CC BY
51
_______УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ Ц А Г И
Т о м XX 198 9
М 5
УДК 629.7.015.4
ОПТИМИЗАЦИЯ КОНСТРУКЦИИ КРЫЛА ПРИ ОГРАНИЧЕНИЯХ НА ВЕЛИЧИНУ НАПРЯЖЕНИЙ И ДЕФОРМАЦИИ С ИСПОЛЬЗОВАНИЕМ КРИТЕРИЕВ РАВНОПРОЧНОСТИ И МИНИМУМА МАССЫ
Е. И. Крючков
Рассматривается методика поиска оптимального распределения силового материала крыла по критерию минимума массы при ограничениях на напряжения и деформации. На начальном этапе оптимизации используется алгоритм критерия равнопрочности, затем градиентный метод, где шаг определяется проектированием на касательную гиперплоскость к допустимой области следующих векторов: вектора в направлении антиградиента целевой функции, шага алгоритма критерия равнопрочности и шага оптимизации на предыдущей итерации. Предлагаемая методика допускает упрощенные варианты, когда требуется вычисление только градиентов ограничений по деформациям. На примере оптимизации крыла малого удлинения приведено сравнение алгоритма критерия равнопрочности, метода проекции градиента и данного комбинированного метода.
Сравнение алгоритма на основе критерия равнопрочности [ 1] и градиентных методов [2, 3] оптимизации конструкции крыла по минимуму массы силового материала при ограничениях на напряжения показывает хорошее соответствие получаемых результатов. При этом алгоритм критерия равнопрочности имеет хорошие характеристики по скорости сходимости на первых итерациях, градиентные методы — при завершении процесса оптимизации, когда конструкция близка к оптимальной. Градиентные методы также позволяют учитывать не только местные ограничения на прочность элементов, но и общие ограничения по жесткостным характеристикам конструкции. Поэтому рассматривается методика оптимизации, использующая на начальном этапе алгоритм критерия равнопрочности, а затем градиентный метод с учетом общих ограничений.
Конструкция крыла рассматривается в пространстве переменных проектирования, описываемых вектором д: = {*,}, t=l,...,n. Задача поиска оптимальной конструкции формулируется следующим образом: определить вектор х* = {xi \ , такой что
f(x*)=m\nf(x) ,
X
<fj (*®)<0 , j— 1, m ,
Xi min <*/<* i шах j
где f(x) — масса конструкции; фД*)—функции ограничений по прочности и жесткости; Xi тш и Хг тах — нижние и верхние пределы переменных проектирования.
Пусть х — вектор состояния конструкции после нескольких итераций алгоритма критерия равнопрочное™, ц>з(х)—е-активные ограничения, то есть ф^(д:)<е, где е—малая положительная величина. Набор е-активных ограничений может составлять только часть исходных ограничений.
Далее оптимизация осуществляется градиентным методом, представляющем собой модификацию метода проектирования градиента [2, 3]. На k-м шаге производится анализ е-активных ограничений, из набора ограничений исключаются те ограничения, при усилении которых, то есть при варьировании правых частей на величины б<р3<0, масса не возрастает. Обозначим: /* — получающийся в результате набор индексов оставшихся активных ограничений. Сравнение вариантов конструкции по массе при варьировании ограничений производится при условии, что переменные проектирования при переходе к новому состоянию изменяются в направлении нормали к гиперплоскости, касательной к допустимой области. В этом случае вектор перехода 8.x* = {8 л:*), ¿=1,..., п определяется из условий:
(8л:*, 8л:*) = min (8х, 8х) , Лт8л:* = 8©,
ОД:
где 8<р = {8сру-}, Лт — матрица, составленная из векторов-столб-
dfi (х)
цов градиентов функций ограничений, Aj = -........ , j - Ik.
Применение метода множителей Лагранжа дает следующее выражение для öx*:
8л:* = Л (Лт Л)-1 8<р .
Соответствующее приращение массы конструкции будет:
df (х) df(x)
8/=Sx*T-^! Или 8/=8?т(Лт А)-г Л*-^ .
Обозначим Х = {Х;.} = — (Лт Л)-1 Лт —j £4, тогда 8/= —8сртХ.
Если при варьировании /'-го ограничения соответствующая компонента Х;>0, то приращение массы положительно, так как 8^<[0; если О то отрицательно. Поэтому из множества активных ограничений последовательно по одному исключаются ограничения с отрицательными и наибольшими по модулю Х^. Анализ ограничений повторяется вновь до тех пор, пока все компоненты вектора X будут положительными. Таким образом будет получен новый набор ограничений, которые обозначим как ф;- (л:), у (f !k, где Tk соответствующий набор индексов.
