CC BY
22
УДК 681.3:622
МИНИМИЗАЦИЯ ДЛИНЫ ЛИНИИ НА ПОВЕРХНОСТИ ЦИЛИНДРА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ УГЛА ГЕОДЕЗИЧЕСКОГО ОТКЛОНЕНИЯ
© 2003 г. В.И. Маринин
Трубы из композиционных материалов, изготовленные методом намотки, получают все большее распространение в различных сферах промышленности. Линии укладки материала обычно строятся из отдельных фрагментов. Типичной является задача построения линии, проходящей через заданные точки поверхности и имеющей заданные направления в конечных точках. Одно из основных технологических требований - это ограничение тангенса угла геодезического отклонения || < 1тах . Для экономии материала естественно потребовать, чтобы линии, удовлетворяющие граничным условиям, имели минимальную длину.
Определим радиус-вектор точек цилиндра следующим образом:
r(s, y) =
s s
R cos — , R sin—, y R R
(1)
где 5 - длина дуги параллели, у - координата оси цилиндра.
Тогда уравнение линии на цилиндре [1, 2], после проведения несложных вычислений примет вид:
= Y,
dy ~dl
ds dl
df' 1' '3 /i\
-dl = ~RS Ю (l), ds' 1' , ,2
= ~ R Y s 2 ® (l),
где I - натуральный параметр кривой.
Критерий I (длина линии) /
I = | Л,
(2)
(3)
где I/ = I - длина линии, заранее неизвестна.
Оптимизационная задача формулируется следующим образом: при заданных граничных условиях у(0) = у0;
5(0) = ¿0; 1 (0) = То 4 - (0) = ¿0; ) = У/; ¿(1/) = -V;
У(I/) = 7/ ; -(I/) = определить ю=ю(/), минимизирующее критерий (3) при ограничениях (2) и
N < ®тах .
Сложность решения вариационных задач существенным образом зависит от размерности. Кроме того, задачи с неопределенным значением независимой переменной на правом конце, к классу которых относится рассматриваемая задача, труднее в решении, чем задачи с определенным значением независимой переменной. Предлагается заменой переменных уменьшить размерность и закрепить значение независимой переменной на правом конце.
Вектор касательной на линии [3] определяется следующим выражением
т = гУ + г^ i,
причем для цилиндра (1) г8' и г' взаимно ортогональны и представляют собой единичные вектора (Рис 1). Очевидно, что Очевидно, что
s =< т, rs >= cos ф ,
y =< т, ry >= Sin
/ \ п
2-ф
\ /
= sin ф ,
(4)
(5)
где < ( ), ( ) > - скалярное произведение.
r (sf f )
l = 0
r (Sq,Yq) r(sf ,Yo)
Рис. 1. Линия укладки в системе координат (s, у)
Ограничим множество рассматриваемых углов п п
- — < ф < 2 , которое на линиях укладки при изготовлении труб методом намотки выполняется. В ука-
ds
занном диапазоне изменения угла — = s Ф 0 . После
деления первого и третьего уравнений системы (2) на второе уравнение и подстановке (4), (5) и выражения
dY d . dф
—— = — sin ф = -j- cos ф получим систему уравне-
lio UO UO
ний, описывающую линию на поверхности цилиндра в координатах у, ф, s:
T
=s
dy ds
sin фО) ; cos фО) '
= R cos ф(5) -ffl(s).
(6)
После замены переменных функционал (3) примет
вид:
sf
I = J
1
cos 9(s)
-ds.
V 2 (S) =-
dH sin ф(s)
дф cos 2 ф(s)
(8)
. . . sin ф^) V2 (s) = -^T - Vio '
= 0 . Решая послед-
cos2 9(s) cos2 9(s) нее уравнение, получим 9(s) = arcsin у10 = const = ф0.
Следовательно (см. второе уравнение системы (6)) при возникновении особого режима ю(5)=0, что определяет геодезическую линию на поверхности. Примечательно, что при возникновении особого режима, управления (7)-(9) не позволяют найти условия выхода из особого режима.
Исследуем возможность выхода из особого решения. Для этого определим у2 (5) при ю(5) = ±1.
V 2 (s)| V2 (s)=0
V2(s)=0,Vio =sin ф
cos3 ф + 2 cos ф sin2 ф
cos4 ф
Соответствующие граничные условия:
/
Y
у(0) = у о; ф(0) = arctg -f ; j(sf) = уf;
s о
Yf
9(sf) = arctg — .
sf
Таким образом, исходная вариационная задача сведена к задаче с закрепленными значениями переменных и известным значением независимой переменной, размерность понижена до двух.
