Оптимизационные принципы в механике и экономике: поиск энергетических оснований трудовой теории стоимости Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТН. МОСК. УН-ТА. СЕР. 6. ЭКОНОМИКА. 2010. № 3

ЭКОНОМИЧЕСКАЯ ТЕОРИЯ

А.О. Вереникин1,

докт. экон. наук, профессор кафедры политической экономии экономического

ф-та МГУ имени М.В. Ломоносова

ОПТИМИЗАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ В МЕХАНИКЕ

И ЭКОНОМИКЕ: ПОИСК ЭНЕРГЕТИЧЕСКИХ

ОСНОВАНИЙ ТРУДОВОЙ ТЕОРИИ СТОИМОСТИ

В статье рассматриваются энергетические основания трудовой теории стоимости с использованием вариационных принципов классической механики. Объединение статистического подхода и законов динамики позволяет трактовать сохранение энергии в процессах труда в термодинамическом смысле. Помимо этого в работе анализируется связь информационной составляющей трудовой деятельности человека с термодинамическим понятием энтропии.

Ключевые слова: вариационные принципы, трудовая теория стоимости, сохранение энергии, энтропия, информация.

Energy foundations of labour value theory are treated according to variation principles of classical mechanics. Statistical methods of classical thermodynamics are used to affirm energy conservation within labour processes. Thermodynamic entropy is related to information transfer in labour transactions.

Key words: variation principles, labour value theory, energy conservation, entropy, information.

С точки зрения К. Маркса, труд как «затраты человеческой жизненной силы»2 представляет собой объективную субстанцию, квинтэссенцию стоимости товара. После выхода в свет «Капитала» появились работы, авторы которых интерпретировали трудовую теорию стоимости с точки зрения баланса энергии, предполагая материализацию расходуемой в процессе труда жизненной энергии человека в стоимости произведенного продукта — товара3. Первым, кто сформулировал энергетический подход к теории стоимости, был С.А. Подолинский — «забытый научный новатор», как его назвал В.И. Вернадский4. В работе «Труд человека и его отношение к распределению энергии» С.А. Подолинский отмечает: «...труд не производит вещества, и потому вся производительность его может заключаться только в присоединении чего-то, также не

1 Вереникин Алексей Олегович, тел.: +7 (495) 939-33-03; e-mail: verenikin@econ. msu.ru

2 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 13. С. 15.

3 См.: ШуховН.С. Ценность и стоимость. М., 1994. Ч. 1.

4 См.: Чесноков В.С. Сергей Андреевич Подолинский. М., 2001. С. 53.

созданного трудом, к веществу. Это "что-то" есть, по нашему мнению, превратимая энергия»5. Под превратимой энергией С.А. По-долинский понимает энергию высокого качества (например, механическую), которая способна легко принимать более простые формы (в конечном счете превращаясь в тепловую), которые уже требуют дополнительных энергозатрат для возвращения в исходное качество6.

Из теории С.А. Подолинского вытекает, что прибавочная стоимость создается за счет аккумуляции (сбережения) на Земле в доступной для человека форме большей по сравнению с ее потреблением величины энергии. С.А. Подолинский пишет: «Труд есть такое потребление механической и психической работы, накопленной в организме, которое имеет результатом увеличение количества превратимой энергии на земной поверхности... Механическая работа людей имеет способность превратить в высшую форму, годную для удовлетворения потребностей человека, количество энергии... превышающее ее собственную величину, одним словом, труд при своем потреблении сберегает энергии... более, чем он сам заключает...»7 Данный тезис впоследствии получил признание, развитие и разнообразную трактовку в трудах исследователей эко-лого-экономических проблем человеческой жизнедеятельности. Так, в частности, Г. Одум и Э. Одум, полностью разделяя точку зрения С.А. Подолинского, пишут: «Человеческое общество обладает способностью увеличивать запасы энергии в больших, гигантских масштабах, при условии, что члены этого общества в обмен на получаемые материальные блага определенную часть своей энергии отдают либо другим людям, либо воплощают в каких-то компонентах технической или экологической систем»8.

Впоследствии в советской экономической литературе были распространены расчеты экономической эффективности с позиций калорийности питания, энергозатрат и энергоотдачи в процессе трудовой деятельности человека. Так, в частности, С.Г. Струмилин отмечает: «Заработок рабочего, обеспечивающий ему не свыше 2000 калорий питания в сутки, поддерживает деятельность его организма только на "холостом ходу", без работы. При 2500 калориях он способен уже на легкую работу, при 3000 его работоспособность удваивается, при 3500 — утраивается, значительно обгоняя приросты энергетического его питания»9. Показательны также, например, рассуждения Я.И. Гомберга: «Энергетические ресурсы человека складываются из двух частей: одна предназначена для

5 Подолинский С.А. Труд человека и его отношение к распределению энергии. М., 1991.

6 О разнокачественности энергии подробнее речь пойдет ниже.

7 Подолинский С.А. Указ. соч. С. 35, 51.

8 Одум Г., Одум Э. Энергетический базис человека и природы. М., 1978. С. 306.

9 Струмилин С.Г. Избранные произведения. М., 1964. Т. 5. С. 162.

поддержания жизнедеятельности организма, другая является источником энергетических затрат в процессе работы. Чем благоприятнее к началу работы равновесие между обоими элементами, тем большая часть энергии, образующейся в результате усвоения организмом дополнительных продуктов питания, расходуется на выполнение внешней работы»10.

Сходные воззрения присутствовали и у экономистов неоклассического направления11. В качестве иллюстрации можно привести следующее высказывание А. Маршалла: «Каждый здоровый человек обладает известным запасом энергии, которую он может приводить в действие, но лишь при условии чередования с отдыхом; если в течение долгого времени расход энергии превышает ее восстановление, его здоровье разрушается...»12 Вместе с тем, хотя А. Маршалл говорит об «энергии труда» (физического и интеллектуального), «жизненной энергии» индивидуума, нации и даже всего человечества13, полноценная «энергетическая» концепция трудовой деятельности в его «Принципах политической экономии» отсутствует, поскольку он не рассматривает воплощение энергии человека в продукте труда — товаре. Отношение неоклассики к категории стоимости ясно выразил В. Парето: «Отныне можно утверждать, что любой экономист, который ищет источник стоимости, тем самым демонстрирует полное непонимание синтетического феномена экономического равновесия»14.

Итак, возникновение энергетических концепций в рамках трудовой теории стоимости имело под собой определенные логические основания. В соответствии с диалектико-материалистическим взглядом на мир человек является частью единой природной системы. По К. Марксу, труд представляет собой процесс, опосредующий «обмен веществ между человеком и природой»15. При этом труд понимался К. Марксом как «расходование человеческой рабочей силы в физиологическом смысле» (курсив наш. — А.В.)16. Значит,

10 ГомбергЯ.И. Редукция труда. М., 1965. С. 52.

11 См.: Дорошенко М.Е. Анализ неравновесных состояний и процессов в макроэкономических моделях. М., 2000. С. 16—49.

12 Маршалл А. Принципы политической экономии. М., 1993. Т. 1. С. 212.

13 Там же. С. 268—279.

14 Pareto V. Manuel d'Economie Politique. Paris, 1909. P. 246.

15 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 23. С. 51, 188.

16 Там же. С. 55. Примечательно, что закон сохранения энергии был исходно сформулирован Ю.Р. Майером применительно к биологическим процессам — тепловой энергии, выделяемой и поглощаемой организмами (см.: Кубо Р. Термодинамика. М., 1970. С. 18—19). Здесь можно привести также определение живой материи, как «самосохраняющегося и самоснабжающегося очага стационарных или установившихся превращений энергии», данное Освальдом (цит. по: Умов Н.А. Физико-механическая модель живой материи // Собр. соч. Т. 3: Речи и статьи общего содержания. М., 1916. С. 189).

для замкнутой физико-биосоциальной системы, состоящей из природных благ и человеческого общества, должен действовать универсальный закон сохранения энергии: энергия, израсходованная человеком в процессе работы, должна передаваться другим людям и материальным объектам неживой природы. При этом стоимость представляет собой экономическую категорию, воплощающую процессы энергообмена внутри человеческого общества, а также между человеком и природной средой: труд «кристаллизуется» в стоимости продукта. Товары, по К. Марксу, представляют собой «сгустки труда»17. Очевидно, что энергия здесь имеет не только физическую, химическую, биологическую, но и социальную природу. Можно утверждать вслед за Э. Дюркгеймом18, что существует энергия «социального сродства» как проявление целостности общественных систем.

Уже С.А. Подолинский указывал на фундаментальные отличия между трудовой деятельностью человека и работой механизма. Он писал: «Машина получает источник для своей деятельности одним каким-то определенным способом... Совсем иное происходит у человека... Для сохранения энергии у него употреблен целый ряд способов, применяемых или чисто инстинктивно, как удовлетворение потребностей, или преднамеренно, под видом воспитания, обучения и т.п. В действительности, например, одежда и жилище, удовлетворяющие человеческим потребностям в защите от излишних потерь тепла, так же точно ведут к сбережению и выгоднейшему распределению энергии в теле человека, как, например, обучение ведет к выгоднейшему потреблению энергии во время работы... Нельзя не упомянуть здесь же о необходимости удовлетворения некоторых психических потребностей, которые также должны быть включены в бюджет энергии, потребляемой человеком. Понятно, что чем выше развитие человека, тем большее место в его бюджете

17 Достаточно лаконично и емко энергетический подход к категории стоимости изложен в брошюре А.В. Попсуева и А.Г. Тиличенко (Попсуев А.В., Тиличенко А.Г. Энергетический эквивалент стоимости. Хабаровск, 1965. С. 4—7): «Как известно, создание материальных благ для удовлетворения потребностей людей является результатом физического и умственного труда человека, а это значит, что любой полезный предмет (независимо от вещных свойств) в конечном счете представляет собой концентрацию того или иного количества труда. Очевидно, что любой труд возможен только в результате затраты энергии ... Таким образом, для получения материальных благ человек расходует свою и другие виды энергии, а орудия труда являются только преобразователями и проводниками энергии. Отсюда следует важный для экономической науки вывод, что все полезные предметы (в том числе и средства производства) создаются по объективным физическим законам природы и представляют собой (независимо от вещных свойств) только концентрацию различного количества энергии».

18 См.: Дюркгейм Э. О разделении общественного труда. Метод социологии. М., 1991.

занимают психические потребности... Не говоря уже о психических функциях, самые механические движения человека по своей многочисленности едва ли могут быть превзойдены каким-либо механическим аппаратом... Этим разнообразием движений одной и той же машины человеческого организма и обусловливается сравнительная громадная производительность человеческого труда»19.