Для определения k-то шага оптимизации составляется вектор
з
h={h^ = ^ {*//)> г’ = 1. ••■> гДе = {^i ¡1 — вектор в направлении /=1
антиградиента целевой функции; Л2 = {Л2/} — шаг, определяемый алгоритмом критерия равнопрочности; Л3~ {Л3,} — шаг оптимизации на предыдущей .итерации. Проектированием этого вектора на касательную гиперплоскость к допустимой области определяется шаг оптимизации:
Д х[к) = [Е — А (Лт А)~1 Лт] h или Д x[k) = Ph ,
где Е — единичная матрица, Р— проектирующая матрица.
т df (х)
Причем, если Phi ...дх >-0, 1 — 1,2, 3, т. е. составляющая Лг
не обеспечивает уменьшения целевой функции, то данная составляющая исключается из вектора h.
Если ограничения <pj(x), / е In нарушены на величины Аф^ = ф^(л:), то производится их корректировка. Необходимый для этого вектор изменения проектных переменных определяется так же, как и в рассмотренном выше случае варьирования ограничений, где вместо вектора бф нужно взять вектор {—Дф^}, где / е /&:
Д х[к) — — А (А1 А)~1 Д сру .
Общее приращение вектора переменных будет:
Д *№ = [Е- А {A7 A)-1 AT]h-A (Лт А)-1 ? (х) .
В идеальном случае процесс оптимизации завершается, когда это приращение равно нулю. Учитывая ортогональность суммируемых векторов, можно записать:
[£— А (Лт Л)-1 Лт] h = 0 ,
?,(х) = 0, {Х/}=-(АтА)-'Ат^> 0, }0k.
Для остальных ограничений по построению алгоритма ф;,(л:)<:0, за
исключением индексов /, ВХОДЯЩИХ В набор /ft. df (х)
Если h—hx——у ,где у — заданная положительная величина
(весовой множитель), то учитывая, что
заметим, что эти условия совпадают с условиями локального экстремума Куна — Таккера [2].
Соблюдение ограничений Xi max в практических расчетах
может осуществляться путем ограничения компонент вектора шага. На последующих итерациях, путем приравнивания нулю соответствующих компонент градиентов целевой функции и ограничений, осуществляется исключение данных компонент вектора переменных проектирования из рассмотрения [3, 4].
В качестве примера рассматривалось крыло малого удлинения, симметричное относительно срединной плоскости по форме и конструктивному исполнению верхних и нижних поверхностей. Приведенная толщина панелей считалась равной удвоенной толщине обшивки. Взят один случай нагружения с равномерным давлением по площади крыла. Расчеты производились по методу пластинной аналогии [5]. За переменные проектирования принят объем силового материала участков крыла.
Всего рассматривалось пятнадцать участков (рис. 1). Участки расположения предкрылков и закрылков в расчете не учитывались. Целевая функция представляла собой объем силового материала конструкции. Было принято, что ограничения по напряжениям с номером I соответствуют переменным проектирования с тем же номером. Функции ограничений по напряжениям задавались в виде у,- (л-.! == з,«в /,зп — 1 , г=1,... , 15, где эквивалентные напряжения аЭКв г в данном случае
взяты в виде: оэкв ,• = Vazi + oxi — аг1 ах1+ Зтг , Где aZi, aXi нормальные
напряжения в обшивке, t¿ касательные; ог0 — допускаемый уровень эквивалентных напряжений. Эквивалентные напряжения 0ЭКВ» определяются как максимальные по всем узлам участка, определяемым расчетной сеткой, и, в общем случае, по вариантам случаев нагружения. Минимальная толщина обшивки считалась равной 1 мм, исходная толщина взята равной минимальной толщине, Расчеты производились без учета и с учетом ограничения по углу закручивания поточного сечения на расстоянии 2=0,75, где z — поперечная координата, отнесенная к размаху крыла.
На рис. 2, 3 показана сходимость оптимизационных процессов в зависимости от числа итераций при ограничениях только по напряжениям для алгоритма критерия равнопрочности (кривая /), метода проекции градиента [2] (кривая 2) и рассматриваемого комбинированного метода (кривая 3). Результаты оптимизации приведены в таблице (варианты расчетов 1, 2, 3). На рис. 2 и в таблице V — объем силового материала, отнесенный к объему, полученному в варианте расчета 3; на рис. 3 Афтах — максимальная по всем участкам невязка ограничений.
Шаг алгоритма критерия равнопрочности определяется из соотношения:
x\k) = xf~u или jc(,*)=*Í*-,) + jcÍ*-1) c?¿ (jc),
%
где k— номер итерации, откуда
В методе проекции градиента шаг определялся по формуле:
Д х = — ч[Е — А (Ат Л)-1 А'\Ц™-А (Лт Л)-1 <р (х) , где весовой множитель у=Ю00-
Рис. 2 ' Рис. 3
Набор ограничений ц>з(х), } е 1к и соответствующая матрица А определялись согласно приведенной выше процедуре анализа ограничений. Величина е при этом взята равной 0,01.