Учитывая, что управляющее воздействие должно удовлетворять ограничению вида неравенства || < rnmax, адекватным математическим методом
оптимизации является принцип максимума Понтряги-на [4]. Гамильтониан H принимает вид [5]:
H =--+ у^д) sin ф(д) + у 2 (s) |s) cos 9(s) ,(7)
cos 9(s) cos 9(s) R
где сопряженные множители у1 и у 2 удовлетворяют уравнениям
• ( ) дН
V1(s) = -^7 =0;
2 cos ф sin ф 1
Vi-1-- + V 2~Б ю (s)sin ф +
cos 4 ф R
+ V 2 ю(s)cos ф R
dф 1 , ч ~ds = R Ю (S).
Таким образом, в малой окрестности точки схода 50
¥2 ~ (^ - 50)2 ю (5). Следовательно, сход возможен, 2R
так как из условия максимума Н ю(5) = ютах 5ignу 2 (5). Причем сход возможен из любой точки особого решения.
Возможны ли переключения в дальнейшем? Необходимо исследовать систему уравнений
1
= R rn(s) cos 9(s),
V 2(s) =
sin ф(s) cos2 ф(s)
1
-Vi (s)
1
cos2 9(s)
- V1 (s)-+ V 2 (s) R ffl(s) sin qj(s).
cos2 ф(s) R
Решением первого уравнения системы является yj(s) = const = у10.
Если у2 (s) ф 0, то гамильтониан H достигает максимума при
ffl(s) = ®maxslgny2 (s) . (9)
Специальное исследование требуется при у 2 (s) = 0, так как, во-первых, в соответствии с (9), значение ra(s) определить нельзя и, во-вторых, возможно возникновение особого решения [6]. Особый режим возможен, если у 2 (s) = 0 и
1
+ V2 (s) R ®(s) sin ф^),
при Ю= ±1 и 5 > 50, ф(50 ) = ф°, у 2 (50 ) = 0.
Рассмотрим случай ю = +ютах. Из первого уравнения следует, что ф(л) > ф0 при 5 > 50 . Второе уравнение можно записать в виде у 2 = g(5) + у 2Х(5), где
sin ffl(s) - sin ф° . 1 .
g (s) = - 2 ^ > 0, Ms) = R sin ф(s) .
cos2 ф(s) R
Последнее дифференциальное уравнение при начальных условиях у 2 (s0) = 0 имеет решение у2 (s) > 0, следовательно, rn(s) = ю maxsign у 2 (s) = ю max при
s > s0. Поэтому после схода с особого решения переключений управляющего воздействия нет. Если при сходе с особого решения ю = -ютах , то аналогичным
способом можно показать, что у 2 (s) < 0 при s > s0 и ю (s) = -юmax . Таким образом, последними участками оптимальной траектории могут быть: особый режим и следующий за ним участок к максимальным по модулю управлениям.
Рассмотрим, каким образом может произойти выход на особый участок. При s = —~
+
dy(s) = sin ф^) ;
cos ф^) '
ds
дф(s)
1
=- R ra(s) cos ф(s);
dy 2 (s)
ds
sin ф(s) 1
• + ¥ 1 (s)
cos2 ф(s)
cos2 ф^)
1
d2y 1
1
ds2 R cos ф^)
ю (s).
Выражение для вычисления
первого уравнения системы:
1
-V 2 (s) R Ю (s) sin ф^)-
Пусть s1 определяет выход на особый участок, соответствующее значение ~ = -s1. Решение уравнений в интервале , ~), где ~ > ~1 соответствует решению уравнения по s на интервале (s, s1), где s < s1. Начальными условиями являются значения переменных при s = sj, т.е. V2 (~1) = 0, V2 (~1) = 0, ф(~) = ф1 = ф0. Если ю = ютах, то ф(~) < ф0 и, аналогично предыдущему, v2 (s) > 0, следовательно, o>(s) = ютах signv2 (~) = ютах . Таким образом, выходу на особый участок может предшествовать только один участок траектории при максимальном по модулю значения управляющем воздействии.
Можно сделать вывод, что оптимальная траектория может состоять максимально из трех участков, соответствующих следующим управляющим воздействиям:
1. ю = ±ютах .
2. ю = 0 .
3. ю = ±ютах .
Для анализа возможных траекторий, доставляющих минимум функционалу, рассмотрим процессы на фазовой плоскости. Дифференцируя первое уравнение системы (6) после подстановки ф из второго уравнения, получим
cos ф^)
1+
sin2 ф^) cos2 ф^)
\1 / 2
cos ф
1+
(10)
определим из
dy 2
ds \ /
\1 / 2
dy
Обозначим x1 = Y и x2 = —S, тогда уравнение (10) можно записать в виде:
dx,
1
ds dx
= x 2;
(11)
ds2 - R (1 + x2 )■'2 ю (s).
