CC BY
14
УДК 62-52
МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ УРАВНЕНИИ И НАСТРОИКИ ПАРАМЕТРОВ АДАПТИВНЫХ СИСТЕМ
© 2004 г. Г.В. Воронцов
Предложены варианты решения краевых задач оптимального управления адаптивными техническими системами, основанные на введении модифицированных уравнений Эйлера-Лагранжа-Понтрягина или уравнений, не требующих составления функций Га-
В уравнениях (1)-(7) Хпр (() - заданная программа; Сип - постоянная матрица состава измере-
ния ранга и;
К) -
вектор случайных помех типа
мильтона-Понтрягина и вдвое уменьшающих размер- многомерного белого шума. Отметим, что программа ность задачи, поскольку исключаются множители Лагранжа (у -функции Понтрягина).
Математическая модель адаптивной управляемой системы в задачах многокритериальной оптимизации
Рассмотрим достаточно общую задачу оптимизации управления адаптивной наблюдаемой системой
X (() = /х (X ((),и (()Р (((())
при скалярном «текущем»
ф((): = ф(Х (),и ( ),Р ((),Х пр (()) =
= ШИП ф(((),и(() Р, Xпр (())
(1)
и интегральных
T
Ф = J Д (X(() U(() P(() XПр (() )) ^ min,
to
K = T/к(X(() UX), Хпр(()), K G Rа
to
(2)
(3)
(4)
критериях качества, а также ограничениях
у = 1/¥((((),и((),Р(()) < О, у е Я
'о
ß
(5)
(6)
и краевых «подвижных» условиях
Г°т ХП = Й, Г1П Xт = Г, 5 + е = п;
Го =: Г0('о), У"е =: У"е (т),
где у о (() и 7 е (() - заданные кривые в Я1 X Я * и
Я1 X Яе ; ранги постоянных матриц Г°оп и ГТеп соответственно равны о и е .
Система наблюдаема средствами измерения
2(()= С X(()+ |((), 2 е Яи, и< п. (7)
Xпр (() может быть задана сигналами 2пр средств измерения
Определению подлежат переменные состояния X (()е Яп, векторы управления и (()е Я, функциональные параметры адаптации Р (()е Я и значения 'о и Т, при которых удовлетворяются критерии
оптимальности (2) и (3), граничные условия (6) и ограничения (4), (5). Условие минимума критерия (2) в каждый момент времени представим в виде
^ = Л{8Р* Vрф +18Р* Урф + 8Р1 = 0,
Э Р д Р { р 2 ^
после чего выводим
Р (()=-( р ф)-1{ V р ф /IV р ф||}=
= : fp(X,U,P,Xпр)),
(8)
где обозначено
V р ф = colon
Эф Эф dpi dpv
V Р Ф =
д 2ф дРг дру
подробнее см. в работах [1, 2].
Введем дополнительные переменные состояния системы
Ф(() = 1 /ф (( и, Р, Xпp)), Ф('о ) = Ф (т ) = шхпфх
'о
1 (() = 1 /к (( и, Р ), К ('о) = 0, К (Т) = К,
'о
Р(( )= 1 /р (X,u,P,XПp)+ Р0
(9)
to
и поставим им в соответствие дифференциальные уравнения
Ф (()= fф (X,U,P,Xпр); it (()= f (X,U,P,X Пр ); P (()= f (x,U,P,XПр ).
(10)
Ф л = I
to
(Ф - fф )ф + (X- fx ) Lx +
+ (ü - /к) + (P- fp) L
dt ^ min. (11)
Сформируем векторы
X = colon/ | X \ K \ P] ;
F =colon [ i Л i Л i fp];
L = colon[/ ! ¿х ! ¿к ! Lp ]
i х , к , p-
и объединим уравнения (1) и (10) в суммарную систему
X (()= F (x(( )U (();S ((),X Пр (()),
а функционал (11) представим в форме
T
Фл = l(X - F)*Ldt ^ min.
(12)
(13)
to
Соответствующие уравнения задачи Эйлера-Ла-гранжа получают вид
XX = F,
dF*
L + L = 0,
dF*
-L = 0. (14)
dX ' d U
Если ввести функцию типа Гамильтона-Понтря гина [4]
H (х , L ,U;S,X пр )= F* L,
(15)
уравнения (14) преобразуются в
dH dF*
dX dX
L = -L,
(16)
dH
F = X, dH = dU = 0.
dL ' d U d U
Вычисляя производную по t от функции (15), имеем:
dH dt
f • ft dH
X
dX
V
f * dH
+ S
dH r * dH
-+ U —r
dL d U
+
д S
+ X п*р^
пр dX
пр
где первая сумма слагаемых в силу уравнений (16) равна нулю. Поэтому
dH дH г * дH
8 + X г . (17)
dt
d S
пр
d X,
пр
Ограничения в виде неравенств (5) включаем в следует: условия (9) и уравнение (10), используя общеприня- с1Ы тую процедуру [3] введения в вектор у дополни- ^ тельных слагаемых.
