CC BY
69
Описание пластической деформации в рамках формализма Лагранжа. Динамика дислокационных классов
М. Шарготт
Берлинский технический университет, Берлин, D-10623, Германия
В теории упругопластической деформации из-за эффекта осреднения классического тензора дислокаций не учитывается мезомасштабная информация о дислокационных сетках. В этой работе представлен подход, основанный на теории дислокационных классов. Эти классы представляют собой субконтинуумы, отличающиеся полями дислокаций, имеющих различные плоскости скольжения, векторы дислокационной линии и векторы Бюргерса. Они вводятся в упругую среду, в которой допускается пластическое течение, так называемый обобщенный континуум Коссера.
Поскольку пластическая деформация в основном обнаруживает поведение, подобное поведению жидкости, в этой теории вначале вводится хорошо известное описание жидкости в рамках формализма Лагранжа, к которому добавлены основные геометрические уравнения — поля векторов Коссера. Динамика дислокационных классов также моделируется как идеальная жидкость, предполагая, что существует связь между действующими напряжениями и скоростями дислокаций.
Показано взаимное влияние распределений дислокаций различных классов при условии отсутствия дислокационных реакций.
1. Введение
Пластическая деформация кристаллов основана на динамике дислокаций в кристалле. Несмотря на то, что свойства дислокаций и дислокационных сеток хорошо известны на микроуровне, возникает проблема феноменологического описания на макромасштабе. Классический тензор плотности дислокаций (см., например, [1]) представляет собой макроскопическое среднее распределения дислокаций и не дает возможности корректного описания близкодействующего взаимодействия дислокаций, учет которого, однако, важен для пластической деформации и эффекта деформационного упрочнения.
Другая проблема возникает из-за того, что феноменологическое описание в рамках полевой теории, как правило, начинается с теории упругости, в которой предполагается глобальная система координат и существование субстанционального континуума [1]. Такую глобальную систему координат нельзя использовать, если имеются дислокации, из-за их топологического влияния на кристалл. Исключая ядра дислокаций из рассмотрения в рамках теории упругости, мы можем использовать прежнюю концепцию.
Однако пластическая деформация нарушает даже локальные системы координат: любая возможная координатная линия может быть перерезана движущейся дислокацией. На практике большие пластические деформации могут нарушать локальные связи в материале, приводя к так называемому пластическому течению: кристалл приобретает свойства, характерные для жидкостей. Такое поведение, подобное поведению жидкости, следует учитывать при описании общей динамики кристалла при пластической деформации.
Существует возможность добавить в систему дополнительные степени свободы, используя методы калибровочных полей [2]. Однако также следует учесть взаимодействие дислокаций в кристаллах.
В данной работе предложен другой подход. Он связан с идеями, изложенными в работе [3]. Кристалл моделируется как жидкость, подразумевая, что таким образом описываются необходимые свойства течения. Дополнительная субструктура гарантирует, что упругие деформации (особенно сдвиговые деформации) вызывают упругие напряжения.
Жидкость с субструктурой представляет собой так называемый обобщенный континуум Коссера. Исход-
© Шарготт М., 2003
ные векторы Коссера состоят из трех неподвижных ор-тонормированных векторов, которые впервые были введены братьями Коссера [4] для описания деформации мембраны. Обобщенный континуум Коссера содержит три независимых и деформируемых векторных поля, тем самым, обеспечивая девять степеней свободы. Нелинейные упругие свойства могут быть получены из этих векторных полей, если последние движутся в описанной выше жидкости, которая представляет собой окружающий материал. При движении в жидкости происходит деформация векторов Коссера, которая приводит к возрастанию энергии и, предполагая корректную функцию энергии, вызывает напряжения в результате изменения деформаций. Эти напряжения могут уменьшиться только, если движение жидкости и, в силу этого, движение и деформация векторов Коссера изменятся. Это — упругое поведение.
В случае отсутствия сильного сцепления и смещения векторов Коссера вместе с жидкостью эти вектора приобретают собственную динамику. Теперь уменьшение напряжений может быть вызвано другими процессами, а не только изменением поля скоростей, существует второй «канал» уменьшения напряжений, означающий, что остается только чистая скорость: происходит пластическое деформирование.
Более того, для кристаллов пластическая деформация основана на динамике дислокаций, т.н. теория дислокационных классов. Поэтому для ее учета вводится континуальное описание. Класс дислокаций есть субконтинуум, в котором все дислокации, описываемые характерным набором векторов, суммируются. Этими векторами являются вектор Бюргерса, вектор направления дислокационной линии, вектор нормали к плоскости скольжения и вектор направления скольжения, являющийся векторным произведением двух последних векторов, поскольку вектор линии и вектор скольжения оба лежат в плоскости скольжения.
