CC BY
171
Термодинамика процесса трения и лагранжев формализм: вклад в мезоскопический подход в теории пластичности
К.-Х. Антони
Падерборнский университет, Падерборн, D-33095, Германия
Благодаря своей универсальной и методически обобщенной структуре формализм Лагранжа является средством, позволяющим описывать различные физические системы на одном и том же методическом уровне. В настоящей статье применяется ранее предложенная формулировка формализма Лагранжа к системам с диссипацией энергии. Обычный лагранжиан бездиссипативной системы и усеченная форма лагранжиана тепловой подсистемы, будучи связаны друг с другом посредством фрикционных членов, приводят к термомеханике трения. Представлены лагранжианы для случаев трения типа Стокса и типа Кулона.
Статья начинается с краткого обсуждения взаимосвязи между лагранжевым формализмом в строгом смысле принципа наименьшего действия Гамильтона и формальной обратной задачей вариационного исчисления. Это обсуждение представляется необходимым с точки зрения единого описания различных физических систем в рамках формализма Лагранжа. Особый интерес при этом уделен возможности описания диссипативных процессов в рамках лагранжева формализма.
Вторая часть статьи посвящена диссипации в механических системах. Механика массовой точки с учетом силы трения представлена в формализме Лагранжа как законченная термомеханическая теория. Диссипация обусловлена необратимой передачей энергии от механических степеней свободы к тепловым степеням свободы. В теории этот перенос описывается с помошью введения дополнительных степеней свободы — переменных переноса. Таким образом трение феноменологически описывается более детально, чем при традиционном описании с использованием коэффициентов трения. Предложена физическая интерпретация переменных переноса. Теория строится в соответствии с методическим направлением, которое уже было успешно использовано в термодинамике необратимых процессов. Особо обсуждается концепция энергии и потоков энергии в смысле теоремы Нетер.
Теория может быть успешно применена в мезоскопическом подходе к пластичности. На мезомасштабном уровне динамика пластической деформации обусловлена поворотами и деформацией кристаллических доменов, сопровождающихся пластическим сдвигом вдоль границ раздела соседних доменов. Такой диссипативный пластический сдвиг можно моделировать, учитывая трение между соседними доменами.
1. Некоторые основы формализма Лагранжа
1.1. Введение
Формализм Лагранжа является наиболее емкой формулировкой закона движения физических систем [1-3]. Этот единый формализм применим в равной мере к любой физической системе. Использование уравнений баланса позволяет определить универсальные наблюдаемые величины, такие как энергия, импульс и др. Эти уравнения баланса однозначно связаны с требованиями универсальной инвариатности (физическими симметриями).
Вследствие своей универсальной структуры формализм Лагранжа позволяет связывать различные физические системы на едином методическом уровне.1 Это ут-
1 Метод «минимальной связи» теории Янга-Миллса [5] широко известен как пример такой процедуры
верждение справедливо и в частном случае диссипативной динамики, когда происходит необратимая передача энергии от нетепловых степеней свободы системы к тепловым. Этот энергоперенос должен быть описан путем введения соответствующей связи между лагранжианом диссипативной системы и лагранжианом тепловой подсистемы.
К сожалению, диссипация, как правило, остается за рамками лагранжева формализма. Причиной этого является то, что обычно использующиеся уравнения диссипативных систем не являются самосопряженными. (Самосопряженность [5] данной системы является необходимым и достаточным условием того, чтобы уравнения движения являлись уравнениями Эйлера-Лагранжа некоторого вариационного принципа.) Отметим, что в данный момент речь идет о произвольной обратной задаче вариационного исчисления [4]. Разумеется, физическое явление диссипации, также как и
в Антони К.-Х., 2001
Рис. 1. Блок-схема формализма Лагранжа
другие физические явления, удовлетворяет универсальным принципам симметрии и должно вести к аналогичному набору фундаментальных наблюдаемых величин, как и в случае бездиссипативных систем. Нет никакой физической причины для исключения диссипации из формализма Лагранжа. Далее будет показано, что силы трения могут быть учтены в лагранжевом формализме нетрадиционным образом.
В настоящей статье мы ограничимся рассмотрением механики точки или, более широко, системами, имеющими конечное число дискретных степеней свободы.
1.2. Структуры теории
Напомним в этом разделе несколько формальных базовых структур формализма Лагранжа для случая конечного числа степеней свободы. Простой хорошо известный пример послужит нам основой для последующих рассуждений.
На рис. 1 представлена блок-схема лагранжева формализма.
Вся информация о процессах в системе содержится в одной скалярной функции, лагранжиане L(q, q, t), который в случае формализма Лагранжа первого порядка зависит от обобщенных координат системы
q = &, I = 1,...,/} (1)
и от соответствующих обобщенных скоростей q (производных первого порядка по времени £). Дополнительная явная зависимость от времени t учитывает влияние внешней среды на динамику системы. В случае энергетически изолированной системы эта зависимость отсутствует. Конкретная форма лагранжиана является единственной индивидуальной структурой, которая входит в формализм Лагранжа. Все остальные структуры лагранжева формализма являются универсальными.
Лагранжиан является интегральным ядром принципа наименьшего действия Гамильтона [1-3]:
12
J = JL(q, q, t)dt — extremum, (2)
где вариьрование производится по всем мыслимым изменениям 5q(t) процесса q(t) в интервале времени [t1, t2 ], причем 5q(t1 2 ) = 0.
Решения q(t) этой вариационной задачи определяют реальные процессы в системе в промежутке времени [t1, t2 ]. Принцип Гамильтона приводит к системе уравнений Эйлера-Лагранжа
d dL dL , .
------Т-----Т = 0, I — 1,..., f, (3)
d t dqi dqi
представляющих собой фундаментальные уравнения движения системы. Эта система обыкновенных дифференциальных уравнений второго порядка является самосопряженной.
