Оптимальный параметрический синтез технологических процессов холодной штамповки Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 621.983.7

Оптимальный параметрический синтез технологических процессов холодной штамповки

К. М. Иванов, А. С. Афанасьев, П. М. Винник, В. Н. Иванов

Введение

Проектирование технологических процессов штамповки в современных условиях должно осуществляться с применением принципа оптимальности. Для этого широко используют в среде CAD/CAM—САЕ-технологий методы структурного и параметрического синтеза.

В данной статье рассмотрена методология и приведен конкретный пример оптимального параметрического синтеза технологического процесса обжима полых тонкостенных оболочек (рис. 1).

Оптимальный параметрический синтез

При решении задач оптимального параметрического синтеза необходимо определить критерий оптимальности и вектор оптимизируемых параметров с учетом ограничений.

Выделим следующие цели синтеза:

• получение детали заданных размеров;

• обеспечение требуемого уровня механических свойств детали;

• обеспечение надежности технологического процесса.

Надежность реализации процесса обжима определяется возможностью потери устойчивости в различных зонах заготовки. Необходимо обеспечить три основных вида устойчивости: поперечную в период контактной деформации; поперечную в начальный период деформации; продольную в период контактной деформации. Выполнение этих условий можно считать достаточным для обеспечения надежности технологического процесса обжима.

Представим технологический процесс обжима в виде п циклов сочетаний последовательно выполняемых пар операций (обжима и термической обработки). Тогда вектор независимых оптимизируемых параметров будет иметь вид

хт = (, Щ т(1); I = 1, п),

I е[1:п], (1)

где е(1) — показатель степени деформации на

обжиме; ), т(1) — температура и длительность термической обработки.

Согласно работам [1, 2] ограничения, связанные с возможными потерями устойчивости записывают в виде:

1) условие потери поперечной устойчивости в период контактной деформации

,(1) < e(l)

< еГу>, l = 1,n,

(2)

где в(1) — предельная устойчивая деформация;

2) условие потери поперечной устойчивости заготовки в начальный период деформации в зоне «неприлегания» к матрице

,(l)

T(l) ^кр

(3)

где а^ ), а^ — тангенциальное сжимающее и критическое напряжение соответственно;

3) условие потери устойчивости в продольном направлении

Рис. 1. Технологическая схема обжима тонкостенных оболочек: 1 — заготовка; 2 — матрица

т(0 ртах

7(1>

кр

(4)

гИ)

где акр — критическое меридиональное напряжение, определяемое для опасного сечения заготовки; а^ах — максимальное значение меридионального напряжения.

Цель оптимального синтеза — получение деталей заданных размеров с требуемым уровнем механических свойств при заданных ограничениях. Ограничения заданы неравенствами (2)-(4). Требование обеспечения заданных размеров детали выразим в виде равенства

п

1=1

а(п)

т(1) =

(п) '

) -

а- = ^) (е(1), 1(1), т(1)), I = 1, п.

у1(1 )(х(1)) =

0,1251§а( 1) +-2—

6сов а(1)

q1(l )(х(1 -1)) =

(1 - 0,58^1 -1))

кн й(1 -1) '

У2(1 )(х( 1)) = - т( 1) = - ехр

Ге(1)^

Ь

V у

где

д2« >(х(1 >) = - =

2 (1 -1)) +

1,6 а(1 -1) сов а(1) - к(1 -1) (1 - Т/ -1) )2 (ав ))1 -1) [1 + 1) (3 - 2 сов а( 1))] У3( 1 )(х(1)) = еХ1); q2( 1 )(х(1)) = еЛI);

(х(1)) = (41), ¿(1), т(1)).

Дополним условия (6) очевидным геометрическим соотношением

(5)

^1) = ТГ(1 - т(1)),

(7)

где Н^^} — высота ската обжимаемой заготов-

где ), ) — диаметры детали соответственно в верхнем и нижнем сечениях.

Для оценки обеспечения заданного уровня механических свойств зададим соотношение, связывающее уровень механических свойств заготовки а^) с технологическими параметрами 1-й заготовки:

ки.

Ко второй группе отнесем условия, сформированные в виде равенств

У4(х) = q4; У5(х) = q5,

(8)

где

У4(х) = П ехр

Г „(I) 3

I=1

е

Ь

q4 =

(п)

й( п)

Разделим сформированные условия и требования на несколько групп. К первой группе отнесем условия обеспечения поперечной и продольной устойчивости заготовки. Для 1-й операции обжима эти условия можно записать в виде неравенств:

у1) (х (1) )< q11) ((1 -1)); у2) (х(1) )< ^) (х(1)); у31) (х(1))< q31) (х( 1)); I = 1,..., п;

а(1)

(6)

У5(х) = {(г) (, т(1)) = 1,..., п};

q5 = а(п); хТ = (е(1)), 1), т( 1), I = 1,..., п.