Вместе с тем вполне логичным является подход к человеческой психике как к одной из разновидностей «естественных явлений» в контексте «связи между всем существующим в мире». Данный подход позволил Н.А. Умову сформулировать утверждение об эквивалентности элементарных законов, управляющих живой и неживой материей. Великий отечественный физик указывает: «Научный и обыденный опыт показывает, что живая материя не изменяет своей деятельностью законов природы неорганической. Мы можем поэтому высказать следующее положение: действие живой материальной системы на неживую может быть заменено действием некоторой неживой материальной системы». Справедливо и обратное утверждение: «В целом ряде актов, сопровождающихся сознанием и вызываемых внешним миром, живая материя может быть заменена автоматом»20. И с этой точки зрения закон сохранения энергии «приравнивает физическую силу человека к другим силам природы»21.

Итак, и в живой и в неживой природе действует ряд универсальных законов, что позволяет применять к анализу, казалось бы, столь разнородных явлений общие подходы. В связи с этим можно привести следующее, важное для нашего дальнейшего анализа высказывание Н.А. Умова: «С того момента, как является доказанной генетическая связь человека с простейшими формами живого... на очереди ставится вопрос о сближении сил, управляющих мертвой, или неорганизованной, и живой, или организованной, природой... Для этой цели, а также для полного понимания процессов, осуществляющихся в живом мире, необходима помощь других отделов естествознания и, по преимуществу, физики и химии, а следовательно и пользование их методами»22.

В основе обоснования физических принципов сохранения энергии лежат оптимизационные подходы, тесно связанные с теми, которые используются в рамках современной экономической теории. Покажем эту традиционную методику применительно к закону сохранения энергии. Каждая механическая система характеризуется функцией Лагранжа L (^ q1, q2, ..., qs, ql, q2, ..., qs), или короче

19 Подолинский С.А.. Указ. соч. С. 49—50.

20 Умов Н.А. Указ. соч. С. 188.

21 Он же. Собр. соч. М., 1916. Т. 3. С. 305.

22 Он же. Эволюция мировоззрений в связи с учением Дарвина // Собр. соч. Т. 3: Речи и статьи общего содержания.

L q, q), где q = (q1, q2, ..., q5) — обобщенные координаты, т.е. любые 5 величин, вполне характеризующие положение системы

(с 5 степенями свободы)23, а q = (ql, q2, ..., q) — обобщенные скоро-

24 12 5

сти24.

к

Интеграл £ = |Ь (, ц, ц (1)

ч

называется действием, или кинетическим потенциалом25. Одна из возможных формулировок закона движения механических систем дается принципом наименьшего действия, или вариационным принципом Гамильтона. Пусть в моменты времени t = ^ и t = t1 система занимает определенные положения, характеризуемые двумя наборами значений координат q = q0 и q (t1) = q1. Согласно данному вариационному принципу, между этими положениями система движется таким образом, чтобы интеграл £ имел наименьшее возможное значение26, т.е. должен достигаться

ч

lin JL (t, q, q )dt (2)

К

min

при граничных условиях

q (t0) = q0, q (ti) = (3)

Перед нами простейшая задача классического вариационного исчисления. Если функция q доставляет минимум в данной задаче, то функция

a(Ä,) = JL (, q + Xh (t,)q + Xh (t))dt, (4)

23 В качестве обобщенных координат системы могут выступать не только декартовы координаты составляющих ее частиц, но и координаты ее границ, объем и т.д.

24 Функция Лагранжа не содержит производных более высокого порядка (q, q, ...), поскольку, как будет показано ниже в уравнениях (8)—(15), оказывается достаточно знания скоростей и координат частиц для определения их ускорений, исходя из заданного вида лагранжиана.

25 В терминологии Г. Гельмгольца (см.: Гельмгольц Г. О физическом значении принципа наименьшего действия / Вариационные принципы механики: Сб. ст. М., 1959).

26 Развивая рассуждения П. де Мопертюи, Л. Эйлер пишет: «Замыслом Природы является по возможности наибольшая экономия на сумме усилий...» (Эйлер Л. Соответствие между общими принципами покоя и движения Мопертюи / Вариационные принципы механики: Сб. ст. М., 1959. С. 81). Рассуждая о роли естествоиспытателей и значении естествознания «в утверждении жизни на земле», Н.А. Умов продолжает эту мысль Л. Эйлера: «В человеке, как во всем живом и мертвом, в природе все процессы происходят с соблюдением возможной экономии сил и материала» (Собр. соч. Т. 3: Речи и статьи общего содержания).

где

h <= C1[t0, t1], h (t0) = h (t1) = О,

(5)

имеет минимум при X = 0, значит, по теореме Ферма, вариация S, определяемая следующим образом:

с-о до \ (ЭЬ , ЭЬ л ,

=— =1 — И + — И Ж, (6)

ЭХ х=о ([ дЧ Эд )

должна аннулироваться: 5S = 0. (7)

Возможность дифференцировать под знаком интеграла при определении вариации (6) была обусловлена тем, что L (^ q + Ш({),

q + Мф) и ЭЬ непрерывны в некотором прямоугольнике t1] х х [-Х0, Х0].

Преобразуем вариацию 5S, интегрируя ее второй член по частям:

гдЬл

дд

+

ЭЬ

дед

V У

= о.

'о

ЭЬ

1— дд

(8)

1 эь ^ эь ^ эь ^ 5^ = [— ИЖ' + [— ЖИ = [— ИЖ - [

{Эе I Эе {Эе I

гЭЬ , , г, Ж ЭЬ ,

= 1 — ИЖ - IИ--Ж +

дд 1 Ж дд

'о 'о

В силу уравнения (5) последнее слагаемое обращается в нуль. Сле довательно, уравнение (8) принимает вид

^ (ЭЬ - Ж ЭЬЛ

дд Ж дед

о к

По лемме Лагранжа, если | И (')у (')Ж = о при произвольной

'о

непрерывно дифференцируемой функции h (0, то у (0 тождественно равняется нулю*. Таким образом, необходимое условие экстремума в простейшей задаче классического вариационного исчисления представлено векторным уравнением Эйлера*

К =}}

= о.

(9)

Ж ЭЬ ЭЬ п

---+— = о,

Ж' дд дд

(10)

т.е. совокупностью из я обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка27, которые устанавливают связь между ускорениями, скоростями и координатами, а значит, представляют собой уравнения движения системы

Ж ЭЬ ЭЬ п

--+ — = о, г = 1,....

Ж' ддi ддi

s.

(11)

27 Эти уравнения в механике называются уравнениями Лагранжа.

В статике, когда отсутствует зависимость целевой функции от производных пространственных координат и сама зависимость этих координат от времени, уравнения Эйлера вырождаются в необходимые условия экстремума дифференцируемой функции — равенство нулю ее частных производных по всем аргументам, которые широко используются в современной экономической теории.

В качестве отправной точки анализа механической системы можно предположить, что время однородно, т.е. уравнения динамики инвариантны относительно сдвига по времени: если траектория х (^ удовлетворяет уравнениям Эйлера (10), то и траектория х ^ + 5) при произвольной величине 5 е Я будет их решением. Таким образом, будем исходить из классического предположения, что система отсчета является инерциальной, в которой выполняется принцип относительности Галилея: все законы механики одинаковы во всем бесконечном множестве систем отсчета, движущихся относительно друг друга равномерно и прямолинейно28.

Однородность времени означает, что функция Лагранжа не может содержать явным образом времени £

I = I (д, д). (12)

Для системы материальных точек, взаимодействующих друг с другом, но ни с какими посторонними телами, т.е. замкнутой системы, функция Лагранжа может быть представлена как разность двух величин, первая из которых характеризует движение. невзаимодействующих частиц и зависит только от их скоростей (д), а вторая представляет собой функцию взаимодействия между ними, зависящую лишь от координат (д):

I = Т(д) - и(д). (13)

Т (д) называется кинетической энергией системы, а и (д) — это ее потенциальная энергия, характеризующая способность системы совершать работу*.

Можно показать, что кинетическая энергия, а значит и лагранжиан, представляет собой линейную зависимость от квадрата скорости*. Поэтому в декартовых координатах функция Лагранжа будет выглядеть так:

2

Ь = 1 ^ - и (г, г2,..). (14)

г 2

Уравнения Эйлера с учетом (14) задают уравнения Ньютона

т(а{ = ¥1, (15)

28 См.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. М., 1988. Т. 1. С. 13—15.

— сила,действу-

^, . „ р ди

где = —- — ускорение 1-и частицы, Ь, =--

& ' дг

ющая на нее*, г = 1 , ...,

Таким образом, законы Ньютона (V), (15), (VII) вытекают из принципа наименьшего деИствия. ВерноИ является и обратная логическая цепочка: постулируя законы Ньютона, можно прийти к вариационному принципу Гамильтона29.

Закон сохранения энергии является одним из важнейших аддитивных интегралов движения, т.е. таких функций 25 величин и (г = 1, ..., 5), определяющих состояние механической системы, которые сохраняют при движении постоянные значения, зависящие только от начальных условий30. Его величина для систем, состоящих из частей, взаимодействие между которыми пренебрежимо мало, представляет сумму значений каждой из частей в отдельности. Этот закон сохранения связан с однородностью времени, в силу которой лагранжиан замкнутой системы в явном виде от него не зависит (12). Значит, в полной производной лагранжиана по

дЬ

времени будет отсутствовать слагаемое —:

дг

&Ь =^дЬ & Т дд , дЬ

уг дЬ .

(16)

Заменяя производные - согласно уравнениям Эйлера (11) на

^ эь дqi

& дед

--, получим

& дЬ дЬ ■ ■ V &

1 & дед, Т дед, i * &

ддг

(17)

или

&

дЬ

V ■ , дТ

Ь

= 0.

Таким образом, функция

и V • дЬ Н дТ"

Ь

(18)

(19)

дифференцируемая по времени в соотношении (18), остается неизменной при движении замкнутой системы, т.е. является одним из ее интегралов движения. Она называется функцией Гамильтона, или энергией системы*.

29 См.: ТерХаарД. Основы гамильтоновой механики. М., 1974.

30 См.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Указ. соч. С. 24—25.

Поскольку в рамках трудовой теории стоимость определяется общественно необходимым рабочим временем, данная концепция содержит в себе положения, связанные с оптимизацией, а именно минимизацией трудозатрат в масштабах общества в целом. Если же придерживаться точки зрения, согласно которой трудовая теория стоимости предполагает принцип сохранения энергии, то можно утверждать, что в ней заложены оптимизационные принципы, аналогичные тем, которые используются в классической механике. Таким образом, использование оптимизационных методов не является прерогативой неоклассики. Она лишь развила определенные потенции, заложенные в классической политической экономии.

