)2

'у' " ЛМі ’

і = 1,_, п, і = 1,_, т

и, подставляя их в (5'), получим систему:

(іі)

Д ё (м + Л і)

т2 2-а

X Ху — 1, , =1,. . ., п.

1—1

После преобразований система (7) принимает вид:

С0у —2у + С1 у— у + С2у — 0, 1 — 2,....> m, (8)

где коэффициенты С0> C1j, C2J являются функциями от Л1:

С0 у — пл2 +(п - 1)Л1Л1, у — ^..^ m,

Л і=1 мі

1 ^ (Мі +Л і)Л і 1 . 1

_^Ё—— =1, і = ^•^п

Л 1=1 Мі

из которой с учетом (10) найдем:

Д = Л2м + ЛЛ

(м + Л)2 м + Л

Сіі = (п + 1)Мі2Мі _(п_ 1)Л2іМу, і = 2,_,т, і = 1,•••, п, Л = ЁЛ, М = Ё Му•

-і і ч— /лчл- і

с 2 і =_М72[пЛ2 + (п +1) ЛіМі, і = 2,•••, т^

і=1

Решая квадратные уравнения системы (8) и учитывая, что интенсивности Лj неотрицательны, получим:

Выражения, полученные для Д1 (1 = 1,., п) и Лj (| = 1,.,т), подставляем в (11), откуда получаем координаты ситуации равновесия:

Хг, —, ./ — 1,..., m, , — 1,..., п . (12)

ЁМ,

і=1

т

2

т

Чтобы убедиться, что решение (12) представляет собой ситуацию равновесия, проверим выполнение условий (3). Для каждой функции

-г у * * * * \

ь(Х^^Х-^Х,xl+l,...,Хп) О = 1,., п) найдем

вторые производные и, подставляя в них значения (12), получим:

32 Ц (Х1,..., Хп) — Л уЛ уЛ +Л у - хЛ) —

(Мі +Л і)3 > 0, і = 1,...,т,

= 0, і,к = 1,..., т, і * к•

& 2

л(л + л - л )

Л(Л + Л)

3 2Ь, (Х1,..., Хп )

3Ху 3Х*

Очевидно, матрица Гессе положительно определена, следовательно, решение (12) является ситуацией равновесия. При этом значения целевых функций

Ц (xl*,..., Х*) равны:

* * ЛЕ л

Ц(х*,...,х*) — „ , — 1,...,п.

ЁЛ+ЁМ’

Так как хп = 1 _ Ё ху (і = 1,...п)

то

і=2

Лі =Ё (і _Ё х, )Л;

і=1 і=2

п

Лі = Ёі = 2,•••,т;

і=1

=Л

Л

(1_ЁХ,) .. ,1Л +Ё

,=2 М +Л1 І=2 , М +Л,

і=і,...п;

Ц( х) = аЁ

+ аЁ

і=1

і=1

лЁ;

т Л

Л(1 _ё хУ-)—Л

, Мі +Лі

л

+

,=2 н-,^^,

Для нахождения минимума функции Ь(х) воспользуемся необходимыми условиями экстремума и получим систему уравнений:

дЦ

дХ,

= аЛ

Л, (2М, +Л,) Лі(2Мі +Лі)

(М, +л , )2

(Мі +Лі)2

= 0,

і = 2,..т; і = 1,...,п,

которая приводится к уравнениям вида:

Л—2 + 2л12Лу —у - —1Л2(2Л + —1) — 0, 7 — 2,...,т Решение полученных квадатных уравнений отно-

сительно

запишется в виде:

Л + I 2 + ЛіМі (2м +Лі) МіЛі

Л, =_М, + М2 +- , - ,

М

М

і=2,...т

Суммируя полученные решения по і = 1,..., т, найдем:

т т м Л п т м Л

ЁЛ, =Ё—+Л

М і=2 Мі

или

ЁЛ=Ё—

7=1 Мі

і=1

Рассмотрим теперь оптимальность с точки зрения выгодности решения для всех пользователей. Для рассматриваемой СМО покажем, что найденная ситуация равновесия х = (х1 ,., хп) является также и Парето-оптимальной. Опираясь на утверждение (1) и

полагая все О > 0,, е I равными между собой, рассмотрим функцию Ь( х) — X аЦ Хп X Х е Х.

Покажем, что функция Ь(х) достигает минимума в точке х = (х1 ,., хп), где Ху определены по формуле (12). Это соответствует выполнению равенства (1).

Мі Ё Л откуда Л1 = - і=1

ЁМ,

І=1

МіЛ

м

М,Лі МЛ

І = 1,..., т• Зная

Лі (і = 1,.

М1 М

т), можем определить координаты точки

экстремума из системы линейных уравнений:

п

ЁЛху =Лі, і = т ,

і=1

решение которой получаем в виде:

Мі

х і =

М

і = і,-,п, і = і,-,т .

