Экспериментально-теоретический способ определения физических констант грунтов, входящих в полиномиальный закон сопротивления Текст научной статьи по специальности «Физика»

The paper presents a study of the power characteristics of the process of crimping a cylindrical billet single-turn inductor.

Key words: inductor, a mathematical model of the cutting, crimping, ponderomotive

forces.

Kukhar Vladimir Denisovich, doctor of technical sciences, professor, the prorector, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Kireeva Alena Evgenevna, candidate of technical sciences, docent, mpf-tulaarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University

УДК 539.374

ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНО-ТЕОРЕТИЧЕСКИЙ СПОСОБ

ОПРЕДЕЛЕНИЯ ФИЗИЧЕСКИХ КОНСТАНТ ГРУНТОВ, ВХОДЯЩИХ В ПОЛИНОМИАЛЬНЫЙ ЗАКОН СОПРОТИВЛЕНИЯ

В. Л. Баранов, И.В.Фетисов, В.Н. Щитов

Разработан и реализован способ определения физических констант, входящих в полиномиальный закон сопротивления. Определены численные значения констант для нескольких видов реальных преград на примере грунтов.

Ключевые слова: преграда, индентор, пробитие, закон сопротивления.

Рассматривается задача проникания жестких инденторов в грунты, закон сопротивления которых имеет полиномиальную форму [1].

Пусть функция у = у (г ), описывающая образующую головной части индентора имеет следующие с войства на участке г е [ 0; НГ ]:

Функция у = у (г ) - непрерывная, но не обязательно гладкая функция.

у (о) = с/2,

где

у ( г )> 0, /( г )< 0; у ( НГ ) = Я Ф 0, Я е [ 0; С/2 ], где НГ - полная высота головной части; С - калибр индентора.

Выделим элемент головной части индентора с координатой г толщиной С г. Полное контактное напряжение на его поверхности обозначим а ( г ) (заметим, что в общем случае вектор а ( г ) не коллинеарен вектору V скорости индентора).

Нормальная компонента контактного напряжения ап (г ) связана с

нормальной компонентой скорости набегания преграды на выделенный элемент головной части в обращённом движении полиномиальной зависимостью вида:

' ^ ' ' ^ (1)

s ( z, t )= KjVJ ( z, t ), j = 0

m,

где Vn ( z , t ) = V (t ) sin a ( z ); a ( z )

arctan

dy ( z ) d z

; V (t) - те-

кущее значение скорости набегания преграды в момент времени t; Kj -

физические константы, характеризующие свойства преграды.

При записи (1) и в дальнейшем используется правило суммирования по повторяющимся индексам А. Эйнштейна, причем индексное обозначение распространяется и на показатели степени многочлена, то есть:

. m .

Sn ( z, t ) = KjVnj ( z, t ) = I Kj Vnj ( z, t ). (2)

j=0

Касательное напряжение ( z, t ) на выделенном элементе головной части связано с нормальным компонентом коэффициентом трения материала преграды о материал индентора f ( z, t ), который, в свою очередь, зависит от величины относительной скорости трущихся поверхностей в рассматриваемой точке головной части:

sT( z , t )= f [ VT ( z , t )]-Sn ( z , t ) =

• • (3)

= f [V (t) cos a ( z ) ] • KjVJ (t ) sinj a ( z ).

Теперь текущее значение элементарной силы лобового сопротивления преграды:

d Fc ( z, t ) =

d Fnz

( z , t) + d Ft ( z , t ) =

= Kj Vj (t ) sinj a( z )• 2 py ( z ) ^ 1 + (y'( z ) )2 x

x ( sin a ( z ) + f [ V (t) cos a (z ) ] • cos a (z )) d z. С учётом известных тригонометрических соотношений

(4)

sin a ( z )

tan a ( z )

д/1 + tan2a( z )

cos

a (z ) =

1

tana (z )=

1 + tan2a( z )

выражение (4) приводится к окончательному рабочему виду:

' y ( z )| Лj

dy(z )

d z

d Fc ( z , t )= K.VJ (t )•

x

y ( z )| + fo

,- x2py ( z )x

Ь + ( y(z ))2 V1 + ( y (z ))2 + «1 V(t )

Ь +( / (z ))2 + «2 V (t )

d z.