Самосопряженность [4] данной системы дифференциальных уравнений
F(q,q,q,t) = 0, i — 1,...,f (4)
является необходимым и достаточным условием существования ядра K(q, q, t) вариационной задачи:
t2
V = JK(q, q, t)dt — extremum, (5)
t1
уравнения Эйлера-Лагранжа d dK dK
------:-----“ — 0, i — 1, ..., f (6)
dt dqi dqi
которой идентичны уравнениям (4). Для того чтобы обеспечить самосопряженность функций Fi в (4), должна выполняться система дифференциальных тождеств
[4]. Эти утверждения существенны для так называемой обратной задачи (первого рода2) вариационного исчисления.
Подчеркнем, что полностью развернутый формализм Лагранжа основан на функционале действия J из (2) в его первоначальном смысле физического действия, который связан с динамикой системы. Он имеет размерность [энергия • время]. Вариационная задача (5) в общем случае не соответствует этому требованию; V является в общем случае не более чем одним из многочисленных возможных функционалов, ведущих к заданным уравнениям движения; он не имеет какого-либо особого физического смыла.
Как уже было отмечено, все физические явления удовлетворяют универсальным принципам симметрии (инвариантность по отношению к трансляциям во времени, пространстве, поворотам и т.д.) [10]. Будучи непрерывными, соответствующие группы симметрии могут быть параметризованы, следовательно, они представляют собой группы Ли. Имеется стандартная процедура, позволяющая исходя из групп симметрии лагранжиана определить универсальные наблюдаемые величины. Используя теорему Нетер [6], можно неявно определить наблюдаемые величины через уравнения баланса, которые в случае дискретных систем сводятся к законам сохранения. Энергия является самым ярким примером универсальной наблюдаемой. Она связана с инвариантностью лагранжиана относительно произвольных трансляций во времени:
t ^ t + Є, — го < Є < +го.
(7)
Это означает, что лагранжиан энергетически изолированной системы не может зависеть явно от времени:
L = L(q, q).
(8)
Соответствующий закон сохранения Нетер записывается как
d H dt
= О или H = const,
(9)
где Н — гамильтониан системы, который в случае временной трансляционной инвариантности, т.е. в случае лагранжиана вида (8), определяет энергию системы в смысле Нетер:
Н = '^,——д1 -L = Н(д, д) = энергия Е. (10)
4 дд1
Пример. Одномерное движение частицы т в потенциале и(х).
Чисто механический лагранжиан, уравнения Эйлера-Лагранжа и гамильтониан записываются соответственно как:
•2
Lmech( X) = - U (X) —
= “кинетическая энергия -
- потенциальная энергия”,
d dL dL .. dU(x) n
------------= mx +------— — 0,
dt dX dx dx
• 2
mx
(11)
(12)
2 См. ниже
H(x, x) — —2— + U(x) — энергия E — const. (13)
Уравнение (12) представляет собой ньютоновское уравнение движения. Следует помнить, что обычно используемая форма “лагранжиан = кинетическая энергия -потенциальная энергия” является следствием механики точки для случая консервативных сил, она является особой формой уравнения движения Ньютона. Вне этих рамок эта форма является ничем иным как догмой, которая, вообще говоря, несправедлива.
1.3. Обратная задача первого рода
Рассматривая рисунок 1 в обратном порядке, мы получим блок-схему простой обратной задачи вариационного исчисления (рис. 2) [4], которую в контексте ла-гранжева формализма будем называть задачей первого рода. В этой задаче мы исходим из заданных уравнений движения физической системы (4) и пытаемся включить эти уравнения в формализм Лагранжа. Иными словами, необходимо сформулировать такую вариационную задачу (5), для которой уравнения Эйлера-Лагранжа (6) совпадают с данной системой (4) или, по крайней мере, эквивалентны этой системе. Если система (4) является самосопряженной, тогда ядро K (q, q, t) вариационного функционала (5) существует и его можно определить [4]. Однако, вообще говоря, система (4) не будет самосопряженной. Поэтому следует искать преобразование, которое позволит получить из данной системы (4) эквивалентную систему самосопряженных уравнений. К сожалению, не существует общей методики, успешно применимой в любом случае. Однако, если задача нахождения расширенной самосопряженной системы уравнений решена, то можно получить уравнения вида (6) и ядро K (q, q, t) вариационной задачи. В большинстве случаев система (4) либо уже состоит из физически значимых законов сохранения (уравнений баланса) для наблюдаемых, таких как масса, энергия, линейный момент и др., либо эти законы сохранения можно вывести из фундаментальной системы, используя в каждом частном случае приемы, основанные
Рис. 2. Блок-схема обратной задачи первого рода
на априорных идеях о наблюдаемых величинах. Обычно законы сохранения такого рода удается получить без привлечения теоремы Нетер. Требования универсальной симметрии применимы как к вариационной задаче
(5), так и к принципу Гамильтона (2), что в любом случае приводит к законам сохранения Нетер. К сожалению, законы сохранения, полученные с помощью универсальной процедуры Нетер, и законы сохранения, полученные посредством физических эвристических подходов, не совпадают, а могут и вовсе не иметь ничего общего. Поэтому функция К(д, д, г) не является лагранжианом в универсальном смысле лагранжева формализма. Она не позволяет связать различные системы на уровне лагранжева формализма. Функция К (д, д, г) является всего лишь ядром некоторого частного вариационного принципа (5), который, хотя и может быть использован в качестве основы для приближенного решения задач, не имеет глубокого физического смысла.
Примеры
а) Одномерное движение частицы т в потенциале и(х), испытывающей трение типа Стокса.
Дано уравнение движения
•• • йЩх) Л
тх + цх +-----— = 0.
^ Ах
(14)
Сила трения (-цх) характеризуется коэффициентом трения ц. Будучи несамосопряженным, это уравнение не может быть включено в лагранжев формализм. Поэтому мы будем искать эквивалентное самосопряженное уравнение. Попытаемся сделать это, используя экспоненциальный множитель3 [4, 7]:
. аи(х)
тх + цх +----------
^ Ах
0.
