CC BY
229
Том XXXVIII
УЧЕНЫЕ ЗАПИСКИ ЦАГИ 20 0 7
№ 1 — 2
УДК 629.735.33.015.4 004.8:629.7.01
О МЕТОДАХ И АЛГОРИТМАХ МНОГОДИСЦИПЛИНАРНОЙ ОПТИМИЗАЦИИ СИЛОВЫХ КОНСТРУКЦИЙ
А. К. НИКИФОРОВ, В. В. ЧЕДРИК
Описаны два подхода к оптимизации конструкций, реализованные в системе многодисциплинарного проектирования. Первый подход основан на применении критериев оптимальности для определения рациональных параметров конструкции, второй — на использовании методов математического программирования. Рассмотрены особенности разработанных алгоритмов. Проведен сравнительный анализ результатов оптимизации ферменных конструкций и лонжерона. Представлен пример многодисциплинарной оптимизации крыла обратной стреловидности.
За последние десятилетия методы оптимизации конструкций получили существенное развитие, и в настоящее время они интенсивно применяются, играя ключевую роль в системах автоматизированного проектирования самолетов. Как правило, проектирование самолета можно подразделить на три стадии: концептуальное проектирование, предварительное проектирование и детальное проектирование. Для каждой стадии характерны своя степень точности аэродинамического и конструкционного моделирования и, соответственно, свои методы оптимизации.
На практике задачи оптимизации могут иметь от нескольких десятков до нескольких сотен проектных переменных и тысячи неявных ограничений высокой степени нелинейности, охватывающих различные дисциплины (линейный статический анализ, устойчивость, собственные колебания, аэроупругость и т. д.). Наиболее эффективным способом решения этой сложной задачи является одновременное рассмотрение всех ограничений и проектных переменных в рамках единого оптимизационного процесса. Однако в настоящее время сделать это невозможно по различным причинам, среди которых и организационные проблемы, и большая размерность задач. К сожалению, имеющиеся программные продукты для многодисциплинарной оптимизации не могут быть использованы в полном объеме, и часто при проектировании учитываются ограничения только некоторых типов. Следовательно, в многодисциплинарной системе проектирования целесообразно иметь различные методы оптимизации.
Двумя основными подходами к оптимизации конструкций являются концепция критериев оптимальности (КО) и применение методов математического программирования (МП). Оба подхода генерируют последовательность проектов (точек в пространстве проектных переменных), сходящуюся к оптимальному решению. Наиболее известным примером концепции КО является метод полностью напряженной конструкции (ПНК), который широко используется в случае, когда рассматриваются только ограничения по напряжениям. Алгоритм метода ПНК приводит
к конструкции, в которой допускаемое напряжение реализуется в каждом элементе, по крайней мере, для одного случая нагружения. Этот алгоритм прост для программирования и обладает хорошей результативностью с точки зрения инженерной практики при небольшом числе пересчетов конструкции независимо от количества проектных переменных. Однако он в общем
случае дает результаты, лишь близкие к оптимальному решению. В данной работе предлагается подход на основе метода ПНК, отличающийся простотой и дающий возможность получить проект, близкий к оптимальному. Представлены также другие алгоритмы, основанные на методе ПНК и реализованные в системе многодисциплинарного проектирования [1—4].
Известно, что концепция КО неприменима, когда необходимо решить задачу с ограничениями и целевыми функциями из различных дисциплин. В этих случаях практическое значение приобретают методы МП, так как оптимизация конструкции формально идентична задаче МП. Такие методы, не связанные с физической природой ограничений, приложимы к задачам с принципиально различными требованиями. Однако методы МП разрабатываются математиками, которые, как правило, не учитывают реальное приложение своих методов, ввиду чего необходимо модифицировать исходные алгоритмы с точки зрения их практического использования. В области проектирования конструкций много работ посвящено повышению эффективности этих методов [5—9]. В настоящее время алгоритмы МП используются в сочетании со средствами анализа конструкций и расчета градиентов ограничений. Сочетание методов МП с некоторыми инженерными идеями, связанными с физическим смыслом задачи, легло в основу концепции аппроксимации [7]. В данной работе рассматриваются основные методы МП, реализованные в системе многодисциплинарного проектирования. В частности, в статье представлена модификация известного метода Пшеничного, направленная на повышение надежности и эффективности решения задач оптимизации конструкций.
На основе разработанных методов в работе решено несколько тестовых задач, дается сравнительный анализ результатов для конструкций ферм и лонжерона. Многодисциплинарная оптимизация иллюстрируется примером оптимизации самолета с крылом обратной стреловидности.
1. Система многодисциплинарного проектирования. Интегрированные системы проектирования играют важную роль при создании авиационных конструкций [10—13], расширяя поле возможных вариантов и способствуя улучшению весовых, аэродинамических, прочностных и аэроупругих характеристик. В ЦАГИ в целях эффективного решения задач, связанных с проектированием авиационных конструкций из металлических и композиционных материалов, разработана система многодисциплинарного проектирования АРГОН [13].