Возможны два случая:

1. X £ H г - этап движения индентора, когда в преграду углубляется его головная часть.

2. X > H г - этап, когда головная часть индентора полностью углубилась в преграду, но движение индентора ещё продолжается.

В первом случае для того, чтобы определить интегральную силу лобового сопротивления преграды, необходимо проинтегрировать (5) в пределах от z = HГ - X до z = HГ и к полученному выражению прибавить составляющую силы сопротивления, действующую на плоское притупление в вершине радиусом R :

г .... V

H

Г

Fc(X, t) = 2p I KjVJ (t) H Г-x

I/ (z )

Vi + ( y' (z ))

X

x y(z) Iy\z)| + fo

1 + ( y \z ))2 + aiV (t )

1 + ( y \z ))2 + a 2 V (t )

dz + pR2KjVj (t) ■■

Hr

p (2 | KjVJ(t ) H rX-X

y' (z )

Vi + ( y '( z ))2

y ( z ) (I y' (z )| +

2

+ fo Jl + (/(z ))2 + aiv(t ) ) dz + kvJ ( t ) R 2)

(6)

/1 + (у '(г ))2 + а 2 V (г) Во втором случае интегральная сила лобового сопротивления пре грады определяется так:

' I '( ) ■ Л j

у (г)

H

Г

Fc(t ) = p ( 2 I KjVJ(t ) 0

Vi + ( y (z))2

y ( z ) (| y (z )| +

+ fo

V1 + ( у' ( z ))2 + ai4 V 2 (t )+w2 ( t ) y 2 ( z )(l + ( / ( z ))2 ) Ь + ( y' ( z ))2 + a W V 2 (t )+W2 ( t ) y 2 ( z )(l + ( / ( z ))2 )

) dz +

(7)

+ К jVj (г) Я 2 ) .

В структуру полученных выше выражений входит набор физических констант, характеризующих динамические и триботехнические свой-

ства грунтов: К у, у = 0, т - константы, характеризующие сопротивляемость грунтов динамическому сжатию; /о - коэффициент трения покоя (при относительной скорости трущихся поверхностей, близкой к нулю); а1 и а2 - коэффициенты, входящие в дробно-линейную зависимость и характеризующие изменение коэффициента трения с ростом относительной скорости трущихся поверхностей.

Следует заметить, что трибопроблемы при движении инденторов в грунтах изучены достаточно полно, и значения коэффициентов, характеризующих трение в грунтах, приводятся в многочисленных работах А.Я. Са-гомоняна, Ю.В. Хайдина, В.А. Велданова, Г.М. Ляхова, А.П. Смоляр.

С определением констант, характеризующих динамическую сжимаемость грунтов, дело обстоит гораздо сложнее. Как уже отмечалось выше, одним из недостатков работ, посвящённых анализу задач проникания инденторов в грунты, являются трудности, которые возникают при достоверном определении динамических характеристик грунтов и приведении их именно к тому виду, в котором эти характеристики используются в структурах моделей проникания.

В случаях использования интегрального представления для закона сопротивления, как это делали, например, Н.В. Майевский и Н.А. Забуд-ский [2], численные значения входящих в его структуру физических констант определялись из непосредственных экспериментов по прониканию индентора в грунт с различными скоростями удара. При таком подходе ошибка определения констант велика, и возможность их репродуцирования на другие условия проникания затруднительна. Чтобы уменьшить погрешность эксперимента, следует воспроизводить его неоднократно и производить обработку результатов, например, методом наименьших квадратов. Причём, в этом случае влияние формы головной части индентора на силу лобового сопротивления оценивалось также интегрально с помощью комплексного коэффициента формы 1 , который вычислялся по формуле

:1 = -т-г" .

1 + 0,3 (нг / а - о,5)

Видно, что в структуру 1 входит только высота головной части, а форма образующей у = у (г) не влияет на силу лобового сопротивления, что само по себе является сильным упрощающим допущением, требующим дополнительного обоснования.

