Трение в деформируемых средах. Подход на основе полевой теории к термодинамике диссипативных процессов в рамках формализма Лагранжа Текст научной статьи по специальности «Математика»

Трение в деформируемых средах. Подход на основе полевой теории к термодинамике диссипативных процессов в рамках формализма Лагранжа

М. Шарготт

Падерборнский университет, Падерборн, D-33095, Германия

Унификация является глобальной задачей теоретической физики. Истинный формализм Лагранжа, основанный на принципе наименьшего действия Гамильтона, представляет собой унифицирующую процедуру, которая применяется одинаковым с методической точки зрения образом к каждой физической системе. На основе требований универсальной инвариантности теорема Нетер приводит к универсальным наблюдаемым, которые определяются соответствующими локальными уравнениями баланса. Известными примерами являются энергия и импульс.

Нас интересует полная термодинамика необратимых процессов в рамках лагранжева формализма. Используя комплексные переменные (аналогично волновой функции в квантовой механике), мы уже добились успеха в этом плане. Например, перенос тепла, главным образом, основан на комплексном термионном поле в качестве фундаментальной полевой переменной.

В этой статье показано, что трение в деформируемых средах можно также включить в рассмотрение. Лагранжев формализм связывается с моделью двух жидкостей. Две взаимно проникающие жидкости увеличивают трение в объеме, например типа Стокса или Кулона. Такое трение приводит к диссипативному замедлению относительного движения жидкостей, сопровождаемому необратимой передачей энергии от механических степеней свободы движения к тепловым степеням свободы, т.е. в итоге к температуре. Модель основывается на формализме Лагранжа идеальных жидкостей, в котором поля течения представляются потенциалами Клебша, которые вместе с массовыми плотностями определяют комплексное материальное поле и поле циркуляции. При определенном взаимодействии этих полей с термионными полями жидкостей-компонентов можно смоделировать процесс необратимой передачи энергии, вызванный диссипацией.

Предложенная модель позволяет описывать различные физические системы. Движение дислокаций в ходе пластического течения является наиболее известным примером. Множество дислокаций в качестве одной деформируемой среды проникает в кристаллическую решетку в качестве второй деформируемой среды.

1. Сущность формализма Лагранжа

1.1. Принцип действия Гамильтона

Принцип действия Гамильтона и формализм Лагранжа известны из классической механики консервативных систем. Обычно диссипация находится вне рамок принципа минимального действия в истинном смысле. Для системы, описываемой совокупностью из N обобщенных координат q = ^ (/), г = 1,..., М}, принцип Гамильтона записывается как

A =

^L{qt (0, <&i (t), t

= extremum

(1)

относительно свободной вариации 5q(t) действительного движения, имеющего фиксированные координаты в начале t1 и в конце ^ движения: Sq(t1 2) = 0.

Здесь А представляет собой интеграл действия (фазовый интеграл) движения, содержащий функцию Лагран-

жа, или лагранжиан L в качестве ядра вариационной задачи.

Вариационный процесс приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа:

dL d dL

d4i dt dqi

= 0, i = 1,

,N.

(2)

Решения этих уравнений описывают реальные процессы.

Эта статья посвящена лагранжеву формализму полей как обобщению этой концепции на полевую теорию.

Пусть задана физическая система в области пространства V с координатами х = {х1, х2, х3}. Происходящие в этом объеме процессы описываются совокупностью f = {^(х, {), I = 1,..., М} фундаментальных полевых переменных. Реальные физические процессы можно выделить из всех допустимых процессов при помо-

© Шарготт М., 2001

щи принципа действия Гамильтона, который теперь записывается в виде:

12

А = Ц/(/■(х, і), д /(х, і), У/(х, і), х, і)й.х<іі ■

и Г

(3)

= ехй

относительно свободной вариации 8Дх, t), реального процесса, сохраняющего фиксированные полевые переменные в моменты t1 и 12 в объеме V и на его границе дУ\

8/(х, і1,2) = 0

(4)

Ядро I есть так называемая плотность Лагранжа или лагранжиан системы.

Вариационный принцип Гамильтона вновь приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа, решения которых отождествляются с реальными процессами в системе:

д/

-д і

д/

--V-

д/

■ = 0, і = 1,

N.

(5)

В данной статье мы ограничимся рассмотрением вариационных задач типа (3), т.е. будем иметь дело с локальной теорией первого порядка по пространству и времени. Лагранжиан зависит от полей / и их первых производных Э/ = {Э/, Эа /}, а = 1, ..., 3. Такой формализм можно было бы обобщить для более высокого порядка, учитывая нелокальности. Однако, используя соответствующим образом выбранные вспомогательные переменные для замены производных и учитывая эти замены в вариационном процессе через множители Лагранжа, такой формализм всегда может быть сведен к первому порядку.

1.2. Универсальные симметрии и теорема Нетер Универсальные симметрии являются наиболее существенной структурой лагранжева формализма. По методическим соображениям их применяют к каждой физической системе. Формально они определяются через §-параметрическую группу Ли частного инвариантного преобразования

ха ^ ~а = К (х> є) а = 0 к ,3,

ха = {х0 = і> х1> х2’ х3}>

/ ^ / = ні(/, х, є), і = 1, к, Ы,

(6)

(7)

которая применима к лагранжиану в смысле критерия инвариантности:2

іл д _ - - I д д д

1 ді =д" и У = {д1’д2, дз} Чт-, , Д-

ді I дх1 дх2 дхз

2 (8) выражает критерий инвариантности в соответствующем смысле. В общем случае следует добавить 4-дивергенцию

/(/, ді/, V/, х, і) =

д~

дх

/(/, д~/, У/,~,~). (8)

Правые части формул преобразования (6) и (7) следует заменить. Величина е представляет собой множество {еу, у = 1,..., £■} групповых параметров. С учетом (8) уравнения (5) являются форм-инвариантными относительно инвариантных преобразований и реальный процесс Дх, 0 преобразуется в другой реальный процесс / (~, ~), который получается изДх, £) при использовании (6) и (7).

