CC BY
39
УДК 681.5 : 519.6
Диго Г.Б., Диго Н.Б.
МНОГОМЕТОДНАЯ ТЕХНОЛОГИЯ НА ОСНОВЕ СЛУЧАЙНОГО ПОИСКА В ОПТИМАЛЬНОМ ПАРАМЕТРИЧЕСКОМ СИНТЕЗЕ
Предлагается алгоритм поиска оптимальных решений задачи параметрического синтеза в условиях отсутствия информации о закономерностях параметрических возмущений на основе многометодной технологии. Описывается вычислительная схема поиска максимума неявно заданных нелинейных целевых функций при нелинейных ограничениях на управляемые параметры систем и устройств применительно к методам случайного поиска.
Ключевые слова: многометодная технология, оптимальный
параметрический синтез, случайный поиск, распараллеливание вычислений.
Введение
При проектировании технических систем приходится учитывать случайный характер процессов изменения их параметров, а это, в свою очередь, требует решения ряда сложных и трудоемких задач, к которым, в частности, относится оптимальный параметрический синтез (выбор номинальных значений параметров проектируемых объектов) [1]. Сложность решения таких задач вызвана дефицитом информации о случайных закономерностях процессов изменения параметров проектируемых систем и высокой вычислительной трудоемкостью поиска решения. Сопутствующие условия неопределенности часто не позволяют достигать заданного качества функционирования системы. Возможны ситуации, когда при найденных оптимальных значениях параметров, обеспечивающих максимальную вероятность безотказной работы системы за определенный промежуток времени, не выполняются заданные ограничения на эту вероятность. В таких случаях эффективны методы поисковой оптимизации [2], но из-за отсутствия универсальных методов решения нелинейных задач оптимизации в условиях неопределенности выбор конкретного метода нужно связывать с индивидуальными особенностями решаемой задачи, поскольку метод, удачный для решения одной из них, может быть неудачным для решения других. Именно поэтому на практике наиболее привлекателен подход, основанный на многометодной технологии [3]. Разработанные с его помощью алгоритмы можно реализовывать в виде параллельных итерационных процессов с выбором лучшего приближения для продолжения оптимизации до достижения требуемой точности.
В докладе предлагается многометодная вычислительная схема поиска максимума не аналитически заданной целевой функции в условиях неполной или недостаточной информации о ней, на основе методов случайного поиска. Постановка и анализ задачи
Задача оптимального параметрического синтеза (ОПС) технических устройств и систем [1] состоит в выборе номинальных значений параметров исследуемого устройства xном = (х1ном,...,xnном), обеспечивающих максимум вероятности безотказной работы в течение заданного времени:
xном = argmaxP{X(xH0M,t)є Dx, "tє [0,T]}, (1)
где X(x H0M, t) - случайный процесс изменения параметров; Dx - область работоспособности; T - заданное время эксплуатации устройства.
Исходными в рассматриваемой задаче являются информация о возможных вариациях значений внутренних параметров системы x = (x1v..,xn),
x є Rn,
xi min £ xi £ xi max , xi — 0, i = 1,n , (2)
и условия работоспособности (ограничения на компоненты вектора выходных параметров y = {yj }m=i)
aj £ У](x) £ bj, J = 1,...,m, (3)
У]' = Fj (x1 — xn). (4)
В (4) Fj () - известный оператор, зависящий от топологии исследуемого устройства. Зависимость (4) задается не в явной, а в алгоритмической форме, в частности, через численные решения систем уравнений (дифференциальных или алгебраических), описывающих функционирование исследуемой системы.
Поскольку информация о форме и ориентации области работоспособности
Dx = {x є Rn : a £ y(x) £ b} (5)
в пространстве внутренних параметров отсутствует и зависимость (4) не имеет аналитического описания, не применимы классические методы нахождения экстремумов и приходится использовать поисковую оптимизацию. Связанные с этим существенные вычислительные затраты удается сократить за счет перехода к методам, ускоряющим процесс получения желаемых результатов и работающим при отсутствии информации о виде целевой и ограничивающих функций, при табличном их представлении. Из-за отсутствия среди методов поисковой оптимизации универсальных для конкретного класса задач приходится на основе имеющейся априорной информации или некоторых допущений выбирать из них тот или иной, либо применять сразу несколько. В описанных условиях эффективным является случайный поиск, относящийся к иерархической оптимизации. Но поскольку все алгоритмы случайного поиска, являясь эвристическими, не определяют четко круг задач, для которых они наиболее эффективны, нельзя дать исчерпывающих рекомендаций по применению того или иного алгоритма. Это связано с тем, что их производительность существенно зависит от целевой функции, о которой в решаемом классе задач часто почти ничего не известно [4].