(15)
Это уравнение получается как уравнение Эйлера-Лагранжа вариационной задачи (5) с ядром
К(х, х, г) = ет
тх 2 - и (х)
(16)
Оно явным образом зависит от времени t. Начав с априорной идеи о наблюдаемой энергии
Е = 2 х2 + и (х),
(17)
которая, естественно, взята для случая отсутствия диссипации (13), получим из фундаментального уравнения (14) с помощью простых преобразований уравнение баланса энергии:
т .2 ТТ, ч
— х + и (х)
= -цх
(18)
Из-за диссипативных потерь (-цх2) механическая энергия, с точки зрения механики, полностью исчезает.
Универсально определенная энергия Нетер описывается гамильтонианом, связанным с К (х, х, г):
ЭК ^
Н(х, г) = —х - К = ет дх
т2
— х + и (х)
5 См. уравнение (12)
ц
Это выражение существенно отличается от (17)4. Вследствие этого ядро (16) не может быть использовано для установления связи между массовой точкой, испытывающей трение типа Стокса, и какой-либо другой системой. Ядро (16) позволяет определить частную вариационную задачу, однако не является лагранжианом в истинном смысле.
б) Одномерное движение частицы т в потенциале и(х), испытывающей трение типа Кулона.
Уравнение движения имеет вид:
x dU ( x )
mx + ц—н------— — 0.
x d x
(20)
Для простоты ограничимся случаем (sign x — +1). Тогда выражение (20) приводит к самосопряженному уравнению
dU (x)
mx + ц +---------------— 0.
dx
(21)
Это уравнение представляет собой уравнение Эйлера-Лагранжа с интергральным ядром
m
K (x, x) — — x - U (x) -цс,
(22)
которое, в отличие от ядра, полученного для случая трения Стокса, не зависит явным образом от времени t. Несмотря на то, что уравнение (21) самосопряженное, ядро (22) не является лагранжианом в универсальном смысле лагранжева формализма. И в этом случае оно не может быть связано с лагранжианом другой системы на едином уровне формализма Лагранжа. Причина становится очевидной, если провести следующее сравнение.
Вновь начнем с традиционного выражения для энергии (17), тогда уравнение баланса энергии
А | mx2+u (x)|—-ц x
(23)
получается из уравнения движения (21). Снова механическая энергия с точки зрения механики диссипирует в “никуда”. С другой стороны, энергия Нетер, обусловленная ядром (22), сохраняется, так как К не зависит явно от времени:
dK
H (x, x) —-------x - K (x, x) —
dx
m2
— | — x + U (x) | + ^x — const.
(24)
4 Отметим, что речь идет об отличии, но не о противоречии!
5 В ходе движения существуют соответствующие сингулярности в тех областях х, где скорость x обращается в нуль. Уравнение (20) распадается на две части в соответствии со знаком x: sign x — + или -
Очевидно, что (24) не совпадает с обычным понятием энергии. Поэтому К просто представляет собой ядро частной вариационной задачи, не являясь лагранжианом в смысле принципа минимального действия Гамильтона.
1.4. Обратная задача второго рода
Различие между формализмом Лагранжа в его унифицирующем смысле и произвольной обратной задачей первого рода можно обойти, если с самого начала в обратной задаче использовать нетерову процедуру. Соответствующую постановку мы называем обратной задачей второго рода (рис. 3). В известном смысле обратная задача второго рода решает проблему согласования законов сохранения, полученных на основе теоремы Нетер, и традиционных законов сохранения, получаемых на основе интуитивных представлений о наблюдаемых величинах. Обратная задача второго рода стремится к формулировке принципа наименьшего действия Гамильтона в его истинном смысле.
С этой точки зрения статья представляет термомеханику массовой точки с учетом трения в рамках лагран-жева формализма. Использование дополнительных переменных переноса приводит к тому, что механическая энергия не диссипирует в никуда. Согласование различных подходов к выбору законов сохранения является главным руководящим принципом.
Преимуществами полного формализма Лагранжа (рис. 3) являются:
- унифицированная структура для всех физических систем;
- возможность взаимодействия различных систем на одном и том же методическом уровне;
- возможность приближенного решения динамических задач на основе (вариационного) принципа действия Гамильтона (метод конечных элементов, метод Ритца, метод подвижных клеточных автоматов).
1.5. Термодинамика необратимых процессов в рамках лагранжева формализма
Диссипация в физической системе сопровождается необратимой передачей энергии от ее нетепловых степеней свободы к тепловым. Таким образом, для того чтобы смоделировать трение в рамках формализма Лагранжа необходимо в рамках этого формализма рассматривать термодинамику необратимых процессов. Естественно, следует обобщить принцип действия Гамильтона (2) на случай полевой теории. Пусть
(25)
представляет собой совокупность фундаментальных полей пространственно-временных переменных системы. Процессы у(х, {), происходящие в системе в интервале
Рис. 3. Блок-схема обратной задачи второго рода
[^, t2] в фиксированном6 объеме V, удовлетворяют принципу наименьшего действия Г амильтона:
2
3 = ЛI(у, Эу, х, t)^ dt = extremum,
(26)
t1 V
причем вариации 8у(х, {) процесса у(х, t) во временном интервале [г1, г2 ] в объеме Vи на его поверхности производятся при фиксированных значениях в начале и в конце процесса: 8у(х, г1 2) = 0.
Плотность функции Лагранжа I(у, Эу, х, г) (лагранжиан) является функцией фундаментальных полей и их первых производных по времени и по пространственным координатам: Э = (Эг, V).
Уравнения Эйлера-Лагранжа (3) обобщаются естественным образом:
д д1 ^ -А = 0, 1 = 1,к,/. (27)
дt Э (Э ^) Э (Уу) Эу
В лагранжевом формализме явление теплопроводности основано на комплексном термионном поле или поле теплового возбуждения в качестве фундаментальной тепловой переменной [8-10]:
у(х, t) = д/Т(х7?) ехр(/ф(х, t)).