Оба подхода (теория обобщенного континуума Коссера и теория дислокационных классов) связаны и являются неотъемлемой частью формализма Лагранжа по двум причинам. Во-первых, формализм Лагранжа представляет собой обобщающую концепцию теоретической физики, предполагая единую структуру множества типов механических, электродинамических, квантовомеханических и термодинамических систем [5-7]. Это также приводит к важным уравнениям баланса, которые могут быть получены из общей симметрии с помощью теоремы Нетер [8, 9]. Во-вторых, для применения любой теории важно наличие как численного, так и аналитического аппарата. Формализм Лагранжа содержит и тот и другой.
Он представляет собой компактную форму, в которой вся информация о системе хранится в одной скалярной функции — лагранжиане (который в рассматриваемой здесь локальной теории является плотностью
Лагранжа). Общая динамика системы вытекает из стандартных, неизменяющихся процедур, обеспечивая аналитический формализм, который приводит непосредственно к уравнениям движения. Более того, это позволяет получить численные решения, основанные на методе Рица, при использовании аналитических функций в качестве базиса для численного определения минимума интеграла действия.
И последнее, но не менее важное замечание: даже термодинамика необратимых процессов может быть интегрирована в этот формализм, что приводит к новому способу определения закона баланса энтропии, как показано Антони [10].
В следующих разделах описанные выше идеи изложены более подробно.
2. Обобщенный континуум Коссера
Векторные поля
а к (х, г), к = 1,2,3, (1)
которые называются векторами Коссера, определяют внутреннюю структуру среды. Имея дело с кристаллом, мы можем рассматривать исходные векторы кристаллической решетки в качестве дискретных представителей векторов Коссера. Эти вектора определяют геометрию, которую в этом случае называют геометрией кристаллической решетки.
Всегда можно использовать глобальную «внешнюю» координатную систему1 е1:
а к (X, г) = АК (х, г)е1, i = 1, 2, 3. (2)
Преобразования АК представляют собой девять независимых степеней свободы системы. Они связаны обратными преобразованиями:
е{ = А (х, г )а?, i = 1,2,3. (3)
Прямые и обратные преобразования не являются независимыми, поскольку
А?АК = 8/ и АКАМК. (4)
В данной статье обратные преобразования А? выбраны в качестве независимых переменных.
Важно отметить, что для идеального кристалла можно выбрать глобальную систему координат. С точки зрения геометрии это означает, что система является интегрируемой:
е & д ]А?= 0. (5)
При учете дислокаций топологические дефекты присутствуют в дискретной решетке. Поскольку для пред-
1 В этой статье используется индексная запись с учетом правила суммирования Эйнштейна: суммирование происходит по всем одинаковым ко- и контравариантным индексам.
ставления структуры кристаллической решетки вводятся векторы Коссера, они также должны содержать топологические дефекты.
Это хорошо известный факт (см., например, [11]). Классический тензор плотности дислокаций определяется как
а-к =е&д А?.
(6)
Отметим, что это тензорная плотность в строгом геометрическом смысле [12]. Более того, этот тензор записан для двух разных базисов. Индекс i используется для внешней, фиксированной системы, в то время как индекс к принадлежит внутренней системе или системе кристаллической решетки векторов Коссера. Важно также отметить, что дивергенция тензора обращается в нуль только в этом представлении:
дiа‘к = е^дiд А = 0,
(7)
где
д
д > :=—.
i дxi
В линейной теории разница в геометриях исчезает, но здесь корректное использование базисов является крайне важной проблемой.
3. Движение векторов Коссера вместе со средой
Вектора Коссера кинематически связаны со средой (полем скоростей структуры окружающей жидкости), пока не начинается пластическая деформация. Субстанциональная производная векторов Коссера обращается в нуль. Субстанциональная производная скалярного поля Ф = Ф(х, г) определяется как
D(v}Ф := д,Ф + Viд,Ф,
(8)
при этом для векторных полей и- = и- (X, г) и ~i = = и‘ (х, г) субстанциональный член включает так называемую производную Ли [12]:
D(v^ и{ := ди + Vд¡иг + и^д V-1,
D(v^ иi := д {иi + V д ¡иi - и д Vi
(9)
(10)
В этом случае полный унос векторов Коссера жидкостью определяется уравнением
(11)
Заметим, что производная Ли берется только по индексу i, а не по к, поскольку последний обозначает число векторов Коссера, которое остается неизменным.