Система АРГОН главным образом нацелена на оптимизацию силовых тонкостенных конструкций, предварительное вычисление распределения жесткостных и массовых параметров, полей напряжений, аэродинамических характеристик, нагрузок и аэроупругого поведения на стадии предварительного проектирования. В системе, использующей общие исходные данные для моделей двух уровней, предусмотрено решение задач по следующим дисциплинам: линейная аэродинамика; полетные нагрузки с учетом упругости конструкции; анализ и оптимизация конструкции на основе метода заданных форм (МЗФ) и метода конечных элементов (МКЭ); собственные колебания; статическая аэроупругость; флаттер; аэросервоупругость.
Главные модули системы АРГОН и взаимосвязь между ними представлены на рис. 1. Цикл проектирования по условиям аэроупругости и прочности начинается с вычисления аэродинамических и инерционных нагрузок при различных параметрах маневров жесткого самолета. Далее выполняется расчет аэроупругости и напряженно-деформированного состояния с помощью
Рис. 1. Блок-схема системы АРГОН
МЗФ [13], исходя из которого, производится оптимизация с ограничениями по прочности (для полученных нагрузок) и аэроупругости. Для найденной таким образом оптимальной конструкции вновь рассчитываются нагрузки с учетом упругих свойств, и вновь осуществляется оптимизация. Данная процедура выполняется до удовлетворения критерия сходимости. Результатами оптимизации на первом уровне являются: расчетные случаи нагружения для агрегатов конструкции
с соответствующими распределениями давления, предварительные размеры элементов, требования по жесткости как ограничения на обобщенные перемещения и т. д.
Параметры полученной при помощи МЗФ оптимальной конструкции играют роль исходных данных для детального анализа проекта на основе МКЭ, позволяющего более точно определить напряженно-деформированное состояние. Кроме того, с использованием МКЭ предусмотрена оптимизация по условиям прочности, жесткости, собственным частотам и устойчивости. Конечно-элементные матрицы жесткости и масс после соответствующего преобразования могут быть использованы в МЗФ, благодаря чему имеется возможность осуществить верификацию
аэроупругих характеристик самолета. Цикл оптимизации заканчивается при удовлетворении ограничений по прочности, устойчивости и аэроупругим характеристикам.
В рамках системы АРГОН часто приходится выполнять оптимизацию с ограничениями определенного вида, и методы оптимизации играют важную роль в системе многодисциплинарного проектирования.
2. Методы оптимизации конструкций. Поиск оптимальной конструкции математически
формулируется как задача МП:
найти минимум / (х) (1)
при наличии ограничений: ^ ( х )< 0, ] = 1,...,М, (2)
х\ < х7 < х'и , 7 = 1, ., N. (3)
Вектор проектных переменных х включает поперечные размеры элементов и параметры, определяющие форму конструкции. Целевая функция / (х), представляющая собой вес
конструкции, является линейной функцией от проектных переменных, соответствующих поперечным размерам элементов, и нелинейной относительно тех проектных переменных, которые связаны
с формой. Ограничения (2) выражают требования по напряжениям, перемещениям, собственным частотам, устойчивости панелей, эффективности элеронов, отсутствию флаттера и дивергенции. Функции ограничений зависят от проектных переменных неявным образом и имеют существенно
нелинейный характер. Величины х^ и х^ в ограничениях (3) обозначают нижнюю и верхнюю
границы 7-й проектной переменной.
В системе АРГОН для решения задачи (1) — (3) применяются как концепция КО, так и методы МП.
Методы критериев оптимальности. Главным преимуществом концепции КО является высокая эффективность при получении решения, близкого к оптимальному, которая не зависит от числа проектных переменных.Часто такие методы тесно связаны с физической природой рассматриваемой задачи. Например, напряжения в оптимальной конструкции, выполненной из одного материала и подверженной одному случаю нагружения, имеют максимально допускаемые значения. Основанные на методах КО алгоритмы используют простые рекуррентные соотношения для различных типов ограничений. Ниже кратко описаны некоторые из алгоритмов, реализованные в системе АРГОН. Более подробно излагается вновь разработанный метод ПНК с компенсацией нарушенных ограничений.
Алгоритм ПНК. Алгоритм ПНК широко применяется на практике для оптимизации конструкций, когда рассматриваются только ограничения по напряжениям. Формула, по которой осуществляется пересчет 7-й проектной переменной при переходе от к-й к (£+1)-й итерации, имеет следующий вид:
(k+1) x} ’ = max
max
x( k) J
(k)
xi
(4)
где Oj , а} — напряжение в i-м элементе при J-м случае нагружения и допускаемое напряжение
для этого элемента соответственно. Следует заметить, что этот метод не имеет целью минимизацию веса и приводит к проекту, в общем случае не являющемуся оптимальным [2, 3]. Однако
алгоритм ПНК дает возможность получить конструкцию, близкую к оптимальной, за малое число итераций.