(28)
Абсолютная температура является при этом вторичной переменной7:
6 Исключительно для простоты
7 у* обозначает комплексное сопряжение у
Т (х, г) = у (х, г )*у (х, г) > 0. (29)
Температурное поле представляет только часть информации, содержащейся в термионном поле. Другая часть определяется тепловой фазой ф(х, ^. Последняя связана с отклонением системы от положения локального теплового равновесия.
Лагранжиан теплопереноса в твердом теле, находящемся в состоянии покоя, можно представить через фундаментальные комплексные переменные (у, у ), или, что эквивалентно, через действительные переменные (Т, ф} [8, 9]. Оба представления имеют свои преимущества. Для наших целей выберем последнее представление:
1 &егт =-сТ---[сТЭ t (ф-ф0(Т))
+
+ (-АУТ) -V (ф-фо(Т)) + Э ^ (Т)]
Здесь использованы следующие обозначения:
фо(Т ) =
2Т ’
(30)
(31)
с — удельная теплота, предполагаемая постоянной; X — коэффициент теплопроводности; 0 — произвольная константа, имеющая размерность температуры; ш — частота, которая выпадает из окончательных уравнений теплопереноса; G(T) — функция, связанная с понятием энтропии. В данной работе она не рассматривается и будет опущена.
Число фундаментальных полевых переменных удваивается по сравнению с обычной теорией теплопере-
носа: Т (1) ^ у (комплексная переменная: 2) или Т, ф (2). Это согласуется с тем, что уравнение теплопереноса Фурье
сдТ — ХАТ = 0,
(32)
взятое само по себе, не является самосопряженным. Однако с использованием лагранжиана (30) оно получается как одно из двух уравнений Эйлера-Лагранжа, которые вместе являются самосопряженными.
Лагранжиан (30), будучи инвариантным относительно трансляций во времени (7), приводит к балансу энергии Нетер, т.е. к первому закону термодинамики в рамках формализма Лагранжа. Использование комплексной переменной у особенно важно в связи с концепцией энтропии, являющейся сложной, но вполне естественной структурой в рамках формализма Лагранжа [10, 11]. Концепция энтропии, тесно связанная со вторым законом термодинамики, основана на калибровочной инвариантности лагранжиана:
у ^ уе , или, что эквивалентно,
ф ^ ф + 8, —го < £ < +го.
(33)
В специальном случае материала с нулевой теплопроводностью (А = 0) лагранжиан (30) имеет вид:
^егш =— сТ — -[сТЭ* (ф —Фо(Т))]
(34)
(членом д10 пренебрежем8). Вследствие внешнего локального нагрева температурное поле Т(х, £) изменяет только свою локальную амплитуду. Эта модель будет использована при рассмотрении следующей задачи о механике точечной массы с учетом трения.
2. Термомеханика точечной массы с учетом трения — переменные переноса
Рассмотрим одномерное движение жесткого тела на плоской поверхности (рис. 4, а) [12]. Его движение вдоль координатной оси обусловлено потенциалом и(х) и силой трения Я. Рассмотрим два случая: трение Стокса
Я = —цх, (35)
трение Кулона
Я = -Ц^тт. х
(36)
Здесь ц — коэффициент трения. Тело характеризуется своей массой т и удельной теплотой с; предполагается, что оно является теплоизоляционным материалом: А =
Рис. 4. Движение с трением. Движение жесткого теплоизолированного тела (а) моделируется как движение точечной массы т (б) с теплоемкостью с и температурой Т
= 0. Считается, что все тепло, возникающее на границе благодаря трению, полностью передается рассматриваемому телу.
В принципе эта задача уже является теоретико-полевой. Производство тепла происходит локально на поверхности раздела, что приводит к появлению в теле температурного поля Т(х, £). Для упрощения задачи тело полагается достаточно малым, с тем чтобы его можно было моделировать, используя точечную массу, характеризуемую теплоемкостью и температурой (рис. 4, б).
Читатель может сравнить нижеследующие выкладки с соответствующими формулами в разделах 1.2 и 1.3.
2.1. Трение Стокса
Начнем с рассмотрения обычной термомеханической задачи. Из уравнения движения
. Ш(х)
тх + цх + -
А х
= 0
(37)
получим частное уравнение баланса механической энергии
6_ а I
т -2 ттґ ч
— х + и (х)
= —цх2.
(38)
В результате трения механическая энергия теряется, причем скорость этих потерь определяется мощностью силы трения. Эти же потери энергии, но с противоположным знаком, входят в уравнение баланса тепловой энергии
—(сТ) = +цх2.
а.
(39)
? Что несущественно в данном контексте
Складывая (38) и (39), получим выражение для сохранения полной энергии:
а у fx2+u(x)+cT |=°.
(4О)
Какое из этих уравнений должно служить отправной точкой для формализма Лагранжа? Как уже упоминалось, уравнение (37), взятое в отдельности, не является самосопряженным. Далее, поскольку имеются, по меньшей мере, две степени свободы х и Т, следует рассматривать не меньше двух фундаментальных уравнений. К сожалению, ни одна из подсистем уравнений (37)-(40) не является самосопряженной системой. Однако наш опыт с уравнениями баланса частичной энергии для задач с химическими реакциями и их введением в формализм Лагранжа говорит о том, что следует обратить внимание на уравнения баланса частичной энергии (38) и (39).
Основываясь на совокупности фундаментальных переменных {х, Т, ф, Ф}, где {Т, ф} — базовые переменные термодинамики в рамках лагранжева формализма (см. раздел 1.4) и Ф — новая переменная, называемая переменной переноса, лагранжиан для задачи диссипации энергии одной частицы с учетом трения типа Стокса можно записать следующим образом:
L
mech
Lt
therm
(41)
механической энергии (38). Обратим внимание на входящие в это выражение множители. Член (Ф - ф) означает термомеханическую связь. Будучи аддитивно связанной с тепловой фазой ф, переменная переноса Ф повышается в ранге до уровня фазовых функций комплексных полевых переменных в лагранжевом формализме.
