CC BY
14
МСВ^2) = Ж({^2})= 10; МВЧ^2) = МСВ^/М = 0,05; МСВ1 (Б3) = N({^3})= 20; МВЧ1 (Б3) = МСВ1 (Б3)/И = 0,1; МСВ1(Б4) = Ж({^4})= 30; МВЧ1(^4) = МСВ1(^3)/Ж = 0,15;
- для системы регистрации № 2: БСВ2$1) = Ж({^1})+Ж({^1, ^2})+Ж({^1, й, ^3}) =
= 60+15+5=80; БВЧ2(Б1) = БСВ2(Б1)/М = 0,4;
БСВ№) = Ж({^2})+Ж({^1, ^2})+ N({^1, ^3})+Ж({^2, ^3})+
+Ж({^2, ^4}) = 35+15+5+25+20=100; БВЧ2^2) = БСВ2(S2)/N = 0,5;
БСВ2(£3) = N({S3})+N({S1, S2, S3})+N({S2, S3})= 30+5+25=60;
БВЧ2(S3) = БСВ2^3)Ш = 0,3;
БСВ2(S4) = М^4})+М(^2, S4}) = 10+20=30;
БВЧ2^4) = БСВ2(S3)/N = 0,15;
МСВ2(^) = N({S1})=60;
MВЧ2(S1) = МСВ2(^)М^ = 0,3;
MСВ2(S2) = М№})= 35;
MВЧ2(S2) = МСВ2^2)т = 0,175;
МСВ2^3) = N({S3})= 30;
МВЧ2^3) = MСВ2(S3)/N = 0,15;
МСВ2^4) = N({S4})= 10;
МВЧ2($А) = MСВ2(S3)/N = 0,05.
Используя правила выбора (1)-(4), получаем экстремальные значения возможностных показателей (табл. 2).
Таблица 2
Экстремальные значения по критериям (1) -(4)
Система регистрации Группа объектов
{S1} №} {S3} {S4}
БСВ(S,)* 80 40 35 30
БВЧ(S,)* 0,4 0,2 0,175 0,15
МСВ(S,)* 80 35 30 30
МВЧ(S,)* 0,4 0,175 0,15 0,15
Ростовский военный институт ракетных войск
Поскольку условие (5) выполняется, делаем вывод, что системы регистрации работают корректно.
Выводы
Решена актуальная научная задача по разработке методики анализа исходных данных в условиях неразличимости и риска, позволяющей получить достоверные данные с минимальным размахом значений частот появления событий в условиях частичной различимости или неразличимости объектов. Рассмотрен иллюстративный пример реализации методики для двух систем регистраций и четырех типов групп объектов. Получены оптимальные значения больших и меньших возможностных частот появления каждой из четырех групп объектов: появление группы объектов первого типа S1 происходит в 40 % случаев, второго типа S2 - от 17,5 до 20 % случаев, третьего типа S3 - от 15 до 17,5 % и четвертого типа S4 - в 15 % случаев.
Литература
1. Золотухин В.Ф., Гордеев Ю.А., Павлов А.А. Оценка работоспособности и безопасности систем // Военная мысль. 2003. № 5. C. 23-28.
2. Заде Л. Понятие лингвистической переменной и ее применение к принятию приближенных решений. М., 1976.
3. Ротштейн А.П., Митюшкин Ю.И. Извлечение нечетких правил из экспериментальных данных с помощью генетических алгоритмов // Кибернетика и системный анализ. 2001. № 3. C. 45-53.
4. Ротштейн А.П., Штовба С.Д. Влияние методов деффа-
зификации на скорость настройки нечеткой модели // Кибернетика и системный анализ. 2002. № 5. C. 169-176.
11 марта 2004 г.
УДК 62-52
НЕКОТОРЫЕ ОБОБЩЕНИЯ МЕТОДОВ ТЕОРИИ УПРАВЛЕНИЯ ТЕХНИЧЕСКИМИ АДАПТИВНЫМИ СИСТЕМАМИ
1. Математическая модель адаптивной управляемой и наблюдаемой системы
Рассмотрим достаточно общую задачу оптимизации управления адаптивной системой
© 2004 г. Г.В. Воронцов, В.С. Федий
ф(( ): = ф(Х (t)U (t )P (t )X „р (t)) = = min ф( ((),U (t ),P,Xпр (())
X (() = fx (x ((),U (t ),P (( ),s (())
при скалярном «текущем»
(1)
и интегральных
T
(2)
ф = f /ф (х (t) U (t) P(t) Xnp (t) ) ^ min,
(3)
t
T
K =Jf (х((),U((),Xnp(())dt, K e Ra,
(4)
Составим обобщенный функционал Лагранжа
V Л
t,
о
критериях качества, а также краевых «подвижных» условиях
С Х°п = Г, Гт„ XП = Г!, 5 + е = п;
У5 : = Г (0), Ут : = Ут (т), (5)
Ф - /ф
^ +
X -.