Условия обеспечения поперечной устойчивости в период контактной деформации можно отнести к прямым ограничениям на компоненты е(1) вектора оптимизируемых параметров. Таким образом, множество целей проектирования технологического процесса обжима сведено к множеству условий работоспособности в виде системы неравенств и равенств. Для технологического процесса, состоящего в общем случае из п операций обжима, число условий-неравенств равно 3п.

Для решения многокритериальной задачи оптимального параметрического синтеза технологического процесса обжима воспользуемся максимальной сверткой векторного критерия, получившей распространение в практике проектирования сложных систем.

Для условий-неравенств (6) вводятся количественные оценки степени их выполнения:

2; (х), ] е [1: 3п],

(9)

причем цели проектирования должны совпадать со стремлением увеличить значения

(в первую очередь наименьшие из них), т. е.

+

тт тах г; (х), хеЛ ; е[1:3 п] 1

(10)

где Л — множество, в котором выполняются прямые ограничения и ограничения равенства (8) на вектор параметров х .

Как показывают исследования, функции минимума, подобные г; (х), ] е[1 : 3п], не являются гладкими, условия непрерывной диф-ференцируемости для них не выполняются, что требует привлечения специальных процедур оптимизации.

Рассмотрим вопрос о существовании решения сформулированной задачи (6)-(8). Для этого проведем анализ условий работоспособности (6) при следующих исходных данных по конечной и исходной штампованным заготовкам и термической обработке:

4,п) = 26,5 мм; 4п) = 1,35 мм; а^ = 650 МПа

4п) = 16,42 мм; 4П) = 0,8 мм; о(В) = 480 МПа

<(0) = 26,786 мм; 4° = 1,336 мм; 4° = 0,595 мм

к^П) = 10,9 мм; а(п) = 0,108; 5*п) = 40 %;

Т = 780 °С;

е(0) = 0,045; е(0) = 0,050;

и

(002 ) = 225 МПа; (в0)) = 353 МПа;

е^ = 0,35; Т у = 0,26. (11)

Ограничим размерность вектора параметров х , варьируя только значения степеней

У1 , «1

2

деформации е('), ' = 1,..., п , считая параметры ^'), т( ') термической обработки заданными. Вначале определим, какие из условий системы (9) обладают минимальными запасами работоспособности при п = 1 (т. е. при проведении обжима за одну операцию):

тт г; (х), ] е[1: 3п].

Для принятых исходных данных (11) требуемому значению коэффициента обжима

<п)

т{1) = и = 0,62 соответствует значение сте-<(п)

пени деформации е(') = 0,489.

Как видно из рис. 2-4, при таком значении

е( ') будет выполняться равенство у1) (е(')) =

= «1'), т. е. запас работоспособности по условию поперечной устойчивости в начальный период деформации будет нулевым. Условия продольной и поперечной устойчивости в период контактной деформации не выполняются, и запасы работоспособности по ним отсутствуют:

У2') ('))> «2') ((')). 4') > >.

Очевидно, что минимальным запасом работоспособности обладает условие поперечной устойчивости в период контактной деформации, так как для его выполнения необходимо реализовать значительно меньшую степень деформации. Определим минимальное значе-

у2), д()

-0,5 -0,6 -0,7 -0,8 -0,9 -1,0

2

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

Рис.^ 2. Зависимость параметра поперечной устойчи

Рис. 3. Зависимость параметра продольной устой

вости у11) (1) и параметра ограничения (2) от степе- чивости у2') (1) и параметра ограничения (2) от сте ни деформации е\'

( )

пени деформации е(

( )

е

(i) (i) y3 > %

0,5 0,4 0,3 0,2 0,1

2 / L

/

0

0,1

0,2

0,3

0,4

0,5

( )

Рис. 4. Зависимость параметра поперечной устой чивости в начальный период деформации у31) (1) и па

раметра ограничения (2) от степени деформации е(

ние параметра пт1п, при котором множество планов задачи параметрического синтеза процесса обжима Л становится непустым.

Перепишем ограничение, определяемое заданной геометрией заготовок, предполагая равномерное распределение деформаций по операциям и принимая I = 1:

( )

d(n)

uu d(n >

= nm

(l) =

- ne (l)

(12)

(l) (i) где m \ et

значения коэффициента обжима и степени деформации, реализуемые на каждой операции обжима.