Алгоритм с компенсацией нарушенных ограничений. Простота метода ПНК обусловливает его использование в различных алгоритмах, связанных с решением задач, в которых основную роль играют ограничения по напряжениям. Практический интерес представляет разработка улучшенных вариантов алгоритма ПНК, направленных на достижение минимума веса конструкции. Известно, что, в отличие от полностью напряженной конструкции, для оптимальной по весу конструкции часть ограничений (2) может иметь вид строгих неравенств
(gj < 0), а остальные ограничения (активное множество) формируют допустимую область, в
которой и следует искать решение задачи. Признаком активных ограничений является положительность соответствующих множителей Лагранжа, которые должны быть определены в процессе оптимизации. Разработанный алгоритм оптимизации состоит из двух взаимосвязанных стадий. На первой стадии определяется допустимая область, которая генерируется активными ограничениями gj > в, где в > 0 — некоторое положительное число, задающее точность
соответствия допустимой области. Вторая стадия предназначена для компенсации нарушенных ограничений, в результате которой проект становится приемлемым в смысле напряжений. Последовательность осуществления этих двух стадий при сравнении весов получающихся конструкций дает возможность выбрать проект минимального веса или близкого к нему. Формула отношений напряжений (4) может быть использована на обеих стадиях. Обоснование применения алгоритма ПНК для выявления активного множества изложено в [3].
Таким образом, алгоритм с компенсацией нарушенных ограничений состоит из следующих шагов.
1. Выполнить расчет конструкции, масштабировать проектные переменные с целью определения допустимой области и вычислить вес конструкции.
2. Используя полученные из расчета напряжения, пересчитать проектные переменные
согласно (4), считая значение допускаемого напряжения а* одинаковым для всех элементов. Опыт показывает, что это значение находится между максимальным и минимальным допускаемыми напряжениями для всех элементов:
min а} <а* < max а}.
i i
3. Определить активные ограничения по условию gj > в.
4. Применить рекуррентную формулу (4) для пересчета всех проектных переменных, соответствующих активным ограничениям, столько раз, сколько необходимо для достижения границы допустимой области. Вычислить вес конструкции и сравнить данное значение со значением веса предыдущего допустимого проекта. Если вес нового проекта меньше веса предыдущего, то перейти к шагу 2; в противном случае остановить процесс оптимизации.
Предложенный алгоритм был верифицирован путем решения известных тестовых примеров, и были получены конструкции меньшего веса, чем при использовании алгоритма ПНК
[3].
Алгоритмы совместного учета ограничений по напряжениям и перемещениям. Условия по жесткости конструкции можно трактовать как ограничения на обобщенные перемещения qjm,
являющиеся линейной комбинацией узловых перемещений ит конечно-элементной модели (индекс т используется для обозначения т-го случая нагружения):
4}т = Ь? ит, У = 1, 2, ..., P,
(5)
где вектор Ь , задает относительные перемещения узлов в данной линейной комбинации,
р —количество ограничений на обобщенные перемещения. Очевидно, что в такой форме можно рассматривать перемещения отдельных узлов, углы вращения сечений, энергию деформации, компоненты напряжения в элементах и т. д.
Обобщенное перемещение qjm можно выразить в виде явной функции от проектных
переменных [2, 4]:
где и7т — действительное перемещение в 7-м элементе при т-м случае нагружения, и 7, — виртуальное перемещение, соответствующее виртуальной нагрузке Ь,, К7 — матрица
жесткости
7-го элемента. Коэффициенты Q7J■m для статически определимой конструкции не зависят от
проектных переменных.
В случае статически неопределимой конструкции при оптимизации по напряжениям и перемещениям должны быть приняты во внимание два аспекта. Во-первых, неизвестно, значения каких проектных переменных в оптимуме будут обусловлены ограничениями по жесткости и каких — условиями по напряжениям и размерам элементов. В связи с этим проектные переменные разделяются на две группы: х7 > х7 (активная группа) и х7 = х7 (пассивная группа), где Х7 означает величину 7-й проектной переменной в проекте, оптимальном по напряжениям (например, найденном при помощи алгоритма ПНК). Во-вторых, необходимо определить активные ограничения по перемещениям. Если активное множество сформировано, то оптимизация конструкции сводится к задаче минимизации веса с ограничениями-равенствами, решение которой достигается при выполнении следующего критерия оптимальности:
Здесь J — количество активных ограничений по перемещениям; Л , — множитель
Лагранжа, соответствующий у-му активному ограничению; 17 — размер элемента (произведение
17х7 представляет собой объем 7-го элемента); р7 — весовая плотность; Е7, — плотность
виртуальной энергии деформации; п — число активных проектных переменных. Индекс т, относящийся
к случаю нагружения, опущен, так как активные ограничения уже заданы. Таким образом, согласно критерию оптимальности (6) линейная комбинация отношений плотностей виртуальных энергий деформаций к плотностям материала с множителями Лагранжа в качестве коэффициентов в оптимуме равна единице для каждого элемента.
Для оптимизации конструкции на основе удовлетворения критерию (6) было предложено много методов [1, 2]. В системе АРГОН реализованы два алгоритма КО, при помощи которых можно проводить проектирование с ограничениями по напряжениям и перемещениям. Первый алгоритм базируется на концепции одного активного ограничения на текущей итерации [4], благодаря которой множитель Лагранжа и формула пересчета могут быть легко найдены. Второй алгоритм использует двойственный подход математического программирования для определения множителей Лагранжа и критерий оптимальности (6) с целью вычислить проектные переменные
QI, ^е,,
(6)
Методы математического программирования. В системе многодисциплинарного проектирования имеется несколько методов МП. Краткое описание трех из них, наиболее часто используемых, дается ниже, причем особое внимание уделяется модифицированному методу Пшеничного.