Оптимизация комбинированным методом при максимальных невязках в ограничениях по напряжениям более 0,05 проводилась сначала по алгоритму критерия равнопрочности, затем градиентным методом при 8 = 0,01. Вектор к взят в виде суммы векторов:
Л1 = — Т > где т=Ю00;
А2 = {х!*“1’?,(*)} ;
/г3 = Я(*_1) Ах?-".
Вектор /г3 учитывался на втором и последущих шагах градиентного метода.
Сходимость решения по алгоритму критерия равнопрочности на нескольких первых итерациях хорошая, в ¡последующем решение медленно сходится как по объему, так и по напряжениям. Для получения окончательного результата потребовалось 40 итераций. В двух последних методах стабилизация объема при допустимом уровне напряжений наблюдается при 15 и 14 итерациях соответственно, причем в комбинированном методе четыре первые итерации производились по алгоритму критерия равнопрочности, Полученные объемы силового материала и толщины обшивки участков близки друг к другу (таблица, варианты 1, 2, 3 соответственно).
Чтобы устранить возможные осцилляции в итерационном процессе для объема и напряжений при использовании градиентных методов, полезно на одной-двух последних итерациях производить только корректировку ограничений, полагая величину у = 0. Преимуществом комбинированного метода является то, что не требуется задавать больших значений коэффициента у для вектора антиградиента, влияющих на устойчивость процесса оптимизации при численных расчетах, так как в случае близких направлений шагов оптимизации на следущих друг за другом итерациях происходит рост шага за счет возрастания вектора Н3.
В вариантах расчетов 4, 5, 6 (см. таблицу) производилась оптимизация комбинированным методом с учетом ограничений по напряже-
варианты расчета:
участка крыла ограничения по напряжениям ограничения по напряжениям и углу закручивания
1 2 3 4 5 6
1 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
2 5,45 5,46 5,45 4,07 4,48 5,46
3 10,65 10,49 10,43 12,94 12,08 10,43
4 1,28 1,56 1,71 1,00 1,05 1,71
5 7,24 7,21 7,21 6,23 6,09 7,21
6 1,51 1,95 1,65 3,73 3,35 1,65
7 2,15 1,00 1,00 1,00 2,44 1,00
8 5,83 6,54 7,01 5,85 5,08 7,01
9 1,15 1,55 1,40 3,28 2,80 4,23
10 2,75 2,16 1,70 1,00 3,16 3,00
11 2,65 2,04 2,37 3,92 3,18 3,79
12 1,00 1,00 1,00 1,00 1,65 1,00
13 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
14 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
15 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00 1,00
Объем 1,006 1,001 1 1,057 1,069 1,085
ниям и углу закручивания поточного сечения при 2=0,75. Угол закручивания был уменьшен на 20% по сравнению с углом закручивания конструкции, определенной только по требованиям допускаемых напряжений.
Расчеты вариантов 5 и 6 проводились по упрощенным методикам оптимизации. В варианте 5 вектор /г взят равным й2, е-активным считалось только ограничение по углу закручивания и необходимо было вычислять градиент только этой функции ограничения. В варианте 6 вектор к определялся суммированием трех векторов Ни /г2, Лз как это указано выше, е-активным считалось также только ограничение по углу закручивания и вычислялся только градиент этой функции ограничения. Минимальные толщины обшивки Х{ тщ, ¿=1,...,л при этом были взяты равными толщинам, определенным в расчете с ограничениями только по напряжениям (вариант расчета 3 в таблице). В результате были получены решения, удовлетворяющие ограничениям. Оценка возрастания объема силового материала при наложении ограничения на угол закручивания составляет 5,7% 6,9% и 8,3% для 4, 5 и б'-го вариантов расчета соответственно. Полученное большее значение объема в последнем случае объясняется допущением о сильной степени неравномерности распределения силового материала по хорде крыла. В реальных случаях при более равномерном распределении силового, материала по хорде ошибка в оценке возрастания объема будет меньше. Полученные результаты показывают, что в оценочных расчетах можно пользоваться упрощенными методиками, где необходимо вычислять только градиенты функций ограничений по деформациям.
5 — «Ученые записки» № 5
65
1. Бирюк В. И., Липин Е. К., Фролов В. М. Методы проектирования конструкций самолетов. — М.: Машиностроение, 1977.
2. Моисеев Н. Н., Иванилов Ю. П., Столярова Е. М. Методы оптимизации. — М.: Наука, 1978.
3. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование.— М.: Мир, 1975.
4. Ермолаев Н. В., Малков В. П., Тарасов В. Л. Составные оболочки вращения минимальной массы с ограничениями на собственные частоты. — Механика твердого тела, 1985, № 4.
5. Крючков Е. И. Параметрические исследования прочности и массы крыльев малого удлинения методом пластинной аналогии. — Ученые записки ЦАГИ, 1982, т. 13, № 4.
Рукопись поступила 24/VII 1986