Закон сохранения энергии вытекает из знаменитой теоремы Нетер, согласно которой любому непрерывному обратимому преобразованию координат, оставляющему инвариантной функцию действия31 (1) данной гамильтоновой системы, соответствует первый интеграл уравнений Эйлера этой системы32. Другими словами, каждой симметрии соответствует сохранение некоторой физической величины33. Из теоремы Нетер можно получить закон сохранения импульса, связанный с однородностью пространства*, и закон сохранения момента импульса, связанный с изотропией пространства34.

До сих пор мы анализировали динамику механической системы, в которой отсутствуют кинематические связи, т.е. ограничения, налагаемые на взаимное расположение тел (например, скрепление их различными стержнями, нитями, шарнирами и т.п.). Другими словами, исследовалась задача несвязанной, безусловной минимизации действия (2). Для современной экономической теории в большей мере характерно исследование задач на условный экстремум, когда целью хозяйственной деятельности является максимизация или минимизация некоторой целевой функции (например, полезности, объема выпускаемой продукции, валовой выручки, прибыли) при наличии ограничений, накладываемых на переменные (например, финансовые, временные, натуральные), т.е. связей между ними.

31 Инвариантность функции действия (1) является отражением инвариантных свойств лагранжиана. Примером может служить отсутствие явной зависимости функции Лагранжа от времени (12) как следствие его однородности.

32 См.: Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи // Вариационные принципы механики: Сб. ст. М., 1959. С. 613—614.

33 См.: Баранцев Р.Г. Синергетика в современном естествознании. М., 2003. С. 72—73.

34 См.: Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. 2-е изд. М., 2005. С. 362—364.

Задачи безусловной оптимизации (2) служат отправной точкой для анализа физических проблем условного экстремума. При наличии связей между переменными вида

V

|/ (V, q, д) Л +1] (о, д (о), ^ д (^ ))= (20)

к (20)

■у -Фу (^ д )=0, Ук, исследуется уже не простейшая задача классического вариационного исчисления (2), а задача Лагранжа, в которой в целевом функционале, так же как и в ограничениях (20), присутствуют терминальные слагаемые вида I (?0, д (?0), д(?1)),у = 0, 1, ..., к,

Ш1П

|/° д ) & +1° д), ^ д(1))

(21)

и применяется принцип Лагранжа снятия ограничений. Методом неопределенных множителей (к, р(?)), где к = (кр ..., кк), р(?) = = (р1(?), ..., рк(?)), который широко используется и в экономической теории, задача на условный экстремум функционала

1

|/° д, д ) & +1° д ), д (V )) сводится к задаче на безусловно

ный экстремум новой функции действия

1

\Ь д, д) Л +/ д), д(^ )), (22)

V)

где лагранжиан принимает вид

к к Ь (V, д, д) = ^ку/у (V, д, д)+ЕРу () -Фу (V, д)), (23)

1=0 У=1

а терминальное слагаемое выглядит так:

к

/ (о, д (о и, д (^ ))= ХУу (о, д ), д (^)). (24)

У=о

При этом уравнения Эйлера (11) остаются в силе, но уже относятся к новому лагранжиану* (23). Кроме того, возникают условия трансверсальности*:

дЬ , ч д/ ....

) = ^-Т\, (25)

дд дд (^ )

ЭЪ (г ) =__(26)

ддд ^ дд ^ )•

Поскольку определяемые на основе них уравнения движения 5 частиц связаны соотношениями (20), число степеней свободы системы понижается. Таким образом, наличие в системе кинематических связей, или ограничений на взаимоотношение между анализируемыми объектами, фактически понижает размерность вариационной задачи, сводя ее к отысканию уравнений движения системы с числом независимых обобщенных координат, отвечающих фактическому числу степеней свободы35. Выполнение уравнений Эйлера (11) при однородности времени (12) сохраняет справедливыми рассуждения (16)—(18), что обеспечивает сохранение энергии (19), поскольку интеграл уравнения (18) будет существовать.

Уравнения движения можно записать в иной, отличной от эйлеровой (11) форме. Для этого следует варьировать не лагранжиан (13), а гамильтониан Н(д, д) (19). Пусть

о(Я,) = Н (д()+Хк(), д()+Хк())= = £ (дг ()+ Хк ())д-Ь (д ()+ Хк (), д ()+ Хк ())- (27)

г ддг

- Ь (дх ()+Хк(),..., ()+Хк(), д О+Хк(),..., ^ ()+Хк()). Тогда

5Н = ^ дХ

дН . дН , дН _ ЭН _.

=-к +--к =-од +--од =

х=о дд дд дд дд

Ед дЬ V дЬ , ^ дЬ - ^ . д дЬ ■ д--к-£-к + £-к +£ д.--к - (28)

г - дд, дд, г дд, - дд, - - — дд,

ЕдЬ - ^ . Э дЬ V"1 дЬ V"1 • д дЬ ■ -к = £ --к -У -к + У ¿¡1--к.

г ддг г ддг ддг г ддг , ддг ддг

35 При наличии кинематических связей в местах соприкосновения между физическими объектами возникает трение — новый фактор, усложняющий динамику системы, которая уже не является в чистом виде механической. Правда, зачастую трение оказывается достаточно слабым, чтобы им можно было пренебречь (см.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Указ. соч. С. 20—21). Здесь можно провести аналогию с микроэкономической моделью совершенной конкуренции. Взаимодействие между хозяйствующими субъектами всегда сопровождается трансакционными издержками, которые представляют собой аналог трения между физическими объектами. Но если такие издержки достаточно малы, то ими можно пренебречь, что и предполагает теория совершенной конкуренции, и это позволяет исключить из анализа внешние эффекты индивидуальной хозяйственной деятельности. При этом закономерности взаимодействия между экономическими агентами оказываются инвариантными по отношению к властным, юридическим взаимоотношениям, и структура прав собственности не влияет на стоимостные пропорции в хозяйственной системе, о чем гласит теорема Коуза.

Здесь был использован тот факт, что

(д ( )+кк ( ))= к,

5д = — Н дк

к=о

5д=— у дк

(дд ()+ккг ())= кг.

к=о

(30)

Используя уравнения Эйлера (11), предпоследнюю сумму в

уравнении (28) можно заменить на У к :

; & дд,

V"1 • д дЬ , V"1 & дЬ , V"1 • д дЬ

5Н = > д1--к - >--к + > д1--к =

, дд, дд, , & дд, , дд, дд,

дд, дд, дд, дд,

дЬ , , & дд,

(31)

Слагаемые в скобках в выражении (31) представляют собой вариа-дЬ

цию

ддг

чдд,у

дЬ дЬ , д дЬ ---к +--к.

дд,дд, дд, дд,

(32)

Поэтому уравнение (31) с учетом уравнения (29) можно переписать в следующем виде:

5Н = -У - ^ 5д, + У д, 5 дд?,. * ^

г эь л

чдд,у

(33)

Чтобы выражение в правой части уравнения (33) представляло собой вариацию

5Н =£ |Н 5д, +Х^ 5д,

должны выполняться соотношения:

& дЬ = - дН дН

& дед, дд' &

Э

Ь

дд/

\ 11 у

(34)

(35)

Ь

Использование обобщенных импульсов р. =- в качестве но-

дд,

вых переменных позволяет записать уравнения (35) в симметричном виде:

• дН . дН

Рг =, д, =• (36)

ддг дрг

Это так называемые канонические уравнения движения, или уравнения Гамильтона.

Уравнения Гамильтона могут допускать такую замену переменных р{=р{ (а, р), д1 = д1 (а, в), (37)

которая сохраняет каноническую форму уравнений движения (36):

дН й дН

а у =--, в у =-, (38)

г двг даг

где Н = Н (а, в) — это гамильтониан, или энергия, как функция от новых переменных. Такие преобразования (37) уравнений Гамильтона называются каноническими.

Возможны также канонические преобразования, при которых, например, «прежние» координаты становятся «новыми» импульсами, а «старые» импульсы р{ переходят в «новые» координаты:

д1 = -а1, р1 = в1. (39)

Переменные, допускающие такие канонические преобразования уравнений Гамильтона, называются канонически сопряженными.

В качестве канонически сопряженных переменных могут выступать, в частности, время I и энергия (с обратным знаком)36 -Н. Это может служить одним из подтверждений обоснованности подхода К. Маркса, измерявшего трудозатраты, т.е. расходование жизненной энергии человека, рабочим временем. При этом К. Маркс подчеркивает эквивалентность времени в физическом и экономическом смысле: «Как количественное бытие движения есть время, точно так же количественное бытие труда есть рабочее время»37. Используя терминологию гамильтоновой механики, можно сказать, что в трудовой теории стоимости осуществляется каноническая замена переменных, когда одна из них — энергия — переходит в свою канонически сопряженную — время38.

36 См.: ТерХаарД. Указ. соч. С. 143—149.

37 Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 13. С. 16.

38 Анализируя идеи С.А. Подолинского, утверждавшего, что «усовершенствование жизни человеческой должно заключаться... в количественном увеличении энергийного бюджета каждого человека» (Подолинский С.А. Указ. соч. С. 79), В.С. Чесноков справедливо замечает, что борьба за существование человечества в окружающей его природной среде подразумевает борьбу за энергию и одновременно борьбу за время (Чесноков В.С. Указ. соч. С. 66). В связи с этим можно вспомнить о важном в трудовой теории стоимости законе экономии времени, когда при повышении производительности труда за единицу времени выпускается больше продукции и стоимость ее единицы снижается.

Применительно к трудовой деятельности человека более целесообразно говорить о сохранении энергии скорее не в механическом, а в термодинамическом смысле, с точки зрения постоянства полной энергии системы взаимодействующих объектов с учетом тепловых процессов

&Е =5А + 56, (40)

где с1Е — изменение внутренней энергии системы; 50 — теплота, сообщенная в системе; 5^ — работа, выполненная ею. Это так называемое первое начало термодинамики.

Трансфер (перенос энергии) обязательно сопровождается ее рассеянием, диссипацией. Отражением этих процессов является показатель энтропии. Закон сохранения энергии в термодинамике неразрывно связан со вторым его началом — законом возрастания энтропии при переходе к равновесному состоянию системы39. Второе начало термодинамики утверждает, что существует такая функция состояния системы, находящейся в некотором равновесном состоянии а, которая называется энтропией £ (а) и удовлетворяет соотношению

s («И

" dQ, (41)

T

или Ж = , (42)

где Т — температура системы в кельвинах, а0 — некоторое исходное состояние термодинамического равновесия, отличное от а.

