CC BY
52
Известия Тульского государственного университета Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч.2. С. 17-27
Механика
УДК 531.58
Оптимизация формы головной части индентора
В. Л. Баранов, И. В. Фетисов, В. Н. Щитов
Аннотация. Формулируется вариационная задача оптимизации головных частей инденторов применительно к полиномиальному закону сопротивления преграды для случаев конической и оживальной форм образующих.
Ключевые слова: индентор, головная часть, лобовое
сопротивление, преграда.
Проблема минимизации силы лобового сопротивления инденторов актуальна сегодня для различных отраслей промышленности: космического машиностроения, военной техники и строительно-дорожного машиностроения.
Решение задачи позволяет, с одной стороны, обеспечить максимум проникания индентора в преграду при его фиксированной массе, с другой, минимизировать массу индентора при фиксированной глубине проникания.
Ниже использована схема формирования интегральной силы сопротивления преграды, предложенная В.Л. Барановым и В.Н. Щитовым в работе [1].
Скорость «набегания» преграды на индентор V в произвольной точке поверхности головной части индентора с осевой координатой г € [Нг — С; Нг] раскладывается на две составляющие: нормальную к поверхности головной части Vn в рассматриваемой точке и касательную VT (рис. 1). Если уравнение образующей головной части у = у (г) известно, то справедливы следующие соотношения:
у'(г)
(1)
V
У Г 1 * .
у - у\?) у /
0 У' 2 НГ г
\ 1 \ .
ц " 1 с У = Х2) 1
0 2 Нг г
Рис. 1. Схема формирования силы лобового сопротивления преграды
Нормальное контактное напряжение в рассматриваемой точке
поверхности головной части связано с нормальным компонентом скорости полиномиальным соотношением вида
т
а (г, £) = Ао + А1 Уи (г, £) + Аг (г> ^) + • • • + Ат^VUm(z, ¿) = Аг Уи (г> ¿0
г=0
или, с учётом (1):
аМ) = £ АгУг (¿4~ У(г) ) , (3)
¿=0 V У1 + (У' (г ))2/
где А — физические константы, характеризующие свойства преграды [1].
Касательная составляющая контактного напряжения связана с нормальной через коэффициент трения, зависящий от касательной составляющей скорости набегания преграды:
т(г, ¿) = а(г, ¿) ■ / (Ут(г, ¿)) =
У'(г)
'¡Тл.у ‘(¡)
1 + а{У (¿)
(4)
г=0
, ^1 + (у'М)7 1 + агУИ УжУ-И)»
где /о, а1 и аг — физические константы, характеризующие свойства трущейся пары материалов и состояние поверхности головной части индентора.
Теперь, если выделить элемент поверхности индентора сечениями с координатами г и г + йг, то на выделенный элемент будет действовать элементарная сила сопротивления преграды, которая определяется, с учётом (1) (4), так:
й^с(г, ¿) = й^с [а(г, ¿)] + й^с [т(г, ¿)] =
•(()
у' (г)
г=0
\А + (у' (г))2
1 + а1У (¿)
У'(г)
\А + (У'(г))
= +
(5)
+/0 ■
^1 + (у'(^))2
\/1 + (у' (г))2 1 + агУ (() т+У'
йБ(г),
где йБ(г) — площадь поверхности выделенного элемента головной части.
Например, для случая, когда индентор — тело вращения, йБ(г) определяется так:
йБ(г) = 2пу(г)^Д + (у' (г))2 йг.
(6)
Теперь текущее значение интегральной силы сопротивления можно определить так:
- для случая £ < Нг:
Нг
Рс(1)= I ¿(¿) - —
Нг-№ ¿=0 V V
+/0
У'(г)
1 + (У' (г))2 1 + а1У (¿)
У'(г)
. у/1 + (У'(г))
+
^1+(у'(^))2
\Л + (У' (г))2 1+ 1,2 У (() ТТ+(У'
(*))2
йБ (г);
1
х
1
1
х
1
1
- для случая £ > Hr :
Hr
Fc (t)= /¿ Ai V¿ (t)---------------7=
0 i=0 V V1
y'(z )
+ (y ' (z))
y' (z )
\/l + (y'(z )):
+
(8)
1 + ai V (t)
+fo
V1+(v/ (z))
\A + (y' (z ))2 1 + a2 V (t) Tl+ci7
(z))2 J
dS (z ).
В дальнейшем в качестве примеров анализируются случаи, когда проникание индентора в преграду происходит под действием силы давления адиабатически расширяющегося газа (рис. 2)
P(£ ) = Po SM
Lo
Lo + £
(9)
где p0 — начальное давление газа; SM — площадь миделева сечения индентора; Lo — приведённая к Sm начальная длина каморы; к — показатель адиабаты.