Видим, что данное решение совпадает с координатами точки равновесия. Таким образом, ситуация равновесия является Парето-оптимальной.

Чавстный случай. В частном случае т = 2 (двулинейной СМО) пользователь Аі направляет свои требования на 1-й прибор с вероятностью хі (0< хі <1), на второй - с вероятностью (1- х) Время обслуживания требования на каждом приборе подчиняется показательному распределению с параметрами м и ц2 соответственно. Среднее число отказов в обслуживании заявок каждого клиента за единицу времени:

Ці (Х1,•••, Хп ) = ЛХР1( Х — Хп ) +

+ Л (1 _ Х )Р2(Х — Хп ) (і = n),

Р1 и Р2 - стационарные вероятности того, что занят первый или второй прибор соответственно.

Так как образуется два простейших потока к обслуживающим приборам с интенсивностями

т

т

т

Л1 =ЁЛХ и Л 2 = ЁЛ (1 _ Х ), і=1 і=1

то функция потерь каждого игрока принимает вид:

Ц (Х1,•••, Хп ) = ЛХ

Лі

■ +

м +Л1 (і = 1,., п).

+ Л,(1 - Х,) +Л

М2 + Л 2

Ситуация равновесия также определяется из условий (2)-(4), где Хц — Х,, Х,2 — 1 - Х,,, — 1,..., п. В

результате получается система нелинейных уравнений:

Л1

Л -

- +

Л 1 + М1 Л 2 + М2

Мі Х М2(1 _ Хі )

(Л1 +М1) (Л 2 + М2 ) 2

= 0,

і = 1,..., п,

где

Л і =

ЛМі

(тогда Л 2 = ■

Лм2

-).

Мі +М2 Мі +М2

Подставляя полученные значения Л1 и Л2 в (13), найдем:

Мі

х =■

і = 1,..., п.

дх2

'1- = 2л

Мі ЁЛкхк +Мі

V к^і

(Лі +Мі )3

М2

ЁЛк (1_ Хк ) + М2

+

V к^і

(Л2 +М2 )

> 0

(13)

которая сводится к одному уравнению относительно переменной Л1:

а Лі + Ь Лі + с Л і + d = 0

а = (1 _ п)(Мі + М2), Ь = (п _ 1)Лм і _ Л (Мі + М2) + + п (М1 + М 2 )( М 2 _ М1 + с = (п + 1) МіМ 2 (Мі + М 2 ) + + (1 _ п)Л Мі + 2п Лм і ,

d = _Лм і (М2 + пМ2 + п Л).

Действительным решением данного уравнения является:

подтверждает, что каждая функция Ь, строго выпукла по «своей» переменной х,. Следовательно, найденное решение является единственным и представляет собой ситуацию равновесия. То есть каждый пользователь посылает заявку на первый прибор с одной и той

же вероятностью Л1 /(Л1 + Л2) , а на второй прибор -с вероятностью Л2 /(Л1 + Л2) .

При этом

Ь(^...Х*)^/^М +М , ,—1,...п ,—1 / V ,—1 У

Также можно показать, что данное решение является Парето-оптимальным. Опираясь на утверждение (1) и полагая все О > 0,, е I равными между собой, рассмотрим функцию:

Ц (Х) = Ё аЦг ( Х) = аЁ Ц (Х)а

і=1

і=1

Л2

Л і + мі

■ +

Л22

Л 2 + М2

Матрица Гессе Н данной функции положительно полуопределена, так как для любого х є Х и любого ненулевого вектора у размерности п квадратичная форма

< Ну, у >=

п п р&т

= ЁЁ УУ = а

££ дх дх/^

м2

(Лі +м)3

+

+

(Л2 + М2)

ЁЁЦуу =

і=1 і=1

= 2а

Мі

- + -

М2

(Л1 +М1) (Л 2 + М2 )

Ё ^^-Уі

> 0.

Л1 + М2

Данное решение совпадает с решением (12), полученным в общем случае. Проверка выполнения условий (3)

Следовательно, функция Ц(х) выпукла на множе-

п

стве X = П[°-1] , а её минимум определяется из

і

дЦ п . л

системы уравнений: --------= 0, і = 1,..., п. Данная

дхі

система сводится к одному уравнению:

2 2 М1 М2

(Л1 +М1) (Л2 + М2 )

решение которого имеет вид:

= 0.

2

і=1

Л1 =

Лих

Л 2 =

М\ + и2 и\ + и2

Такие значения Л! и Л2 получаются при х, = и /(№\ + и2), г' = 1, — ,”, представляющими собой координаты ситуации равновесия. Таким образом, ситуация равновесия является Парето-оптимальной.