4. Наблюдаемые
Главные наблюдаемые упругого континуума являются функциями векторов Коссера. Массовая плотность
определяется как исходная плотность, деленная на объем, охваченный векторами Коссера. Используя обратные преобразования А*, получим
Р :=
I |(п)
:= Р0°е1| Ак|^дгр + дI ^i) = 0.
(12)
Выполняется уравнение сплошности.
Тензор упругих деформаций можно определить, используя метрические тензоры внешней исходной системы ег и акХ внутренней геометрии Коссера ак соответственно. Метрику кристаллической решетки акХ всегда1 можно задать следующим образом:
акЯ=8кЯ. (13)
Внешняя метрика всегда задается как
ёц = 8*. (14)
Тензор нелинейной упругой деформации определяется как
вij = }(Ак АЧя- 8ц).
(15)
В идеальной недеформированной среде метрика кристаллической решетки, рассматриваемая из внешней системы (то, что «видит» наблюдатель в лаборатории), имеет вид:
аг/ А А/ акХ 8,
У
(16)
следовательно, упругая деформации сводится к нулю, как это и должно быть.
Упругие деформации являются локальными деформациями. Если нас интересуют моментные напряжения, мы должны определить гипердеформации, связанные с изменением векторов Коссера в пространстве. Поэтому тензор гипердеформации включает производные векторов Коссера:
Ик := АкдА.
(17)
Полная удельная упругая энергия является функцией Дк и д1А'к или, используя определенные упругие тензоры:
W = W (вц, hk)
(18)
В случае упругой среды лагранжиан для среды Кос-сера имеет вид:
(19)
1 Это справедливо, даже если тензор кручения, который сводится к
тензору дислокаций, ненулевой, но только в тех случаях, когда век-
торы Коссера определяются неголономной системой базисных век-
торов.
где кинематика векторов Коссера учитывается через множители Лагранжа1 гк. Уравнения Эйлера-Лагранжа являются уравнениями движения системы и выводятся при варьировании всех полей (вариационный принцип Гамильтона):
8vi : рVi■ +ргкд;А'к -дк (ргкАк) = 0;
8гк : р Д?) Ак= 0,
8А1К : -р } гк -рАк [- т2 +1
(20)
(21)
^дW двк1 дW дИкт ^
эвк7 ~дАк+дйкг
+д
р
дж дИкГ
дИ'ы д(д А)
= 0.
(22)
Множитель Лагранжа служит обобщенным потенциалом поля скоростей.
Уравнение движения для наблюдаемых V и А может быть получено после ряда выкладок (главным образом необходимо выполнить Dif V-):
рД^ Ч- +ду ^ +°ш/) = 0
для упругих и моментных напряжений2
(23)
• /
°е1/ := р
дж двк1 ,к
двк1 дА]
Ак
=р
• /
°ш/ := р
ж
дв]к
V
дЖ '
ди’
- аа + ■
дж
двк;
(24)
дИт дИ’
к1 АК | к1
дАк
-д
р
д(д ¡АР)
дж дИкГ
дикт д(д „ак )
к% ^ р
Г"р
-л ,к дин" дА +----------—
д(д рАк)
д РАК
к\ р ^
А*
(25)
1 Массовая плотность р вводится явным образом, чтобы сохранить скалярный характер плотности лагранжиана. Это также имеет смысл, поскольку в отсутствие плотности не существует кинематики Кос-сера.
2 Заметим, что правило знаков отличается для большинства напряжений, рассматриваемых в литературе. Это объясняется тем, что здесь рассматривается жидкость и тензоры напряжений являются тензорами давлений, которые имеют обратный знак.
(17) дЖ ...дЖ ... = - р ...Ик1 + р:----И
дИ
к1
дИ’
+ р
дж
дикт
1 ..т
Иы -
-д
дж I------
диру
Уравнения упругости, включая моментные напряжения, выводятся подобным образом.
Следующим шагом будет моделирование пластической деформации, которая развивается, если векторы Коссера не полностью уносятся жидкостью:
(27)
Приведенная скорость дрейфа Коссера Лк должна определяться мезоскопическими процессами в среде. В кристалле пластическая деформация основана на движении дислокаций, которое моделируется в следующем разделе.
Скорость дрейфа Коссера также позволяет получить уравнение баланса для тензора плотности дислокаций. Используя определение (6), получим выражение
(28)
что дает3 линейную аппроксимацию и для стремящихся к нулю скоростей Vi:
дгау - е1к1 дкЛу = 0 или а - = 0.
(29)
Это позволяет заключить, что скорость дрейфа Кос-сера непосредственно связана с потоком плотности дислокаций, а значит, и с пластической деформацией.
Отметим, что теперь уравнение сплошности (используя (27) с учетом (12)) имеет вид дг р + д г (рv1) = = рЛ‘ и выполняется, если = 0.