В случае предлагаемого в работе [1] подхода к определению интегральной силы сопротивления, когда в каждый момент времени поверхностное распределение контактных усилий на головной части неоднородно и сложным образом зависит от уравнения образующей головной части и кинематических параметров проникания, существует единственный практически приемлемый способ получения выражения для силы ло-

бового сопротивления, содержащего физические константы Kj в интегральной форме. Для этого следует рассматривать индентор с «головной частью» в форме плоского торца, диаметр которого равен калибру инден-тора. В этом случае, в рамках принятых в работе гипотез, сила лобового сопротивления движению индентора в грунте будет равномерно распределена по поверхности торца, имитирующего головную часть, так как, во-первых, в каждой точке поверхности плоской головной части справедливо условие

sin a (z) ° 1, что, как следует из (1), эквивалентно условию

ап (z ) = KjVJ , j = 0, m .

Во-вторых, векторы нормальных напряжений на контактной поверхности в рассматриваемом случае в любой точке коллинеарны векторам скорости и ускорения цента масс индентора в любой момент времени, и из (7) следует, что

Fe (Г ) = KjVJ (í )p|2 . (8)

И, наконец, в-третьих, все удельные силовые факторы от действия неоднородно распределённой по плоской поверхности головной части силы трения в любой точке головной поверхности ортогональны вектору ускорения центра масс индентора и не оказывают никакого влияния на силу лобового сопротивления индентора и, как следствие, на формирование кинематических параметров индентора в его поступательном движении, но при этом формируют параметры вращательного движения индентора.

Полагая в (8) m = 2, что достаточно полно позволяет описать нелинейность зависимости нормальной компоненты контактного напряжения от нормальной компоненты скорости «набегания» преграды для случая, когда вторая производная этой зависимости не меняет знак, получаем уравнение движения индентора с плоской головной частью в виде:

I2

dí v 0 1 2 7 4

Md-V = (- K0 - K1V - K2 V2 pd2 , (9)

или

dV pd2

V-:-Т = — Л ,

К0 + Кх V + К2 V2 4 м

где - элементарное перемещение индентора в преграде.

Производя интегрирование последнего выражения, получаем:

4 М

1 К0 + К1 V + К2 V:

2 К

1п

К

К

Vr

Ь 1

¿V

2 -К2 ' Ко + К V + К2 V2

4 М

1 1п К^ К ^ + К2 Vr2

2 К

К

<

>

К

2 К2 V К12 - 4 К0 К2

1п

2 К 2 + К1

а/К?

4 К0 К 2

2 К2 Vr + К1 + д/ К? + 4 К 0 К 2

х

х

(К' + л/ К? - 4 -0 К2 ]

( К -V к2 - 4 К0 К2 )

если К12 - 4К0К2 > 0;

4М

=

2

1 К 0 + К + К 2 ^ 1п--г

2 К

2

К

0

К,

К2 л/4 К0 К2 - К1

агС;ап

2 К 2 ^ + К1 4 К 0 К 2 - К1

(10)

- агс1ап

К

4 К 0 К 2 - К1

2

если 4К0К2 - К12 > 0.

Используя вновь аппарат метода наименьших квадратов, выражение для функции, подлежащей минимизации, получаем в виде:

60

иг 4 м I 1

Ф(K0 , Ki, K2 )= I [Sm4XÍ--2 l^F" х

i = 1 pd2 l 2K2

х ln

k о + Ki Ve i + k2 V(

e i

K1

K

х

2 K2-\J K{ - 4 Kо K2

2

х ln

2 K2 Vei + Ki - JK1 - 4 Kо K2 Ki + JK1 - 4 Kо K2

2 K2 VQ + Ki + ^ + 4 Kо K2

K-

Kf - 4 K о K2

если Ki2 - 4Ко K2 > о,

и г

Ф(Ко, Ki, К2 )= I [5

4 M

МАХ г

i = i

pd

2 I 2 К

х

i

К о + Ki Ve i + К2 VC2 i Ki х ln-;---, х

о

К о К ^4 К о К 2 - К2

х

2 К2 Ve i + Ki Ki

arctan —= - arctan .