Уравнения Эйлера-Лагранжа получим путем вариации 8... переменных х, Т, ф, Ф. После некоторых преобразований запишем:
Sx: — -j mx
dt I
І — і |ф — 2 U (ф — (ф — ф°^))) ю I m
dU L І -
+------1 І + — ф | = О,
d x I ю
Sф: — (cT) — ux = О, dt
ST і c
І +
І dfo — ф°^))
ю
dt
= О,
(43)
(44)
(45)
L=
mx2 — U (x)^ + - — cT
І + --f (ф —фоСГ )) ю dt
m
ф| — x + U(x) | +(ф — (ф — ф°(T)))(—ux )
диссипируемая
энергия
скорость
диссипации
transfer
Здесь
ф°^) =
2T'
(42)
Записанный выше лагранжиан представляет собой суперпозицию лагранжиана £тесЬ массовой точки без учета трения (см. уравнение (11)), усеченного лагранжиана ^4Ьегт теплодинамики (см. уравнение (34)) и взаимодействия ЬГзп^е1, связанного с трением. Последний член отвечает за необратимый перенос энергии между механической степенью свободы х и тепловой степенью свободы Т. Принцип построения ЬГзп^е1 показан пунктирными стрелками. Диссипируемая энергия (в данном случае она равна полной механической энергии) будет рассеиваться в соответствии со скоростью диссипации. Обе величины взяты из уравнения баланса частичной
SФ : dt| mx2 + U(x) |+uxz = 0.
(46)
Мы получили столько уравнений, сколько имеем переменных. В рамках формализма Лагранжа искомые частные уравнения баланса энергии (38) и (39) воспроизводятся как уравнения Эйлера-Лагранжа (46) и (44). Очевидно, что уравнение (43) содержит уравнение движения Ньютона (отмечено линиями). Остальные члены обусловлены диссипацией. Уравнение (45) связано с термионным полем, так как уже упомянутая фазовая переменная ф связана с отклонением теплового состояния от локального теплового равновесия.
Перейдем к рассмотрению законов сохранения Нетер. Лагранжиан (41) не зависит явным образом от времени ґ. Таким образом, он инвариантен относительно трансляций (7) и, как следствие, при движении сохраняется энергия Нетер (10):
H = | -2 x2 + U(x) + cT !> +
I ю
ф—Л (ф — (ф — ф°^)))
m
(47)
\mx = const.
К обычной полной энергии (первая строчка, см. также уравнение (40)) добавляется член, связанный с динамикой переменной переноса (вторая строчка).
+
+
Еще одну симметрию лагранжиана получим, учитывая, что он является инвариантным к перекалибровке фазы комплексных переменных (см. уравнение (33)):
ф ^ ф + е,
Ф ^ Ф + е, —го < е < +го.
Соответствующее уравнение баланса Нетер
А 1 = 0
dt дф дФ
V У
для уравнения (41) приводит к сохраняющейся величине
(48)
(49)
— Ш( т х2 + и(х) + сТ | = соп*
(50)
которая вплоть до постоянных множителей представляет собой обычную полную энергию. Сравнивая (50) и (47), можно найти энергию, связанную с переменной переноса, как еще одну сохраняющуюся величину движения (вторая строчка в (47)):
1
ш
Ф —- (Ф — (ф —фо(Т))) т
тх = соші.
(51)
Каково значение этой величины?
Чтобы ответить на этот вопрос, решим уравнения (43)-(46). Уравнение (45) дает
ф = —<ю + фоСТ), (52)
это означает, что согласно модели (41) в течение диссипативного движения система всегда находится в состоянии локального теплового равновесия [8-11].
Сравнивая уравнения (43) и (46), которые не должны противоречить друг другу, получим систему уравнений:
^—ц / = о,
^ т
1 —Ш-]^ — 2 — (Ф — (ф — фо(ТЩ = /, (53)
ш I dt т
, 1 ао _
1 + —гг = /, ю dt
которая должна выполняться одновременно. Здесь f — вспомогательная функция. Выбирая постоянные интегрирования для уравнения (53) таким образом, чтобы выполнялись требования:
Ф(/ = 0) = 0 в случае диссипации (ц ф 0) (54)
Ф(0 = 0 для t > 0 в случае отсутствия диссипации (ц = 0), получим решение
(55)
Г Ц1
Ц 1—
Ф^) = —юю — ю— 1 — е т . (56)
т
V )
Выбор (54) осуществлен на основе идеи о том, что диссипация, а следовательно, и динамика переменной переноса, начинаются при £ = 0, в то время как уравнение (55) указывает, что без трения не существует динамики рассматриваемой переменной переноса.
Согласно модели (41) для нашей системы с учетом трения Стокса решение (56) не зависит от движения х(0 и изменения температуры Щ) (см. раздел 4).
Последние могут быть получены уже из традиционных уравнений (38) и (39), которые совпадают с уравнениями Лагранжа-Эйлера (46) и (44). Исходя из начальных величин х^ = 0) = 0, х^ = 0) = v0, Т^ = 0) = = Т0 и ограничив себя упрощенным случаем и(х) = 0, получим решения
ц
х(0 = ^0 — т
1 — е
2
ти0 1
~г с
2-
1 — е
(57)
(58)
Последнее уравнение приводит к уравнению полного баланса энергии
то0
(59)
т.е. после прекращения движения вся механическая энергия переходит в температуру как тепловую степень свободы.
Подставив (56) в член в квадратных скобках в уравнении (51), получим
Ф—— (Ф — (ф —ф0(Т)))
т
= 0,
(60)
т.е. относительно (51) и (47) с переменной переноса не связано никакой энергии! Уравнение энергии Нетер (47) совпадает с обычным уравнением полной энергии
Н = — х + и (х) + сТ = Е = сопБІ
(61)
(см. уравнение (40)). Для массовой точки, испытывающей трение типа Стокса, лагранжиан (41) приводит к самосогласованной обратной задаче второго рода!