Второй закон термодинамики допускает несколько эквивалентных формулировок40. Одной из них является утверждение о том, что процесс, при котором не происходит никаких изменений, кроме передачи тепла от горячего тела к холодному, является необратимым, т.е. тепло не может само переходить от холодного тела к горячему (принцип Клаузиуса). Другая утверждает необратимость процесса превращения работы в тепло без каких-либо других изменений в системе, т.е. невозможность преобразования в работу всего тепла, взятого от тела с однородной температурой без каких-либо иных изменений в системе (принцип Томсона (Кельвина)).

39 Формулировка начал термодинамики, данная Клаузиусом в 1865 г., по-немецки звучит так: «Die Energie der Welt ist Konstant. Die Entropie der Welt strebt einem Maximum zu» — «Энергия Вселенной постоянна. Энтропия Вселенной стремится к максимуму» (Clausius R. Über die Wärmeleitung dasformiger Körper // Annalen der Physik. 1865. Bd. 125. S. 353. — Цит. по: Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: новый диалог человека с природой. 4-е изд. М., 2003. С. 112).

40 См.: Кубо Р. Указ. соч.

2 ВМУ, экономика, № 3

17

По У. Кельвину, второе начало термодинамики означает деградацию, обесценение энергии. Энергия высокого качества — механическая и электрическая; среднего качества — химическая, т.е. кинетическая и электрическая энергия взаимодействия компонентов системы, а также ядерная энергия; энергия низкого качества — тепловая, т.е. кинетическая энергия внутреннего движения (частиц) в системе. Обратимые преобразования внутри системы не изменяют качества энергии. Необратимые понижают ее качество. Во всех необратимых процессах некоторая часть энергии рассеивается и теряет способность совершать работу. Диссипация, рассеяние энергии — это ее стремление к равномерному распределению при переходе системы в равновесное состояние, и показатель энтропии служит мерой однородности системы.

Наконец, эквивалентная формулировка второго закона термодинамики отрицает возможность создания циклической машины, работающей за счет поглощения тепла от одного теплового резервуара и не совершающей при этом никаких других изменений состояния системы41. Другими словами, работа может быть полностью превращена в тепло, но тепло может быть снова превращено в работу лишь частично (принцип Карно).

50 и 5А в равенстве (40) не являются полными дифференциалами. Первый закон термодинамики утверждает, что таковым является лишь их сумма. Но в соответствии со вторым законом й0/Т уже представляет собой полный дифференциал, т.е. Т-1 — это интегрирующий множитель для 56 = &Е - 5А. Объединенный закон термодинамического равновесия может быть сформулирован так:

Ж =1 (&А - &Е). (43)

Теория ансамблей Гиббса позволяет объединить статистический подход, используемый в термодинамике, и принципы гамильтоно-вой механики42. Будем рассматривать поведение некоторой системы частиц, обладающей 5 степенями свободы, в фазовом пространстве Г координат-импульсов (р, д), представляющем собой совокупность всевозможных ее состояний, каждое из которых будет характеризоваться точкой с 25-координатами — 5-пространст-венными координатами (д) и 5-импульсами (р). Выделим некоторую подсистему — малую относительно всей системы, но тем не менее состоящую из значительного числа частиц, что позволяет рассматривать ее саму в качестве отдельной системы. Если исходная система

41 Невозможность вечного двигателя второго рода. Вечный двигатель первого рода производит работу над внешней средой, не получая от нее теплоты.

42 См.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Указ. соч. Т. 5. Ч. 1. С. 14—24.

является замкнутой, то ее подсистемы уже таковыми не будут: они окажутся под воздействием остальных частей большой системы.

Обозначим через йм = р (р1, р2, ..., р, д1, д2, ..., д^,) йрйд вероятность найти подсистему в течение полного времени ее наблюдения в бесконечно малом элементе «фазового объема» йрйд = йр1йр2 ... йр!,йд1йд2 ... йд, в котором значения координат и импульсов частиц, составляющих подсистему, будут лежать в произвольно малой окрестности точки (р, д). Здесь р (р, д) — функция (плотности) распределения вероятности в фазовом пространстве Г, которая по определению подчиняется условию нормировки:

^рйрйд = 1.

(44)

Сохранение числа частиц при эволюции системы позволяет применить к ней уравнение непрерывности, или неразрывности,

— + &у ру = 0,

Эt

(45)

где V — вектор скорости частиц, составляющих систему*. В выра-

2 5 д

жении для дивергенции &у рV = —(РУ') под «координатами»

X подразумеваются координаты д и импульсы р, а под скоростями V{ — соответствующие производные д и р:

Э 1=1 Эр,

Распишем производные под знаком суммы:

+рХХ

= 0.

Э^ £

Эр Эр

С1 ——+ р.—

ЭС, ЭР,

= 0.

(46)

(47)

(48)

В силу канонических уравнений Гамильтона (36),

Эд, = Э2И = _Эр

ЭЧг ЭС,ЭР, ЭР,' а значит, выражения в скобках под знаком второй суммы равны нулю. Оставшиеся слагаемые в выражении (47) представляют собой полную производную плотности по времени. Таким образом, функция распределения вероятностей остается постоянной при эволюции статистического ансамбля, т.е. является интегралом движения:

/ ч

й р = Эр

ЭРг ЭСг ЭСг ЭРг

йр=эр+у

Л Эt

= 0.

(49)

Это утверждение носит название теоремы Лиувилля.

Разделим полное время наблюдения подсистемы на бесконечно большое число временных интервалов t1, .... t, ..., в каждом из которых подсистема окажется в соответствующих фазовых точках Л1, Л2, ..., Ап, ... Предположим теперь, что вместо наблюдения за последовательным изменением состояния одной и той же подсистемы мы будем одновременно наблюдать бесконечно много одинаковых подсистем, находящихся в указанных ранее точках фазового пространства Л1, Л2, ..., Лп, ... Такая мысленная «популяция» подсистем называется статистическим ансамблем Гиббса.

Ввиду стохастического поведения частиц анализируемая подсистема может быть охарактеризована своими средними величинами. Теорема Лиувилля позволяет перейти от усреднения по времени характеристик подсистемы к усреднению по совокупности аналогичных подсистем, т.е. по статистическому ансамблю. Распределение элементов такого ансамбля по фазовому пространству в каждый момент времени будет описываться функцией плотности43 р (р, д).

Из теоремы Лиувилля (49) вытекает эволюционное уравнение плотности вероятности р (р, д) — уравнение Лиувилля:

ф . ^ д. д. Л

и у ^ ~dt

dH Эр _ ЭЯ Эр dg, dp, dp, dg,

(50)

Эволюция плотности р в фазовом пространстве описывается уравнением динамики несжимаемой жидкости: любой первоначальный фазовый объем системы не изменяется со временем44.

Решение уравнения Лиувилля в принципе позволяет определить распределение всех характеристик системы. Однако сделать это в явном виде бывает затруднительно ввиду огромного числа степеней свободы системы. Получим, не решая в явном виде уравнение Лиувилля, так называемое каноническое распределение вероятностей.

Поскольку функция плотности р (р, д) является интегралом движения, она должна зависеть от таких функций переменныхр и д, которые в свою очередь являются интегралами движения45. Более того, по свойствам вероятности, распределение совокупности двух подсистем р12 равно произведению функций плотности р1 и р2

43 Можно говорить не только о плотности вещества, но и о плотности энергии (см.: Умов Н.А. Избр. соч. М.; Л., 1950). Поэтому К. Маркс был прав, используя в качестве синонима интенсивности труда, или «степени напряженности рабочей силы в процессе труда, характеризуемой затратами жизненной силы в единицу рабочего времени» (Патрушев В.Д. Время как экономическая категория. М., 1966. С. 72), понятие «плотности труда» (Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 23. С. 421).

44 См.: Пригожин И., Стенгерс И. Указ. соч. С. 220—223.

45 См.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Указ. соч. Т. 5. Ч. 1. С. 24—25.

данных подсистем: р12 = PjP2. Следовательно, логарифм функции плотности ln р12 = ln р1 + ln р2 является аддитивным интегралом движения, а значит, в свою очередь, должен зависеть от аддитивных интегралов. Важнейшим из таковых является энергия системы46.

Вводя функцию Q (E (X)), такую, что

dX

dX = dpdq = Q (E(X)) dE, т.е. Q (E(X)) = —, (51)

dE

можно осуществлять переход от плотности р (p, q), зависящей от обобщенных координат и импульсов к функции распределения вероятностей по энергии47 р (p, q) Q (E). Это позволяет при расчете возможных состояний ансамбля вместо интегрирования по сегментам фазового пространства dX = dpdq осуществлять интегрирование по слоям энергии, заключенным между ее уровнями E и E + dE. Тогда величина Q (E)dE будет представлять собой фазовый объем, заключенный между поверхностями равной энергии E и E + dE, а jQ(e)d£ — объем, заключенный внутри поверхности равной

E

энергии E.

Применяя к функции Q (E) преобразование Лапласа, можно выписать интеграл состояния системы48:

+ТО +ТО +ТО

f (Х)= J е-AEQ(E)dE = J e-wQ(E)dE = J e~wdX, (52)

полагая Q (E) = 0 при E < 0.

Тем самым мы предполагаем эргодичность системы, траектория динамики которой должна покрыть всю поверхность равной энергии (рисунок)49.

Применяя к f(k) обратное преобразование Лапласа, получаем выражение:

Q(E) = 2П J eWf (^' (53)

где ц = const > 0.

46 Значения двух других, помимо энергии, аддитивных интегралов движения — импульса и его момента — определяются равномерным поступательным и вращательным движением системы в целом. Поэтому статистические (средние) характеристики всей системы будут зависеть именно от ее энергии, если абстрагироваться от ее движения как единого целого. При этом под энергией мы будем подразумевать внутреннюю энергию системы, оставляя за рамками анализа кинетическую энергию ее макроскопического движения.

47 См.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Указ. соч. Т. 5. Ч. 1. С. 24—25.

48 См. примеч. к кн.: Лоренц Г.А. Статистические теории в термодинамике: Лекции / Пер. с фр.; под ред. и с доп. Ю.А. Круткова. Л.; М., 1935.

49 См.: Пригожин И., Стенгерс И. Указ. соч. С. 234—235.

Энергия системы, состоящей из п одинаковых подсистем (частиц), между которыми отсутствует взаимодействие, будет слагаться из суммы энергий частиц:

Е = Е + ... + Еп.

(54)

Эргодическая система

Соответственно сегмент фазового пространства всей системы будет представлять собой произведение сегментов фазовых объемов каждой из частиц:

йХ = dpdq = йрх ... ... dqn = йХ1 ... йХп. (55)

Тогда интеграл состояния всей системы (52) может быть представлен как произведение интегралов состояния ее частиц:

/ (*)=/ ••• I

е-т+...+Е, ^ ж =

I

е

= (/ (X))" • (56)

Соответственно функция (53) приобретает вид

а(Е )=^П I (/ •

(57)

Ц-7^

Выделим во всей системе с энергией Е, состоящей из п частиц, две подсистемы с энергиями 8 и Э, состоящие соответственно из V и п - V частиц. Очевидно при наших предположениях, что

Е= Э + 8.

