Оптимизация линий укладки при изготовлении конусных изделий методом намотки Текст научной статьи по специальности «Математика»

(24)

второе (векторное) условие следует из произвольно -сти 8x0 . Методы решения полученной задачи, основанные на планировании численных экспериментов и нахождения лучшего решения в смысле Парето см. в [4 - 6].

3. Решение оптимизации задач управления без введения множителей Лагранжа (^-функций Понтрягина)

Рассмотрим решение задачи оптимизации на основе уравнений (1), (8), (9)

i(0 = д(((), ,р()Д()),

Ф(() = fф((((), ,р((),xv (()), K(() = /к(XX((), ,Р((),хпр(()),

Р(() = f (((()> ,Р((^пр (()))

в которых предусмотрены интегральные ф(Тmin, K(T)= K и непрерывные

ф (() ^ min ф (XX ((), U((), Р, XXпр (())

Р

оценки качества управления. Отметим, что в уравнениях (24) принято Р((): = colon[P(() U(() ] .

Задача (24), которая должна быть решена с учетом начальных

x(tо ) = d0 r0 (tо) + b0 *0 ,U(tо),

K (t о )= 0, P (t о )= Po, S (to )= So и конечных

Ф (tmin,

XX (T ) = d т rт (Т) + вт *т, U (T) < Uadm,

K (Т) = K

краевых условий, может быть реализована на основе методов планирования численных экспериментов и теории принятия решений.

По нашему мнению, подобный подход к решению оптимизационных задач имеет большие преимущества по сравнению с традиционными методами.

Литература

1. Воронцов Г.В., Федий В.С. Вариационные методы теории автоматического управления / Под ред. Г.В.Воронцова // Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасска, Ред. журн. "Изв. вузов. Электромеханика", 2003.

2. Понтрягин Л.С., Болтянский Р.В., Гамкрелидзе Р.В. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1961.

3. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М., 1963.

4. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование экспе-

римента в технике. М., 1980.

5. Воронцов Г.В., Свечкарев В.П. Методы численных экспериментов в краевых задачах оптимального управления нелинейными системами // Научная мысль Кавказа / Изд. Сев.-Кавк. науч. центра высш. школы. Спецвыпуск 2. 2002. С. 5-20.

6. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные реше-

ния многокритериальных задач. М., 1982.

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)

26 мая 2004 г.

УДК 621.86

оптимизация линии укладки при изготовлении конусных изделии методом намотки

© 2004 г. В.И. Маринин, А.А. Артеменко

При изготовлении изделий из композиционных материалов методом непрерывной намотки интересной с практической точки зрения и распространенной задачей является намотка изделий в случае, когда оболочка наматывания представляет собой коническую поверхность. В работе [1] были рассмотрены вопросы укладки нити на поверхность и сформулирована двухточечная краевая задача для расчета на произвольной поверхности линии укладки, определяемой начальной и конечной точками и имеющей оптимальные значения важных характеристик уложенной нити

- длины и тангенса угла геодезического отклонения. Построение линий укладки нити на поверхности оболочки наматывания обычно выполняется путем объединения отдельных фрагментов кривой, моделирующей линию укладки.

Пусть требуется построить кривую г(1) (I - натуральный параметр), лежащую на поверхности г = г(и, у), проходящую через точки P0 (и0, v0),

Pf (и f, Vу) и удовлетворяющую заданным направлениям касательных т1, т у к поверхности в точках Р0, Ру .

Направление касательных задается углами намотки (углами между касательной к кривой в точке и вектором ги) кривой X0 и Xf (рис. 1).

Рис. 1. Краевые условия фрагмента кривой на поверхности

При решении подобной двухточечной краевой задачи расчета линии укладки, определяемой начальной и конечной точками, необходимо достичь оптимальных значений важных характеристик уложенной нити - длины и тангенса угла геодезического отклонения. Линии укладки минимальной длины позволяют достичь уменьшения расхода материала намотки и массы изделия, а минимальные значения тангенса угла геодезического отклонения обеспечивают максимально устойчивое положение линии на поверхности, определяющее прочностные показатели изделия. Критерием качества системы, выражающим данные требования, может служить функционал вида

I = | ((1 -а) + аю 2)dl, где 0 <а< 1; - значение

0

натурального параметра в конечной точке кривой. При а, близких к 1, критерий качества определяет среднеквадратичное значение тангенса угла геодезического отклонения кривой, т.е. характеризует степень устойчивости кривой на поверхности, а при а, близких к 0, - длину кривой.