Составим обобщенный функционал Лагранжа:
При S((): = 0((): = 0 . Из выражения (17) ?ет:
= 0, H(x((), L(() U(()) = const Vt G [0, T].
Краевые условия модифицированной задачи с «подвижными концами»
(18) to, T.
Краевые условия задачи (16)
8Х* (t)l(t) = 0, т : = t0, T
при фиксированных значениях to и Т, имеют вид
8Х* (т) = X (т)8т = F* (х(т), U (т) )dx, H(т)8т = F* (х(т), U(т) )l(t)St = 0, т : = t0,:
В силу произвольности вариации 8т заключаем, что H (to ) = 0, H (T) = 0 и, поскольку
H (()Vt е /0, T ] = const,
получаем
H (х(( ),L(( )U (()) = 0, (19)
что соответствует принципу Понтрягина.
В выражениях (18), (19) принято, что X (() L(()
U (( )есть экстремали задачи (16), (19).
Если принять за основу выражение (17), получаем
H (()=I
to
S * dH+X пр-dH
d S р d X,
пр
dt,
т.е. функция H(() оказывается переменной.
Рассмотрим более подробно составление начальных условий, отвечающих задаче (13), (14). Принимая в выражениях (6)
Г0Ш = [[ ! <п -, ] <1еЯ^ Ф 0;
Хп(to) = colon[xs(to ) | х°п-я], получаем
ХП (to ) = УS (to ) + ВП-sХ°п-s, (20)
d XП (()
8 X „ (t o): = s (t0)
dt
8t0
dt
t0
8t0 +
t0
+ B o 8 X o
+ -0n ,n -s 8 xn -s>
(21)
где принимаем
X (to )= fx (ф, X K,P;U,S)
to
D0 = V. )-1" , Bo = )-1 Г A s ,n - s
O n - s ,s _ E n- - s ,n - s
Граничное условие при / = ¿0
8Х* (о )ь(, )= 0
с учетом выражения (21) преобразуется в
{ #0) - X(о) } } (<0 )&0 + § X* (0 )(В ) 4 (0) = 0
Поскольку §0 и 8 ) произвольны, получаем уравнение трансверсальности
{оо * (/0 )-Х& (/0 )} (/0 )= 0
и начальное условие
(в0 (/0 )= 0
Заметим, что X0 есть «свободный» вектор, вариация которого (как и 8^0) произвольна. Подобные выражения составляем и при / = Т , например:
Xт = о т у т (Т ) + вт Xт .
Учитывая выражения (9), составляем вариации других составляющих вектора Х(^ ), например:
8 P (o
to t
I +I
to +Sto to
=-Л
t
/pA-| /„Jx + 8 P0
to
' p — S J p
to
8to +8 Po
Аналогично получаем 8ф(^с )=-/ф t 8to> § K (to )=-/к
to
(22)
8t o • (23)
Объединяя уравнения (21), (22) и (23), формируем обобщенные выражения
8x(to ) =
oo D Y - /x
- /к
- /r p
" o "
Bo 8 Xo
8t o +
0
8 Po
to L -1
которые записываем в виде
8Х0 (0 )= 8/0 + В° 8х0. (24)
Соответствующие начальные условия задачи (14)
(»(to))* ±- F)
to
= (§X 0 (t o ))(t o )= 0 с учетом выражения (24) преобразуем в
D I Lto = B J Lto = 0 (25)
Первое из условий (25) есть уравнение трансверсальности, вытекающее из произвольности вариации Sto, второе (векторное) условие следует из произвольности 8xo . Если to задано, остается лишь второе из выражений (25).
Управление адаптивными системами по текущим критериям оптимальности и заданным конечным показателям качества
Процедура вычисления оптимальных управлений и настройки параметров системы, основанная на методе Эйлера-Лагранжа или введении обобщенной функции Гамильтона-Понтрягина, обладает рядом существенных недостатков:
1. Введение множителей Лагранжа в функционал (3) для учета уравнений связей (2), (4), (5) и переходу к условию (11) значительно увеличивает размерность системы дифференциальных уравнений за счет дополнительных вектор-функций Lj (() i : = x, к, p .
2. Решение краевых задач для системы уравнений (12), (14) методом приведения к множеству задач Коши, отвечающих некоторому плану численных экспериментов [5-7], чрезвычайно затруднено тем
обстоятельством, что начальные условия Lj (to ) могут быть назначены с точностью лишь до произвольного множителя. Правда, для линейных дифференциальных уравнений может быть применен метод переноса краевых условий, но неопределенность значений
Lj (to ), Lj (T) при этом остается.