Рис. 2. Общая схема проникания для случая пневматического метательного устройства
X
i
1
к
Теперь, с учётом (7)-(9), система уравнений, описывающая движение индентора в преграде, записывается так:
G dV (t) g dt
= Po SM Hr
Lo
+ G-
/
Lo + g (t)
m
EAi Vі (t) I -
y' (z )
(Hr-i(t))-H (Hr-«(t))
=o
\/1 + (y'(z ))'
y'(z )
\/1 + (y'(z ))'
+
1 + ai V (t)
+fo
dg (t) dt
V/i+(i/(z))2
\A + (y' (z ))2 1 + a2 V (t) 7жЬ
(z))2
dz,
(lO)
где G — вес индентора; g — ускорение свободного падения; g (t) — путь индентора в преграде; H (в) — единичная функция Хевисайда.
Для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (lO) имеются начальные условия:
g (О) = О; V (О) = О.
(її)
В системе уравнений (10) уравнение образующей головной части индентора y = y (z) является своего рода «параметром». Решение задачи Коши (10), (11) тем или иным численным методом позволяет построить графики функций £ = £ (t) и V = V (t) на участке t G [0; t* ], V (0) = 0; V(t*) = 0 (рис. 3).
Рис. 3. Графики зависимостей g = g (t), V = V (t), определяющие полный путь индентора в преграде gmax
к
X
i
1
Причём каждому уравнению образующей головной части (при фиксированных значениях G и Sm) будет однозначно соответствовать своё значение С*, то есть
С* = С* (y(z)). (12)
Таким образом, задача (10)—(12) — классическая вариационная задача [2] относительно функции y = y(z). Очевидно, перебор функций y = y(z) в их множестве, обладающем свойствами
y(z) ^ 0, y'(z) ^ 0, y(0) = yo = const; y(Hr) = 0
на интервале z € [0; Hr], позволит отыскать некоторое уравнение y = y(z), обеспечивающее максимальную глубину проникания индентора в преграду С* = С* max. В дальнейшем это уравнение образующей будем называть оптимальным.
В сформулированной постановке поиск оптимального уравнения образующей можно производить только путём перебора функций y = y(z) с численным решением соответствующей задачи Коши (10), (11) на каждом шаге перебора.
Однако практика использования инденторов в строительстве и в военной технике [3] показывает, что класс приемлемых функций y = y(z), обладающих указанными выше свойствами, а также класс форм миделева сечения инденторов, являются ограниченными. Так, среди уравнений образующих головных частей наиболее распространены линейные функции, соответствующие головным частям в форме полного кругового конуса или в форме правильной m-гранной пирамиды с варьируемым значением в угла при вершине, а среди форм миделева сечения индентора преобладают правильные m-угольники с варьируемым количеством сторон и круговые формы. Причём в дальнейшем при анализе форм миделева сечения в форме правильных m-угольников будут рассматриваться случаи, когда все m-угольники являются вписанными в окружность постоянного радиуса
— именно эта окружность будет являться предельным случаем круговой формы миделева сечения индентора.
Другим не менее распространённым случаем формы образующей головной части индентора является оживальная форма [2], когда образующая представляет собой дугу окружности (рис. 4).
Так как естественным условием для формирования головной части является условие
y' (z) ^ 0 на участке z € [0; Нг] ,
то, как следует из рис. 4, область изменения радиуса образующей окружности будет такой:
Рис. 4. Схема формирования заострённой оживальной головной части
индентора
причем
Ятт =1 . (13)
2 -0
В случае наличия притупления радиусом го в вершине головной части выражение для Дтт принимает вид
= 1(И -г° )2 + . (14)
2 -о - г°
Получим общую форму уравнения - = - (г) образующей оживальной головной части с притуплением в вершине для случая Я > Дт1П (рис. 5). Исходными данными для решения задачи являются:
О А = -о; СС = г о; ОС = НГ; АЛ = Я; АВ = ВС.
Из рисунка 5 следует:
АС = \!(-0 - г°)2 + Я2; АВ =1 АС = 1^/(-о - го)2 + Я2;
ВВ = АВ ■ ^в = ^-^^7(-о - го)2 + Н;
2 -о - го V 1
ВВ = ^АВ2 - АВ2 = ^Л2 - 1 [(уо - го)2 + Я2];
Рис. 5. К выводу общего уравнения образующей оживальной головной
части индентора
FD _ BD - BF _ УR2 - 4 [(yo - ro)2 + НГ]-
1 Нг ■ \J(yo- ro)2 + НГ;
2 yo - ro
DE _ FD • sin ß _
1 Hr
2 yo - ro
R2 - 1[(yo - ro)2 + нг]-
■ ^/(yo - ro)2 + нГ
yo ro
(yo - ro)2 + НГ
(yo-ro)2+H і) ■ (yo - ro) - 1 Hr;
R2
AE'Z + DE2 _ R2 ; (EO + yo)2 + DE _ R;
EO _\JR? - DE2 - yo _
22
= \Я2 - [(\/(»о - +Я»-;)(!» - го) -1 Яг] - -о.