(58)

Величина О (Э) йЕ = О (Е - 8) йЕ даст сегмент фазового объема всей системы при условии, что малая подсистема с энергией 8 попала в некоторый фиксированный элемент фазового объема йх. Тогда вероятность найти малую подсистему в этом элементе йх, т.е. йю = рйх, будет представлять собой произведение элемента йх на отношение сегмента объема всей системы при условии, что малая подсистема попала в йх, к сегменту объема всей системы при отсутствии всяких условий:

I е^-8)(/ (X))"^ ^

&(Е ) dE

&(Е )

I еХЕ (/ (ЦЦЛ

dx • (59)

Ц-7^

Преобразуем подынтегральное выражение функции О (Е) (57):

ЛБ

(/, (X))

_ XE + п 1п/, (X) _ п(кЕ+1п/,(Х))

Проанализируем поведение показателя степени экспоненты, т.е.

Б

функции = Х—+ 1п(X). Функция х (X) строго выпуклая, п '

поскольку ее вторая производная

| БдХi | едХi - | БгедХ

| е .

г"

в силу интегрального неравенства Коши — Буняковского*

+ОТ +ОТ

|Б ?дХ г | Б удХ ,

| zdX i | удХ ,

где у _ Е1 z, z _ | е ^'дХ,, является неположительной. Кроме того,

при X ^ 0 и X ^ + х(Х) ^ + Следовательно, функция х(Х) имеет глобальный минимум в точке X* _ Л, где ее первая производная равна нулю, т.е.

Е _

п ~~/г (Л)

„ ч I Б е~щсХ.

дл)_1 i i

(61)

| е ^дХ i

При отклонении от этой точки модуль подынтегральной функции комплексного переменного будет быстро убывать в силу больших величин Е и п. Поэтому при вычислении отношения (59) можно применить метод перевала, вынося за знак интеграла относительно медленно изменяющиеся множители, величина которых рассчитывается в точке X* = Л:

д+г«

| е^(Х)Псх

-Сх =

д+.«

| е" (/. (Х))"СХ

д-г« д+г«

е~Ле(/. (Х)Г / еХ5 (/ (Х))"СХ

е ~Ле

Ых =-с1х .

(/. (X))" СX (/(Х))

д-;«

Учитывая соотношение (56), примененное к нашей подсистеме

(/. (Х))|=|е~АеСх, (63)

получаем, что интеграл соотношения (62) по всему фазовому пространству состояний малой системы равен единице, что и требуется для корректного определения функции распределения вероятности. Введем обозначения:

(/. (Х))Г= еЧ, (64)

Л^-1, (65)

где по физическому смыслу

Ч = Е - ТБ (66)

— это свободная энергия, или потенциал Гельмгольца;

0 = кТ (67)

— абсолютная температура системы, измеренная в джоулях; Т — абсолютная температура в кельвинах; к = 1,38-10-23 Дж/К — постоянная Больцмана.

С учетом данных обозначений интеграл вероятности можно записать в следующем виде:

1+« +« . . +« , . г у г - Н (х) г Ч-Н (х)

- Г е-ЛесСх = е0 Г е^Сх = Г е^Сх = 1. (68)

(/. (Х))Ч -Г« -«

Мы получили так называемое каноническое распределение Гиббса:

Ч-Н (х )

р(х ) = е 0 . (69)

Функция распределения вероятности для всей системы будет иметь тот же вид, что и плотность р для микроканонического ансамбля.

Свободная энергия, так же как и внутренняя энергия системы, представляющая собой характеристическую функцию, или термодинамический потенциал, может быть рассчитана из условия нормировки интеграла вероятности (68):

7 -Я(х)

Т = -01п | е^с1х . (70)

Предположим, что энергия системы зависит от совокупности

параметров а = {ак } = , например объема системы, характеристик

ее границы и т.п. Тогда с учетом полученной канонической функции распределения вероятностей (69) среднее значение (математическое ожидание) энергии системы будет представлять собой взвешенную по вероятности интегральную сумму всех возможных значений гамильтониана50:

Су \ Т-Н 2 Т Э Г -Н

= | Н (X, а) е 0 сХ = 02е 0 — | е 0 dx =

2 т Э / -т \ ЭТ

= 02 е (е ^ЬТ-0

(71)

Э0

-(е-т) = Т- _ Э0 V / Э0

Здесь мы учли тот факт, что

- Н

Э / -Н\ Не 0 тн ~ т Э / -н \

— (е 0 ) =-—, т.е. Не 0 =02е0—(е 0 );

Э0^ / 02 Э0 ^ '

а также интегральное тождество для канонического распределения Гиббса (68) и выполнение условий дифференцирования несобственного интеграла по параметру 0.

Обобщенная сила, действующая в направлении параметра ак, т.е. совершаемая им работа со знаком минус, будет равна

Эи ЭН 1 л Лк = -— = -—, к =1, ..., п. (72)

Эак Эак

Среднее значение отрицательной работы составит

ЭН

Эа

— Г Т-Н г ЭН т-Н Лк = J Лке 0 Сх = -|-е 0 Сх =

к

(73)

— ^ . т Э -т ЭТ

= 0е 0- I е 0 Сх =0е 0-е 0=--

Эак „ Эак Эак

50 См.: Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика: Учеб. пособие. М., 1983. С. 200—204.

Здесь был использован тот факт, что

" ЭН

Э У-Н Ч

-е е = ее

Эа,г

Э ~е _ е Эа,г

е да,

ЭН

т.е.--е е

Эа,г

= 0е1

Эа,,

а также выполнение условий дифференцирования несобственного интеграла по параметру ак.

Рассчитаем совокупное воздействие, которое окажет на систему изменение данных параметров:

аЕ + V АкСак = С У - а

к =1

ЭУ ГЭУл

=а у-—а е-еа — Э0 Э0

'еЭУ4

Эе

- V -ЭУ Сак

к=1 Эак

v эу л

к =1 Эак

= -еа

ЭУ Эе

(74)

Здесь было использовано выражение полного дифференциала свободной энергии, зависящей от температуры и вектора параметров

а = {ак }=1:

С У (0, а ) = — а 0 + ГГ — Сак. Э0 к=1 Эак

(75)

Итак, нами получен обобщенный (первый и второй) закон термодинамики (43) в следующем виде:

СЕ =-Г А

■ еа

к =1

ЭУ Эе

(76)

Здесь - V А аа = аЖ — работа, совершенная силами, воздейству-

/ / к к

ющими на систему; - а т.е.

ЭУ Эе

= аЗ — изменение энтропии системы, ЭУ

З =-к

Эе '

(77)

где к — постоянная Больцмана. Температура е в уравнении (76) является интегрирующим множителем, превращающим разность между изменением средней энергии системы и совершенной над ней работой в полный дифференциал.

Дифференцируя свободную энергию, проверяем, что полученные выше соотношения (70) и (77) с учетом выражения для внутренней энергии (71) удовлетворяют определению свободной энергии (66):

к 0 Г He - 0 dx

+Р H J

S = к ln I e 0 dx

д2

02 Je 0dx

J He 20Hdx + 0 ln J edx

= к

0

/

Здесь мы использовали то, что условия дифференцирования несобственного интеграла по параметру 0 выполняются.

Таким образом, рассмотренный выше вариационный аппарат позволяет обосновать закон сохранения энергии не только в классической механике, но и в термодинамике.

Еще С.А. Подолинский отмечал, что человеческий труд подобен действию «термической машины», которая переводит низкокачественную, тепловую энергию в энергию более высокого качества, в частности в механическую работу. С этой точки зрения производство прибавочной стоимости человечеством как совокупным работником, которое подразумевает постоянное восполнение и преумножение запаса находящейся в его распоряжении природной энергии, позволило С.А. Подолинскому утверждать, что «работающая машина, называемая человечеством, удовлетворяет требованиям, поставленным Сади Карно для совершенной машины»51.

Идеи С.А. Подолинского о том, что растения, животные и человек переводят энергию в более высокое качество, получили развитие в трудах великого отечественного ученого-энциклопедиста В.И. Вернадского, который в «Очерках геохимии» писал: «В своей совокупности животные и растения, вся живая природа, представляют природное явление, противоречащее в своем эффекте в биосфере принципу Карно в его обычной формулировке. Обыкновенно в земной коре в результате жизни и всех ее проявлений происходит увеличение действенной энергии... Живое вещество ее накапливает и создает, а не рассеивает... Отклонение такого основного явления, каким является живое вещество в его воздействии на биосферу, в биосфере от принципа Карно указывает, что жизнь не укладывается в посылки, в которых энтропия установлена»52.

Антиэнтропийная деятельность человека по своей сути связана с накоплением информации, которая определяется как негэнтропия, т.е. энтропия со знаком минус. В теории информации энтропия Н опыта а — это мера неопределенности его исхода53. Рассмотрим вначале опыт а, имеющий к равновероятных исходов. Если к = 1, то исход опыта не является случайным:

51 Подолинский С.А. Указ. соч. С. 52.

52 Вернадский В.И. Труды по геохимии. М., 1994. С. 345—346.

53 См.: Яглом А.М., Яглом И.М. Вероятность и информация. 3-е изд. М., 1973.

H (a) = f(k) = 0. (79)

Рассмотрим два опыта: a и в — соответственно с k и l равновероятными исходами. Проанализируем также сложный опыт ap, заключающийся в одновременном выполнении опытов a и p. Очевидно, что неопределенность опыта ap больше неопределенности опыта a, так как к неопределенности a добавляется неопределенность p. Разумно положить неопределенность опыта ap равной сумме неопределенностей, связанных с опытами a и p:

H (ap) = H (a) + H (p) = f(k) + f(l). (80)

Естественно также считать, что с ростом количества исходов опыта от k до l неопределенность опыта ^^растет:

H(aj) = f (k) >f(l) = H(a2) при k > l. (81)

Данным трем свойствам удовлетворяет логарифмическая функция54, которая является возрастающей, и кроме того,

f(1) = log 1 = 0, (82)

f (kl) = log kl = log k + log l. (83)

Выбор основания логарифмической функции несуществен в силу соотношения log^k = log^a logak, т.е. переход от одного основания к другому сводится к умножению логарифма на константу, или модуль перехода, log^ a.