3. Проверка устойчивости получаемого решения во всех случаях требует дополнительных исследований.
Альтернативный вариант модифицированной задачи заключается в следующем:
1. Из уравнений (1) и (1 o) исключаем вектор
U ((), вводя P = colon [р I U ], считая, что вектор-функция P(() соответствует регуляторам исполнительных механизмов как настройки параметров, так и двигателей, обеспечивающих функционирование системы.
2. Отбрасываем функционал (3) качества управления, возлагая его «функции» на критерии (3) и (4).
3. Вводим обобщенный вектор
X = colon [X (() ! K (()]
переменных состояния системы и характеристик их соответствия программе движения, причем уравнения (1) и (1o) представляем в виде
Ех = Ех (х, Р; ДХпр ) ;
Ер = Ер (х,Р; Хпр )
В итоге задача приведена к уравнениям
Х = Ех(х, Р; ДХпр) ;
Р = Ер (х, Р; Хпр ),
(26)
причем функция Ер формируется по формулам типа (2) и (8). Конечно, уравнения (26) можно объединить в одно, введя обобщенный вектор, включающий X (()
и Р(().
Решение краевых задач уравнений метода обобщенных обратных связей
Пусть для неизвестных (варьируемых) элементов
- ^о го »го векторов начальных условий xn-s ,и | заданы
«нижние» и «верхние» допустимые значения и введены их кодированные безразмерные аналоги
X 0, р 0, и 0, такие, что
х0 = Пх X0, Р° = Пр р°, и° = Пи X0 ; (27)
х ~ > —p
х0 G [о,1] -S, Р° G
[о,1], Р0 G [о,1]^. (28)
Здесь Пх, Пр, Пи - соответствующие матрицы
преобразования.
Образуем из векторов (28) обобщенный вектор начальных условий
X0 G [0 ! \Р°
размерности N = п — s + V +1. Напомним, что К (to )= 0.
В дальнейшем принимаем ^ и Т заданными, а
г 0 г т
векторы уs и уs - постоянными, только ради сокращения изложения. Каждой точке
X 0- = [ р0 ], г0 с М е[0 Я
некоторого выбранного плана численных экспериментов [5, 6]
X — [x0 ! Х2 ! L ! хМ]
(29)
поставим в соответствие начальные условия, определяемые выражениями (20), (27) и решение задачи Коши, для которого вычислим значения
jef (ti), K j (ti ),U j (ti v g (0 ,T]
(30)
где ti принадлежит нескольким точкам на (^, Т].
Введем критерии отсева и оценки качества решений (30), отвечающих плану (29):
1. Критерии предварительного отсева полученных решений
Vj — 1,..., м
Pj(ti)g[[,Pb1 G ((0,T);
Г 1 (3!)
U/(ti)g[[h,Ub]vti G((0,t).
Все решения, удовлетворяющие условиям (31), считаем допустимыми.
2. Обобщенные оценки качества допустимых решений:
А* =
Гт X/(т)-ут , Vj — 1,.,м;
j/
K,(т)-K , Vj — 1,.,м.
3. Оценки качества допустимых решений для каждого элемента векторов (30)
Vj — 1,., М'
хх 8У —
гJ1 гJ2 •••гJn ^J Xj (т)
т
Yi,
i — 1,...n;
— K sj (t )- K s, s — 1,...a.
sj
Здесь гт, ут, к -, к s - элементы матрицы Г т и
векторов у т, К - (т ), К .
Наилучшее из полученных решений выбираем по методике отсева худших и сравнения нехудших решений, в числе которых может оказаться лучшее (в смысле Парето) решение, подробнее см. в работах [5-7].
Литература
1. Воронцов Г.В., Свечкарев В.П. Математическое моделирование адаптивных управляемых систем с непрерывно регулируемыми параметрами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Математическое моделирование и компьютерные технологии. 2002. Спецвыпуск. С. 41-45.
2. Воронцов Г.В. Краевые задачи векторной оптимизации адаптивных электромеханических систем. Ч. 1 // Изв. вузов. Электромеханика. 2003. № 2. С. 25-28.
3. Химельсбау Д. Прикладное нелинейное программирова-
ние. М., 1975.
4. Понтрягин Л.С. и др. Математическая теория оптимальных процессов. М., 1969.
5. Джонсон Н., Лион Ф. Статистика и планирование экспе-
римента в технике. М, 1980.
6. Соболь Н.М., Статников Р.Б. Выбор оптимальных параметров в задачах со многими переменными. М., 1981.
7. Воронцов Г.В., Свечкарев В.П. Методы численных экспериментов в краевых задачах оптимального управления нелинейными системами // Науч. мысль Кавказа. 2002. Спецвыпуск 2. С. 5-20.
Южно-Российский государственный технический университет (НПИ)
13 января 2004 г.