Ф л = |
to
+ (K - ./к ) L + р- fp ) L
fx Lx +
dt ^ min. (10)
Сформируем векторы
X = со/оп/ФХ|1|Р] ,
Р = со/оп[/ф| /х| /к| ] ,
Ь = со/оп[/ф ¡¿х ¡¿к р] и объединим уравнения (1) и (8), (9) в единую систему
X (()= Р (х(( ),и (();5 ((),х пр (()), (11)
циональные параметры адаптации Р(() ЯУ и зна- а функЦионал (10) представим в ф°рме
где у5 (() и ут (() — заданные кривые в К1 X К и
К1 X К ; ранги постоянных матриц Г°5п и Гтп соответственно равны 5 и е. В уравнениях (2)-(4) Xпр (() - заданная программа функционирования системы.
Определению подлежат переменные состояния X (()е Кп , вектор управлений и (() К1, функ-
чения
t0 и Т.
Условие достижения минимума критерия (2) в каждый момент времени представляем в виде [1]
Р (() = -(урф)-1{ р ф /| |у рф|| }=
=: /р(и,Р,Хпр)).
Введем дополнительные переменные состояния системы
Ф
T
= f (X - F)*Ldt ^ min.
(12)
t0
Соответствующие уравнения и краевые условия
задачи Эйлера-Лагранжа получают вид „ * „ *
• ЭР • ЭР -
XX = Р, -Ь + Ь = 0, —Ь = 0. (13)
эх
д U
8X*(x)l(x)= 0, т := t0,T.
(14)
t
ф(( )=f /ф (U,P,x пр )dt,
ф(0 )= 0, Ф (T )= minФ;
(6)
Если ввести функцию типа Гамильтона-Понтряги-на [2]
Н (х, L ,U;S,X Пр )= F*L,
(15)
K (()= f /к ((цАх^ )dt,K(t0 ) = 0,K(t) = K,
Hf )=f fp (U,P,X пр)
+ P 0
(7)
t0
и поставим им в соответствие дифференциальные уравнения
уравнения (12) преобразуются в
ЭН ЭР * • -=-Ь = — Ь,
эх эх
ЭН ^ • ЭН ЭР*
-= Р = X, —^ = —-
ЭЬ э и э и
(16)
L = 0.
ф (() = /ф (X,U,P,x пр), K (() = ./к (x,U,P,x пр),
Р (() = fp (U,p,xпр).
Вычисляя производную по / от функции (15), имеем
(8)
dH dt
• * дН • * дН rT * дН
X -+ L -+ U —/
дХ дL д U
+
+
S* дН+X4
s s пр а х.
пр
t
0
t
0
где первая сумма слагаемых в силу уравнений (14) равна нулю. Поэтому
dH _ r * дН £ * дН
-= S —r + x —r—
dt д S пр д x _
(17)
При S((): = 0,X((): = 0 из выражения (16) следует
dH
0,
dt (18) H(x((), L((),U(()) = const Vt e [0, t].
Если в уравнении (13) принять
SX* (т): = 8X (т)бт = F(x)t T 8т,
краевые условия (13) получают вид
f(t)l(t) T 8т = Н(т) T 8т = 0, откуда, в силу произвольности 8т, следует
Н(т> ) = H(T ) = 0,
что в соответствии с выражением (17) приводит к уравнению Понтрягина [2]
H (х((), L(( ),u (t )) = 0.
Однако в общем случае (при S, хпр, отличных
от нуля) функция Гамильтона-Понтрягина будет переменной, см. выражение (17). В работе [1] показано, что при определенных условиях уравнения Беллмана [3] для задач о быстродействии и других задач оптимизации также тождественны уравнениям (13).
2. Краевые условия обобщенной задачи с «подвижными концами»
Рассмотрим более подробно составление начальных условий, отвечающих задаче (13), (14). Принимая в выражениях (5)
Г 5П = [г !Г 5,П - 5 ] ££ ф 0,
Хп (0 )= С010п[[5 (0 )! .гП-5 ]
Получаем
Хп (0 )= У 5 (0 )+ К,п - 5ХП -5 , (19)
8 Xn (t0 ): = D°n
dY S (to)
dt
8t0
_ d Xn (t)
dt
8t0 +
+ B0 8 X o •
+ "n,n—s 8Xn—s>
D0
(r Ss )—1
n — s s
B0
_ (r Ss)_1 г s, E
s,n—s
Jn—s, n—s
. (20)
Граничное условие (14) при t = t0 с учетом выражения (20) преобразуется в
{0 1 (0 )- x(0 )} Ьх (0 )&0 +
+ 8 X* (0 )(в0 )ь х (0 )= 0.