5. Классы дислокаций
Тензор плотности дислокаций, упомянутый выше, является всего лишь средней характеристикой для дислокаций. Дислокации схожей природы (например, краевые дислокации с одинаковыми плоскостью скольжения и вектором линии), но с различными векторами Бюргер-са, нейтрализуются в тензоре плотности дислокаций, если они расположены очень близко друг к другу. Тем не менее, их взаимодействие оказывает влияние на характер пластической деформации, например, в случае, когда дислокации в сетке блокируют друг друга, что приводит к деформационному упрочнению.
Следовательно, необходимо уточнить описание дислокаций. Разделим все дислокации на классы, которые
3 Изменение знаков по сравнению с уравнением, приведенным в литературе, объясняется другим правилом знаков для скорости дрейфа Лк.
+
р
X
являются субконтинуумами. Каждый класс содержит дислокации, имеющие одни и те же характеристические векторы, которые определены для отдельных дислокаций. Этими векторами являются:
Ь — вектор Бюргерса, определямый путем, пройденным вокруг дислокационной линии, который замкнут в идеальном кристалле, но дает вектор Бюргерса как невязку в случае дислокаций;
I — вектор направления линии, определяемый линией топологического дефекта;
т — вектор нормали к плоскости скольжения; q := I X т — вектор направления скольжения, определяемый плоскостью скольжения и вектором линии.
Необходимо отметить, что компоненты вектора являются константами, если связаны с системой кристаллической решетки, например
b = bl et = b к a к = b к AK et
(30)
где
b к= const. (31)
Эти четыре вектора определяют класс дислокаций
D:
D := {bD, ID, mD, qD}•
(32)
Заметим, что три вектора 1Д, тД, qD ортонормиро-ваны в системе кристаллической решетки:
(33)
(34)
m Km ^ a = a2,
qK qx акк= ao>
(35)
где а0 — внутренний масштаб длины (например, постоянная решетки). Вектор Бюргерса Ьк дополнительно определяет, имеет ли дислокация винтовую или краевую природу.
Эти субконтинуумы или классы Д моделируются идеальными жидкостями, поскольку, с одной стороны, решается обратная задача формализма Лагранжа для идеальной жидкости, а с другой стороны, это позволяет описать динамику континуума с помощью формализма Лагранжа, в котором определяются плотность, скорость и энергия в зависимости от этих наблюдаемых. Наблюдаемой является скалярная плотность дислокаций пД, если тензор плотности дислокаций класса Д определяется как
aD := pnDlDbD •
(36)
Это обобщение формул для дельтаобразных распределений (сингулярных линий) (см., например, [13]). В этой формуле массовая плотность р явным образом исключена из правой части по двум причинам. Во-первых,
Рис. 1. Распределение дислокаций с различными характеристическими векторами: дислокационные классы
дислокационная плотность является достаточной наблюдаемой только, если имеется окружающая среда (в данном случае кристалл); во-вторых, тензор плотности дислокаций более точно считать тензорной плотностью [12]. Векторы 1Д, ЬД — вещественные тензоры, поэтому массовой плотности (которая является скалярной плотностью) следует придать тензорный характер. Скалярная плотность дислокаций тогда остается скаляром, имеющим смысл числа дислокаций, разделенного на массу, т.е. удельной плотности.
На рис. 1 представлена область с несколькими краевыми дислокациями. Хотя общий вектор Бюргерса стремится к нулю, плотность каждого класса ненулевая.
Тогда плотность Лагранжа для идеальной жидкости для одного дислокационного класса по аналогии с идеальной жидкостью в гидродинамике [14] можно записать в виде:
D™ Ф D +a DD™ Р D ~ W D WD (nD )
, (37)
где ФД, аД, вД — так называемые потенциалы Клебша, а субстанциональная производная по времени полной скорости дислокаций ы записывается как
(38)
При варьировании уравнение поля скоростей принимает вид, соответствующий записи потенциала Клебша:
wDi = д iФ D + a D д i Р D •
(39)
Отметим, что полная скорость дислокаций является суммой скорости решетки (движение вещества кристалла) V и скорости дрейфа ив класса дислокаций относительно окружающего материала. Поскольку направление скольжения всегда определено классом Д посредством вектора qD, полная скорость дислокаций равна
wD := vl + udq* = vl + uDqKAK •
(40)
x
Поэтому кинетика каждого класса дислокаций D определяется только двумя скалярными наблюдаемыми ftD и UD •
Энергия дислокаций WD (nD ) не учитывает упругую энергию дислокаций, так как она будет входить в упругую энергию континуума Коссера, если рассматривать оба подхода взаимосвязанно, как это будет показано ниже. Она может учитывать энергию ядра дислокационного класса и энергию возможных взаимодействий ядер дислокаций разных классов.