Обычно в качестве меры неопределенности используется логарифм по основанию 2:

H (a) = f (к) = Klnк = -Kln1 = -KlnP =-log2P, (84)

к

где K = — = log2 e, P =1.

ln2 2 k

Это означает, что за единицу измерения степени неопределенности принимается неопределенность, содержащаяся в опыте с двумя равновероятными исходами. Такая единица измерения называется двоичной единицей, или битом.

Рассмотрим таблицу вероятностей для опыта, имеющего k равновероятных исходов:

Исходы 4 A2

Вероятности i к 1 к 1 к

54 Можно показать, что логарифм — единственная функция, удовлетворяющая таким свойствам.

Общая неопределенность опыта равна к. Можно предположить, что каждый отдельный исход, имеющий вероятность 1,

1 11 к вносит неопределенность, равную — к = — 1о§2 — .

к к к Естественно считать, что исходы опыта с таблицей

Исходы А1 А2 А3

Вероятности 1/2 1/3 1/6

11 11

вносятнеопределенности, равные соответственно -—1ой2 — — 10Д2 —

2 2 2' 3 2 3

и - 110а 1, а общая неопределенность опыта составит 6 2 6

1, 11, 11, 1

- ^ - 310§2 3 - 610В2^.

В общем виде для опыта с таблицей вероятностей

Исходы А1 А2 Ак

Вероятности р (А!) р (А) р (Ак)

мера неопределенности — энтропия — равна

Н (а) = -р(А1) 1082 р(А )-р(А) Ь82 Р(А)-

(85)

- ... - Р (Ак ) 10§2 Р (Ак )=-Е Р (А ) 10§2 Р (А )

г

где а — опыт, у которого возможны исходы А1, ..., Ак с вероятности рр ...,р^р1 > 1, £Рг =1.

В случае достоверного исхода, когда р1 = 1, р2 = ... = рт = 0, Н = 0, т.е. неопределенность отсутствует. Максимальное значение Н достигается, когда все исходы равновероятны.

Рассмотрим понятие информационной энтропии Н более формально55. Общее число сообщений, которое можно получить, распределяя символы двух типов — 0 и 1, встречающиеся соответственно по N раз (т.е. N — количество символов каждого /-го типа двухбуквенного алфавита (/ = 0,1)), по N = N + N позициям таково:

к N ) = —^— . (86)

4 0 и N 0! N !

55 См.: БриллюэнЛ. Наука и теория информации / Пер. с англ. М., 1960.

Очевидно, что вероятность встретить ¿-й символ на данной позиции определяется отношением числа таких символов к длине сообщения:

* =

' N

(87)

причем P0 + P1 = 1.

В соответствии с понятием неопределенности, содержащейся в опыте, имеющем k равновероятных исходов (84), информационная энтропия одного сообщения, состоящего из N символов двух-буквенного алфавита, равна

H = K 1п k = K(1п N - 1п Щ - 1п N1!).

(88)

Если сообщение длинное, другими словами, И, N1, И2 достаточно велики, то можно применить формулу Стирлинга 1п M! - M (1п M - 1). Следовательно,

H - K N (1п N - 1) - N (1п И0 - 1) - N1 (1п N1 - 1)].

(89)

Учитывая, что N = ^ + N, можно записать: H - K(N 1пN -- ^1пN0 - ^1пN1). Еще раз применяя равенство N = N0 + N1, переписываем предыдущее соотношение так:

Н --KN

N N 0 Nn N1 —1п — +—1п — N NN N

= -Ш У Р 1п Р.

/ ! г г

(90)

Общее число сообщений, которое можно получить, распреде ляя m типов символов по N позициям, таково:

N!

к ^15 N2,..., Nm ) =

N ! N ! N !

1 \ 1 . 2 ■ ■■■ 1 т '

(91)

где N — число символов ¿-го типа.

Вероятность повстречать ¿-й символ задана формулой (87), где i = 1, ..., т. Очевидно, что в сумме вероятности должны давать еди-

ницу: УР =1.

Получаем формулу Шеннона:

Н = К 1п к = К

1п(N !)-У 1п!)

К

N 1п N-У N. 1п N.

/ { I I

т N N т

= -ш У —^ 1п -!- = -кы У р 1п р . £ N N 1=1 1 1

Противоположное по отношению к энтропии понятие — информация, которая является мерой неоднородности распределения материи в пространстве и во времени, или ее организованности56. Чем больше неопределенность до получения сообщения о событии, тем большее количество информации поступает при получении сообщения. Значит, можно мерить информацию как негэнтропию57 — величиной ликвидированной неопределенности. Полная или наибольшая информация о некотором опыте равна его энтропии.

Информационная энтропия тесно связана с аналогичным понятием в термодинамике. Используя соотношения (77)—(78), с учетом канонического распределения вероятностей (69) и условия его нормировки (68), можно представить термодинамическую энтропию в следующем виде:

S =

эт -к—=k Э0

rE

0

k 0

J

He 0 dX -We1

J

4X

=-k J'

W-H 0

V

(93)

dX = -k J e" lne 0dX =-k J plnp dX.

Воспользуемся дискретной аппроксимацией интегральной суммы (93):

S =-k У P ln P ,

/ { 1 I '

(94)

тогда информационная энтропия, приходящаяся на один символ алфавита, будет пропорциональна термодинамической58:

— = -S N k .

(95)

Таким образом, информационная и термодинамическая энтропия представляет эквивалентные понятия для процессов, допускающих трактовку в терминах информации59. Создание информации представляет собой фундаментальную характеристику трудовой деятельности человека. Рассуждая об отличиях деятельности работника от операций машины, Н.А. Умов высказывает важную мысль: «Личность является человеческой с того момента, когда homo sapiens своими поступками и действиями выделяется из остальных сил природы... Человечность начинается лишь с того момента, когда индивидуум является в качестве регулятора, т.е.

56 См.: Вишнев С.М. Экономические параметры. М., 1968.

57 Отрицательная энтропия — негэнтропия (от англ. словосочетания "negative entropy") — одновременно, в контексте второго закона термодинамики, может рассматриваться как характеристика качества энергии.

58 См.: Баранцев Р.Г. Синергетика в современном естествознании. С. 96.

59 См.: Бриллюэн Л. Указ. соч.

с момента привхождения в производство творчества или умозрительных актов»60. По сути, здесь речь идет об информационных аспектах человеческой жизнедеятельности, причем творчество предполагает ее самую высшую, инновационную компоненту.

Наличие фундаментальных информационных оснований хозяйственной деятельности человека позволило Н.А. Умову провести различие между понятиями работы и труда: «Работа — это то, что может быть измерено механическими единицами — пудофута-ми или килограммометрами. Труд — это есть физическая работа, соединенная с творческими или умозрительными актами. Он не может быть измерен механическими единицами». В связи с этим Н.А. Умов в полном соответствии с принципами трудовой теории стоимости замечает, что если механизм заменяет физический труд многих рабочих, то хотя «продукт вырабатывается теперь в большем количестве», работа человека по управлению машиной «становится не производительнее, а становится трудом, т.е. человечнее»61. Действительно, при новом содержании трудовой деятельности каждый из оставшихся на производстве работников будет создавать ту же стоимость, что и ранее.

Возвращаясь к вопросу о качественных различиях между видами энергии, хотелось бы привести, казалось бы, парадоксальные слова Р. Фейнмана: «Важно понимать, что физике сегодняшнего дня неизвестно, что такое энергия... В конечном счете мы не понимаем законов сохранения достаточно глубоко. Нам непонятно сохранение энергии... Для нас энергия — это не то, что можно пересчитать, а всего лишь математическая величина, абстракция, — обстоятельство довольно странное»62.

Вместе с тем закон сохранения энергии является одним из фундаментальных принципов естествознания. Чтобы еще раз подчеркнуть его значимость, приведем слова великих физиков — Г. Гельмгольца и того же Р. Фейнмана. Первый из них писал: «Закон сохранения энергии имеет всеобщую значимость... Нужно только для исследуемого явления знать все формы, в которых проявляются эквиваленты энергии, чтобы включить их в расчеты»63. Г. Гельмгольцу столетием спустя вторит выдающийся американский ученый XX в.: «Закон сохранения энергии незаменим при анализе явления... Владей мы формулами для всех типов энергии, мы смогли бы узнавать, не вдаваясь в детали, сколько процессов происходит в таком-то явлении»64.

60 Умов Н.А. Эволюция живого и задача пролетариата мысли и воли // Собр. соч. Т. 3: Речи и статьи общего содержания. С. 320.

61 Там же. С. 321.

62 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. М., 1967. Т. 1. С. 73—83.

63 Гельмгольц Г. Указ. соч. С. 430.

64 Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Указ. соч. С. 82.

Однако сохранение энергии должно рассматриваться с учетом ее качества, показателем которого является энтропия. В особенности это относится к трудовой деятельности человека, которую следует анализировать именно в контексте объединенного (первого и второго) закона термодинамики (76). В связи с анализом информационных потоков, возникающих во взаимодействии человеческого общества с окружающей его природной средой, это единство двух законов термодинамики может быть сформулировано следующим образом: «Упорядоченные структуры, образцы и планы имеют тенденцию к хаосу... Если уровень упорядоченности уменьшается, то для его поддержания, т.е. для осуществления работы, направленной на сохранение определенного уровня организации системы, необходимо приложить дополнительное количество потенциальной энергии...»65

Поскольку человеческий труд связан с переносом энергии в системе «человек—природа», он обязательно сопровождается рассеянием энергии. Диссипация энергии означает повышение энтропии и снижение информационной характеристики системы. В то же время человеческая трудовая деятельность сопровождается созданием и передачей информации*. Накапливая информацию, человеческое общество реализует обратный процесс снижения неопределенности характеристик природной среды — энтропии — и повышения организованности материи*. Таким образом, трудовую деятельность человека можно охарактеризовать как комплексный информационно-энергетический процесс.

Труд, неся в себе характеристики всех видов энергии (физическая, химическая, биологическая и социальная), занимает высшую ступень в энергетической иерархии. При этом трудовая деятельность человека связана с повышением качества самого труда. Энергетическая пирамида имеет надстройку в виде квалификационной шкалы человеческого труда — от простого физического до самого сложного, требующего десятилетий обучения и совершенствования навыков. Труд, приложенный к человеку как к объекту, подобно любым затратам энергии сопровождающийся ее диссипацией, производством энтропии, повышает качество самой энергии воспроизводственной деятельности человека. Как справедливо отмечают Г. Одум и Э. Одум, «...хотя деятельность человека, в общем, связана с энергией высокого качества, однако виды профессиональных занятий человека различаются по стоимости и качеству энергии»66. При переходе на более высокий профессиональный уровень величина энергетического потока в процессе трудовой деятельности уменьшается, но снижается и связанная

65 Одум Г., Одум Э. Указ. соч. С. 71.