Приведем наиболее значимые требования универсальной инвариантности.

Временная трансляционная инвариантность:

о,

(9)

где t0 — групповой параметр этой однопараметрической группы. В физическом смысле это означает, что физические процессы должны быть воспроизводимыми в любое время. Это методический принцип, справедливый в любой области физики.

Пространственная трансляционная инвариантность:

о,

(10)

где х0 — групповые параметры данной трехпараметрической группы. Физические процессы должны воспроизводиться в любом месте пространства. И вновь мы имеем дело с методическим принципом, справедливым в любой области физики.

Ротационная инвариантность: х ^ ~ = ^(а1, а2, а3)х.

(11)

Поворот Я (ортонормированная матрица) применяется к полевым переменным в соответствии с особенностями их природы (скалярные, векторные, тензорные, спинор-ные и др.). Величины а г, i = 1, 3 являются группо-

выми параметрами этой трехпараметрической группы. В качестве методического принципа пространство изотропно в любой физике.

Согласно теореме Нетер [11, 13] каждый групповой параметр инвариантной группы связан с наблюдаемой а, которая неявно определена однородными уравнениями баланса Нетер:

ег ^ аг, причем Э1а1 +У-]а = 0. (12)

Применяя теорему Нетер к лагранжиану данной физической системы, эти наблюдаемые можно вычислить с помощью унифицированного прямого метода, что

приводит к наблюдаемым, которые имеют единый смысл во всех физических системах:

временная

трансляционная

инвариантность

пространственная

трансляционная

инвариантность

угловой момент.

ротационная ^

инвариантность

Будем называть эти наблюдаемые, полученные с помощью теоремы Нетер, наблюдаемыми первого рода. Рассматриваемая нами теорема Нетер является стандартным методом в формализме Лагранжа для любой физической системы. Поэтому определение лагранжиана для данной системы имеет значение не только для воспроизведения данной системы уравнений движения в качестве уравнений Эйлера-Лагранжа (обратная задача первого рода), но и для получения правильных уравнений баланса с помощью метода Нетер. Будем называть эту задачу обратной задачей второго рода.

2. Идеальная жидкость

В этом разделе мы рассмотрим идеальную жидкость, описываемую в эйлеровых координатах, в рамках лаг-ранжева формализма. Как правило, идеальная жидкость описывается уравнением неразрывности

д{ р + У- (рУ) = 0, и уравнением Эйлера

д{ (ру) + V - (рУ ® V + р(р)1) = 0,

(13)

(14)

где р(р) — гидроупругое давление.

Эти уравнения, не являясь самосопряженными, не могут быть уравнениями Эйлера-Лагранжа, связанными с определенным лагранжианом [12].

2.1. Преобразование Клебша

Как найти преобразование, которое приводит от уравнений (13), (14) к системе самосопряженных фундаментальных уравнений? Таким преобразованием для идеальной жидкости является преобразование Клебша [7, 15- 17]. Воспользуемся тем фактом, что любое трехмерное векторное поле можно локально представить с помощью так называемых потенциалов Клебша: для поля скоростей имеем

V(х, і) := УФ(х, і) + а(х, і)УР(х, і).

(15)

Используя это уравнение можно найти два лагранжиана, самосопряженные уравнения Эйлера-Лагранжа которых локально эквивалентны уравнениям (13), (14). Первый лагранжиан не содержит явным образом поле

скоростей V. Ур авнение (15) является апостериорным определением V. В принцип действия Гамильтона в качестве вариационных переменных входят только массовая плотность р и три потенциала Клебша:

I = -р| Э,Ф + аЭ,в + 1(УФ + аУР)2 + и(р) |. (16)

Во второй лагранжиан

1 = -р| Dtф + а^Р - — у + и(р)

(17)

поле скоростей V входит как дополнительная вариационная переменная. Оно присутствует явным образом в кинетической энергии (третий член) и в субстанциональной производной по времени:

Dt := ді + у-У-

(18)

Теперь уравнение (15) исходя из лагранжева формализма является уравнением Эйлера-Лагранжа. Функция и(р) представляет собой гидроупругую энергию. Давление в жидкости через энергию записывается как

р(р) := р

. ди(р) др '

(19)

Эта формула естественным образом вытекает из нете-рова баланса импульса.

Очевидно, что лагранжианы (16) и (17) совпадают на основании определения (15). Однако следует помнить, что они фундаментально отличаются, поскольку имеют различные типы вариации. Поскольку мы рассматриваем изолированную систему, внешние потенциалы, например сила тяжести, могут быть опущены. Впрочем, включение внешних потенциалов в формализм Лагранжа возможно, например при увеличении системы.

Мы должны осознавать, что в противоположность классической механике точки лагранжиан не является разностью между кинетической и потенциальной энергиями. И хотя эту разность можно найти в лагранжиане (17), для описания динамики системы в него входят дополнительные члены.