Скалярная масса mD используется при построении модели идеальной жидкости и служит для описания инерции дислокационного класса. Очевидно, что при любом дрейфовом движении дислокационной линии, некоторые атомы меняют свое положение. Это приводит к появлению момента на микромасштабном уровне. Следовательно, масса mD является микроскопической, однако ею нельзя пренебрегать в лагранжиане, поскольку она позволяет использовать при описании модель идеальной жидкости. В уравнениях движения этой исходной массой можно пренебречь, если нас не интересуют микроскопические эффекты.
Для вектора Бюргерса bD и массы mD в рассмотрение вводятся два микроскопических масштаба длины. Очевидно, что длина вектора bD постоянна только в системе кристаллической решетки1. Используя внутреннюю метрику этой системы, можно записать выражение
bD VbDbDaКА = д/bDbDaij
■ const,
(41)
которое в простейшем случае сводится к постоянной решетки Ь0 = а0. Второй масштаб длины определяется как
(42)
Эта величина определяет масштаб, на котором атомы движутся при движении дислокаций, и может рассматриваться как мера среднего роста дислокации.
Если единичная ячейка недеформированного кристалла имеет объем = а0, масса этой ячейки равна
М о, внутренний масштаб длины записывается как
ld = ao3
mD
M o
(43)
6. Взаимосвязь континуума Коссера и дислокационных классов
Теперь объединим две представленные теории и установим их взаимосвязь. Континуум Коссера всегда ока-
Рис. 2. Линия дислокаций при дискретном описании должна оставаться неразрывной
зывает влияние на дислокационные классы при введении р = р(АК), АК и V в заданный выше лагранжиан. Однако дислокационные классы также влияют на континуум Коссера: В обеих теориях вводится определение тензора средней плотности дислокаций а1К. Это позволяет постулировать, что оба определения должны описывать одну и ту же наблюдаемую. В результате получаем основное уравнение дислокационных классов (ср. уравнения (6) и (36)):
е j d j4K = £pvDbD •
(44)
Следовательно, сумма всех дислокационных классов дает тензор средней плотности дислокаций.
Следует отметить, что посредством этого уравнения в теорию вводится понятие собственных напряжений Кренера [1].
7. Пластическая деформация
Как уже упоминалось, описание пластической деформации оказалось возможным, после того как векторы Коссера были наделены собственной динамикой, в результате которой возникла скорость дрейфа 3К Ф 0. Эта динамика обусловлена движением дислокаций при использовании приближения2:
'Z^ijkuDq
j a D •
(45)
Заметим, что это приближение отвечает условию
А = 0, (46)
которое оставляет уравнение неразрывности для массовой плотности неизменным. Это обязательное условие при описании дислокационного скольжения, поскольку это не оказывает влияния на баланс масс.
7.1. Совместимость
Определенная скорость дрейфа Коссера 3^ дает информацию о том, как дислокационные классы и их
1 Если смотреть снаружи, то длина может изменяться под действием упругих деформаций.
2 Это микроскопически обосновано, однако, эти уравнения справед-
ливы для континуума (см. также [13]).
Хр%^ уУЬ д
]ив +
Рис. 3. Краевая дислокация 2 и винтовая дислокация 1 с различными векторами направления скольжения
движение влияют на движение векторов Коссера. Однако нельзя быть уверенным в том, что уравнение (45) совместимо с основным уравнением (44)!
Если продифференцировать по времени основное уравнение, равенство правой и левой частей уравнения, конечно, должно выполняться. После некоторых выкладок получим следующее выражение [15]:
гфд3* +а'К^ =-£Э .(рпвыЬ)1‘0Ь1, (47)
В
которому должен удовлетворять любой выбор 3УК.
Это приводит к очень интересным следствиям.
7.2. Совместимость для одного класса
Если в объемном элементе кристалла представлен один класс, то уравнение (47) с учетом (45) упрощается:
¡П д ¡.
= 0.
(48)
Это означает, что в каждой точке дислокационной линии скорость дрейфа должна быть одинаковой в пространстве, предотвращая разрыв дислокационной линии (рис. 2). На данном этапе теоретических построений не допускается никакой дислокационной реакции и это уравнение удовлетворяется автоматически, поскольку разрыв дислокационной линии означает появление новой дислокационной линии, что является дислокационной реакцией.
7.3. Совместимость для двух классов
Если в одном объемном элементе присутствуют два класса дислокаций, влияние уравнения (47) не так очевидно. Смысл итогового уравнения может стать более понятным, если использовать дискретное распределение дислокаций при рассмотрении уравнения неразрывности.