2.2. Трение Кулона
Выполним ту же самую процедуру, что и в предыдущем разделе. Одномерная динамика массовой точки, испытывающей трение типа Кулона, описывается лагранжианом:
-
Lmech
Ltherm
(62)
L = J — x2 — U (x)^ + - — cT
ф
диссипируемая
энергия
І + -^(Ф — ФоСГ)) ю dt
(Ф — (ф —Фo(T)))(—Ц x |)
скорость
диссипации
L
transfer
Принцип наименьшего действия Гамильтона приводит к уравнениям Эйлера-Лагранжа:
\ 1 " + x
1 ——Ф
ю 1 x|
Sx і - mx
dt
dU L І _
+-------1 І + — Ф | = О,
dx I ю
Sф і — (cT) — U x | = 0,
U (Ф — (ф — ФоСГ))) ю
ST і c
І +
І d(ф —Фo(T))
ю
dt
= О,
d Г m .2
SФ і dt l-J x2 + U(x)| + U x| = 0.
(63)
(64)
(65)
(66)
Очевидно, что уравнения (66) и (64) воспроизводят обычные частные уравнения баланса механической и тепловой энергии.
Поскольку лагранжиан не зависит явным образом от времени г, он инвариантен относительно временных трансляций. Следовательно, в ходе термомеханических процессов сохраняется энергия Нетер:
H = - — x2 + U(x) + cT !> +
+ -----—x2 Ф !• = const.
ю
(67)
И здесь к первому члену, выражающему обычную полную энергию, добавляется член, обусловленный динамикой переноса диссипированной энергии (второй член).
Как и в предыдущем разделе лагранжиан инвариантен при комбинированном калибровочном преобразовании (48). Согласно (49) это приводит к другой сохраняющейся величине Нетер:
— ю I — x2 + U(x) + cT | = const.
Сравнение (67) и (68) дает сохраняющуюся энергию, связанную с переносом:
mx 2Ф = const. (69)
Каково значение этой величины?
На этот вопрос можно ответить, получив решения фундаментальных уравнений (63)-(66). И вновь решение уравнения (65) дает
ф = -ю^ + ф0(Г). (70)
Это означает, что весь процесс происходит в состоянии локального теплового равновесия.
С учетом (70) и (66) уравнение (63) представляет собой неявное уравнение относительно переменной Ф. Вновь накладываем ограничение (55). Из условия непротиворечивости уравнений (63) и (66) получим систему уравнений:
1 --Ф = f,
ю
А( і—1 ф | = о, dt I ю
ю ^(ф — (Ф—ФоСГ))) = uf, ю dt
1+-ф = f, ю
(71)
где f— вспомогательная функция. Решение имеет вид: Ф = 0 ^ Ф = = const, (72)
где коэффициент трения ц выбирается таким образом, чтобы выполнялось требование (55). С учетом (72) член (69) обращается в нуль и энергия Нетер (67) совпадает с обычной энергией термомеханической системы:
m
H = — x + U (x) + cT = E = const. 2
(73)
Решение для оставшихся переменных получим из уравнений Эйлера-Лагранжа (66) и (64), т.е. из обычных частных уравнений баланса энергии. В частном случае и(х) = 0 и для начальных величин = 0) = 0, х^ = 0) =
= и0, Т (£ = 0) = Т0, получим
x(t) = — t(T — t) m
T (t) = T° +U t(v° — ^ t c I 2m
где
T = -
mv
(74)
(75)
(76)
+
+
представляет собой время прекращения движения. Из (75) и (76) следует уравнение баланса для полной дис-сипированной энергии:
еТ (г)- еТ° =
mv°
(77)
Согласно модели (62), учитывающей трение типа Кулона, динамика переменной переноса Ф не зависит от конкретного движения системы x(t). Такую же ситуацию мы имели и в случае трения типа Стокса. В разделе 4 эта ситуация будет рассмотрена более подробно.
3. Возможная интерпретация переменных переноса
В обеих моделях (41) и (62), учитывающих трение типа Стокса или Кулона, энергия, связанная с переменными переноса, равна нулю (см. уравнения (51), (60) и (69), (72)). Тем не менее, переменные переноса отвечают за необратимый перенос энергии от механической степени свободы x к тепловой степени свободы T. Поэтому рассмотрим микроскопические структуры, которые, с одной стороны, участвуют в процессе трения, а с другой стороны, не запасают энергию. Приведенные далее модели являются очень упрощенными. Более детальное исследование данного вопроса будет представлено в следующих работах.
В случае трения Кулона свободные «ненасыщенные связи» на двух соседних поверхностях образуют связи между обеими поверхностями (рис. 5). В результате тепловых флуктуаций и относительного движения двух тел возникает стационарное состояние, при котором в каждый момент времени имеется некоторое мгновенное число связей n на единицу площади. Если в ходе относительного движения двух поверхностей растяжение связей достигнет критической величины, они разрушаются. Растяжение связей сопровождается появлением накопленной упругой энергии e за счет кинетической энергии относительного движения. После разрушения связей накопленная энергия диссипирует путем затухающих осцилляций двух частей разрушенной связи. Этот микроскопический процесс приводит к появлению силы трения и необратимому переносу энергии от механических степеней свободы к тепловым степеням свободы в двух телах (тепловое возбуждение микроскопических степеней свободы, фононный газ).
Чтобы получить мгновенное число связей n, рассмотрим кинетическое уравнение, основанное на соотношении
d« = d«thermal + d«broken . (78)
Первый член связан с формированием связи и аннигиляцией тепловых флуктуаций. Второй член, связанный с нарушением связи при относительном движении двух тел, является аннигиляционным членом по определению:
Рис. 5. Упрощенная микромодель трения типа Кулона
d «broken — °'
(79)
Здесь мы обсудим только этот член.