Метод проекции градиента. Метод был разработан Розеном [14] с целью улучшить метод возможных направлений. Основная идея состоит в том, чтобы при движении по антиградиенту целевой функции не слишком отдаляться от линии уровня ограничений. Вектор поиска р является результатом проекции антиградиента на гиперплоскость, касательную к поверхности ограничений:
Р
Е-АТ (ААТ) 1А
V/, (7)
где Е — единичная матрица, А — матрица Якоби активных ограничений, V/ — градиент целевой функции.
Однако движение по вектору (7) приведет к решению задачи только в случае линейных ограничений с начальной допустимой точкой. Для нелинейных ограничений переход по вектору (7) вызовет их нарушение, и поэтому необходимо осуществлять коррекцию движения. В линейной аппроксимации корректирующий вектор я вычисляется по формуле:
q = -АТ (ААТ ) Ь, (8)
где Ь — столбец текущих значений ограничений.
Метод проекции градиента представлен в двух вариантах. В рамках первого варианта как начальная, так и все получаемые точки лежат в допустимой области. На текущей итерации
сначала в результате движения из точки х(к) по вектору (7) происходит переход в
(к)
промежуточную точку ^ ’, после чего осуществляется компенсация нарушенных ограничений. Возврат в допустимую область осуществляется на основе вычисления векторов я, подобно методу Ньютона — Рафсона. Таким образом, в данном варианте реализуется следующая последовательность про-
цедур:
w(k) =х(к) +ар(к), х(к+1) = w(k) +£ я т.
т
В процессе компенсации ограничений матрица Якоби А и столбец Ь вычисляются во всех промежуточных точках.
По второму варианту векторы р и я определяются одновременно в точке х(к).
Следовательно, вектор перехода к следующей точке х( к+1) содержит информацию о направлении
уменьшения целевой функции и (в первом приближении) компенсирует нарушенные в х(к) ограничения. Результирующая формула для перехода к следующей итерации имеет вид:
Х( к+1)=х( к )+а( к) р(к )+я(к).
Преимуществом первого варианта является то, что в процессе оптимизации получаются только допустимые точки, однако достигается это путем выполнения трудоемких вычислений ограничений и градиентов при компенсации нарушения. Второй вариант более эффективен по вычислительным затратам на итерации, но не гарантирует допустимость текущих точек.
С точки зрения вычислительной эффективности целесообразно на итерации учитывать только нарушенные и находящиеся близко к границе допустимой области ограничения (активное
множество). Такой подход носит название стратегии активных ограничений, и он применяется во всех методах МП, рассматриваемых в настоящей работе.
Метод последовательного квадратичного программирования. В методе последовательного
квадратичного программирования вектор поиска ^к) определяется путем решения следующей подзадачи:
минимизировать ^к)ТV/(х(к)) +1 d(k)Т В(к) d(k)
с ограничениями gJ■ (х(к)) + d(к)Т VgJ■ (х(к))< 0, уеЗа.
Здесь матрица В(к) представляет собой аппроксимацию гессиана функции Лагранжа исходной задачи (1) — (3) на к-й итерации, а Ja — активное множество. Формирование матрицы
В(к) основывается на применении квазиньютоновских методов, т. е. вторые производные целевой функции и ограничений вычисляются, исходя из информации о первых производных на
предыдущих итерациях. Шаг а( к) выбирается из условия, чтобы значение некоторой штрафной функции в новой точке было меньше, чем в текущей. В общем случае в процессе оптимизации могут получаться точки, лежащие вне допустимой области.
Модифицированный метод Пшеничного. Метод Пшеничного относится к категории методов последовательного квадратичного программирования и отличается тем, что роль гессиана функции Лагранжа играет единичная матрица. Таким образом, на к-й итерации рассматривается следующая подзадача:
минимизировать d(к)Т V/ +1 d(k)Т d(к)
(9)
с ограничениями gJ■ (х(к)) + d(к)Т VgJ■ (х(к))< 0, уе Ja.
Решение подзадачи (9) отыскивается на основе двойственного подхода, в силу которого она преобразуется в задачу максимизации квадратичной функции ф с множителями Лагранжа в качестве аргументов
1
ф = — 2
V/(х(к)) + V*, (Х(‘>) 2+ (Х(к>)
}^а ,^а
с условиями ц, > 0, у є Ja, где величина ц, представляет собой множитель Лагранжа для у-го
активного ограничения, а ||*|| обозначает евклидову норму вектора. После определения множителей Лагранжа вектор поиска вычисляется по формуле:
а(к) = -V/(Х(к))-2ЦV*; (х(к}) .
]е-1а
С точки зрения оптимизации конструкций именно двойственный подход обусловливает привлекательность метода Пшеничного. Во-первых, максимизация функции ф с условиями неотрицательности множителей Лагранжа проще подзадачи (9) и, следовательно, она может быть решена быстрее. Во-вторых, часто оказывается, что при оптимизации конструкций с большим числом проектных переменных количество активных ограничений существенно меньше размерности подзадачи (9), ввиду чего двойственный подход также более выгоден в вычислительном отношении.