Мы предпочли второй лагранжиан (17), что объясняется его преимуществом, которое состоит в том, что задача Клебша является следствием вариационного принципа. Эта особенность будет сохраняться, даже если система будет физически увеличена (см. ниже). Второй особенностью лагранжиана (17) являются субстанциональные производные, которые обычно используются в динамике жидкостей.

С учетом лагранжиана (17) уравнения Эйлера-Лагранжа запишутся следующим образом (символ 8 означает вариацию соответствующей переменной):

8Ф: дір + У • (рд) = 0, (20)

8а: рОіР = 0, (21)

8р: ді (ра) + У • (рад) = 0, (22)

8д : -р(УФ + аУР- д) = 0, (23)

8р: Dі Ф + аDі Р- -2 д 2 + и + р = 0. др (24)

Уравнение (20) является уравнением сохранения (законом сохранения массы).

Используя (20), уравнение (22) можно привести к виду:

рDі а = 0,

(25)

который формально походит на уравнение (21).

Уравнения (21) и (25) определяют эволюцию потенциалов Клебша а и р. Из-за обращения в нуль полных производных по времени оба постепенно вовлекаются в течение. После нескольких преобразований можно видеть, что уравнения (21) и (25) представляют собой уравнения вихревого течения Гельмгольца:

д ш + Ух (-V х й) = 0, (26)

V- й = 0, (27)

где вихревое поле й определяется как

2й :^хV =VахVp. (28)

Уравнение (23) эквивалентно представлению Клеб-ша (15).

Уравнение (24) есть обобщенное или динамическое уравнение Бернулли, которое часто также называют уравнением Бернулли для вихревого течения [16].

Это становится очевидным, если (24) с учетом (23) и (19) преобразовать в

ді Ф + ад^ + — V 2 + и + — = 0.

2 р

(29)

2.2. Теорема Нетер: баланс импульса и энергии

Пусть задан лагранжиан I/, д/) для совокупности Л = {Л,, 1 = 1, •••, М] независимых полевых переменных. Так как он не зависит явным образом от координат по пространству х и по времени ^ он инвариантен по отношению к трансляциям в пространстве и во времени (10) и (9).

Баланс импульса

Благодаря пространственной трансляционной инвариантности наблюдаемый импульс неявно определен уравнением баланса Нетер

д,р + V•a = 0, (30)

причем плотность импульса определяется как

N д!

і д(ді Лі)

обусловленная импульсом плотность потока или тензор напряжений имеет вид:

а := -1 -£—— «

= = 7 д(УГ-)

(32)

Для лагранжиана (17) и уравнений Эйлера-Лагранжа (20)-(24) эти величины приводят к

р = рv

а = рд ® д + р(р)1.

(33)

(34)

Уравнение баланса Нетер (30) для импульса приводит к уравнению Эйлера (14) для идеальной жидкости:

ді (рд) + У • (рд ® V + р(р)1) = 0.

(35)

Следовательно, уравнение Эйлера не является уравнением Эйлера-Лагранжа, однако оно воспроизводит уравнение баланса импульса посредством метода Нетер.

Баланс энергии

Благодаря временной масштабной инвариантности наблюдаемая энергия определяется неявным образом уравнением баланса Нетер

д е.1в = 0 (36)

при плотности энергии

Л д1

е := У——— д,Т -1 (37)

7 дд,Т, 11 У ’

и обусловленной энергией плотности потока

г Л д-

je = Х-^ д, Т. (38)

г дVТ1■ ‘

Для лагранжиана (17) это дает

е =1 рд 2 + р^ (р) (39)

1е =|^-2 рд2 + р^ (р) ^ + р(р)д, (40)

что приводит к требуемому балансу энергии движущейся идеальной жидкости:

ді| -2рд2 +ри(р) | +

+ У •

2рд2 + ри(р) V + р(р)д

Л

= 0.

3. Теплопроводность в формализме Лагранжа

В термодинамике необратимых процессов теплопроводность в твердом теле является наиболее фундаментальным процессом.

Предполагая, что удельная теплота с и коэффициент теплопроводности X являются константами, запишем закон теплопроводности Фурье:

сдіТ(х, і) - ХАТ(х, і) = 0.

(42)

Обычно он основывается на принципе локального равновесия [8]. В таком формализме теплопроводность основывается на температуре в качестве единственной фундаментальной полевой переменной. Уравнение (42) не является самосопряженным, поэтому оно не может быть уравнением Эйлера-Лагранжа.

Однако существует лагранжиан, предложенный Антони [1, 4]. Он основывается на комплексном фундаментальном поле у, с помощью которого абсолютная температура определяется как

Т := у*у = у > 0.

(43)

Поле у называют полем термического возбуждения или термионным полем.

Лагранжиан для теплопроводности можно представить в двух различных формах, используя либо фундаментальную совокупность {у, у*} или совокупность {Т, ф}, т.е. температуру Т и соответствующую термическую фазу ф. Представления связаны между собой преобразованием

у = л/Теіф. (44)

Обсудим достоинства и недостатки обоих представлений.