Поверхность конуса определяется радиус-вектором

r (u, v) =

R + utgß)sin v, R + utgß)cos v,

где в - угол наклона прямой образующей конуса | tgв = К—— I; К\, К2 - радиусы оснований кону-

I к )

са; к - высота конуса.

В работе [1] была предложена модель описания произвольной кривой г(1) на поверхности в системе координат, определяемой базисной кривой г = г(и (), )) с натуральным параметром 5. В качестве новых координат точки (иу) из окрестности кривой выбираются числа (у, 5), где 5 - натуральный параметр базисной кривой; у - скаляр, определяющий отклонение точки произвольной кривой от точки ба-

зисной кривой по направлению Ь = т х т ; т - нормаль к поверхности цилиндра; т - касательная к кривой г = г(и(), v(s)). Для частного случая конической поверхности задача значительно упрощается в случае, когда базисная кривая г = г(и(), v(s)) удовлетворяет условиям:

u = ycosß, v = s / Rj

(1)

и в начальной точке - V = у0, а в конечной точке -V = V^ (рис. 2).

5 (¡¡=\/К) Базисная кривая

u (u= у sin ß)

Y

Оптимальная кривая

Рис. 2. Кривые на поверхности конуса

Тогда радиус-вектор произвольной кривой представляет собой следующий вектор:

R(s, y) =

(( + y sin ß)cos —

R1

(( + y sin ß)si

R1

Y cos ß

Введем переменную ф - угол от вектора касательной к кривой до вектора Я 5. В этом случае система дифференциальных уравнений, описывающая кривую на поверхности, в координатах (у, 5) принимает вид [1]:

dY ds

(

1 + — sin ß

А

R

Б1П ф

008 ф

(2)

d9 1 о 1 • о — = ю—cos ß cos ф +-sin ß.

ds R1 R1

где ю = tg9 - тангенс угла геодезического отклонения кривой.

В [1] была сформулирована задача поиска оптимального управления, где в качестве управления выбран тангенс угла геодезического отклонения кривой, а в качестве переменных состояния системы - величины у и ф. Система дифференциальных уравнений (2) представляет собой математическую модель управляемого объекта, а краевые условия для фрагмента линии

u

укладки (у о = у(0), Фо = ф(0), у г =Y(Sf), ф f =ф(sf)),

исходя из того, что согласно равенствам (1) вектора Я5 и совпадают, могут быть получены из соотношений:

Y о = «о; Фо = -Y f = uf; ф f = -г.

2

Предложенный критерий качества, характеризующий желаемое соотношение требований минимальности длины и тангенса угла геодезического отклонения витка на поверхности, видоизменяется следующим образом:

f

1 + — sin ß

R

А

sf 2 R1

I = [ ((1 -а) + аю2) ——т 0 (cos ф)

ds,

(3)

где Sf - длина кривой, определяющей систему координат (5, у).

Задача оптимального управления сводится к поиску такого оптимального управления ю, задающего траекторию (у, ф), при котором критерий качества (3) принимает минимальное значение [2, 3]. При заданных границах интервала возможных значений тангенсов угла геодезического отклонения Ю = < MaxTgQ, т.е. при существовании ограничений на управление в виде неравенств, в качестве метода исследования и решения задачи предлагается использовать принцип максимума Понтрягина [3, 4].