В методе Пшеничного шаг а(к) должен удовлетворять условию:
где М — некоторое большое число, а Vmax — максимальное нарушение ограничений. Начальное значение шага полагается равным единице, и если неравенство (10) не выполнится, то осуществляется последовательное деление шага пополам до тех пор, пока оно не будет удовлетворено.
Этот способ определения шага имеет два недостатка. Первый состоит в том, что иногда в результате последовательного деления значение шага приближается к нулю, т. е. невозможно выполнить условие (10), вследствие чего нельзя перейти к следующей точке. Второй недостаток заключается в том, что вышеописанный способ связан с неоднократным расчетом конструкции в рамках одной итерации, и если рассматривается большая конечно-элементная модель, то определение шага может потребовать слишком много времени. Для преодоления этих недостатков была предложена модификация метода [17], нацеленная на сокращение до минимума количества расчетов конструкции и корректировку процесса оптимизации при невозможности удовлетворить неравенству (10).
Очевидно, что алгоритм оптимизации в случае успеха обязательно приведет к удовлетворяющему всем ограничениям проекту. Если не удается определить шаг на основе условия (10),
то целесообразно найти ближайшую допустимую точку и с нее продолжить процесс. Кроме того, если неравенство (10) не выполнилось при начальном значении шага (равном единице), то, как правило, оно не удовлетворится и впоследствии. Эти соображения лежат в основе модификации метода, которая состоит в следующем.
1. После решения подзадачи (9) шаг определяется не по условию (10), а по значению ^^, т. е. по максимальной невязке в ограничениях. Таким образом, устанавливается начальное значение шага и проверяется неравенство:
V I х
max 1
(к) +а(к )н( к)
)<^ (х(к)).
Если условие (11) выполняется, то шаг считается найденным; в противном случае следует перейти к следующему пункту.
2. Градиент целевой функции полагается равным нулю, и вновь решается подзадача (9).
Полученный таким образом вектор ^к^ служит для компенсации нарушенных ограничений в линейном приближении, и движение по нему приводит, как правило, к увеличению целевой
функции. Шаг а( к ^ вновь определяется на основе условия (11).
Следовательно, вместо неоднократных вычислений ограничений при поиске шага по неравенству (10) в модифицированном методе достаточно один раз определить градиенты ограничений и максимум два раза — значения ограничений. В том случае, если по каким-то причинам
не удастся получить точку Куна — Таккера, то модифицированный алгоритм даст, по крайней мере, допустимый и близкий к оптимуму проект.
3. Численные примеры. Десятистержневая ферма. Классическая десятистержневая ферма (рис. 2) служит удобным примером для тестирования методов оптимизации конструкций. Материал фермы имеет модуль упругости 107 фунтов/дюйм2 и весовую плотность 0.1 фунта/дюйм3. Минимальное значение площади поперечного сечения стержня равно 0.1 дюйма2.
Рассматривались две задачи оптимизации. Первая задача заключается в минимизации веса фермы с учетом напряжениям. К конструкции в этом случае
Рис. 2. Десятистержневая ферма
по
ограничений только
в двух нижних свободных узлах приложены силы по 100 килофунтов. Допускаемое напряжение
составляет 25000 фунтов/дюйм2 для всех стержней, кроме 8-го, для которого эта величина равна 50 000 фунтов/дюйм2. Эта задача представляет интерес в силу того, что посредством алгоритма ПНК получена конструкция с весом 1722 фунта, которая существенно тяжелее оптимального проекта с весом 1500 фунтов, найденного с помощью модифицированного метода Пшеничного за девять итераций. К конструкции, близкой к оптимальной и имеющей вес 1503 фунта, приводит
алгоритм с компенсацией нарушенных ограничений, для которого в качестве с* было взято среднее между максимальным и минимальным значениями допускаемого напряжения.
На рис. 3 показан ход оптимизации для трех алгоритмов. Согласно ему алгоритм с компенсацией нарушенных ограничений в процессе работы дает несколько допустимых проектов с весом, меньшим по сравнению с ПНК, за небольшое количество итераций.
Итерации
Рис. 3. Сходимость процесса оптимизации десятистержневой фермы Следует отметить не только ощутимую разницу в весах оптимальной фермы и ПНК (14.8%), но и то, что напряжение в 8-м стержне в оптимальном проекте (37 500 фунтов/дюйм2) меньше допускаемого напряжения. Площади поперечного сечения для проектов, полученных различными методами, приведены в табл. 1.
Вторая задача состоит в отыскании фермы минимального веса с ограничениями по напряжениям, перемещениям и частоте. Конструкция подвергается действию сил величиной 50 килофунтов, направленных вверх и приложенных в двух верхних незакрепленных узлах, и двух сил, направленных вниз и приложенных в нижних свободных узлах, имеющих величину 150 килофунтов. Ограничения состоят в том, что допускаемое напряжение для всех стержней равно 25 000 фунтов/дюйм2, вертикальное перемещение узлов не должно превышать 2 дюйма и чтобы первая собственная частота не была ниже 22 Г ц.
