Вариационные задачи для инвариантного функционала на кривых однородных римановых расслоений Текст научной статьи по специальности «Математика»

МАТЕМАТИКА

Вестн. Ом. ун-та. 2007. № 3. С. 10-14.

УДК 514.7:515.124

P.P. Файзулин

Омский государственный университет им. Ф. М. Достоевского

ВАРИАЦИОННЫЕ ЗАДАЧИ ДЛЯ ИНВАРИАНТНОГО ФУНКЦИОНАЛА НА КРИВЫХ ОДНОРОДНЫХ РИМАНОВЫХ РАССЛОЕНИЙ

In this article are solving variatio-nal problems on various Riemannian bundles. Properties of solutions studied.

Вариационные задачи интересны своей ролью в теории управления, как средство нахождения функций, мини(макси)мизирующих определенные функционалы. Они связаны с обобщенными римано-выми пространствами, их геодезическими. В последнее время эти их свойства привлекли внимание исследователей, таких как А.М. Вер-шик, В.Я. Гершкович, В.Н. Берестовский и др. В частности, В.Н. Бе-рестовский [3], исследовав связи между однородными пространствами с внутренней метрикой и группами Ли, использовал эти результаты для нахождения экстремалей функционала

где к(в) - геодезическая кривизна кривой х на двумерной плоскости с евклидовой метрикой. В этой же статье он указал на возможность аналогичного исследования плоскости Лобачевского. Естественно было провести это исследование.

Плоскость Лобачевского

Символами Кристоффеля связности Леви-Чивита называются

метрического тензора рассматриваемого риманового пространства. Элемент длины плоскости Лобачевского равен

I _dr2 _(rudu+rvdvj _F(duf + 2Fdudv+G(dvf _-1(du +dv2).

У

Ненулевые коэффициенты связности имеют следующий вид:

’ ± 11 ’ УУ

геодезическая кривизна записывается:

© P.P. Файззулин, 2007

£ (хк + £ Г 1.xтх1)х

к, і=1

т, 1 = 1

т.

х(хі + £ 1Гт.хтх1) .

т, 1 = 1

Так как рассматривается кривая, параметризованная длиной дуги, производные от локальных координат берутся по этому параметру, значит, линейный элемент (длина вектора скорости) равен 1 по всей кривой. Прямым вычислением можно показать, что вид геодезической кривизны доставляет:

к=Л( х" У у - у" х' у - (х')3 - х'( у ,)2)-У

Предложение 1

В силу рассуждений, проведенных Стричардсом [6], на ограниченной области для одних и тех же экстремалей можно рассматривать как функционал длины

1 + к2

так и функционал энергии

Так как рассматриваются кривые, параметризованные длиной дуги на плоско-

сти

Лобачевского,

то

х'2 + у'2 У2

= 1

(х',у') = (у С°в(ф),у в1п(ф)) , и геодезическая кривизна записывается в виде к = —ф'— С0Б(ф) . Далее ищется экстремум

функционала Л[х], эта экстремаль ф(і) должна удовлетворять уравнению Эйлера-Лагранжа:

дР_

дф

йі дф'

= 0:

и после развертывания выражений уравнение принимает вид:

(2ф)" = -з1п(2ф). (1)

Для сокращения записи вводится величина / = 2ф, тогда получаем дифференциальное уравнение:

/" = - б1п(/) .

Оно не содержит в явном виде переменную 1, следовательно р(/) = / ($(/)) . Тогда

ё (2ф)

Здесь выбрана одна из ветвей искомой функции ф(^). Вторую ветвь

¥' =

■^С1 + 2соб(/) имеет смысл рассматривать там, где результаты для неё нельзя получить простыми симметриями результатов для первой.

Величины С1; к = ^ с ^ =2 определяются начальными условиями задачи, и уравнение (2) принимает вид

ёф

к

дД - к28Іп2(ф)

= Ж (3) (3)

сведено к эллиптическому интегралу 1-го рода нормальной формы Лежандра.