3.1. Лагранжиан Антони

Лагранжиан Антони для теплопроводности в представлении через (у, у*) имеет вид [4]:

- (у, у , ду, ду ) = -су у -

(45)

з Хав + Е —

а, в=1 Ю

2- |(у*дау)(у*дру)-

- МаУ*)(удру*)}+ ^ 2 да(У»др(V»

2(У у)

где с — удельная теплота; Хав — компоненты тензора теплопроводности. Обе величины считаются постоянными. Постоянная ю вводится только из соображений размерности; © — исходная температура. Заметим, что

лагранжиан является действительным, что немаловажно для принципа действия Гамильтона: действие физических величин должно быть реальным. Применяя преобразование (44), запишем лагранжиан (45) в виде:

-(Т, дТ, дф) = -сТ - і [сТд, (ф - фо (Т)) + Ю

+ (-Х-УТ) • У(ф - фо(Т)) + д А(Т)]

(46)

в представлении через {Г, ф}. Здесь мы использовали обозначения:

фо(Т)=

_0

2Т ’

0 1 5,

2Т ^ 52

Т Т/0 5

(47)

(48)

где р(Т) — давление, которое в этом примере следует рассматривать как реакцию твердого тела. Следует отдавать себе отчет в том, фазовая переменная ф входит в лагранжиан (46) не явным образом, а только через ее производную. Поэтому лагранжиан инвариантен по отношению к калибровочным преобразованиям фазы:

(49)

Это справедливо и в случае лагранжиана (45). Перека-либровка

(50)

не изменяет лагранжиан.

Для лагранжиана (46) уравнения Эйлера-Лагранжа записываются следующим образом:

8ф: — [сд і-Х--УУТ ]= 0, ю _

(51)

8Т: с + Ю [ (ф - ф0 (Т)) + Х • •УУ(ф - ф0 (Т))] = 0.

(52)

Ю

Примечания

- Воспроизведенный закон теплопроводности Фурье (51) приведен для общего анизотропного случая. Взятое само по себе это уравнение не является самосопряженным.

- Второе полученное уравнение (52) делает систему

(51), (52) самосопряженной. Конечно, уравнение (52) должно получить интерпретацию.

- Частное решение уравнения (52) имеет вид:

ф р = -Юі +

_0

2Т ’

(53)

который в рамках всей теории ассоциируется с обычным принципом локального равновесия.

+

Как трактовать тепловую фазовую переменную?

Во-первых, фазовые переменные не представляют ничего нового в полевой теории. Некоторые комментарии по этому поводу приведены ниже.

Во-вторых, вспомним о том, что обычный закон Фурье связан с принципом локального равновесия. Использования только закона Фурье не достаточно для соответствия принципу Гамильтона. Поэтому следует рассмотреть больше информации о системе, особенно это касается информации о производных при локальном равновесии.

В лагранжиане Антони для теплопроводности эта информация связана с тепловой фазовой переменной.

С физической точки зрения, лагранжиан (46) неполон, поскольку отсутствуют члены, описывающие систему вне локального равновесия. Особенно это касается членов, связанных с тепловыми инерционными эффектами. Частное решение (53) связано с локальным равновесием. Решение проблемы заключается в том, чтобы описать процессы вне локального равновесия. Формализм Лагранжа предоставляет соответствующий инструмент для этого.

Очевидно, что выражение (46) можно рассматривать как разложение в ряд Тейлора лагранжиана относительно производных д, (ф-ф0(Г)) и V(ф-ф0(Г)) вплоть до членов первого порядка. Расширение этого разложения до членов второго порядка дает нам связанные уравнения Эйлера-Лагранжа гиперболического типа. Это приводит к процессам теплопроводности, происходящим вне состояния локального равновесия [6, 9].

В этой статье мы ограничимся случаем локального равновесия, описываемого частным решением (53).

3.2. Нетеров баланс энергии

Посредством теоремы Нетер баланс энергии определяется величинами (37) и (38). Используя уравнение (53), найдем уравнение баланса энергии для процесса теплопроводно сти:

ді (сТ) + У- (-Х-УТ) = 0.

(54)

В данном простом случае закон Фурье и баланс энергии Нетер совпадают из-за постоянства величины удельного тепла и недостатка механических степеней свободы (твердое тело). Перенос тепла в движущейся жидкости учитывается в гораздо большей степени (см. ниже).

3.3. Использование и смысл комплексных фундаментальных полей

В этом параграфе кратко обсуждается значимость комплексных полей. Рассмотрим комплексные поля У и у* в качестве основных или фундаментальных полей, считая температуру вторичной или производной величиной.

Каковы положительные стороны представления через {у, у*} или {Т, ф}?

Для того чтобы прояснить смысл нашей точки зрения, взглянем на квантовую механику как на другой пример полевой теории. Лагранжиан в квантовой механике одной частицы имеет вид:

-(Т, Т*, дТ, дТ*, х) = -—(Т*діТ - ТдіТ*) -2і

й2

-----УТ* -УТ-Т*ТК(х).

2т

(55)

Уравнения Эйлера-Лагранжа являются хорошо известными уравнениями Шредингера:

Й Й 2

8Т*: — д і Т + АТ- V (х)Т = 0,

і 2т

(56)

8Т : - д, Т* + — АТ*- V (х)Т* = 0. (57)

1 2т

Комплексное поле Т не является наблюдаемой, хотя считается фундаментальным. Наблюдаемые величины, подобные плотности вероятности р или соответствующему потоку вероятности jр, получены как вторичные величины.

Однако можно использовать эти величины в качестве основных переменных, если применить к лагранжиану (55) преобразование

(58)

Тогда мы придем к лагранжиану

- (р, др, дф) =

рд і Ф +

(Ур)2 2т 4р

+ -р (Уф)2 +рV (х)

2т

и к уравнениям Эйлера-Лагранжа

дір + У •І р— | = 0,

т

діф + -±- (Уф)2 -^ ^ + V(х) = 0. 2т 2т ^р

(59)

(60)

(61)

Первое уравнение описывает сохранение вероятности, причем

р = Т*Т= Т

есть плотность вероятности и

р

І :=-Уф

т

есть поток вероятности.