На рис. 3 в пространственной области III показаны два дислокационных класса. Уравнение неразрывности имеет вид:
пппп'ЬПьпипє]ыЦв1п1п' = °
(49)
Если дислокационные линии непрерывны и имеются только два класса дислокаций 1 и 2, это приводит к упрощению
Р П1П2Є/¡¡1 ¡2(и^/^ - и2<?2Ь2 Ь1 ) = °
(50)
Для примера на рис. 3 показаны винтовая и краевая дислокации. Используя представленные вектора, можно получить
- Р2«і«2є jkll\ 12и2ч(Ь2 Ь1 = 0
и, таким образом,
и2 = 0 и и1 — любое,
(51)
(52)
так как все другие члены левой части уравнения (51) не обращаются в нуль.
Этот простой пример демонстрирует, как дислокационные сетки, описываемые посредством дислокационных классов, могут обеспечивать механизм блокировки, приводящий к эффекту деформационного упрочнения. Поскольку дислокационный класс 2 неподвижен, он не влияет на процесс пластической деформации в его плоскости скольжения.
Так как винтовая дислокация может иметь множество плоскостей скольжения, может возникнуть вопрос, что произойдет, если допустить, что винтовая дислокация в рассмотренном выше примере движется в том же направлении, что и краевая дислокация (рис. 4)?
В этом случае получаем
р П1П2д{ є^¡1 12 (иіьіть2 - и2Ь2 Ь1 ) = °.
(53)
Рис. 4. Краевая дислокация 2 и винтовая дислокация 1 с одинаковыми векторами направления скольжения
+
Это уравнение удовлетворяется, если м = щ = 0. Это можно легко показать, если рассмотреть тензорное произведение, подразумевая, что теперь оба дислокационных класса закреплены.
В этом примере движение краевой дислокации при дискретном описании приводило бы к разрыву дислокационной линии, что, в свою очередь, вызывало бы дислокационную реакцию, которая здесь запрещена.
В действительности, дислокационные реакции разрешены, но появление новых дислокационных линий возможно только в том случае, если энергии деформации достаточно высоки для обеспечения этого процесса. Если деформации недостаточно высоки, дислокации закрепляются и происходит деформационное упрочнение.
8. Лагранжиан для одного класса дислокаций без учета диссипации
В этом разделе дано общее представление о лагранжиане для континуума Коссера в случае одного дислокационного класса. Полный лагранжиан можно найти в работе [15]. Диссипация также может быть учтена в данном формализме, но это не показано явно. Читатель может найти это в других работах (например [7], где представлена модель двух жидкостей, которая используется для учета эффекта диссипации дислокационного движения в представленной здесь теории).
Приведенный ниже лагранжиан1 учитывает все основные аспекты теории, обсуждаемые выше:
- рпт0 ^ ДМф+аОг( №)Р-1 м>2 + WD (п) ^ +
+ р?К (дгАгК + V кд кАК +дiVkA'К-рnuzijkAVq'J А1^Ъ К ) + + ^ук (АтетЫдкА - рп/ УЪК) +
+ рБ/ (^ - V/ - иА^У). (54)
Первая строка представляет хорошо известный эвристический закон для кинетической энергии лагранжиана за вычетом потенциальной энергии, которая является упругой энергией кристалла. Вторая строка — это лагранжиан идеальной жидкости одного дислокационного класса. Третья и четвертая строки представляют собой кинематическое уравнение векторов Коссера и основное уравнение соответственно, и последняя строчка вводит сокращенную запись для полной скорости дислокаций. Если определение у? := Vi + идг непосред-
ственно подставить в лагранжиан, мы можем избавиться от полей у? и множителя Лагранжа Бг-, который вводится только для удобства при варьировании.
Этот вариационный процесс эквивалентен вариационному принципу Гамильтона. Используя сокращенную запись
а* = еук д ]А'К = рпГЪК, (55)
У* =рпи£у^1^Ьк=ройопит IЬк, (56)
получим следующие уравнения Эйлера-Лагранжа.