66 Там же. С. 312—313.

3 ВМУ, экономика, № 3

33

с ней энтропия, т.е. ее качество, а значит, и информационное содержание, возрастает.

Подводя итог, можно сказать, что оптимизационные принципы органически присущи различным влиятельным направлениям экономической теории67 и могут рассматриваться в качестве единого фундаментального инструментария, позволяющего познавать законы, управляющие человеческим обществом и окружающей его природной средой.

Применение общего метода к единому объекту68 — в нашем случае к рыночной, капиталистической экономике как одной из определяющих подсистем человеческого общества в контексте окружающей его природной оболочки — должно приводить к одинаковым результатам. Поэтому непреодолимые противоречия между неоклассикой и марксизмом едва ли существуют. Напротив, концептуальный взаимообмен между различными теоретическими направлениями всегда способствует развитию науки.

Список литературы

Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин С.В. Оптимальное управление. 2-е изд. М., 2005.

Баранцев Р.Г. Синергетика в современном естествознании. М., 2003.

Бриллюэн Л. Наука и теория информации / Пер. с англ. М., 1960.

Вернадский В.И. Проблемы биогеохимии. М., 1980.

Вернадский В.И. Биосфера и ноосфера. М., 1989.

Вернадский В.И. Труды по геохимии. М., 1994.

Вишнев С.М. Экономические параметры. М., 1968.

Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация. М., 2000.

Гельмгольц Г. О физическом значении принципа наименьшего действия / Вариационные принципы механики: Сб. ст. М., 1959.

Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / Пер. с англ. 2-е изд. М., 1973.

Гомберг Я.И. Редукция труда. М., 1965.

Дорошенко М.Е. Анализ неравновесных состояний и процессов в макроэкономических моделях. М., 2000.

Дюркгейм Э. О разделении общественного труда. Метод социологии. М., 1991.

Зорич В.А. Математический анализ. 2-е изд. Т. 1. М., 1998.

Кубо Р. Термодинамика. М., 1970.

Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. М., 1988.

Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика: Учеб. пособие. М., 1983.

Лоренц Г.А. Статистические теории в термодинамике: Лекции / Пер. с фр.; под ред. и с доп. Ю.А. Круткова. Л.; М., 1935.

67 Сам термин «экономия» уже предполагает определенную оптимизацию человеческого поведения.

68 При этом необходимо учитывать существенные изменения, которые претерпело капиталистическое хозяйство со времен К. Маркса.

Маркс К., Энгельс Ф. Соч. Т. 13, 23.

Маршалл А. Принципы политической экономии. Т. 1. М., 1993. Мизес Л. фон. Человеческая деятельность: трактат по экономической теории / Пер. с англ. М., 2000.

Нетер Э. Инвариантные вариационные задачи / Вариационные принципы механики: Сб. ст. М., 1959.

Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. 2-е изд. М., 2003. Одум Г., Одум Э. Энергетический базис человека и природы. М., 1978. Патрушев В.Д. Время как экономическая категория. М., 1966. Подолинский С.А. Труд человека и его отношение к распределению энергии. М., 1991.

Попсуев А.В., Тиличенко А.Г. Энергетический эквивалент стоимости. Хабаровск, 1965.

Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках / Пер. с англ. 2-е изд. М., 2002.

Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: новый диалог человека с природой. 4-е изд. М., 2003.

Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант / Пер. с англ. 5-е изд. М., 2003.

Струмилин С.Г. Избранные произведения. Т. 5. М., 1964. Тер Хаар Д. Основы гамильтоновой механики. М., 1974. Умов Н.А. Физико-механическая модель живой материи // Собр. соч. Т. 3: Речи и статьи общего содержания. М., 1916.

Умов Н.А. Эволюция мировоззрений в связи с учением Дарвина // Собр. соч. Т. 3: Речи и статьи общего содержания. М., 1916. Умов Н.А. Избранные сочинения. М.; Л., 1950.

Фейнман Р., Лейтон Р., Сэндс М. Фейнмановские лекции по физике. Т. 1. М., 1967.

Хайек Ф.А. Индивидуализм и экономический порядок. М., 2001. Хасанов И.А. Время: природа, равномерность, измерение. М., 2001. Чесноков В.С. Сергей Андреевич Подолинский. М., 2001. Шухов Н.С. Ценность и стоимость. Ч. 1. М., 1994.

Эйлер Л. Соответствие между общими принципами покоя и движения Мопертюи / Вариационные принципы механики: Сб. ст. М., 1959.

Яглом А.М., Яглом И.М. Вероятность и информация. 3-е изд. М., 1973. Clausius R. Über die Wärmeleitung gasförmiger Körper // Annalen der Physik. 1865. Bd. 125.

Pareto V. Manuel d'Economie Politique. Paris, 1909.

Примечания

С. 9. Если это не так (у (?) Ф 0), то, положив, например, к (?) > 0 при 1 е [а, Ь] с [?0, ?1], получим, что в общем случае

J h (t )y (t )dt Ф 0

Ф1

to

(Галеев Э.М., Тихомиров В.М. Оптимизация. М., 2000. С. 146).

С. 9. Рассмотрев две функции Лагранжа Ь'(д, д, ?) и Ь (д, д, О, отличающиеся друг от друга на полную производную по времени от какой-либо функции координат и времени/(д, О

Ь '(д, д, г ) = Ь (д, д, г)+(д, г),

можно увидеть, что вычисленные с помощью этих функций интегралы (1) связаны соотношением

4 4 4 й-Т

Б' = |ь'(?, д, д) ж = |Ь (г, д, д) ж +ж =

'0 '0 '0

= Б + / (д ), к )-/(д (?0), ^),

т.е. отличаются друг от друга дополнительным членом, исчезающим при варьировании действия, так что условие 88' = 0 совпадает с условием 88 = 0, и вид уравнений движения остается неизменным. Таким образом, функция Лагранжа определена лишь с точностью до прибавления к ней полной производной от любой функции координат и времени.

С. 10. В декартовой системе координат функция Лагранжа (13) будет выглядеть так:

Ь = Т(УХ, У2, ...) - и(Г1, г2, ...), (I)

где — радиус-вектор 1-й точки; у1 — ее скорость.

С. 10. В силу изотропии пространства, которая означает, что механические свойства замкнутой системы не меняются при любом повороте ее в пространстве, функция Лагранжа (I) не может зависеть от направления вектора V, так что является функцией лишь от его абсолютной величины, т.е. от квадрата V2 = V2:

Ь = Ь (V2).

Если инерциальная система отсчета К движется относительно инерциальной системы отсчета К с бесконечно малой скоростью е V' = V + е, то соотношение между функциями Лагранжа, соответствующими данным системам отсчета будет таким:

Ь = Ь (V'2) = Ь (V2 + 2vе + е2),

или в покоординатной записи: Ь' = Ь (V'2) = Ь V + 2v1е + е2, VI + 2v2е + е2, ..., V,2 + 2^,е + е2). Разложим это выражение в ряд Тейлора по степеням е:

L (v'2 )=L (v1

2 v2 v2 )+

+

Г dL dL dL Л / 2 ч

dVf2v'+5Vf2v= + - +dVfv' e+0(в)

V 1 2 s J

Для того чтобы принцип относительности Галилея выполнялся, L' должна отличаться от L только на полную производную некоторой функцииf (Pareto V. Manuel d'economie politique. Paris, 1909. P. 246), т.е. должно выполняться равенство

df dL 0 dL 0 dL ^

Îi+dfv2+-+dVF2vs =

1 2 s (II)

dL „ dr dL „ dr2 dL „ dr j2—- + —2^ +... + —2—, 3vj dt dv2, dt dv; dt

а значит, (i = 1, ..., s) не могут зависеть от скорости (см.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика. М., 1988. Т. 1. С. 18):

2-dL = m1 = constl5 2-dL = m2 = const2, ..., 2-dL = m = const . (III)

dvi dv2 dvs

Интегрируя систему из s дифференциальных уравнений в частных производных (III), получаем однородную квадратичную зависимость функции Лагранжа от скоростей частиц, составляющих механическую систему:

l =у mi+с.

^ 2

i ^

Постоянные mi называются массами частиц с номерами i = 1, ..., s. Пренебрежение бесконечно малыми высших порядков o (в2) в равенстве (II) вносит незначительные погрешности в их вычисление.

Разумно предположить, что константа C, по отношению к скорости, представляет собой функцию взаимного расположения частиц -U(rj, r2, ...), где r{ — радиус-вектор i-й точки. Таким образом, кинетическая энергия системы может быть записана следующим образом:

T =Y mzL, (IV)

Г 2 '

а лагранжиан системы имеет вид (14).

С. 11. Здесь предполагается, что поле сил, действующих на каждую частицу механической системы, является консервативным, т.е. что сила может быть получена дифференцированием некоторой

потенциальной функции U. Уравнения (15) носят название второго закона Ньютона. Если тело не подвергается воздействию силы

(F. = 0), то уравнения Ньютона (15) принимают вид — = 0 , откуда

dt

следует, что

V = const. (V)

Таким образом, в инерциальной системе отсчета всякое свободное движение происходит с постоянной по величине и направлению скоростью. Это так называемый закон инерции Галилея (первый закон Ньютона).

С. 11. Поскольку кинетическая энергия является однородной квадратичной функцией скоростей (IV), к ней можно применить теорему Эйлера:

2T =Е q dT-=Е q дг • (VI)

, dq/i i dq. Лагранжиан замкнутой (или находящейся в постоянном поле) системы представим в виде разности кинетической и потенциальной энергии, причем последняя не зависит от скорости. Подставляя (VI) в (19), получаем, что энергия системы может быть представлена в виде суммы двух существенно различных членов: кинетической энергии, зависящей от скоростей, и потенциальной энергии, зависящей только от координат частиц:

H = T (q, q) + U (q) или в декартовых координатах

my2

H + U (r, <,•••) •

С. 12. В силу однородности пространства механические свойства замкнутой системы не меняются при любом параллельном переносе ее в пространстве. Закон сохранения импульса означает, что сумма сил, действующих на все частицы замкнутой системы, равна нулю:

Е р = о.

г

В частности, в случае системы, состоящей всего из двух материальных точек,

Г1 + г2 = 0, (VII)

т.е. действие равно противодействию (третий закон Ньютона) (см.: Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теоретическая физика).