(62)

+

Уравнение (61) тесно связано с обобщенным уравнением Бернулли и описывает эволюцию фазовой переменной. Это существенно для описания динамики системы.3 Эти уравнения полностью эквивалентны уравнениям Шредингера, и нет никаких физических причин различать эти два представления.

Возникает вопрос: почему в квантовой механике комплексным полям оказывается предпочтение и они рассматриваются как фундаментальные? Ответ заключается в следующем:

- Начиная с {Т, Т*] -представления (55), плотность вероятности в качестве нетеровой плотности неотрицательна:

р = | Т |2 > 0. (64)

Оказывается, уравнение (60) является нетеровым балансом, связанным с калибровочной инвариантностью (см. (50)). Оно неявно определяет наблюдаемую, а именно пространственную вероятность для частицы в квантовой механике.

- При р = 0 имеется сингулярность, возникающая из {р, ф] -представления (59). Существует аналогия между {Т, Т*} -представлением и декартовыми координатами (х, у, z), с одной стороны, и между {р, ф] -представлением и полярными координатами (г, Ф, 0), с другой стороны. Также существует сингулярность, возникающая при г = 0.

Однако самым важным моментом является линейность уравнений Шредингера, позволяющая использовать принцип суперпозиции. Это соответствует интерференционным явлениям в квантовой механике. Эти явления практически не видны из нелинейной системы уравнений (60), (61).

По-видимому, единственной причиной для использования комплексных полевых переменных является линейность уравнений Шредингера и их схожесть с явлениями интерференции. Простота математического моделирования есть последняя причина того, что предпочтение отдается {Т, Т*} -представлению.

Возможность квантования волновой функции Шре-дингера является другой причиной; однако это находится за рамками нашей работы.

3.4. Комплексные поля и понятие энтропии

В случае теплопроводности и согласно представлениям (45) и (46) первые два аргумента также справедливы. Естественным образом приходим к

Т = у*у > 0. (65)

3 {р, ф] -представление квантовой механики называется представлением Маделунга [10, 16]. Оно имеет сходство с уравнениями безвихревого движения идеальной жидкости (см. следующий раздел), поэтому его иногда называют жидкостью Маделунга

Существует сингулярность, возникающая при Т = = у*у = 0, чего не происходит в {у, у*] -представлении (45). Однако ни в одном из двух представлений нет линейности. Тем не менее последним аргументом в пользу {у, у*] -представления вновь остается простота моделирования. Понятие энтропии, обусловленное уравнением баланса неоднородной энтропии, естественным образом включается в формализм Лагранжа, примененный к термодинамике необратимых процессов [1-3]. Наряду с прямым обобщенным методом Нетер неоднородный энтропийный баланс обусловлен инвариантностью лагранжиана (45) по отношению к калибровочной группе (50). Наиболее простую форму вся процедура имеет в {у, у*] -представлении. Полевые *

переменные у и у в известном смысле аналогичны декартовым координатам в евклидовой геометрии. В рамках формализма Лагранжа каждая наблюдаемая первого рода (энергия, импульс, масса и др.) имеет аналог, который на основе обобщенной теоремы Нетер связан с той же самой инвариантной группой лагранжиана. Назовем его наблюдаемой второго рода. Энтропия является наиболее заметной среди наблюдаемых второго рода. Она является аналогом массы как наблюдаемой первого рода, обе наблюдаемых связаны с перекалибровкой

(50) и с калибровочной инвариантностью лагранжиана.

Следовательно, в случае теплопроводности предпочтение {у, у*] -представлению также отдается по причине простоты дальнейшего моделирования.

3.5. Классическая жидкость и комплексные поля

В классической динамике жидкостей также можно ввести комплексные фундаментальные поля. Для этого запишем выражение, включающее массовую плотность р > 0 и потенциал Клебша Ф из уравнений (15) и (16), для того чтобы определить комплексное материальное поле:

, ф

Т :=д/ре Ф 0, (66)

где постоянная Ф0 вводится из соображений размер-

ности.

В дополнение, для двух других потенциалов Клебша а и в, используя комплексное циркуляционное поле, можно записать:

г := л/ае1в. (67)

Это можно выполнить всегда, поскольку в (15) совокуп-

ность всех потенциалов Клебша всегда можно перека-либровать [3, 14] таким образом, чтобы получить

а > 0. (68)

Оставим читателю преобразование лагранжиана (16) в {Т, Т*, 2, 2*] -представление с учетом (66) и (67).

4. Идеальная жидкость при переносе тепла

Следующим шагом рассмотрим идеальную жидкость с тепловыми степенями свободы (сравни, например, с [15]). В этой статье мы ограничились простым случаем, когда внутренняя энергия является суммой гидроупругой и тепловой энергии:4

W(р, Т) = и(р) + сТ, (69)

т.е. не существует термомеханической связи, обусловленной энергией системы.

Используя обозначение

ф:=ф-ф0(Т),

(70)

лагранжиан для идеальной жидкости с учетом теплопроводности запишем как:

I = -р| Б,Ф+аБ,в + — ТБ,ф - - V2 + и(р) + сТ 1 + ю 2

+—УТ-Уф. ю

(71)

Это выражение представляет собой суперпозицию лагранжиана (17) и уравнения (46) с учетом минимальной связанности. Опустим уравнения Эйлера-Лагранжа. Однако читателю не следует сомневаться в том, что вариация V приводит к следующему представлению поля скоростей (обобщенное или адаптированное представление Клебша):

V = УФ + аУР + — ТУф.