Рассмотрев вид отношения между дифференциалами (3), видим, что в исследовании кривой выделяются три случая в зависимости от параметра к: а) 0<к<1; б) к=1; в) к>1.

а) Теорема 1. Функция у>0, у(1) как функция длины дуги периодическая с периодом

кЖф

у]1 - к2 БШ2(ф) ’

х(1:) обладает периодической производной, изменение её за период х(Т)-х(0)<0.

Доказательство последнего утверждения теоремы основано на подробном рассмотрении промежутков возрастания и убывания функций у(1) и х(1) при помощи их производных. Периодичность у(1) следует из периодичности и нечетности её производной, остальные результаты являются следствием метрической структуры плоскости Лобачевского и уравнения

(3).

б) Интеграл уравнения

_^ = Л

I С08(ф) |

берется в явном виде. Уравнение связи величин ф, I принимает вид

в§п(с°в(ф))1п(1 + = 2 + 2Р ,

1 + Б1п(ф)

связь между константой и начальным

ер -1

¥'=■

йі

д/С, + 20С8(2ф); (2) значением угла *І"(фо) =

и зависи-

/

мость между координатами экстремали и длиной дуги доставляет теорема 2. Теорема 2.

е 2 і + p + 1

У(і) = У,

2 е

і + р

х(г) = х0 +| у(г = у)с°$(ф(у))ёу;

о

У(г(ф)) = С2С°8(ф).

в) На уголф возникают очевидные ограничения ф е [-агсБ1п(1/к);агсБ1п(1/к)]; ф е [п - агсБ1п(1/ к);п + агсБ1п(1/ к)]; так как выражение для производной угла

ёф = д/1 - к2б1п2(ф)

ёг к

вительным числом. Свойства экстремали описывает теорема 3 .

Теорема 3: у(1)>0, при ф0 е

е [- агсБ1п(1 / к); агсБ1п(1 / к)]; величина хЮ - х(0) > 0 при ф е [п - агсБ1п(1 / к); п + агсБ1п(1 / к)], величина х(71) - х(0) < 0, где

должно быть дейст-

<11 С»11Ц

Т1 = I

агсвїп(1/к)

I

-агевіп(1/к) ■

кйф

Вариационная задача на расслоении единичных векторов над евклидовой плоскостью с использованием принципа максимума Понтрягина

Группа О - матричная группа вида:

к(а, Ь, ф) =

^С0Б(ф) - БІп(ф) аЛ

БІп(ф) СОБ(ф) Ь

0

0

1

V V

где (а,Ь) - координаты точки на плоскости, ф - угол между (1, 0) и вектором расслоения.

Единицей группы является Ь(0, 0, 0), а групповой операцией умножение матриц, т. е. к(а, Ь,ф)к(ах, Ь1,ф1) =

= И(а + а1С08(ф)-Ь181п(ф) ,Ь + а^тф) +

+ Ь^фф+ф).

Пусть Ь - алгебра Ли группы О. Базис её нетрудно получить дифференцированием общего элемента группы Ь по всем трем параметрам в единице группы.

Рассмотрим функционал на кривых из расслоенного пространства, подразу-

мевая естественную двухточечную задачу, ^х] = 1^11+к (^)к(^)ск. Отождествив

Е2 с комплексной плоскостью С, рассмотрим параметризацию кривой г(1)=(в(1),Ь(1)), с её помощью функционал можно записать в виде

J (Г) = I

(г)2+|Ж(-^ )|2

Ж | 2 (?) |

Расслоение единичных касательных векторов евклидовой плоскости естественно изоморфно тривиальному расслоению

С х £\ £1 = {г є С,| г |= 1} .

нала

в классе

X

Тем самым сформулированная проблема приводит к задаче минимизации функцио-

М») = 1^212 + |ф (г )|2 Л

кусочно непрерывно дифференцируемых кривых^(г) = (2(г), ф(г)) с ограничениями

(г) / ёг = | / ёг | е г ф (г) .