8.1. Уравнения Эйлера-Лагранжа2
Уравнение движения векторов Коссера
К : д А + VкдкАК + д^кАК - 3К = 0. (57)
Основное уравнение
8^ук : Атетк>дкА/К-рп/уЪк= 0. (58)
Определение скорости дрейфа класса и 8Б, : ^ - V/ - и = 0. (59)
Сохранение числа дислокаций
8ф : дг (рп) + дi (рп^) = 0. (60)
Потенциалы Клебша динамики дислокаций
8а : рпОг(№)Р = 0, (61)
8Р : рпД(№)а = 0. (62)
Обобщенное определение потенциалов скорости
8V : р V/ + р?кд/Д- — дi (р^/) — рБ/ = 0
^ vl = -гКд/АК+ — дi(рг/) + Б1. (63)
р
Определение потенциала скорости дислокационного класса:
8^ : рпт0 Wl -рпт0(д/ф+ад/Р) + рБ/ = 0
^ пт0^/ = пт0(д/ф+ад/Р) - Б/. (64)
Уравнение для определения множителя Лагранжа
Б,:
8и : -р?Кеу^рп^ЪК-рБ^/ = 0
^ и Б/ + /гк?К = 0. (65)
Обобщенное уравнение Бернулли для дислокационного класса:
1 Поскольку здесь рассматривается только один класс, индекс О для простоты опускается. Масса то обозначается как т0.
2 В некоторых случаях уравнения немного преобразованы, чтобы сделать их более очевидными.
8п : рт0 Г О^ф- — w2 + WD + п 1 +
I 2 дп I
+р1 4лк + ^р/у ъ К= 0. (66)
п
Уравнение Бернулли для упругой среды:
8А* : рАК Д?> 4 - АрКе^д}ЪЫ +
+ р8Р ^-^ v 2 + W (AiK) - рО 1 + раР +
+ р К3Р -р8Рг 3К - ЬрКа гК -рБри' = 0. (67)
Проделав некоторые выкладки и допуская, что т0 ^ 0 (для исключения инерционных членов), получим уравнения движения для наблюдаемых А, V1, п, и. Чтобы описать диссипативный процесс при движении дислокаций, в эти уравнения вводится феноменологическое трение пи.
8.2. Уравнения движения для наблюдаемых Упругие уравнения:
&( ч (а)
О,А* = р0«0пи т1 Ъ К,
рО^ '^1 + дi (ра/) = 0.
Сохранение числа дислокаций:
рО^)п + д/(рпи/) = 0.
Основное уравнение:
е]к д ]АК = рпГЪ К.
Уравнение движения для скорости дислокаций и: т0п( и + пи) =
= -у (-qlд/Р(п) + nqlецк (рар^)/к - п/кдк^), сила Пича-Келлера
где
h := \у<УьУ, (68)
к^у — множитель Лагранжа. Этот множитель необходимо ввести в эти уравнения, поскольку он учитывает внутренние силы, которые компенсируют силы, действующие на дислокационную линию с градиентом вдоль вектора линии. Эти силы приводили бы к различным ускорениям дислокации в разных точках вдоль дислокационной линии, что обусловило бы ее разрыв.
Поскольку это, как упоминалось выше, запрещено на данной стадии, следует предполагать такое распределение этих сил, которое приводит к однородной силе
вдоль дислокационной линии. Это обеспечивается множителем Лагранжа . Отметим, что этот множитель считается стремящимся к нулю, если теория расширяется до классов реагирующих дислокаций.
В последнем уравнении появляется сила Пича-Келлера, которая в этой теории является непосредственным результатом геометрической взаимосвязи между континуумом Коссера и классом дислокаций.
Эта сила учитывает упругое взаимодействие дислокаций, однако последующие взаимодействия (взаимодействия ядер дислокаций при высокой плотности дислокаций) учитываются в энергии W(n), сводясь к выражению для давлений р (п), которые описывают дополнительные движущие силы. Легко понять, что модель идеальной жидкости учитывается в этом выражении.
Используя данную систему уравнений, можно получить дисперсионные соотношения для кристалла с таким распределением краевых дислокаций, которое приводит к так называемой кривизне Ная. Более подробное описание можно найти в работе [15] и последующих работах автора, где также будет описано, каким образом можно учесть диссипативное влияние движения дислокаций.
9. Заключение
Показано, что динамика упругой и пластической деформируемой среды может быть описана с помощью лагранжиана, используя обобщенный континуум Коссе-ра, который состоит из жидкости с субструктурой, так называемыми векторами Коссера. Полная кинематическая связь этих векторов с полем скоростей жидкости позволяет описывать полную динамику упругой среды, в то время как частичное нарушение этой связи посредством введения автономного движения векторов Коссера через скорость дрейфа У* позволяет описывать пластическую деформацию.
Необходимо отметить, что с такой точки зрения можно описать любую упругопластическую среду, если правильно интерпретировать скорость дрейфа У*. В любом случае следует искать на мезомасштабе процессы, связывающие динамику Коссера с внутренними процессами.