ю

(72)

Кинематическая термомеханическая связь имеет место благодаря переносу всех полей вместе с потоком жидкости (этот факт описывается субстанциальными производными по времени Б,ф = Б,(ф-ф0)). Нетеров баланс импульса, определяемый уравнениями (31) и (32), теперь записывается как

д, (ру) + У

---(УТ ®Уф + Уф ®УТ)

ю

= 0.

(73)

Тензор напряжений (в квадратных скобках в дивергентном члене) содержит дополнительные члены из-за теплопроводности. Точно определяя частное решение

(71)

ф = -ю, + ф0(Т) ^ ф = -ю,,

(74)

связанное с локальным равновесием, получим уравнение Эйлера

4 Исключительно ради простоты и для того чтобы сделать очевидной красную нить статьи; обобщение на внутреннюю энергию, имеющую вид W(р, Т), не представляет труда [14]

д, (рУ) + У - (рУ ® V + р(р)1) = 0

(75)

для процессов в локальном термическом равновесии, т.е. тепловые члены, обусловленные теплопроводностью, вводятся в баланс импульса, только если мы переходим к процессам вне локального равновесия. Баланс энергии Нетер, определяемый уравнениями (37) и (38), теперь имеет вид:

д,I 1рг2 + ри + р—Т -^-УТУф | +

(

+У

2рд2 + ри + рсТ V + рд +

(76)

+ —(УТЭ, ф+ д,ТУф )| = 0.

И вновь из-за тепловых степеней свободы существуют дополнительные степени свободы. Используя выражение (53), мы получим выражение

д,| —р*2 +ри + рсТ | +

(77)

+У

— рд +ри + рсТ р + ри-ХУТ

= 0,

известное как баланс энергии в термодинамике необратимых процессов в пределах локального равновесия. В нем содержится полная внутренняя энергия, кинетическая энергия и полная энергия потока, состоящая из субстанциального потока энергии, упругого потока ри и теплового потока jq = -ХУ Т.

5. Диссипация в лагранжевом формализме: простая модель двух жидкостей

На следующем этапе рассмотрим явления диссипации. Обычно считается, что в лагранжевом формализме процессы диссипации не могут быть описаны. Это всего лишь догма. В следующих разделах мы представим лагранжиан, который действительно учитывает диссипацию. Между механическими и тепловыми степенями свободы происходит необратимый перенос энергии.

Предполагается, что две взаимно проникающие жидкости взаимодействуют только посредством силы трения. Эта сила трения зависит от относительной скорости между жидкостями. Для простоты пренебрежем упругим взаимодействием, теплопроводностью и теплообменом в жидкостях. Используя

1 = 11 + 12 + 112> (78)

шаг за шагом построим лагранжиан комбинированной системы. Члены 11 и 12 являются лагранжианами типа (71) для изолированных жидкостей-компонентов 1 и 2 соответственно. Слагаемое 112 представляет собой член

взаимодействия между компонентами. Принимается, что скорость диссипации энергии имеет вид:

а(і— V2) = а( - v2 ^=

I > О при IV1 - V2 І Ф О,

I = О при IV1 - V2 I = О,

(79)

т.е. она зависит только от относительной скорости. Следует иметь в виду два конкретных и особо важных случая:

- трение Стокса

аStokes = M-s(V1 V2) ,

- трение K^rom

аCoulomb = М-c\ V1 - V2

(80)

(81)

Здесь и цс — коэффициенты трения, обусловленные

проникновением одной жидкости в другую. Будем считать, что они постоянны. Скорость диссипации (79) входит в член взаимодействия:

l12 = - —(УіФі + Y2Ф2)а(| V1 - V2

Ю

(82)

где р0 — начальная плотность; ю — уже известный нам размерностный множитель (уравнения (45), (46)). Постоянные коэффициенты У1 и у2 описывают те доли у1а и у2а диссипации энергии а, которые передаются в жидкости-компоненты 1 и 2. Из соображений сохранения энергии эти коэффициенты подчиняются условию:

Ї1 +У 2 = 1- (83)

5.1. Модель двух жидкостей без учета теплопроводности

Полный лагранжиан записывается как

1 = -pi| D^i + аЛРі + — TlDlфl -Ю

--JVi2 + Ui(pi) + ciTi |-

p21 ^Ф2 + а2D2в2 + T2D2^

Ю

- 2 V22 + U 2 (p2) + c2T2 |-

- — (ф1 + У2ф2 ^ X

ю

где использованы обозначения: Б1 := д, + д1 - У и Б2 := = д, + д2 -V. Удельная теплота с1 и с2 обеих жидкостей-компонентов полагается постоянной. Для простоты

члены ф10(Т1) и ф20(Т2) опускаются (01, 02 = 0).

Согласно нашей физически упрощенной модели этим лагранжианом будет описываться замедление относительного движения двух жидкостей, сопровождающееся независимым разогревом обеих жидкостей.