С. 13. Функция

к

а(Х) = |Ь (¡, д + Хк(), д + Хк())Ж

+

+

/ (д (¡0 )+Хк (¡0), д (¡1 )+Хк (¡1)),

где к е С1 [0, ?1], имеет минимум при X = 0, значит, по теореме Ферма, вариация £

Ш к (¡о )+^к (¡1) (VI11)

^ дХ

1

=1

х=о ¡о

дЬ , дЬ -—Л +—к Эд дд

+

Эд (¡о) 0 Эд (¡1)

должна равняться нулю (7). Взяв к (?0) = к (?1) = 0 и проведя преобразования по (8)—(9), в силу леммы Лагранжа получаем, что уравнение Эйлера (10) является необходимым условием минимума в данной обобщенной задаче вариационного исчисления.

С. 13. Преобразуем вариацию (VIII), интегрируя ее второй член по частям:

5£ = [ ^кЖ + 1 ^Жк + (¡о (¡х ) =

¡0 Эд ¡о Эд

дд (¡1)'

гдЬ , , г, Ж дЬ „ , дЬ

= 1-кЖ _ I к--Жк +

^ дд -1 Жг1 дд

к 1

Ж дд

дед

-\>

дЬ

дЬ

'о \

+

дд Ж дед

_дЬ ( ) + д1 дс/ 1 дд (¡1)

+

дд (¡о)

1

+

'о

'дЬ, . д/ Л

(¡о ) +

дд дд (¡о)

д/ , / \ д/ , / \ —✓—г к(¡о) +---к(¡, ) =

дд (¡о) ^ дд (¡1) ^

+

к (¡1 ) = д/

'дЬ ( )+ д/ л дд о дд (¡о)

к (¡о )+ к (¡о)+

(IX)

дд 1 дд (^ )

к(^)=о.

При этом было использовано уравнение Эйлера (10). Полагая теперь в (IX) к (?) = ? _ ?1, приходим к условию трансверсальности (26). Если же взять к (?) = ? _ ?0, то результатом становится условие (25).

С. 19. Уравнение неразрывности представляет собой закон сохранения количества вещества в дифференциальной форме. Будем анализировать параметры системы в определенной точке, т.е. воспользуемся так называемым «эйлеровым подходом» (в отличие от которого «лагранжев подход» предлагает рассматривать динамику

отдельной частицы вещества). Изменение количества вещества в объеме Т, ограниченном поверхностью X, складывается из двух компонент. Во-первых, при наличии источников за единицу времени в данной точке порождается 0 количества вещества. Скорость пребывания вещества за счет источников с плотностью 0 будет

jQd т. Во-вторых, вещество движется, значит, оно выходит из фик-

т —

сированного объема. Пусть j — это вектор потока. Тогда количество вещества, вытекающего через площадку dS с вектором норма-

2 х

ли п в единицу времени, равно jndS, где (7, п. Если

1 =1

перейти от вектора потока вещества к вектору скорости его частиц

7 dm

V = 1-, где р =- — плотность, т — масса вещества, тогда скор d т

рость изменения количества вещества за счет его движения составит jрv«dа, где (V, = ^. Выпишем баланс сохранения коли-

£ 1=1 г

чества вещества: скорость изменения содержимого объема j рdт

т

равна возникновению вещества за вычетом его оттока за единицу времени, т.е.

а

— jрd т = j Qd т-jрva п а d а. (X)

Э? т т X

Воспользовавшись формулой Гаусса — Остроградского, переходим от поверхностного интеграла к объемному:

j № + &у ру - Q

т yдt

d т = 0. (XI)

Так как объем Т — произвольный, (XI) означает, что

+ &у ру = Q. (XII)

от

В частности, при отсутствии источников (0 = 0) приходим к уравнению неразрывности (45).

С. 23. Интегральное неравенство Коши — Буняковского имеет вид

} (/ • g )(х ) dx <lj (/ (х ))2 dx } ^ (х ))2 dx

а V а V а

(см.: Зорич В.А. Математический анализ. 2-е изд. М., 1998. Т. 1. С. 418). В нашем случае нужно положить / = Е^, g = у[Ё. Переходя к бесконечным пределам интегрирования в неравенстве Коши —

Буняковского, мы подразумеваем сходимость соответствующих несобственных интегралов.

С. 33. Отталкиваясь от идеи Ф. фон Хайека о диссипации знания в обществе (см.: Хайек Ф.А. Индивидуализм и экономический порядок. М., 2001), можно высказать гипотезу, что термин «плотность» применим не только к материи и энергии, но и к информации, а значит, и к энтропии. В связи с либеральными идеями Ф. фон Хайека представляется важной мысль, которую высказали Г. Одум и Э. Одум: «Индивидуальная свобода представляет собой форму беспорядка и ведет к увеличению степени упорядоченности системы, если существует взаимодействие труда человека и не использованной еще энергии. Очевидно, есть определенное равновесие между порядком и беспорядком, а инициатива отдельного человека и совместный труд людей являются компонентами такого равновесия» (Одум Г., Одум Э. Энергетический базис человека и природы. М., 1978. С. 306-307).

С. 33. Проблематика человеческого труда имеет тесное отношение к взаимосвязям между физическим и духовным, материальным и идеальным. Примыкает к этим проблемам и вопрос о сущности категории времени, который является одним из фундаментальных на протяжении всей истории развития науки. Его затрагивали такие ученые, как П. Лаплас, Л. Больцман, М. Планк, А. Пуанкаре, Э. Цермело, А. Эйнштейн, Дж. Гиббс, В. Ритц, М. Борн и многие другие (см.: Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса: новый диалог человека с природой. 4-е изд. М., 2003). Эта проблема перешла в разряд философских и нашла отражение в работах таких мыслителей, как Д. Дидро, И. Кант, Г. Гегель, А. Бергсон, А. Уайт-хед, К. Поппер, Г. Рейхенбах, и целого ряда других философов (см.: ХасановИ.А Время: природа, равномерность, измерение. М., 2001).

В трактовке времени как объективного явления используется понятие энтропии — внутренней характеристики физической системы, описывающей диссипативные процессы. Здесь фундаментальное значение имеет второй закон термодинамики, согласно которому энтропия с течением времени может лишь монотонно возрастать до максимального значения в состоянии термодинамического равновесия. Все устойчивые динамические процессы инвариантны относительно направления времени. Изотропность времени, свойства которого одинаковы в обоих направлениях, прослеживается в функции Лагранжа (12). Она не меняется при замене ? на , что, тем самым, вызывает обращение скорости — преобразование д на _д, оставляя уравнения движения неизменными. Система при этом будет продолжать движение по тем же

траекториям, но в обратном направлении (см.: Ландау Л.Д., Лиф-шиц Е.М. Теоретическая физика; Николис Г., Пригожин И. Познание сложного. 2-е изд. М., 2003. С. 60). Именно возрастание энтропии может рассматриваться как источник асимметрии прошлого и будущего, или «стрелы времени». По словам Н.А. Умова, «...без роста энтропии мы имели бы миры от века живые или от века мертвые» (Умов Н.А. Физико-механическая модель живой материи // Собр. соч. Т. 3: Речи и статьи общего содержания. М., 1916. С. 196).

Вместе с тем с развитием науки, в особенности с возникновением квантовой механики, в которой обратимая и детерминированная эволюция систем сосуществует с необратимостью, возникающей в процессе измерения динамических величин и связанной с определенным возрастанием энтропии, не только не были сняты трудности по объективизации времени, но и более того, появились дополнительные аргументы в пользу субъективной трактовки данного феномена (см.: Пригожин И., Стенгерс И. Порядок из хаоса...; Пригожин И. От существующего к возникающему: время и сложность в физических науках / Пер. с англ. 2-е изд. М., 2002).

Субъективный, идеалистический подход к категории времени собрал в высшей степени влиятельных сторонников из числа выдающихся исследователей недавнего прошлого, а также среди современных ученых. Это и неудивительно, ведь жизнь, тем более осмысленная, во многом придает направленность физическим процессам в окружающем нас мире, выступая в качестве их временной меры. Так, развивая учение о биосфере и ее переходе в ноосферу, В.И. Вернадский справедливо отмечал необратимость во времени процессов, создающих живые естественные тела (см.: Вернадский В.И. Биосфера и ноосфера. М., 1989. С. 144). По мысли В.И. Вернадского, в отличие от главной массы вещества, строящего биосферу, которая по своему генезису и строению противоположна живым естественным телам, последние «живут, т.е. растут и размножаются» (Вернадский В.И. Проблемы биогеохимии. М., 1980. С. 73). Время неразрывно связано с жизнью, которая задает его вектор. Это наталкивает на мысль, что в той мере, в какой существует жизнь, существует время и наоборот. В еще большей степени это присуще человеческой жизни, фундаментальным моментом которой является целенаправленная деятельность, формирующая вектор развития как природы, так и общества. На подобной позиции стоял, в частности, Л. фон Мизес. Доказывая основополагающую роль человеческой деятельности в функционировании любой экономической системы, он пишет: «Идея изменения подразумевает идею временной последовательности. Неподвижный, вечно неизменный мир находился бы вне времени, но он был бы мертв. Понятия изменения и времени нераздельно связаны друг с другом.

Деятельность направлена на изменение и поэтому находится в потоке времени. Человеческий разум даже неспособен представить себе идеи безвременного существования и безвременной деятельности. Тот, кто действует, разграничивает время, предшествовавшее действию, время, поглощенное действием, и время после завершения действия. Он не может быть нейтрален к ходу времени... Именно деятельность обеспечивает человека понятием времени и заставляет осознать ход времени» (Мизес Л. фон. Человеческая деятельность: трактат по экономической теории / Пер. с англ. М., 2000. С. 95—96).

В последнее время достигнут существенный прогресс физикой неравновесных, в частности диссипативных, процессов, которые протекают за счет рассеяния, или диссипации энергии, т.е. порождающей энтропию активности. Поскольку симметричные относительно времени уравнения неустойчивых динамических систем дают, в отличие от устойчивых, парные асимметричные решения, стало возможным рассматривать второе начало термодинамики как принцип отбора тех из начальных условий, которые приводят к реализации лишь одного из двух возможных решений — стремящегося к равновесию в будущем, а не в прошлом. «Обращение времени» требует информационных затрат, которые на достаточно продолжительных его промежутках становятся запретительно высокими. Это позволяет реабилитировать материалистическое понимание времени как объективной физической категории, в рамках которой существуют различные классы «соравномерных» процессов, в частности, наряду с физическим — особое, биологическое время; а также — восстановить в правах принцип активной материи, порождающей жизнь как «высшее проявление происходящих в природе процессов самоорганизации» (Гленсдорф П., При-гожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций / Пер. с англ. 2-е изд. М., 1973; Пригожин И. От существующего к возникающему...; Пригожин И., Стенгерс И. Время, хаос, квант / Пер. с англ. 5-е изд. М., 2003; Они же. Порядок из хаоса...; Хасанов И.А. Время: природа, равномерность, измерение).