Таблица 1 Проекты десятистержневой фермы, дюйм2
Стержень ПНК Алгоритм с компенсацией нарушенных ограничений Модифицированный метод Пшеничного
1 4.11 7.89 7.80
2 2.21 0.10 0.10
3 11.89 8.19 8.20
4 1.79 3.90 3.90
5 1.68 0.10 0.10
6 2.21 0.10 0.10
7 11.16 5.94 5.94
8 0.10 3.58 3.58
9 2.52 5.52 5.52
10 3.13 0.14 0.14
Вес, фунты 1722 1503 1500
Значения проектных переменных в оптимуме, полученные модифицированным методом Пшеничного, даны в табл. 2 вместе с результатами, приведенными в иностранной литературе.
Т аблица 2
Оптимальные проекты десятистержневой фермы с ограничениями по напряжениям, перемещениям и частоте, дюйм2
Рис. 4. Двухсотстержневая ферма
Стержень [18] [19] Модифицированный метод Пшеничного
1 24.68 24.87 24.87
2 1.08 0.1 0.10
3 24.43 25.99 25.98
4 12.87 13.12 13.13
5 0.10 0.1 0.10
6 1.96 1.97 1.97
7 13.69 13.20 13.19
8 16.47 15.34 15.33
9 17.80 17.51 17.52
10 0.1 0.1 0.1
Вес, фунты 4792 4731 4731
С помощью модифицированного метода Пшеничного найдена практически такая же конструкция, что и в работе [19].
Двухсотстержневая ферма. В классическом примере оптимизации двухсотстержневой фермы (рис. 4) необходимо найти конструкцию наименьшего веса с ограничениями различного типа. Ферма выполнена из материала с модулем Юнга 3 107 фунтов/дюйм2 и весовой плотностью 0.283 фунта/дюйм . Сведения о нагрузках содержатся
в [18]. Двести стержней сгруппированы в 96 проектных переменных [18], представляющих собой площади поперечного сечения с минимально допустимым размером 0.1 дюйм2. В первом варианте была проведена оптимизация только с ограничениями по напряжениям при допускаемом значении для всех стержней 30 000 фунтов/дюйм2. Во втором варианте, кроме того, было наложено условие, чтобы перемещения во всех направлениях не превысили 0.5 дюйма. Наконец, в третьем варианте в дополнение к ограничениям по напряжениям и перемещениям добавлено требование по первой собственной частоте, величина которой не должна быть ниже 5 Гц. Значения весов оптимальных проектов, полученных методом критерия оптимальности [18] и модифицированным методом Пшеничного, приведены в табл. 3.
Таблица 3 Веса оптимальных 200-стержневых ферм, фунт
Метод Ограничения по напряжениям Ограничения по напряжениям и перемещениям Ограничения по напряжениям, перемещениям и частоте
[18] 7488 28 963 29 725
Модифицированный 7480 28 873 28 892
метод Пшеничного
При помощи алгоритма с компенсацией нарушенных ограничений в варианте ограничений только по напряжениям была найдена конструкция с весом 7480.8 фунта.
Рис. 5. Двухстержневая ферма
Двухстержневая ферма. Этот простой пример демонстрирует оптимизацию конструкции, когда в число проектных переменных наряду с поперечными размерами элементов включены параметры формы. Задача заключается в минимизации веса фермы, находящейся под действием двух случаев нагружения (рис. 5). В первом случае сила Р приложена в точке С параллельно оси У в положительном направлении, а во втором — сила Р действует под углом 45° к оси X. В обоих случаях сила имеет величину 100. Длина Ь и весовая плотность материала фермы считаются равными единице. Рассматриваются ограничения только по напряжениям с допускаемым значением 20.
Для оптимизации фермы применялся метод последовательного квадратичного программирования. Кроме того, оптимизация конструкции осуществлялась при помощи гибридного подхода, использующего для пересчета площадей поперечного сечения
стержней
алгоритм ПНК, а для варьирования положения точки С — алгоритм последовательного программирования. Оба способа минимизации веса дали идентичные результаты.
Рассматривались три варианта оптимизации. По первому варианту проектными переменными являлись площади поперечного сечения стержней Ах и Аг, а также координата ус узла С. При этом координата хс оставалась постоянной и равной единице. Оптимальный проект для этого варианта имеет вес 11.716 и следующие значения проектных переменных: Ах = 2.706, А2 = 4.687, ус = 1.586. Если, наоборот, варьировать координатой хс, а параметр ус
зафиксировать со значением единица, то проектные переменные приобретут следующие величины: А1 = 2.286, А2 = 5.776, хс = 0.530. Вес оптимальной конструкции в этом случае составляет 9.739.
В рамках третьего варианта в процессе оптимизации изменялись как хс, так и ус. Для него
найдено два решения, удовлетворяющих условиям Куна — Таккера. Одно из них, имеющее
значения проектных параметров
А1 = 1.916,
А2 = 4.703,
хс = 0.693, ус = 1.673
соответствующее весу 10, получено при начальной точке (2.0, 2.0, 1.0, 1.0). Вторым решением, найденным с начальной точки (2.0, 2.0, 1.5, 1.5), является следующий вектор проектных переменных: А1 = 3.895, А2 = 5.783, хс = 0.333, ус = 0.478, при котором вес фермы равен 9.414.