Число нарушенных связей аяЬгокеп, отнесенное к единице площади, зависит от относительного смещения двух тел дх:
d «broken r dx •
(80)
С этим числом, представляющим собой число событий, не может быть связана энергия. Однако оно отвечает за перенос энергии. В принципе, скорость разрыва связей r на единицу скольжения зависит от температуры и относительной скорости. В первом приближении предположим, что
r = const. (81)
Тогда смещение dx вызывает перенос энергии:
d Etransfer = ed «broken = -er d x
и скорость диссипации можно получить как
d Etransfer = e d nbroken = _er I ^X I
dt
dt
dt
(82)
(83)
Сравнив с феноменологической скоростью диссипации в уравнении (66)
dE
dissip _ dt
- -u|-
получим
r
(84)
(85)
Рис. 6. Трение Стокса. Функция теплового распределения частиц изменяется при столкновениях с движущимся телом
Наша будущая цель состоит в том, чтобы связать эту микрокартину с комплексной нормированной переменной
X
: 4иеІІ
ІФ
(86)
модуль которой определяется вышеупомянутым числом связей п как переменной состояния и действительной переменной Ф, которую в этой работе мы назвали переменной переноса. Введение комплексной нормированной переменной обусловлено полученными нами ранее результатами в свете применения формализма Лагранжа к исследованию термодинамики необратимых процессов [9-11]. Исследования в этом направлении продолжаются.
Трение Стокса часто связывается с движением тела в вязкой жидкости. На микроуровне это связано со столкновениями между молекулами жидкости и молекулами твердого тела на границе раздела двух сред. Столкновения сопровождаются обменом импульсом и энергией. Разница в обоих величинах до и после столкновений имеет макроскопическую корреляцию с феноменологической силой трения и скоростью диссипации энергии.
Очевидно, что в случае движущегося тела столкновения приводят к возмущению функции теплового рас-
пределения молекул жидкости (максвелловское распределение в фазовом пространстве). На рис. 6 эта ситуация показана качественно в реальном пространстве. Мы намерены установить корреляцию этого возмущения и переменной переноса Ф в модели (62) на основе подходящих средних величин возмущения и комплексной феноменологической переменной. Исследования в этой области продолжаются.
4. Перспективы исследования пластической деформации в рамках физической мезомеханики
Пластичность кристаллического тела обусловлена дислокационной динамикой. Реальный процесс пластической деформации, т.е. движение дислокаций, протекает в зонах скольжения, которые пронизывают весь материал в виде трехмерной сетки. Эта сетка приводит к зернистой структуре материала с высокой плотностью дислокаций в зоне скольжения и малой внутри структурных элементов. В ходе пластической деформации сильно диссипативное пластическое скольжение главным образом локализуется в переделах зон скольжения. В течение этого процесса зерна претерпевают вращение как целое и подвергаются упругой деформации. Диссипация при этом обусловлена в основном дислокационной динамикой в зонах скольжения.
В рамках физической мезомеханики [14-16] эта динамика моделируется континуумом Коссера, в котором считается, что элементы материала (зерна материала) и направляющие векторы Коссера (упругая деформация и повороты зерен) движутся таким образом, чтобы сохранить сплошность материала. Диссипация моделируется через задание силы трения (Кулона) между соседними элементами Коссера. Эта модель дискретизуется с помощью метода подвижных клеточных автоматов [16], учитывающего трение между соседними автоматами. Мы намерены ввести формализм Лагранжа для диссипативной системы в мезомеханику. Это можно осуществить на уровне континуума Коссера или на уровне клеточных автоматов. В последнем случае лагранжианы, рассмотренные в этой статье, могут оказаться полезными. Исследования по данной тематике продолжаются.
5. Перспективы теории
Представленную здесь одномерную задачу можно обобщить на случай трехмерного движения. Заменим в лагранжианах координату массовой точки х вектором х. Тепловые переменные Т и ф пока сохраняем. То же самое касается переменной переноса Ф.
Эта статья связана с «задачей одного тела». Однако в действительности в процессе диссипации в результате трения участвуют два тела, имеющих общую границу раздела. «Задачу одного тела» можно свести к данной задаче, заменив пространственные координаты тела х1
и х2 относительными координатами (х1 - х2) и координатами центра масс (т1 х1 + т2х2)/(т1 + т2). Механическое затухание связано только с относительным движением. Термионные переменные определяются теперь для каждого тела в отдельности: у 1 = ехр(/ф1)
и у 2 = д/ТГ ехр(/ф 2). Тепло, возникающее на границе раздела тел, распространяется в оба тела. Это приводит к появлению дополнительных феноменологических коэффициентов. В дальнейшем, в результате соприкосновения материалов происходит теплообмен через общую границу двух тел, который характеризуется дополнительным коэффициентом теплообмена. Обобщенная теория будет предложена вниманию читателя в следующей работе.
Представление тел как точечных масс является сильным упрощением реальной задачи трения. Если мы имеем дело с двумя протяженными телами, следует учитывать два существенных обобщения метода. Тепло, производимое на границе раздела тел, распределяется в этих телах за счет теплопроводности. Этот процесс лежит в рамках полевой теории. Существует лагранжиан теплопереноса в движущемся твердом теле. Это функция плотности объемного типа. Поскольку он является ядром интеграла действия объемного типа (26), этот лагранжиан представляет собой соответствующее обобщение лагранжиана (30) [10, 17]. Однако производство тепла обусловлено динамикой трения на границе раздела. Его следует описывать, используя интеграл действия поверхностного типа, основанный на функции плотности Лагранжа поверхностного типа. В выражении
(26) объемный интеграл следует заменить интегралом по поверхности. Переменная переноса Ф ограничивается исключительно границей раздела. Таким образом, суперпозиция интегралов действия объемного и поверхностного типов решает задачу об определении функционала действия общей задачи «диссипации механической энергии в двух протяженных телах при трении».