Прологарифмируем значение (12) и запишем его относительно п:

ln

n=

d( n)

иv

v d( n ) ,

Уци (l)

(13)

Минимальное значение пт1п получим, подставив в (13) максимальное значение е(1), равное предельной до^начала локализации степени деформации е( ), исходя из условий

первой операции обжима.

Воспользуемся зависимостью е(г) от тех нологических параметров [3] У

е( 1) = 0,074 + 0,05ls(l-1) + 0,039е(1 -1) -

1У 1

- 0,045T(l-1) - 0,15m£l) - 0,028s(l-1)е(l-1) + + 0,011s(l-1) T(l-1) + 0,03s(l-1) m6l) +

+ 0,014е(1 -1)Т(1 -1) - 0,121е(1 -1)(Т(1 -1))2 +

+ 0,025Т(1 -1)т61) - 0,147(1 -1))2 -

- 0,044(е(1 -1))2 + 0,00454(Т(1 -1))2 -

- 0,0276(т61 ))2. (14)

При постоянных значениях £(г - 1) = 780 °С, т6) = 0,15, е(0) = 0,050 величина е^) незначительно изменяется с ростом 1(1 = 1, 2, ... ..., п) в связи с увеличением толщины заготовки в процессе обжима. Считая предельную деформацию е(1) постоянной и равной е( ), определим минимУ альное значение парамеУтра:

ln

n

d( n)

V d( n ) ,

u

(l)

1,588

или округленное до ближайшего большего целого: nmin = 2. Таким образом, проведение обжима за две и более операций (n > 2) обеспечивает выполнение всех ограничений-неравенств (6), а также геометрического ограничения вида (8). Следовательно, допустимое множество планов непусто, т. е. непусто допустимое множество переменных D:

d = ul): е.l) < е( l) < е.l) ,

I I • I I

L min max

l е [1: n], n = 2,3,..., nmax},

где е(т)п, е^ — нижняя и верхняя границы замкнутого интервала возможных значений параметров a(l); nmax — максимально возможное количество операций технологического процесса обжима;

е

(l)

0; е(

(l)

ln

d( n)

uu

v d( n) ,

v

Л •

Кроме того, множество D ограничено и замкнуто:

D = Ul) : е.l) < е^) < е^l) ;

I I ■ I I

min max

t(l) : t(l) < t(l) < t(l) .

1 • ''min - 1 - ''max'

T(l) : T(l) < T(l) < T(l)

L : Lmin - L - max,

l е [1: n], n = 2,3,..., nmax}, (15)

y

t(l) t(l) T(l) T(l) _ mi^ 'max' 'max

где *Ш1п, гшах, тШ1п, ТШах — НижНие и ВерхНие границы замкнутых интервалов возможных

значений параметров £('), т(').

В качестве количественной оценки степени выполнения у-го условия надежности процесса обжима используем выражения:

Zj - aj

Л

(b^j Vs j " Ь

zj = aj

(q - yj (x) Л

_Jh__I

S - .

(16)

где yj — номинальное значение параметра yj;

JH c. J

qj — параметр ограничения; Sj — оценка рассеяния параметра; a;- — весовой коэффициент. Функционал max min Zj (x) не являет-x eD j e[1:3n ] 1

ся гладким, поэтому воспользуемся подходом, основанным на средневзвешенной аппроксимации максимального критерия. Задача (10) эквивалентна задаче

min max [exp(-Zj)]. (17)

x eD j e[1:3n ] 1

Применив среднестепенную свертку, получим критерий оптимальности

n

min Е exp I- vZj (x) I, v - 2,3,..., (18)

7~l ^^ L J J

x eD

j=1

который является гладким.

Упростим формулировку задачи параметрического синтеза процесса обжима, исключив ограничение-равенство из системы (8), связанное с требованием получения заготовки заданной геометрии:

п <(п)

П ехр (- е' )= •

l =1

( n)

Выразим значение параметра е\ через остальные е('), I = 1, 2, ..., п - 1, воспользовавшись следующими несложными преобразованиями:

n-1

-Е

l=1

,(l) - e(l) -

ei - ei

- ln

(d n) Л

n)

V v

e( n) =

ej

ln

( d(n) Л n-1

dv

и_

(n )

e(l)

l-1

(19)

Подставив (19) в условие (6), сократим размерность вектора оптимизируемых пара-

метров и одновременно учтем ограничение-равенство:

3n

min Е exp [-vZj (x)]; v - 2, 3, ..., n - 1, 2, ...;

(qj - yjH (x)

zj- ~-aj V jH sj

e(l) e En-1 : e(l) imin

-1

t(l) e En : t(l) < t(l) < t(l) .