Поскольку 8t0 и 8 х(^) произвольны, получаем
уравнения
d0 Y (to )_ x (to )} ^ (to )= 0, (21)
(в0) Lx(t0)= 0.
Подобные выражения составляем и при t = Т. Учитывая выражения (8), составляем вариации других составляющих вектора Х(0). Например,
8 P (t0 ): =
•о
J +i
h fp
10 +8t0 *0
fpdT— J fpdT + 8 P0
8t0 + 8 P
(22)
Аналогично получаем
8Ф(to)=- /ф . 8t0, 8K(to)=- fK 8t0.(23) to ' 0
Объединяя выражения (20)-(22), формируем выражение
8x(t0 ) =
_ ^ " 0 "
D° Y0 — fx B0 8 jc0
r 8t0 +
—л 0
_ — fp _ t0 _ 8 p0 _
которые записываем в виде
8Х0 (t0 )= 8t0 + К 8х0.
Начальные условия (14) с учетом выражения (22), (23) преобразуем в
) Ь|, = 0, К )^ = 0.
00
Первое из условий есть уравнение трансверсально-
сти, вытекающее из произвольности вариации
8t
t
t
t
0
t
t
0
0
(24)
второе (векторное) условие следует из произвольно -сти 8x0 . Методы решения полученной задачи, основанные на планировании численных экспериментов и нахождения лучшего решения в смысле Парето см. в [4 - 6].
3. Решение оптимизации задач управления без введения множителей Лагранжа (^-функций Понтрягина)
Рассмотрим решение задачи оптимизации на основе уравнений (1), (8), (9)
i(0 = /x((), ,р()Д()),
ф(() = fф((((), ,р((),xv (()), K(() = /к(XX((), ,Р((),хпр(()),
Р(() = fp (((()> ,Р((^пр (()))
в которых предусмотрены интегральные ф(Тmin, K(T)= K и непрерывные
ф (() ^ min ф (XX ((), U((), Р, XXпр (())
Р
оценки качества управления. Отметим, что в уравнениях (24) принято Р((): = colon[P(() U(() ] .
Задача (24), которая должна быть решена с учетом начальных
X(tо ) = d0 r0 (tо) + b0 *0 ,U(tо),
K (t о )= 0, P (t о )= Po, S (to )= So и конечных
ф (tmin,
XX (T ) = d т rт (Т) + вт *т, U (T) < Uadm,
K (Т) = K
краевых условий, может быть реализована на основе методов планирования численных экспериментов и теории принятия решений.
По нашему мнению, подобный подход к решению оптимизационных задач имеет большие преимущества по сравнению с традиционными методами.
Литература
1. Воронцов Г.В., Федий В.С. Вариационные методы теории автоматического управления / Под ред. Г.В.Воронцова // Юж.-Рос. гос. техн. ун-т. Новочеркасска, Ред. журн. "Изв. вузов. Электромеханика", 2003.
2. Понтрягин Л.С., Болтянский Р.В., Гамкрелидзе Р.В. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1961.
3. Беллман Р., Калаба Р. Динамическое программирование и современная теория управления. М., 1963.
4. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование экспе-
римента в технике. М., 1980.
5. Воронцов Г.В., Свечкарев В.П. Методы численных экспериментов в краевых задачах оптимального управления нелинейными системами // Научная мысль Кавказа / Изд. Сев.-Кавк. науч. центра высш. школы. Спецвыпуск 2. 2002. С. 5-20.
6. Подиновский В.В., Ногин В.Д. Парето-оптимальные реше-
ния многокритериальных задач. М., 1982.
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)
26 мая 2004 г.
УДК 621.86
ОПТИМИЗАЦИЯ ЛИНИИ УКЛАДКИ ПРИ ИЗГОТОВЛЕНИИ КОНУСНЫХ ИЗДЕЛИИ МЕТОДОМ НАМОТКИ
© 2004 г. В.И. Маринин, А.А. Артеменко
При изготовлении изделий из композиционных материалов методом непрерывной намотки интересной с практической точки зрения и распространенной задачей является намотка изделий в случае, когда оболочка наматывания представляет собой коническую поверхность. В работе [1] были рассмотрены вопросы укладки нити на поверхность и сформулирована двухточечная краевая задача для расчета на произвольной поверхности линии укладки, определяемой начальной и конечной точками и имеющей оптимальные значения важных характеристик уложенной нити
- длины и тангенса угла геодезического отклонения. Построение линий укладки нити на поверхности оболочки наматывания обычно выполняется путем объединения отдельных фрагментов кривой, моделирующей линию укладки.
Пусть требуется построить кривую г(1) (I - натуральный параметр), лежащую на поверхности г = г(и, у), проходящую через точки P0 (и0, v0),
Pf (и f, Vу) и удовлетворяющую заданным направлениям касательных т1, т у к поверхности в точках Р0, Ру .