Хорошо известно, что в случае кристалла таким процессом, главным образом, является движение дислокаций, поэтому вводится теория дислокационных классов, которая не только учитывает динамику дислокаций, но и вносит уточнения, необходимые для описания взаимодействия дислокаций в дислокационных сетках, в том числе эффекта деформационного упрочнения.
Более того, можно описать полную динамику через лагранжиан, используя принцип Гамильтона наименьшего действия и предполагая идеальность окружающей среды для использования численных оценок, например, методом Рица.
Самым важным остается учет дислокационных реакций. Впрочем, поскольку все дислокационные классы моделируются идеальными жидкостями, мы можем использовать аналог химических реакций, который вводится в формализм Лагранжа и в термодинамику необратимых процессов, используя подход, предложенный Антони [10].
Поскольку геометрический базис этой теории был очень тщательно проработан, механизмы генерации дислокаций, подобные источникам Франка-Рида, будут инициироваться автоматически, если обеспечивается возможность дислокационной реакции. Таким же способом можно учитывать динамику других дефектов, например, вакансий и атомов внедрения. Таким образом, формализм Лагранжа представляет уникальный инструмент, позволяющий описывать поведение упругопластических материалов с учетом основных мезомехани-ческих процессов.
Литература
1. Kroner E. Kontinuumstheorie der Versetzungen und Eigenspannungen. - Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer Verlag, 1958. -179 p.
2. Popov V.L., Kroner E. On the dynamic theory of elastoplastic medium with microstructure // Comp. Mat. Sci. - 1999. - V. 16. - P. 218.
3. Anthony K.-H., Azirhi A. Lagrangian field theory of plasticity and dis-
location dynamics — attempts towards unification with thermodynamics of irreversible processes // Arch. Mech. - 1998. - V. 50. - P. 345.
4. Cosserat E., Cosserat F. Théorie des corps déformables. - Paris: A. Hermann et fils, 1909. - 226 p.
5. Anthony K-H. Entropy and dynamical stability — a method due to Lagrange-formalism as applied to thermodynamics of irreversible processes // Trends in Application of Mathematics to Mechanics. - Berlin: Springer, 1988.
6. Anthony K-H. Unification of continuum mechanics and thermodynamics by means of Lagrange formalism — present status of the theory and presumable applications // Arch. Mech. - 1989. - V. 41. - P. 511.
7. Шарготт М. Трение в деформируемых средах. Подход на основе полевой теории к термодинамике диссипативных процессов в рамках формализма Лагранжа // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - № 4. -С. 47-57.
8. Noether E. Invariante Variationsprobleme // Nachr. Ges. Wiss. Göttin-
gen Math.-Phys. Kl. - 1918. - P. 235.
9. Bessel-Hagen E. Über die Erhaltungssätze der Elektrodynamik // Math.
Ann. - 1921. - V. 84. - P. 258.
10. Anthony K.-H. Phenomenological thermodynamics of irreversible processes within Lagrange formalism // Acta Physica Hungarica. - 1990. -V. 67. - P. 321.
11. Kroner E. (Hrg.) Mechanics of generalized continua. - Berlin-Hei-delberg-New York: Springer Verlag, 1968.
12. Schouten J.A. Ricci-Calculus (second edition). - Berlin-GöttingenHeidelberg: Springer Verlag, 1954.
13. ЛандауЛ.Д., ЛифшицЕ.М. Теория упругости. - М.: Наука, 1987. -247 с.
14. Seliger R.L., Whitham G.B. Variational principles in continuum mechanics // Proc. Roy. Soc. London. - 1968. - A 305. - P. 1.
15. Schargott M. Dynamik der plastischen Deformation von KristallenAufbau einer Feldtheorie im Lagrangeformalismus unter Berücksichtigung der dissipativen Dynamik von Versetzungsklassen. - Dissertation. - Paderborn: Universität Paderborn, 2003.
Lagrange formalism of plastic deformation: dynamics of dislocation classes
Martin Schargott
Technical University Berlin, Berlin, 10623, Germany
The theory of elasto-plastic deformation lacks the mesoscale information about dislocation networks, because of the averaging effect of the classic dislocation tensor.
In this paper an approach is presented, which is based on the theory of dislocation classes. These classes are subcontinua discriminating between fields of dislocations having different glide planes, line and Burgers vectors. They are embedded in an elastic medium that allows for plastic flow, the so-called generalized Cosserat continuum.
Since plastic deformation shows basically a fluid-like behaviour, this theory starts with the well-known description of fluids in Lagrange formalism, to which basic geometric equations — the Cosserat vector fields — are added. The dynamics of the dislocation classes are also modelled as ideal fluids, providing a connection between acting stresses and dislocation velocities.
It is shown how dislocation distributions influence each other, providing they are non-reacting.