• min max'

T(l) e En : T(l) < T(l) < T(l) ; T : Tmin < T < Tmax;

У5 (x) - q5, l - 1, 2, ..., n}.

(20)

Задача (20) является частично целочисленной задачей математического нелинейного программирования, поскольку к оптимизируемым относится параметр n (количество операций обжима). Исходя из опыта проектирования технологических процессов обжима множество возможных значений п можно ограничить: n = 1, 2, ..., 5. Тогда процедура параметрического синтеза (20) сможет строиться на основе поэтапного наращивания значения п с ограниченным шагом, начиная с n = 1, и минимизации функционала на каждом этапе. Окончательный вариант технологического процесса следует выбирать с привлечением дополнительных критериев, например минимума суммы приведенных затрат на изготовление. Исходя из анализа ограничений и условий, определяющих надежность технологического процесса обжима, находим минимальное количество операций nmin, при котором выполняются ограничения-неравенства и геометрическое ограничение.

При подборе и формировании целевой функции возможны следующие варианты.

1. Целевая функция J (x) может быть построена на основе среднестепенной аппроксимации максиминных критериев. При этом поскольку максиминные критерии вида max min Zj (x) формируются на основе огра-

x eD 1

ничений-неравенств, в частности неравенств, выражающих требования к надежности технологического процесса обжима, то они получают очевидную для технолога математическую интерпретацию. Недостаток подобных критериев является следствием использования вычислительных процедур при минимизации целевой функции в виде среднестепенной аппроксимации. При этом технолог вынужден полагаться на точность сформулированных

критериев и отказаться от физически очевидной интерпретации результатов оптимального параметрического синтеза.

2. Критерии оптимизации и целевые функции могут формироваться на основе анализа дерева целей проектирования технологического процесса обжима. В процессе построения такого дерева выявляются приоритетные цели проектирования, а также основные и вспомогательные признаки технологического процесса, которые могут учитываться при формировании критериев или критериальных ограничений при решении задач оптимального параметрического синтеза. Стремлению получить максимальную экономию при обеспечении заданного технического уровня изготавливаемой детали и допустимого уровня технологического процесса отвечает критерий минимума приведенных затрат. Целевая функция представляется зависимостью затрат на реализацию технологического процесса обжима от вектора варьируемых параметров X : min C (x).

x eD

Рассмотрим задачу определения оптимальных значений параметров операций технологического процесса обжима для исходных данных (11). Ограничимся расчетом степеней деформации e( , I = 1, ..., n, которые составляют вектор оптимизируемых параметров X. Запасы работоспособности будем оценивать в виде (17). Задачу решим в упрощенной постановке без учета ограничения-равенства.

Параметры рассеяния 5j зададим в процентном отношении к соответствующим значениям qi. Примем 5j равным 20 %, q1 и 52, 53 — 10 % от q2 и q3 соответственно. Таким образом, 51 = 0,0043; 52 = 0,06 1 2 ; 53 = 0,032. Все весовые коэффициенты выбраны равными единице. Для решения задачи минимизации применены алгоритмы методов покоординатного спуска Пауэлла. Функционал минимизировался для четырех значений n — 2, 3, 4, 5. Для получения начальных приближений ми-

нимизация проводилась при V = 1, при этом удалось избежать возведения в высокую степень больших значений ехр (х)] . Из тех же соображений выбирали начальные точки х0. Выбор окончательного варианта технологического процесса обжима при п, равном 2, 3, 4 или 5, может проводиться с привлечением дополнительного критерия.

Полученные результаты близки к данным, приведенным в работе [3], в которой применялся итерационный способ определения степеней деформации при п = 3:

е1 = 0,223; т(1) = 0,80; е2 = 0,221; т(2) = 0,802; е3 = 0,046; т(3) = 0,955.

Выводы

В статье рассмотрен современный подход к решению задач оптимального параметрического синтеза процессов холодной штамповки на примере обжима полой заготовки. Рассмотренные принципы могут быть эффективно использованы для решения задач оптимизации процессов вытяжки, выдавливания и т. д.

Литература

1. Сопротивление материалов пластическому деформированию в приложениях к процессам обработки металлов давлением / А. В. Лясников, Н. П. Агеев, Д. П. Кузнецов [и др.]. СПб.: Внешторгиздат-Петербург, 1995. 527 с.

2. Справочник по технологии патронного производства: в 2 т. Т. 1, 2 / Под ред. Н. П. Агеева. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 2011. 345 с.

3. Автоматизированное проектирование технологического процесса обжима полых заготовок: учеб. пособие/ Н. П. Агеев [и др.]. СПб.: Изд-во Балт. гос. техн. ун-та, 1993. 74 с.