Можно ослабить ограничения до линейных

2(г) = ± | 2 | егф(г) (*) .

Функционал определяет метрику ёс,

под корнем - квадрат её линейного элемента, далее с помощью принципа максимума Понтрягина проведен поиск геодезических для метрики ёс .

Метрика ёс левоинвариантная, тем

самым можно считать кривую начинающейся в единице группы.

В единице у кривой z(t) изменяется только первая координата. Условием (*) выделяется 2-мерное подпространство в касательном пространстве в единице, т. е. в касательном пространстве к О в единице нужно выделить подпространство по векторам:

- д - д X = — (0); ¥ = —(0). да дф

Это подпространство порождает (линейно и коммутаторами) все касательное пространство в Ь(0, 0, 0). Это же подпространство порождает двумерное левоинвариантное подрасслоение на группе, так как после действия левыми сдвигами получаем подрасслоение Х^), У^), которое обозначаем А. Линейный элемент рассло-

енного пространства О имеет вид

= Жа + ЖЬ + Жф .

В [1] доказано, что левоинвариантная внутренняя метрика на группе изомет-рична так называемой метрике Карно-Каратеодори-Финслера йс. Она определяется парой (Ь0, ^0), где Ь0 - порождающее векторное подпространство в Ь, Е0 -норма наЬ0. В [2] показано, что кратчайшие линии на (О, Жс) совпадают с оптимальными по быстродействию решениями системы:

х'(і) = й1х (о( и (і))’ и (і) є и (4) с измеримыми управлениями и=и(1:). Левый сдвиг имеет вид ї(й) = gh, а область управления - это множество

и = {и є І0 \ ^0(и) < 1} .

При этом йс (g, h) - функция Белл-мана системы, т. е. время оптимального дви-жения из д в К. Метрика йс называется неголономной, если Ь0 Ф Ь .

Уже рассматривался ортонормиро-ванный базис Х(Ь), У(Ь) расслоения А, в котором лежат касательные к экстремалям.

Область управления и = и1 X + и2У;

и: и12 + и2 < 1 показывает допустимые

для экстремалей в точке касательные векторы.

Далее рассматриваем групповую операцию и выписываем систему (4), действуя на ^а, Ь, ф^(а15 Ьх, ф) как на 3-

вектор

д

координат

оператором

д

и_____+ и____Тогда система (4) принимает

1 да1 2 дф1

вид:

а' = и1 соб(ф); Ь' = и1 Б1п(ф); ф' = и2. (5)

Гамильтониан получается следующим:

Н (а, Ь,ф,/1,/2,/3, и1, и2) = /3и2 +

+/1и1 соб(ф) + /2и1 Б1п(ф) = (и, V).

Для / справедлива сопряженная к

(5) система уравнений:

. дН

дxi

или в координатах

/' = 0; /2' = 0; /3' = uj (/ sin p — /2 cos p)

тем самым получена система (5') из 3 уравнений системы (5), уравнения для

/3' и двух констант /; /2.

Согласно принципу максимума Пон-трягина для оптимальности по быстродействию управления u(t) и соответствующей траектории (a, b, p)(t) необходимо существование ненулевой абсолютно непрерывной вектор-функции /(t), почти всюду удовлетворяющей системе уравнений (5'), и такой, что для почти всех t функция

H (a, b, p, /(t), u (t)) вектор-переменного

u достигает в u = u (t) максимума. Таким образом, имеет смысл рассмотреть функцию M (t) = max H (p, a, b,/(t), uj, u2).

u<=U

Из исследований Л. С. Понтрягина [5] известен важный факт о функции M(t) -то, что она постоянна и неотрицательна.