Лонжерон крыла. В этом примере рассматривается плоская конструкция балочного типа, являющаяся расчетной схемой лонжерона крыла. Стенка лонжерона моделируется мембранными элементами 1—6, а пояса — стержневыми элементами 7—18 (рис. 6, а). Конструкция подвергается двум случаям нагружения, в первом из которых две вертикальные силы величиной Р1 = 250 кН приложены к двум крайним узлам. Во втором случае все незакрепленные узлы нагружены вертикальными силами Р2 = 50 кН, и, кроме того, в двух крайних узлах действуют горизонтальные противоположно направленные силы Р = 600 кН (рис. 6, б). Материал лонжерона — алюминий (модуль Юнга 7.2- 1010 Н/м2, коэффициент Пуассона 0.3, плотность 2800 кг/м3).
и
/
1, 2 3 4 5 6 1м V
8 10 12 14 16 18
6м
О X
а)
Р 2 Р 2 Ж?! Рі Р »Рі
б;
Рис. 6. Лонжерон крыла
При оптимизации были наложены следующие ограничения: на напряжения с допускаемым значением 400 МПа, на перемещения двух крайних узлов, которые не должны превышать 0.22 м, и на первую собственную частоту с минимально допустимой величиной 50 Гц. Первые шесть проектных переменных представляют собой толщины мембранных элементов, а другие шесть проектных переменных соответствуют площадям поперечного сечения поясов (нижний и верхний стержни, принадлежащие одному мембранному элементу, сгруппированы в одну проектную переменную).
Оптимизация конструкции была проведена с помощью систем АРГОН (модифицированным методом Пшеничного) и КА8ТЯАК двумя способами: последовательно и одновременно. Согласно последовательному подходу сначала была осуществлена оптимизация с учетом ограничений только по напряжениям, затем фигурировали ограничения только по перемещениям, после чего рассматривалось только требование по частоте. При этом значения проектных переменных,
полученные на предыдущей стадии, служили минимально допустимыми величинами для них при оптимизации на последующем этапе.
В рамках второго способа все ограничения рассматривались одновременно. Проект, полученный с использованием системы АРГОН последовательным подходом, оказался на 3% тяжелее оптимальной конструкции, найденной по второму методу. В системе КА8ТЯАК эта разница составила 7%. Ход процессов оптимизации для обоих подходов показан на рис. 7, а в табл. 4 помещены итоговые значения проектных переменных (толщин стенок и площадей поясов в мм и мм2, соответственно) и веса конструкций.
Т аблица 4
Оптимальные конструкции лонжерона
Проектная Последовательная Одновременная
переменная оптимизация оптимизация
У
Рис. 7. Оптимизация лонжерона крыла
АРГОН КАБТРАК АРГОН КАБТРАК
1 4.70 5.037 3.420 4.648
2 3.84 4.358 3.381 4.192
3 2.67 2.960 2.941 3.237
4 2.17 2.699 2.517 2.165
5 2.17 2.685 2.165 2.165
6 2.17 2.277 2.165 2.165
7 6.89 7.911 7.456 7.667
8 5.80 5.716 5.697 5.214
9 4.50 4.349 4.018 3.824
10 2.80 2.974 2.664 2.773
11 1.70 1.639 1.603 1.639
12 1.28 1.264 1.228 1.264
Масса, кг 178.3 189.6 173.4 177.3
Крыло обратной стреловидности. Рассматривается задача проектирования крыла
обратной стреловидности маневренного самолета. Лонжероны и нервюры крыла выполнены из
металла, а обшивка — из композиционного материала. Лонжероны и нервюры моделируются
упругими балками. Слои композиционного материала
расположены
с ориентацией под углами: 0, ±45°, 90° и 0 < 9 < 45°. Пятый угол укладки, соответствующий несбалансированному слою,
является одной из проектных переменных. Композитные слои моделировались отдельными элементами, расположенными в соответствующем направлении и находящимися в одной плоскости. Проектными переменными также являются толщины композитных пакетов (/,. /2. /3. /4. /5) в пяти областях крыла,
как изображено на рис. 8. Процентное соотношение слоев в 1 композиционном пакете при оптимизации считалось постоянным. Рассматривались пять вариантов распределения слоев в композите, в которых слой с несбалансированной укладкой имеет следующее процентное содержание: 30, 40, 50, 60 и 70.
Рис. 8. Проектные переменные для Задача заключалась в том, чтобы найти оптимальную по
крыла °братн°й сгрелотидшсш весу конструкцию крыла с учетом требований по напряжениям
для двух полетных случаев и по аэроупругости. К последним относились ограничения на производную коэффициента подъемной силы по углу атаки су < 1.5,
по эффективности элеронов 0.3 и скоростному напору флаттера > 110 кПа для
дозвуковой и сверхзвуковой скоростей [13]. Оптимальные значения проектных переменных были определены с помощью многодисциплинарной процедуры на основе последовательного квадратичного программирования. В оптимальной конструкции доля несбалансированного слоя составляет 60%, а угол его ориентации равен 24.3°. Активными ограничениями по аэроупругости являются условия по производной коэффициента подъемной силы на дозвуковой скорости и эффективности элеронов на сверхзвуковой скорости. Скоростной напор флаттера в обоих режимах больше предельной величины.