Уравнения Эйлера-Лагранжа в результате вариаций всех полей, имеющих отношение к жидкости 1, в явном виде имеют вид:

8Фі : дtPi +V-(PiVi) = О,

8аі: PiDiei = О,

8ft: дt(Plal) + V^(PlalVl) = О,

8Фі : — (clдt (PiTi) + ciV • (PiTiVi) -

Ю

^Yi^) = °

8Pi : DlФl + ^^3 — + c1 TlDlфl - — Vi2 +

Ю 2

(84)

(85)

(86)

(87)

+ u— + pi —— + ciTi = О, дPl

8v— : - Pi I VФl + а—Ve— +—Ю T1Vфl - v— | -

- —СУ—Ф— + Y 2Ф2) —^ = О Ю dv—

8t— : —1 piD^i + pi-i = О.

Ю

(88)

(89)

(90)

Уравнения для жидкости 2, обозначим их как уравнения (91), получаются простой заменой индексов 1 о 2.

Примечания к уравнениям Эйлера-Лагранжа

1. Комбинируя уравнения (87) и (84), можно получить уравнение эволюции температуры в жидкости 1:

рлАТ = р0 У1®. (92)

Благодаря диссипации это приводит к увеличению температуры, что сопровождается переносом материала с потоком жидкости вдоль температурного поля.

2. Уравнение (89) приводит к представлению Клеб-ша поля скоростей, которое в случае непостоянной скорости диссипации представляет собой неявное определение у1:

V1 = УФ1 + а^Р! + —1 Т[Уф1 + ю

р0 , чда(|У1 -^2 |) (93)

+ — (Ї1ф1 +Ї2ф2) ' г------.

р1ю ди1

3. Уравнение (90) имеет частное решение ф1 = -юі.

Для того чтобы точно охарактеризовать динамику, рассмотрим баланс импульса и баланс энергии и найдем решение для простой системы.

5.2. Уравнение баланса Нетер

Используя для относительной скорости обозначение

1 v2,

запишем выражение баланса полного импульса — t (Plv1 + P2v2) + V- [Pivi ® vi + P2v2 ® v2 +

+pi—+p2—+afriction ] = о5,

(95)

(96)

где

Po

Ю

(Y—Фі + Y 2Ф2М +

+ — (YlФl + Y2Ф2) u ® —^ Ю du

(97)

Уравнение (96) без члена аИсйюп представляет собой баланс энергии для системы двух жидкостей без учета диссипации (см. уравнение (75)). Дополнительный член а в полном тензоре напряжений (в квадратных скобках [...] в уравнении (96)) возникает из-за взаимодействия между обеими жидкостями. Он связан с динамикой тепловых фаз ф1 и ф2 двух жидкостей и с относительной скоростью и через скорость диссипации а( м |) Несмотря на то, что частные решения ф1 и ф 2 (см. уравнение (94)) увеличиваются во времени, очевидно, что аИсйюп стремится к нулю при t ^ ^ для случаев трения Стокса или Кулона (см. уравнения (80), (81)).

Такая же ситуация имеет место для нетерова баланса полной энергии:

—t| — pivi2+piui+piciTi |+

+V

1 а 2

—pivi +piui+piciTi+pi

1

+ —t| — p2v22 + p2U2 + p2C2T2 | +

(98)

+V

+ d,

-V^

i а 2

~ p2v2 + p2U 2 + p2C2T2 + p2

(Y—Фі + Y2Ф2/a-u • £ Ю I du

—(Y—Фі + Y2Ф2)(vai ® v— - v2 <8> v2)Iа Ю du

= 0.

5 Уравнение Навье-Стокса для вязких сдвиговых напряжений в однокомпонентной жидкости имеет такую же формальную структуру

Первые четыре строчки представляют хорошо известный баланс энергии двух жидкостей без трения, две последние строчки обусловлены диссипацией, вызванной трением. Квадратные скобки [...] вновь интерпретируются как плотность и плотность потока «энергии переноса», обусловленной процессом трения. И вновь оба члена стремятся к нулю при t ^ ^ в случаях трения Стокса и Кулона. При t = 0 начальные значения этих членов также обращаются в нуль. Поэтому в течение процесса трения возникает только энергия переноса.

5.3. Простые решения

Найдем относительную скорость и = vj - v2 в специальном случае. Будем рассматривать одномерное течение при Vj(х, t) = v1(t)ex и v2(х, t) = v2(t)ex. В этой задаче всюду подразумевается одинаковая скорость. В каждой точке объема диссипация одинакова. Поэтому температура также зависит только от времени, при условии, что T (х, t = 0) = T0 = const. Более того, будем предполагать постоянство производных Pj = const и P 2 = const. В этой простой модели исчезают все потоки. Взяв фундаментальные уравнения (84)-(91) и выполнив некоторые вычисления, получим уравнение для относительной скорости:

Ю

i+i p1 p2

I

(Y—Фі + Y 2Ф2)

da(u)

du

I

. (99)

Используя размерностный множитель p0 в виде

Po :=

p1p2

Pi +P2

и частное решение (94), получим , da(u)

dtu(t) = -dt| t

du

(100)

(101)

Это уравнение является континуальным аналогом уравнения движения Ньютона с членом, обусловленным силой трения, в правой части.

Трение Кулона

Если мы рассматриваем скорость диссипации куло-новского типа стСои1отЬ := ц| и |, получим решение:

и(,) = и0 -ц,, (102)

которое и следовало ожидать. Поскольку в нашей модели рассматриваются две жидкости, мы имеем дело с трением типа кулоновского в объеме, а не с сухим трением между соседними поверхностями.