д/4 К о К 2 - К2 д/4 К о К 2 - К2

если 4 К0 К2 - К2 > 0

Так как по определению последние две функции имеют единственный безусловный экстремум - минимум, и область определения их в пространстве К о, К}, К2 известна априори (первый октант пространства), то поиск оптимального искомого сочетания коэффициентов Ко, К}, К2 целесообразно проводить путём прямого перебора с последовательным уменьшением шагов в окрестностях оптимального сочетания коэффициентов.

Причём, для повышения точности определения численных значений констант Ко, К}, К2 количество экспериментов должно превышать число степеней свободы аппроксимирующих функций (10) на несколько единиц.

В фундаментальном труде М.Г. Ефимова "Курс артиллерийских снарядов" [2] говорится: "Точного решения вопроса о сопротивлении различных преград движению в них боеприпасов нет. Непосредственных опытов по установлению законов сопротивления твердых преград, подобных опытам по исследованию сопротивления воздуха, поставлено не было. Отсюда вполне очевидно обилие всевозможного рода формул для подсчетов глубин и времен проникания". Судя по публикациям последних десятилетий, отмеченная ситуация изменилась незначительно, так как активно продолжается использование многочисленных приближенных формул, причем результаты идентичных расчетов по различным формулам значительно отличаются друг от друга. Чтобы частично устранить этот пробел, а также для реализации изложенных моделей и способа определения численных значений физических констант грунтов, на базе полигона Центрального научно-исследовательского института точного машиностроения была подготовлена и реализована серия экспериментов.

В качестве базового использовался 7,62-мм патрон образца 1943 года (индекс 57-Н-231У). Входящая в его состав стальная пуля предназначена для борьбы с защищенной живой силой и обеспечивает пробитие стального шлема (каски) на дальности до 300 м и противоосколочного бронежилета на дальности до 75 м. В качестве баллистического ствола использовался ствол 7,62-мм модернизированного автомата Калашникова (АКМ). Свинцовый сердечник штатной пули был заменен стальным сердечником без изменения габаритов внешнего контура, стальной сердечник штатной пули был удален, также была удалена часть медной оболочки штатной пули, выступающая над основным сердечником с последующей завальцовкой. В результате этих мероприятий масса штатной пули (т1 =12,10 г) уменьшилась на 9% и составила т2 =11,01г . Варьирование

начальной скоростью в пределах от 200 до 500 м/с осуществлялось за счет изменения массы навески порохового заряда в гильзе. Регистрация начальной скорости пули 57-Н-231УЭ проводилась с помощью фотоблокировки на дальности 3 м от дульного среза на базе 1 м. Пулеулавливание производилось в различные типы преград с последующей оценкой полных глубин проникания. Оценивалось влияние скорости встречи на глубину проникания пули в преграду. Анализировались пять видов преград: песок речной с влажностью 5%; песок речной с влажностью 10%; глина; сосна и дуб. Отдельно анализировалось влияние температуры окружающей среды на сопротивляемость проникающему действию перечисленных типов преград. Варьирование температурой осуществлялось в пределах от -100С до +300С с глубоким прогревом (охлаждением) пулеулавливателей в течение двух суток.

Результаты экспериментов (каждая точка является осредненной в группе из 5 выстрелов с соответствующей скоростью) приведены в таблице 1 (глубина проникания приведена в метрах).

62

Таблица 1

Результаты экспериментальной оценки влияния скорости удара на глубину проникания пули 57-Н-231УЭ в различные виды преград