Общее уравнение образующей головной части записывается так:
(г + ЕЕ )2 + (- + ОЕ )2 = Я2,
откуда с учетом полученных выше соотношении окончательно имеем:
У =
\
\
Я2 -
г +
Я2
(Уо - го)2 + Яр 4
- 7 1 (Уо - го) - 1 Яр
(15)
Я2 -
Я2
(Уо - го)2 + Яр 4
- 7 ) (Уо - го) - 1 Яр
+ Уо.
Для случая заострённой головноИ части выражение (15) имеет вид:
\
\
Я2 -
г +
УгГ+яр - 4 Уо - 2Яр
(16)
Я2
Уогя2-4Уо - 2Яр
+ Уо-
Из анализа (15) и (16) следует, что при решении задачи оптимизации формы головноИ части индентора в первом случае имеются три независимых варьируемых параметра: Яр, Я и го, области изменения которых известны:
Я € [Ятт; +то] )
где Ятт определяется по формуле (14),
Го € [0; Уо] и Яр ^ 0, а во втором случае — два независимых варьируемых параметра:
Я € [Ятт; +го] и Яр ^ 0,
где Ятт определяется по формуле (13).
Заметим, что при Я ^ то уравнения образующих оживальных головных частей (15) и (16) трансформируются в линейные уравнения вида
У
Уо - го Уо------------------------------^-г,
У = Уо
Яр
Уо
Яр
(17)
(18)
описывающие притуплённую и заострённую конические формы головных частей соответственно.
В случаях (17) и (18) при решении задачи оптимизации формы головноИ части независимыми варьируемыми параметрами являются: в первом случае — го € [0; Уо] и Яр ^ 0, во втором случае — Яр ^ 0.
2
2
2
У
2
г
Так как уравнение образующей головной части входит в уравнение движения индентора в преграде в форме его первой производной, получим выражения для производных применительно к уравнениям (15)—(18):
— для случая у = у(*) в форме (15):
йу =_________* + (V (У0-г$+Я2 - з) (у0 - Го) - 2Нг
- [* + (V (уо-гО)22+яГ - I) (уо - Го) -
для случая у = у(*) в форме (16):
йу _ * + (V У2+НГ - I) уо - 3 Яг
(19)
(20)
Е2 -
* + (VУ2+Нг -Vуо - 3Нг
- для случая у = у(*) в форме (17):
йу уо - Го
(21)
(22)
й* Нг
- для случая у = у(*) в форме (18):
йу = _ Уо_ й* Нг ’
Таким образом, получена полная совокупность уравнений (10)-(22), описывающая в общем виде задачу оптимизации образующих головных частей инденторов применительно к произвольной, а также оживальной и конической формам образующих.
Список литературы
1. Баранов В.Л., Иванов В.Н., Щитов В.Н. Динамика проникания жестких вращающихся инденторов в грунты. Тула - Климовск: ТулГУ - ЦНИИТМ, 2005. 107 с.
2. Зельдович Я.Б., Мышкис А.Д. Элементы прикладной математики. М.: Наука, 1972. 592 с.
3. Прохоров Б.А. Боеприпасы артиллерии. М.: Машиностроение, 1973. 512 с.
2
2
Баранов Виктор Леопольдович (spira@tula.net), д.т.н., профессор, кафедра стрелково-пушечного вооружения, Тульский государственный университет.
Фетисов Иван Викторович, инженер, ЦНИИТочМаш, Климовск.
Щитов Виктор Николаевич (tschitov1960@yandex.ru), д.т.н., зам. ген. директора, ЦНИИТочМаш, Климовск.
Optimization of indenter’s front part
V. L. Baranov, I.V. Fetisov, V. N. Schitov
Abstract. Problem of indenter’s front part variation is defined with regard to polynomial law of obstruction resistance for cases of conic and ogivalgeneratrix shapes.
Keywords: indenter, shape of front part, front resistance, obstruction.
Baranov Viktor (spira@tula.net), doctor of technical sciences, professor, department of rifle and cannon armaments, Tula State University.
Fetisov Ivan, engineer, Tsniitochmash, Klimovsk.
Schitov Viktor (tschitov1960@yandex.ru), doctor of technical sciences, deputy general director, Tsniitochmash, Klimovsk.
Поступила 01.03.2013