2. Полумарковские СМО с отказами Постановка задачи. Рассмотрим СМО с т параллельно функционирующими приборами. На вход СМО поступают п независимых простейших потоков интенсивности Л, (, = 1, — , п). Пользователь А,- с вероятностью х,у (0 < х-у < 1, Е Ху = 1) направляет свои требования на у-й прибор. Время обслуживания требования на каждом приборе есть случайная величина с произвольным законом распределения с известным первым моментом - (у = 1, — , т).

В результате объединения простейших потоков по полиномиальной схеме и декомпозиции получаем следующее выражение для среднего числа отказов в обслуживании за единицу времени, характеризующего эффективность распределения заявок по приборам для каждого пользователя:

Л -,

= Л, X ху 1

у=1 1

- + Л —

г = 1,..., п.

У +Л — + ХУЛТу . (1+ Л— )2 .

У = 1,...,т, , = 1,...,п;

А

Л

(14)

X х,у -1 = 0, , = 1,...,п. (14')

у=1

Решая данную систему по аналогии с системой (5) п. 1, получим:

1

и затем:

С

х,у =

Л1 = ХЛ/ тX-;

л-1

у=1 Т у

(15)

1

-у X -,

V у -

, у = 1,..., т, , = 1,..., п. (16)

Чтобы убедиться, что решение (16) представляет собой ситуацию равновесия, проверим выполнение условий (2)-(4). Для каждой функции Ц (х1 , — , х, _1 , х, , х,+1 , — , хп), - = 1, — , п, найдем вторые производные:

Цг (X1,..., х-^ х- , Xг+1,..., х«) _

& 2

Л — (1 + Л— - хуЛ— )

(1 + Л-у )

> 0, у = 1,..., т,

32 Ц (х.

1>- ,х,- -l, х,, х,+1

*

,..., хп)

3х у 3х гк

= 0,

у,к = 1,..., т, у * к.

Очевидно, матрица Гессе положительно определена, следовательно, решение (16) является ситуацией равновесия. Потери каждого игрока в ситуации (х1 , — , хп ) равны:

п П п т \

Ц(х*,...,х*)=ЛХЛ ХЛ+Хи

Ставится задача: найти оптимальное распределение (х1 , — , хп) заявок по каналам для каждого пользователя в условиях конкуренции пользователей за средства обслуживания.

Оптимизация. Ситуация равновесия х = (х1 , — , хп) определяется из условий (2)-(4). Для нахождения ситуации равновесия воспользуемся методом множителей Лагранжа. Для функций Лагранжа вида

т

^...Л ) = Ц (х1,...,хп )-А(Хху-1), г = 1,.,п,

у=1

где А - множители Лагранжа, условия (2)-(4) приводят к системе нелинейных уравнений по переменным

ху, А (г =1, — , п;у = 1, — , т):

, - = 1,...,п-

V г=1 у=1 У

Аналогично п.1 для рассматриваемой СМО можно показать, что ситуация равновесия (16) является Парето-оптимальной.

Частный случай. Рассмотрим СМО с двумя параллельно функционирующими приборами. На вход СМО поступают п независимых простейших потоков интенсивности Л, (, = 1, — ,п). Пользователь А, с вероятностью х, (0 < х- < 1) направляет свои требования на 1-й прибор, а с вероятностью (1 - х) - на второй. Время обслуживания требований на каждом приборе суть случайная величина с произвольным распределением с известными первыми моментами -! и т2 соответственно. Среднее число отказов в обслуживании за единицу времени (функции потерь игроков А,):

Л1-1

Ц (Х — хп ) = Лх, Л т

+ Л(1 -х,)- 2 2

(1 + Л1*1)

+

, = 1,..., п.

(1 + Л 2Т2)

Ставится задача: найти оптимальное распределе-

* *

ние (х1 ,—, хп ) заявок для каждого пользователя в условиях конкуренции пользователей за средства обслуживания.

Оптимизация. Для определения ситуации равновесия снова воспользуемся условиями (2)-(4) при хп = х ,, х , 2 = 1 - х ,,, = 1,..., п, которые приводят к системе нелинейных уравнений по переменным

(Х1, — , Хп):

Л 1*1

Л 2 Т2

1 + Л1-1 1 + Л 2-2

• +

Т1 х

+ Л .

(1 + Т1Л1)

1 = 1,..., п.