Максимум достигается на границе области U, это значит, что вектор u(t) = (щ,u2)(t) должен быть единичной длины, из представления функции в виде скалярного произведения очевидна сона-правленность u вектору

(/ cos p(t) + /2 sin p(t), /3 (t)). Вспомнив (5'), получаем:

,, /// — /з ч • ~ ^ \ 1

Р = ((-------2---)sin2p— /j/3Cos2p) —,

для простоты полагаем р > 0,

d (2р)

2 2 /з — /

cos 2р 3 2—- — / /3 sin 2р

Такова связь функции р и параметра t. Введём обозначения:

(/, /2) = m(cos Ро, sin Ро); m = /2+/2. Тогда система (5') переписывается в виде: m

a' = — cosp(t )(cosp(t) — cosp0); M b' = msinp(t)(cosp(t) — cosp0); p' = //-; MM m /3' = (7t) sin(p — p0 ) cos(p — p0 ). M

И возникает величина k=m/M, от которой зависит дальнейший разбор

1) к=0;

а = Ь = Ь0; ф(г) = ф0 ±рг; /з =/0.

2) к>0.

М2 = да 2(с°в2(ф(г) - ф0)) + /32

ф' = /3 / М = ^ 1 - к2 с°ъ2(ф(г) -ф0).

В работе [4] эта система была разрешена.

Евклидова плоскость

В работах [3; 4] решена эта задача, есть смысл попытаться повторить результат другим методом. Интересно, что поиск экстремалей фунционала с использованием уравнения Эйлера-Лагранжа выглядит неэквивалентным поиску геодезических соответствующей неголономной метрики, проведенному в [4].

Как уже упоминалось выше, на ограниченной области эта задача (так называемый функционал длины) равносильна задаче для функционала энергии:

3 [ х] = | (1 + к2 (в))ёв.

Очевидно, все коэффициенты связности Леви-Чивита евклидовой плоскости декартовой системы координат нулевые. Геодезическую кривизну можно записать в стандартном для римановых пространств виде. Вторые производные неявно зависят от первых в силу параметризации экстремали длиной дуги. По функционалу ^ = 1 + к2 = 1 + х2 + у2 непосредственно сложно строить уравнения Эйлера-Лагранжа, метод неявно предполагает функционал, зависящий от производных не выше первой степени. Для решения этой проблемы вводится величина

ф . Это угол между (х(в), у (в)) и осью Ох.

Так как в силу параметризации длиной дуги касательный вектор по модулю равен 1 во всякой точке траектории, то у = БШф; х = с°Бф .

Тем самым функционал энергии принимает вид Р = 1 + к2 = 1 + ф2, а уравнение Эйлера-Лагранжа: 2 ф = 0 . Решением его является функция ф(г) = аг + Ь. В зависимости от соотношения константы а с 0, векторфункция (х(У, у (У) множеством значений имеет либо прямую - случай

а = 0; х = соб(Ь); у = б1п(Ь) , либо окружность а Ф 0; х = с°Б(аг + Ь); у = $>1п(аг + Ь).

Как было упомянуто выше, для соответствующей неголономной метрики на группе Ли G собственных движений евклидовой плоскости были найдены и другие экстремали.

ЛИТЕРАТУРА

[1] Берестовский В.Н. Однородные многообразия

с внутренней метрикой. I // Сиб. мат. журн. 1988. Т. 29. № б. С. 17-29.

[2] Берестовский В.Н. Однородные пространства с внутренней метрикой: Докл. АН СССР. Т. 301. № 2. С. 2б8-271.

[3] Берестовский В.Н. Геодезические неголоном-

ных левоинвариантных внутренних метрик на группе Гейзенберга и изопериметриксы пространства Минковского // Сиб. мат. журнал. 1994. Т. 35. № 1. С. 3-12.

[4] Берестовский В.Н. Геодезические левоинвариантной неголономной римановой метрики на группе движений евклидовой плоскости // Сиб. мат. журнал. 1994. Т. 35. № б. С. 1223-1230.

[б] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелид-зе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Наука, 19б9.

[б] Strichartz Robert S. Sub-Riemannian Geometry // J. Differential Geometry 24(198б). P. 221-2б4, 243.