В случае трения Кулона энергия переноса отсутствует всегда:

дстг

— СУіФі + Y2Ф2) aCoulomb - u-Ю

Coulomb

du

= 0. (10З)

+

+

Трение Стокса

Если мы будем рассматривать скорость диссипации

2

типа Стокса стйоке8 := ци , получим решение:

и(,) = ———,

1 + 2ц,

(104)

которое стремится к нулю при t ^ го, но отличается от обычного решения для трения Стокса:

Us(t) = Uoe

-ц?

(105)

Различие между обычно рассматриваемым решением (105) и нашим альтернативным решением (104) коррелирует с необращающейся в нуль энергией переноса:

—(гм + Y2Ф2 / - и • da;St!kes

ю I ди

= -Р°(у1ф1 + Y2Ф2 )^Stokes * 0, ю

(106)

что имеет место в нашем альтернативном подходе. Эта энергия переноса также приводит к несколько модифицированной силе трения в уравнении (101).

Итоговое замечание: можно воспроизвести обычный процесс (105), воспользовавшись подобранной соответствующим образом скоростью диссипации ст. Однако тогда будут существовать отличия от классического случая (80).

7. Заключительные замечания

Было показано, что вводя модель двух жидкостей, можно учитывать диссипацию в рамках лагранжева формализма. При соответствующем обобщении можно рассмотреть лагранжиан и систему фундаментальных полевых переменных упругости в обеих средах-компонентах, а также упругое взаимодействие между ними. Далее можно расшить термодинамическую часть лагранжиана, чтобы учесть тепловой поток и перенос тепла между двумя средами-компонентами. В любом случае, конечная цель состоит в том, чтобы описать всю информацию о кинематике, механике и термодинамике с помощью одной функции, а именно лагранжиана системы.

Такая модель могла бы быть необходимым инструментом для описания пластичности в рамках формализма Лагранжа. Пластичность обусловлена диссипативной динамикой дислокационной системы в кристаллической решетке. Рассматривая эту дислокационную систему в качестве первой деформирующейся жидкости

и носитель материала как вторую деформируемую жидкость, можно описать полную динамику пластически деформируемого твердого тела в виде диссипативной динамики двух взаимопроникающих деформирующихся жидкостей [3, 5].

Представленные здесь исследования продолжаются.

Литература

1. AnthonyK.-H. A new approach to thermodynamics of irreversible pro-

cesses by means of Lagrange formalism // Disequilibrium and selforganization / Ed. by C.W. Kilmister. - Dordrecht: Reidel Publishing Company, 1986. - P. 75-92.

2. Anthony K.H. Entropy and dynamical stability — a method due to Lagrange formalism as applied to thermodynamics of irreversible processes // Trends in Applications of Mathematics to Mechanics / Eds. by J.F. Besseling, W. Eckhaus. - Springer, 1988. - P. 297-320.

3. Anthony K.-H. Hamilton’s action principle and thermodynamics of irreversible processes — a unifying procedure for reversible and irreversible processes // J. Non-Newtonian Fluid Mech. - 2001. - V. 96. -P. 291-339.

4. Anthony K.-H. Phenomenological thermodynamics of irreversible pro-

cesses within Lagrange formalism // Acta Physica Hungarica. - 1990. -V. 67. - P. 321-340.

5. Anthony K.-H., Azirhi A. Lagrangian field theory of plasticity and dis-

location dynamics — attempts towards unification with thermodynamics of irreversible processes // Arch. Mech. - 1998. - V. 50. - No. 3. -P. 345-365.

6. Anthony K.-H., Knoppe H. Phenomenological thermodynamics of irre-

versible processes and Lagrange formalism — hyperbolic equations for heat transport // Kinetic theory and extended thermodynamics / Eds. by I. Mueller, T. Ruggeri. - Bologna: Pitagora Editrice, 1987. -P. 15-30.

7. Clebsch A. Ueber die Integration der hydrodynamischen Gleichungen // J. Reine und Angew. Math. - 1859. - B. 56. - S. 1-10.

8. de Groot S.R., Mazur P. Non-equilibrium thermodynamics. - Amsterdam: North-Holland, 1969.

9. Fenner M. Beitraege zur Thermodynamik im Lagrange formalismus / Diploma Thesis. - University Paderborn, 1989.

10. Madelung E. Quantentheorie in hydrodynamischer Form // Z. Phy-sik. - 1926. - B. 40. - S. 322-326.

11. Noether E. Invariante. Variationsprobleme // Nachr. Ges. Wiss. Goettingen Math.-Phys. Kl. - 1918. - S. 235-257.

12. Santilli R.M. Necessary and sufficient conditions for the existence of a Lagrangian in field theory I // Ann. Phys. (NY). - 1977. - V. 103. -P. 354-408.

13. SchmutzerE. Symmetrien und Erhaltungssaetze der Physik. - Berlin: Akademie-Verlag, 1972.

14. Scholle M. Das Hamiltonsche Prinzip in der Kontinuumstheorie nicht-dissipativer und dissipativer Systeme // Diss. University Paderborn, 1999.

15. Seliger R.L., Whitham G.B. Variational principles in continuum mechanics // Proc. R. Soc. London, Ser. A 305. - 1968. - P. 1-25.

16. Wagner H.-J. Das inverse Problem der Lagrangeschen Feldtheorie in Hydrodynamik, Plasma-dynamik und hydrodynamischem Bild der Quantenmechanik. - Habilitationsthesis University Paderborn, 1997.

17. Wagner H.-J. On generalized Weber and Clebsch transformations // Arch. of Mech. - 1998. - V. 50. - P. 645-655.