Т 2 (1 - х ) (1 + Л 2Т2 ) 2

3

•!<

*

Данную систему можно свести к уравнению от- нения системы в виде:

носительно одной переменной Л}. Представляя урав-

ЛіХ _Л_2(1^Л_) ^ 0- + Л_)(1 + Л2_)[Л2_(1 + Л_) Л_(1 + Л2_2)] (17)

_(1 + Л 2Г2)2 + _2(1 + Л1Г1)2

и суммируя их по , = 1, — , п, получим одно уравнение относительно неизвестного Л1 (Л2 = Л - Л1):

а Л 1 + Ь Л 1 + с Л 1 + $ = 0,

где

а _

(1 - п)_ +Г2)

__2

, , 1Ч Л Л(т1 + _2)

Ь _ (п -1)--------------—------— +

+

п_1 + _2)(_ -_ +Лтхт2)

22 Т1 Т2

с _

(1 - п)Л ^ 2пЛ ^ (п + 1)(г1 + _2)

,..2 2 _ г 2

й _-

Л(1 + п + пЛ_ 2)

_ + _2

_ + _2

Подставляя полученные значения Л1 и Л2 в (17), найдем:

Т2— і _ , ,

х _ •

і _ 1,..., п.

_ + _2

Нетрудно показать, что данное решение действительно является ситуацией равновесия. Проверяя выполнение условий (3), получим:

д%

дх2

_ 2Л

г] 1 + _ X ЛЛ

к фі

С1 + Л_ )3

+ ■

_ 2 | 1 + _2 ХЛ (1 - Хк )

к фі

> 0.

Покажем, что найденная ситуация равновесия (18) является также и Парето-оптимальной. Рассмотрим функцию

ц(х) _ X ац(х) _ «X 4(х) _ а

і_і

і_і

л2_

1 + Л_

■ +

Л2_2 1 + Л 2 _ 2

и найдём её минимум. Так как для любого х є X и любого ненулевого вектора у размерности п квадратичная форма:

< Ну, у >_

п п р2т

_ХХ4Ц уу _ а

г=1 _ дХ, дХ]

Действительным решением данного уравнения

л Лг 2 * Лгі

является: Л1 _--------- (тогда Л2 _----------).

_ 2а

(1+Л_)3

+-

• +

(1+Л2Г)3

ХХМ'УУ _

і_1 У=1

(1+Л1Гі) (1 + Л2Г2)

' П V

чі=1 )

> 0,

(18)

то функция Ц(х) выпукла на множестве:

X = П [0,1],

1

а ее минимум определяется из системы уравнений: 1 1

дЦ .

^Т_-аЛ

дх

(1+Лігі) (1+Л2г2)

_ 0, /_1,...д

Данная система сводится к одному уравнению: 1 1

(1 + Л іГі)2 (1 + Л 2Г2)2

_ 0

решением которого является:

Л, = ___., л 2 _

_1 + _ 2

Л_ 1

_1 + _ 2

С1 + Л 2_2 )3

Это означает, что Ь1 строго выпукла по «своей» переменной х1. Следовательно, найденное решение является единственным и представляет собой ситуацию равновесия. Таким образом, каждый пользователь посылает заявку на первый прибор с одной и той же вероятностью, равной т2 /(т1 + т2), а на второй прибор - с вероятностью т1 /(т1 + т2). При этом значения функций Ь1 равны:

Ц = Л—Т2 ЕЛ /(-1 + Т2 + Т1Т2 ЕЛО , = 1,..., п.

Такие значения Л1 _ ХЛ

л 2 _ХЛ(1 - х)

получаются при хі _ ■

_ +_2

-,/_ 1,...,п , представ-

ляющими собой координаты ситуации равновесия (18). Таким образом, ситуация равновесия является Парето-оптимальной.

г _1

и

і _1

Литература

1. Воробьев, Н. Н. Теория игр / Н. Н. Воробьев. - М.: Наука, 1985. - 272 с.

2. Чекменев, В. А. Оптимизация управляемых СМО с конкурирующими потоками / В. А. Чекменев,

Т. Д. Чекменева // Проблемы теоретической кибернетики. - Горький, 1988.

3. Вилкас, Э. И. Оптимальность в играх и решениях / Э. И. Вилкас. - М.: Наука, 1990. - 256 с.

4. Чекменев В. А. Анализ и оптимизация систем связи, функционирующих в условиях конкуренции /

В. А. Чекменев, М. В. Сарычев // Информ. технол. и матем. моделирование: мат. Всерос. науч.-практ. конфер. -Томск: Твердыня, 2002. - 368 с.

Информация об авторах:

Чекменев Владимир Алексеевич - кандидат технических наук, доцент кафедры автоматизации исследований и технической кибернетики математического факультета КемГУ, 8-923-612-48-90, [email protected].

Vladimir A. Chekmenev - Candidate of Technical Science, Associate professor, Assistant Professor at the Department of Automation of Studies and Technical Cybernetics, Kemerovo Stsate University.

Чекменева Татьяна Дмитриевна - кандидат технических наук, доцент кафедры общей и региональной экономики экономического факультета КемГУ, 8-923-612-4890, [email protected].

Tatyana D. Chekmeneva - Candidate of Technical Science, Associate Professor, Assistant Professor at the Department of General and Regional Economics, Kemerovo State University.