№ н/п Тип преграды Глубина проникания, м

Гс = 207 м / с Ус = 315 м / с Гс =397 м/с Гс =482 м / с

Т = - 100С

1 Песок речной у=5% 0,053 0,105 0,110 0,147

2 Песок речной у=10% 0,057 0,107 0,111 0,144

3 Глина 0,067 0,080 0,120 0,132

4 Сосна 0,07 0,079 0,080 0,193

5 Дуб 0,038 0,062 0,063 0,123

Т = 00С

1 Песок речной у=5% 0,078 0,126 0,143 0,182

2 Песок речной у=10% 0,059 0,118 0,129 0,153

3 Глина 0,094 0,111 0,140 0,166

4 Сосна 0,068 0,083 0,095 0,205

5 Дуб 0,040 0,067 0,070 0,120

Т = 100С

1 Песок речной у=5% 0,083 0,130 0,147 0,191

2 Песок речной у=10% 0,072 0,120 0,132 0,157

3 Глина 0,098 0,120 0,147 0,169

4 Сосна 0,070 0,089 0,100 0,208

5 Дуб 0,042 0,070 0,090 0,125

Т = 200С

1 Песок речной у= 5% 0,085 0,131 0,152 0,199

2 Песок речной у= 10% 0,080 0,124 0,135 0,158

3 Глина 0,100 0,125 0,128 0,173

4 Сосна 0,070 0,092 0,103 0,213

5 Дуб 0,040 0,067 0,094 0,125

Т = 300С

1 Песок речной у=5% 0,087 0,133 0,155 0,187

2 Песок речной у=10% 0,075 0,119 0,135 0,160

3 Глина 0,095 0,090 0,111 0,170

4 Сосна 0,065 0,095 0,110 0,213

5 Дуб 0,040 0,069 0,087 0,117

Была произведена обработка результатов экспериментов, приведенных в предыдущем подразделе, методом наименьших квадратов с помощью аппроксимирующих зависимостей (10) и замыкающей рабочей системы трансцендентных уравнений. Вследствие значительной трудоемкости решения последней, ограничились рассмотрением случая Т = 200С. Численные значения констант для исследуемых грунтов и преград приведены в таблице 2.

Таблица 2

Численные значения констант, входящих в полиномиальный закон

2

сопротивления вида <п = К0 + К} Уп+К2 Уп для разли чн ых видов грунтов

и преград (Т = 200С)

№ н/п Тип преграды К0, МПа К1, МПа ■ с м К2, МПа ■ с2 м 2

1 Песок речной у=5% 4,68 х 103 92,37 6,26 х 10 ■ 2

2 Песок речной у=10% 4,972 х 103 123,45 6,47 х 10 ■ 2

3 Глина 2,664 х 103 83,79 7,63 х 10 ■ 2

4 Сосна 7,65 х 103 91,76 2,14 х 10 ■ 2

5 Дуб 9,87 х 103 135,48 2,43 х 10 ■ 2

Сопоставление решений прямых задач проникания пули 57-Н-231УЭ в некоторые из рассмотренных типов грунтов с соответствующими экспериментальными данными показало удовлетворительное качественное и количественное согласование результатов.

Список литературы

1. Баранов В.Л., Иванов В.Н., Щитов В.Н. Динамика проникания жёстких вращающихся инденторов в грунты / Тула: ТулГУ. - М.: ЦНИИТМ. 2005. 108с.

2. Прохоров Б. А. Боеприпасы артиллерии / М.: Машиностроение. 1973. 512 с.

3. Ефимов М.Г. Курс артиллерийских снарядов / М.: Оборонгиз. 1939. 320с.

Баранов Виктор Леопольдович, д-р техн. наук, проф., ivts.tiilaaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,

Фетисов Игорь Викторович, нач. отдела, goodhigayandex. ru, Россия, Москва, Министерство обороны РФ,

Щитов Виктор Николаевич, д-р техн. наук, Первый зам. Ген. директора, tschi-tov. vayandex. ru, Россия, Климовск, ФГУП ЦНИИТМ

EXPERIMENTAL PHISICAL METHOD FOR DETERMINING THE PHYSICAL CONSNANTS OF BARIERS, INCLUDED IN POLINOMIAL LAW OF RESISTANS

V.L. Baranov, I. V.Fetisov, V.N. Shchitov

Durloped and implemented a methodfor determining the physical constants included in the polynomial law of resistants. The numerical valuss of the constantsfor severa lhinds of real obstacles, for example soil.

Key words: harrier, indentor, breaking, the law of streng.

Baranov Victor Leopoldovich. doctor of technical science, professor, ivts. tiilaaramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,

Fetisov Igor Viktorovich, department chef, goodhigayandex. ru, Russia, Moscow, Ministry of defense,

Shchitov Victor Nikolaevich, doctor of technical science, First deputy General Director, tschitov. vayandex. ru, Russia, Klimovsk, Central Scientific and Research Institute of Precisions Machinery