Поэтому для поиска максимума нелинейных целевых функций, заданных алгоритмически, при нелинейных функциях-ограничениях на управляемые параметры систем и устройств предлагается многометодная вычислительная схема на основе алгоритмов случайного поиска.
Вычислительная схема многометодного случайного поиска
Схему применения многометодной технологии для поиска максимума алгоритмически заданной целевой функции
j (x) = P{X(xном , ґ) є Dx, Vt є [0, T]b (6)
где j(x) - функция из правой части (1), опишем на примере использования четырех алгоритмов случайного поиска.
Пусть имеющийся уровень информации об оптимизируемой функции (6) не позволяет заранее определить, какой из алгоритмов случайного поиска является лучшим с точки зрения упрощения и ускорения вычислений. Тогда осуществляется переход к многометодной оптимизации с реализацией нескольких методов случайного поиска в виде параллельных итерационных процессов, основанных на проведении итераций локального подъема из своих случайных точек в соответствии с выбранным алгоритмом нахождения локальных максимумов. Последовательности случайных точек формируются генератором случайных чисел с большим периодом для параллельных программ [5], обладающим хорошим быстродействием и удобным способом разбиения на независимые подпоследовательности. В схему, использующую многометодную технологию
[3] для нахождения максимумов, включены алгоритмы поиска с линейной и нелинейной тактикой, по наилучшей пробе и стохастического градиента [6-7]. Они эффективны в многопараметрических задачах большой размерности с множеством локальных экстремумов, с априорной неопределенностью или не-доопределенностью, в слабо формализуемых задачах.
Случайный поиск с линейной тактикой, обладая большим спектром возможных направлений подъема, эффективен при максимизации квазилинейных функций (вдали от экстремума). В отличие от него случайный поиск с нелинейной тактикой обладает большим преимуществом в ситуациях со значительной нелинейностью (вблизи от экстремума) и при оптимизации многопараметрических задач.
Случайный поиск по наилучшей пробе содержит операцию накопления, состоящую из нескольких пробных шагов (определения в каждом из них значений максимизируемой функции). По их совокупности выбирается направление, приводящее к наибольшему увеличению значения функции. Этот метод, как и метод стохастического градиента, обеспечивает, при необходимости, сбор информации о поведении максимизируемой функции. Именно этим обосновано их использование в многометодной оптимизации.
Многометодная вычислительная схема реализуется путем организации параллельных вычислительных процессов для одновременного проведения расчетов четырьмя перечисленными методами. Распараллеливание производится как по данным (одна параллельная инструкция воздействует на разные потоки данных), так и по процессам (различные потоки данных участвуют в вычислительном процессе под управлением различных потоков команд). Каждый процесс реализует итерационный алгоритм одного из методов, что позволяет решать одну и ту же задачу сразу несколькими методами.
При применении схемы многометодной оптимизации, представленной на рис. 1, к задаче (6) исходными данными считаются условия работоспособности
(3)-(4), ограничения (2) на внутренние параметры, образующие "-мерный параллелепипед допусков
Bd = {x є I ximin £ xi £ ximax, i = n^, (7)
предельное число N шагов поиска, константа e, вводимая для оценки эффективности процесса поиска и определяющая точность получаемого решения.
Согласно поставленной выше задаче, параллелепипед Bd из (7) содержит область работоспособности Dx, но может не являться для нее описанным. В нем выбирается случайная начальная точка поиска x 0 є Dx. По исходной начальной точке x 0 на каждом из процессоров осуществляется поиск приближения к точке локального максимума x1(i), i = 1,2,3,4 своим методом. Для сле-
дующего k-го (k > 2), шага выбирается точка x k, удовлетворяющая условию
x
k - arg max j(x*-l), которая передается всем методам, xk) = x*_1, i = 1,2,3,4.
i=1,2,3,4
Итерационный процесс продолжается до получения приближения, обеспечи-
r(i ) _
вающего выполнение заданного критерия оптимальности
j(x k) _ j(x k _1)
£e,
либо превышения заданного числа N шагов поиска.