В моделях (41) и (62) диссипируемая энергия в обоих случаях передается от механической степени свободы х непосредственно к тепловым степеням свободы, характеризуемым температурой Т. Движение х(г) не входит в уравнения (53) и (71) для соответствующих переменных переноса Ф. Следовательно, в обоих случаях переменные переноса Ф не зависят от особенностей эволюции движения. Согласно члену (ф - ф0 (Т)) в уравнениях (53) и (71) процессы переноса происходят в состоянии локального теплового равновесия [8-11]. Все эти три обстоятельства не вполне удовлетворительны с физической точки зрения. Все они связаны с тем, что модели строятся на тепловой части £Легт, сведенной к форме (34) лагранжиана (30) при теплопереносе. Последнее утверждение удовлетворяет обычному принципу локального равновесия [18, 10], т.е. процессы тепло-
Рис. 7. Мезоскопическая модель пластической деформации
проводности протекают только в состояниях локального равновесия. В рамках формализма Лагранжа эти процессы связываются с решением (52), (70) для тепловой фазы ф [8-11]. Однако существует естественное обобщение Лагранжа (30), учитывающее эффекты тепловой инерции [13, 19], которые приводят к необратимым процессам в их истинном смысле, т.е. процессам, происходящим вне состояния локального равновесия. В этом случае решение (52), (70) не является действительным. На основе этого лагранжиана можно обобщить формализм Лагранжа для термомеханики трения таким образом, чтобы выразить косвенный необратимый перенос энергии от x к T. Первым шагом энергия передается от x к тепловой фазе ф, и система выходит из состояния локального равновесия. На втором шаге происходит релаксация системы в состояние локального равновесия в результате тепловой инерции. В итоге для термомеханики трения в рамках формализма Лагранжа тепловая инерция приводит к переменным переноса Ф, которые влияют на эволюцию движения x(t). Исследования этой чрезвычайно обширной проблемы продолжаются.9
Литература
1. Hamel G. Theoretische Mechanik. - Berlin-Gottingen-Heidelberg: Springer-Verlag, 1949.
2. Passler M. Prinzipe der Mechanik. - Berlin: de Gruyter, 1968.
3. Corson E.M. Introduction to tensors, spinors and relativistic wave-equations. - London-Glasgow: Blackie & Son, 1953.
4. Santilli R.M. Foundations of theoretical mechanics. Part I. The inverse problem in Newtonian mechanics. - New York-Heidelberg-Berlin: Springer-Verlag, 1978.
5. Yang C.N., Mills R.L. // Phys. Rev. - 1954. - V. 96. - P. 191.
6. Schmutzer E. Symmmetrien und Erhaltungssatze der Physik. - Berlin: Akademie-Verlag, 1972.
9 Альтернативный подход предложен М. Шарготтом в работе [20]
7. Bateman H. On dissipative systems and related variational principles // Phys. Rev. - 1931. - V. 38. - P. 815.
8. Anthony K.-H. A new approach to thermodynamics of irreversible pro-
cesses by means of Lagrange formalism // Disequilibrium and Selforganization / Ed. by C.W. Kilmister. - Dordrecht: Reidel Publishing Company, 1986. - P. 75.
9. Anthony K. -H. Phenomenological thermodynamics of irreversible pro-
cesses within Lagrange formalism // Acta Physica Hungarica. - 1990. -V. 67. - P. 321.
10. Anthony K.-H. Hamilton’s action principle and thermodynamics of irreversible processes — a unifying procedure for reversible and irreversible processes // J. Non-Newtonian Fluid Mechanics. - 2001. -V. 96. - Nos. 1-2. - P. 291.
11. Anthony K.-H. Entropy and dynamical stability — a method due to Lagrange formalism as applied to thermodynamics of irreversible processes // Trends in Applications of Mathematics to Mechanics / Eds. by J.F. Besseling, W. Eckhaus. - Berlin-Heidelberg: Springer-Verlag, 1988. - P. 297.
12. Anthony K.-H. Remarks on dissipation in Lagrange formalism and attempts to overcome the difficulties // 2nd Workshop on Dissipation in Physical Systems / Ed. by A. Radowicz, Borkyw, Poland, Sept. 1997. - Mechanika, Politechnika Swietokrzyska Kielce, 1998.
13. Anthony K.-H., Knoppe H. Phenomenological thermodynamics of irreversible processes and Lagrange formalism — hyperbolic equations
for heat transport // Kinetic Theory and Extended Thermodynamics / Eds. by I. Muller, T. Ruggeri - Bologna: Pitagora Editrice, 1987. - P. 15.
14. Popov V.L., KronerE. On the dynamic theory of elastoplastic medium with microstructure // Computational Materials Science. - 1999. -V. 16. - P. 218.
15. Попов В.Л., Кренер Э. О роли масштабных уровней в теории упругопластичности // Физ. мезомех. - 1998. - Т. 1. - № 1. -С. 109-118.
16. Попов В.Л., Псахье С.Г. Теоретические основы моделирования упругопластических сред методом подвижных клеточных автоматов. I. Однородные среды // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - №2 1.-С. 17-28.
17. Scholle M. Das Hamilton’sche Prinzip in der Kontinuumstheorie nicht-dissipativer und dissipativer Systeme. - Dissertation Universitat Pader-born, 1999 (to be published).
18. De Groot S.R., Mazur P. Non-equilibrium thermodynamics. - Amsterdam: North Holland Publ. Comp., 1969.
19. Schargott M. Tragheitseffekte in der Warmeleitung — Beitrage zur Warmeleitungs-theorie im Thermionenformalismus. - Diploma-Thesis Universitat Paderborn, 1997.
20. Шарготт М. Трение в деформируемых средах. Подход на основе полевой теории к термодинамике диссипативных процессов в рамках формализма Лагранжа // Физ. мезомех. - 2001. - Т. 4. - №2 4. -С. 47-57.