В целях сравнения при проектировании М конструкции крыла обратной стреловидности был применен и традиционный метод последовательной оптимизации. В качестве проектных переменных выступали только толщины слоев в композиционном пакете. Угол укладки несбалансированного слоя имел значение, найденное с помощью методологии многодисциплинарной оптимизации. Сначала была осуществлена оптимизация с учетом ограничений по напряжениям, после чего рассматривались требования по флаттеру.
Наконец на последней стадии проектирование Рис. 9. Ход оптимизации для крыла обратной стреловидности велось по условиям статической аэроупругости. Результаты последовательной
оптимизации вместе с результатами многодисциплинарной оптимизации представлены на рис. 9. Вес конструкции, полученной методом многодисциплинарной оптимизации, существенно ниже (на 17.5%) веса той, которая найдена при помощи традиционного подхода. Заметим также, что количество итераций, необходимое для сходимости процесса многодисциплинарной оптимизации, более чем в два раза меньше, чем для метода последовательного проектирования.
4. Заключение. В работе представлены эффективные алгоритмы оптимизации конструкций, основанные на критериях оптимальности и использовании методов математического программирования, которые реализованы в системе многодисциплинарного проектирования АРГОН. При этом рассматривались ограничения с несколькими случаями нагружения в рамках линейной статики, по собственным колебаниям, статической и динамической аэроупругости. Приведенные примеры показали надежность, достоверность и эффективность алгоритмов. Рассмотрена задача оптимизации крыла обратной стреловидности с целью продемонстрировать возможность одновременного учета ограничений из различных дисциплин и его значение с точки зрения многодисциплинарного проектирования конструкций минимального веса.
ЛИТЕРАТУРА
1. Berke L., Khot N. S. Use of optimality criteria methods for large-scale systems //
AGARD Lecture Series N 70. Structural Optimization. — 1974.
2. Fleury C. An efficient optimality criteria approach to the minimum weight design of elastic structures // Computers and Structures. — 1980. Vol. 11(3).
3. Липин Е. К., Фролов В. М., Чедрик В. В., Шаныгин А. Н. Алгоритм оптимизации силовых конструкций по условиям прочности с компенсацией нарушенных ограничений // Ученые записки ЦАГИ. — 1988. Т. XIX, № 1.
4. Липин E. К., Чедрик В. В. Применение критериев оптимальности для решения задачи оптимизации конструкций при ограничениях на напряжения и перемещения // Ученые записки ЦАГИ. — 1989. Т. XX, № 4.
5. Schmit L. A. Structural design by systematic synthesis // Proceedings of the second ASCE conference on electronic computation. — Pittsburg, Pennsylvania. — 1960.
6. Vanderplaats G., Moses F. Structural optimization by methods of feasible directions // Computers and Structures. — 1973. Vol. 3(4).
7. Schmit L. A., Farshi B. Some approximation concepts for structural design // AIAA J. — 1974. Vol. 12.
8. A r o r a J. S., H a u g E. J. Efficient optimal design of structures by generalized steepest descent programming // Int. J. for Numerical Methods in Engineering. — 1976. Vol. 10(4).
9. Svanberg K. The method of moving asymptotes — a new method of structural optimization // Int. J. for Numerical Methods in Engineering. — 1987. Vol. 24.
10. Neill D. J., Johnson E. H., Canfield R. ASTROS — a multidisciplinary automated structural design tool // Proceedings of the AIAA/ASME/ASCE/AHS 28th Structures,
Structural Dynamics and Materials Conference. Part I. — 1987.
11. Morris A., Gantois K. Multi-disciplinary design and optimisation of a large scale civil aircraft wing // Proceedings of 21st ICAS conference. A98-31678, ICAS Paper-98-6,4,2. —
Melbourne. — 1998.
12. Miura H. MSC/NASTRAN handbook for structural optimization // The McNeal-
Schwendler Corp. — Los Angeles. — 1989.
13. Ishmuratov F. Z., Chedrik V. V. ARGON code: structural aeroelastic analysis and optimization // Amsterdam, International forum on aeroelasticity and structural dynamics. — IFASD-2003. — 2003.
14. Rosen J. B. The gradient projection method for nonlinear programming // J. of the society for industrial and applied mathematics. — 1961. Vol. 9(4).
15. Schittkowski K. NLPQL: A F ORTRAN subroutine solving constrained nonlinear programming problems // Annals of Operations Research. — 1986. Vol. 5.
16. Пшеничный Б. Н. Метод линеаризации // М.: Наука. — 1983.
17. Никифоров А. К. Модификация метода Б. Н. Пшеничного для решения задачи математического программирования и использование модифицированного метода для оптимизации конструкций // Труды ЦАГИ. — 2000. Вып. 2639.
18. Haug E. J., Arora J. S. Applied optimal design. — New York: Wiley Interscience. — 1979.
19. Canfield R. A., Grandhi R. V., Venkayya V. B. Optimum design of structures with multiple constraints // AIAA J. — 1987. Vol. 26(1).
Рукопись поступила 6/III2006 г.