При ю (5) = 0 на траектории особого решения
х2 (5) = const и x1 = x2 (5)5 + D1 . (12)
При ю(5) = ±1 фазовые траектории удовлетворяют дифференциальному уравнению
dxj X2
dx
2 R (1+Х22)/ 2 ffl(s)
решение которого
X = R(1 + X22 ) / 2 Ю^) + ^
(13)
где В2 - постоянная интегрирования.
Возможные фазовые траектории, соответствующие (12) и (13) приведены на рис. 2.
1
Предположим, необходимо построить оптимальную траекторию, соединяющую точки (у(0), ф(0)) и (у(5у), ф(5у)). На фазовой плоскости данные точки
соответствуют точкам
X! (0) = 7(0), х2 (0) =
sin ф(0) cos ф(0)
X (Sf ) = Y(Sf ), X2 (Sf ) =
sin 9(Sf)
. Предположим,
s(b) = s(a, c1) + s(c1, d1) + s(d1, b). Используя (11), получим
(14)
X2 (с1)
s(a, Ci) = J
R
dx2
X2 (a)
Ю„
(1 + X22 )
■2\1 / 2
R
ln
Ю m
1 + tg - arctgX2
1 - tg 2 arctgx 2 \ 2 /
x2 (C1)
X2 (a)
//
R
ln
Ю m
1 Y 1
1 + tg 2 arctgX2 (c ) 1 - tg 2 arctgx2 (a)
\\
/ 1 Y 1 4
1 - tg 2 arctgx2 (с) 11 + tg 2 arctgx2 (a)
s(c1, d) =
X1 (d1) - X1 (C1) X2 (C1)
ю„
X1 (C1) = -— ( + X22 (C1))/ 2 - (1 + X22 (a))
X1 (d1) = X1 (b) - ( + X22 (C1 ))1 / 2 - (1 + X22 (b))1 / 2);
^max
S(C1, d) =—1— (X1 (b) -
X2 (C)
R
cos 9(sf)
что это точки a и b. В соответствии с установленной возможной последовательностью оптимальных управляющих воздействий переход из точки a в точку b возможен по траекториям Т1 = (a, c1, d1, b),
T2 = (a, d2, b), T3 = (a, c2, d3, b), T4 = (a, c4, d4, b). Выбрана должна быть та траектория, на которой в точке b s(b) = s f .
При движении по траектории Т2 значение s(b) определяется суммой приращения s на участках (a, c1),
(c1, d1) и (d1, b)
fflm
-(2(1 + X22 (C1))1 / 2-(1 - X22 (a))1 / 2-(1 - X22 (b))1/2)
(16)
Приращение 5 на участке траектории (с1\, Ь) определим по выражению, аналогичному (15), при
- = -- m
s(d1, b) = -
R
-m
X ln
" 1 Y 1 44
1 + tg 2 arctgX2 (b) 11 - tg 2 arctgX2 (d1)
V v
1 Y 1
1 - tg 2 arctgX2 (b) 11 + tg 2 arctgX2 (d1)
. (17)
//
Подставляя в (17) соответствующие выражения (18), (19), (20), получим выражение для вычисления я(Ь) при известном значении х2 (с1), причем я(Ь) монотонно возрастает при увеличении х2 на отрезке [ х2 (а), 1]. Поэтому уравнение
s(b) = Sf,
(18)
V V /V //
(15)
где х2 (c1) и х2 (a) - соответственно значения х2 в точках c1 и a. Приращение s(c1 , d1 ) , принимая, что х 2 (s) = const, определим по формуле
где х1 (С) и х1 (с) - значения х1 в точках С1 и с1, определяются из уравнения (13) по уравнениям траекторий, проходящих через точки а и с1 при ю = ютах и точки С и Ь при ю = -ютах . После несложных преобразований получим
R (С- 2, , V / 2 и 2, л / 2
относительно х2 (с1 ) , если имеет решение на указанном отрезке, то оно единственно. Если решение не найдено и 5(й)|х2 ^ < 5 у, то следует искать решение
на траекториях Т2, Т3 и Т4. При выполнении неравенства 5(й)| х ( =1 > 5у решения не существует.
Уравнение (18) можно решать известными численными методами [6].
Литература
1. Маринин В.И. Уменьшение размерности пространства
состояний в задаче оптимизации траектории укладки нити // Изв. вузов. Электромеханика. 2003. №. 1. С. 73-79.
2. Маринин В.И., Князев Д.Н., Шварц А.Б. Математиче-
ское и программное обеспечение намоточных станков с ЧПУ // Информационные технологии и управление: Юбил. сб. науч. тр. Новочеркасск, 2001. С. 230-240.
3. Погорелов А.В. Дифференциальная геометрия. М., 1974.
4. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1983.
5. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.,
1975.
6. Брайсон А., Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления: Оптимизация оценка и управление. М., 1972.
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)
19 февраля 2003 г.
X