Гамильтониан системы имеет вид

f

Н (ф, ю) = -((1 - а) + аю2)

1 + — sin ß

R

А

(сОБ ф)

+ Ф1

1 + — sin ß

R

Б1П ф

СОБ ф

f 1 1 ^

+ ф2 — cos ß cos ф • ю + — sin ß

R1

R1

(4)

(у,, фг-, ф1г-, ф ъ). В случае отсутствия ограничений на управление по всей кривой используем условие

дН дю

2а

= 0 = --

1 + — sin ß

R1

СОБ ф

ю + ф2—cos ß cos ф . (6)

R1

При наличии ограничений на управление следует провести исследование функции Гамильтона на каждом наборе значений (у ^, фг-, ф1г-, ф 2) как одномерной функции Н (ю). Для рассматриваемой задачи гамильтониан (4) представляет собой параболическую функцию.

Уравнения (2), (5) и (6) с соответствующим набором краевых условий представляют собой двухточечную краевую задачу, определяющую оптимальное управление и оптимальную кривую на цилиндрической поверхности и могут быть решены численными методами решения краевых задач [3, 4].

В связи с тем что начальные значения множителей Лагранжа ф1о =ф1(о), ф 2о =ф2(о) неизвестны и выбираются согласно приблизительной оценке, после построения оптимальной кривой, определяемой уравнениями (2), (5) и (6), в конечной точке фрагмента кривой полученные значения (Yк (ф1о, ф2о), фк (ф1о, ф2о)) могут не совпадать с заданными (Yf, фf). Очевидно, необходим алгоритм коррекции начальных значений ф1о, ф 2о таким образом, чтобы полученная кривая удовлетворяла с заданной точностью всем краевым условиям поставленной задачи, в качестве которого можно использовать алгоритм, предложенный в [1].

Проведено тестирование разработанных алгоритмов на различных наборах исходных данных. На рис. 3 и 4 приведены параметры кривых при различных коэффициентах а функционала качества (3), для следующих исходных данных:

u0 = 300, v0 = 0,

X0 = 50°, uf = 100, vf = 150°

Xf = 90°

Сопряженная система дифференциальных уравнений для множителей Лагранжа ф = (ф1 (), ф 2 (5)) имеет вид:

Ф1 =

sin ß

R1 cos ф

(1 -а + аю2 )-ф1

sin ß sin ф ;

R1 cos ф

Ф 2 =■

f Y А 1 + — sin ß

R1

2ч sin ф

(1 - а + аю )

СОБ2 ф

Ф1

f Y А 1

1 + ^ sin ß 1

R1

■ + Ф;

22 cos ф

СОБ в б1п ф-Ю

А

0,15 0,10

0,05

5 -°'05 (5) fe -0,10

й н

-0,15

0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Координата S

Согласно принципу максимума Понтрягина, оптимальное управление находится из условия максимума гамильтониана на каждом наборе значений

Рис. 3. Номограмма тангенсов углов геодезического отклонения кривых при а = о,1... 1 ,о

+

+

0

Рис. 4. Параметры кривых при а = 0,1... 1

Можно увидеть, что при коэффициентах а, близких к 1, кривая обладает минимальными значениями tgQ, которые увеличиваются при снижении коэффициента, тогда как длина кривой уменьшается.

На рис. 5 и 6 приведены графики кривых при постепенном уменьшении ограничений на максимальную величину тангенса угла геодезического отклонения < MaxTg .

й н

0,15 0,10

1 0,05 к ' о

§ 0 т

о

-0,05

-0,10 -0,15

" 0 50 100 150 200 250 300 350 400 450 500 Координата Л'

Рис. 5. Номограмма тангенсов угла геодезического отклонения кривых при различных ограничениях на максимальную величину

Рис. 6. Кривые при различных ограничениях на максимальную величину

Применение предложенного алгоритма синтеза кривых для конических поверхностей позволяет осуществлять расчет линий укладки нити материала, оптимальных по комбинированному критерию качества при ограничениях на максимальную величину тангенса угла геодезического отклонения кривой.

Литература

1. Маринин В.И. Уменьшение размерности пространства

состояний в задаче оптимизации траектории укладки нити на поверхность оправки // Изв. вузов. Электромеханика. 2003. № 1. С. 73-79.

2. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления: Оптимизация оценка и управление. М., 1972.

3. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М., 1980.

4. Понтрягин Л.С. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1983.

Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)

30 апреля 2004 г.