Следует отметить, что приведенная на рис. 1 вычислительная схема соответствует включению четырех алгоритмов случайного поиска как иллюстрация используемого подхода. На самом деле может использоваться большее число алгоритмов с учетом количества имеющихся процессоров и степени информационной неопределенности об исследуемом объекте. При включении алгоритмов в многометодную схему учитываются локальные и глобальные характеристики эффективности поиска. Локальные характеристики касаются каждого из включаемых алгоритмов и влияют на быстродействие поиска на одном шаге, вероятность появления в процессе поиска ошибочного (нежелательного) шага. От глобальных характеристик зависят критерий точности решения, критерий числа шагов, необходимых для решения задачи с заданной точностью, критерий надежности поиска (в смысле вероятности нахождения решения с заданной точностью) и др.
Таким образом, одновременное применение разных методов поиска максимума алгоритмически заданной целевой функции (6) формирует группу алгоритмов, каждый из которых работает достаточно эффективно только в определенных условиях. При этом предлагаемый многометодный алгоритм предусматривает автоматический анализ результатов, полученных разными методами по заданному критерию.
Рис. 1. Вычислительная схема многометодного случайного поиска
на k-ом шаге приближения.
Заключение
Вычислительная схема поиска максимума алгоритмически заданной многоэкстремальной целевой функции реализована на основе многометодной технологии в виде параллельных итерационных процессов с выбором лучшего приближения после выполнения очередной итерации всеми выбранными методами. В соответствии с ней решение задачи находится мультиметодным алгоритмом, состоящим из последовательных шагов разных методов, включаемых в процесс поиска с целью его ускорения, учета особенностей оптимизируемой функции и повышения эффективности решения.
Проведенные исследования позволяют утверждать, что применение таких алгоритмов обеспечивает в реальных условиях для каждой конкретной задачи подбор своей последовательности шагов из разных методов, приводящей к наиболее эффективному поиску. Кроме того, в условиях неполной или недостаточной информации об оптимизируемой функции рассмотренная технология дает возможность при использовании методов случайного поиска модифицировать известные алгоритмы, учитывая специфику рассматриваемого объекта.
Работа выполнена при частичной финансовой поддержке гранта ДВО РАН 09-І-П2-03 Программы № 14 Президиума РАН «Интеллектуальные информационные технологии, математическое моделирование, системный анализ и автоматизация».
ЛИТЕРАТУРА
1. Абрамов О.В. Параметрический синтез стохастических систем с учетом требований надежности. - М.: Наука, 1992.
2. Батищев Д.И. Поисковые методы оптимального проектирования. - М.: Советское радио, 1975.
3. Тятюшкин А.И. Многометодная технология оптимизации управляемых систем. - Новосибирск: Наука, 2006.
4. Минаков И. А. Сравнительный анализ некоторых методов случайного поиска и оптимизации // Изв. СНЦ РАН. Самара: СНЦ РАН, № 2. 1999. С.286-293.
5. Галюк Ю.П., Мемнонов В.П. Генератор случайных чисел с большим периодом для параллельных программ // Вестн. С.-Петерб. Ун-та. Сер. 10: Прикладная математика. Информатика. Процессы управления. - 2010. -Вып. 1. - С. 136-146.
6. Растригин Л.А. Адаптация сложных систем. - Рига: Зинатне, 1981.
7. Лемешко Б. Ю. Методы оптимизации: Конспект лекций. - Новосибирск: Изд-во НГТУ, 2009.
G. B. Digo, N. B. Digo
MULTIMETHOD'S TECHNOLOGY ON THE BASIS OF RANDOM SEARCH IN OPTIMUM PARAMETRICAL SYNTHESIS
The algorithm of search of optimum decisions of a problem of parametrical synthesis in the conditions of absence of the information on laws of parametrical perturbations on a basis of multimethod’s technology is offered. The computing scheme of search of a maximum of implicitly defined nonlinear objective functions at nonlinear restrictions on controllable parameters of systems and devices as applied to methods of random search is described.
Keywords: multimethod’s technology, optimal parametrical synthesis, random search, computation parallelizing.
