CC BY
23
УДК 621.96
П.М. Винник, К.М. Иванов, А.С. Афанасьев
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ РЕЖИМОВ РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫХ ОПЕРАЦИЙ ХОЛОДНОЙ ШТАМПОВКИ
P.M. Vinnik, K.M. Ivanov, AS. Afanasieff
OPTIMUM PARAMETRICAL SYNTHESIS OF CONDITIONS OF DIVIDING OPERATIONS OF COLD FORMING PROCESSES
Рассмотрен подход к решению задачи оптимального параметрического синтеза процессов холодной штамповки для разделительных операций, которая сначала сведена к задаче многокритериальной оптимизации, решаемой традиционными методами. Введено понятие траектории вырубки, изучено влияние параметров вырубки на траекторию.
ОПТИМАЛЬНЫЙ ПАРАМЕТРИЧЕСКИЙ СИНТЕЗ. РАЗДЕЛИТЕЛЬНЫЕ ОПЕРАЦИИ. МОДЕЛИРОВАНИЕ. ВЫРУБКА. МНОГОКРИТЕРИАЛЬНАЯ ОПТИМИЗАЦИЯ.
The modern approach to the decision of problems of optimum parametrical synthesis of processes of cold forming for dividing operations is considered. The problem of optimum parametrical synthesis at first is transformed to a multiple criteria optimization problem which is solved by traditional methods. The term of a trajectory of cutting down is defined, influence of parametres of cutting down on it is analysed.
OPTIMUM PARAMETRICAL SYNTHESIS. DIVIDING OPERATIONS. MODELLING. DIVIDING. MULTI-OBJECTIVE OPTIMIZATION.
Решение современных задач технологической подготовки производства требует применения для анализа математических методов и программ. Методологическую основу технологической подготовки производства составляют понятия «системность» и «оптимальность». В предлагаемой статье рассмотрены задачи оптимального параметрического синтеза режимов разделительных операций холодной штамповки.
Задача параметрического синтеза состоит в определении значений параметров, наилучших в плане удовлетворения требованиям технического задания [1]. Цель данной статьи — предложить процедуру решения такой задачи применительно к разделительным операциям.
Для разработки методики оптимального параметрического синтеза режимов разделительных операций необходимо определить критерии оптимальности и вектор оптимизируемых параметров с учетом имеющихся ограничений.
Сформулируем критерии имея в виду следующие цели:
получение детали заданного качества (прежде всего качество поверхности среза и отклонения от плоскостности заготовки);
обеспечение требуемой стойкости инструмента (зависит от экономических показателей и объема партии изделий);
обеспечение надежности технологического процесса.
В качестве ограничений и условий надежности разделительных операций примем соответственно возможность разрушения инструмента и требования технической совместимости геометрических параметров (например, по зазору).
Вектор независимых варьируемых переменных имеет вид
(X } = {(, х2, хъ, х4, х5},
где Х1 — начальный зазор между пуансоном и матрицей; Х2 — начальный радиус скругления режущих кромок пуансона; Х3 — механические
свойства заготовки; X4 — сдвиг центра пуансона; X5 — угол наклона пуансона.
В силу самой своей сути разделительные операции приводят к исчерпанию запаса пластичности по линии (поверхности) разделения детали и отхода. Из непрерывности степени деформации ei следует, что в областях детали и отхода, прилегающих к поверхности разделения, запас пластичности должен быть в значительной мере исчерпан.
Учитывая желательность дальнейшего формоизменения полученной детали без промежуточной термообработки, восстанавливающей запас пластичности, будем оценивать качество поверхности среза по величине областей, в которых запас пластичности близок к исчерпанию, а отклонения от плоскостности — непосредственно.
Соответственно под заданием качества деталей будем понимать задание величин 0)max , Sюmax , Pmax . Здесь ®max — коэффициент использования ресурса пластичности; Sa max — максимально допустимый размер области детали (прилегающей к поверхности разделения), в которой коэффициент Ю использования ресурса пластичности может превосходить величину romax ; Pmax — максимально допустимое отклонение от плоскостности.
В процессе изготовления партии деталей (N штук ), во-первых, заданное качество должно быть у всех деталей (то есть отклонение от плоскостности i-й детали должно удовлетворять условию P < Pmax , а размер Sj той области детали, в которой выполняется неравенство Ю > 0)max , в свою очередь, — удовлетворять неравенству Sj < Sa max ; во-вторых, по экономическим соображениям идеальным было бы изготовление партии минимальным количеством комплектов инструментов (если N не слишком велико, то одним комплектом). Для этого нужно обеспечить соответствующий контролируемый износ инструмента, другими словами, требуемую стойкость. Отсюда следует, что с экономической точки зрения оптимально, чтобы качество последних изготовленных деталей было близко к пороговому (заданному).
Однако в силу случайных факторов (например, погрешности установки пуансона), оказывающих существенное влияние как на качество
изделии, так и на износ инструмента, невозможно получить точный прогноз этих характеристик, а следовательно, и его ресурса работы.
Под надежностью технологического процесса будем понимать обеспечение устойчивого изготовления партии деталей заданного качества и объема, несмотря на влияние случайных факторов.
Отклонения установки пуансона [2] приводят к неравномерности зазора по периметру отверстия. Обозначим как 2 = 2(Х1,Х4,Х5) минимум этого неравномерного зазора и назовем величину 2 реальным минимальным зазором. Реальный минимальный зазор 2 должен быть положителен: 2 (Х1, Х4, Х5) > 0. Обеспечение положительности 2 накладывает ограничения на возможные значения величин Хь Х4 , Х5. Во-первых, начальный зазор Х1 должен быть положителен, иначе любые отклонения установки приведут к отрицательности величины 2; а во-вторых, чем меньше величина Х1, тем более строгие ограничения необходимо наложить на Х4 , Х5 с целью обеспечения положительности реального минимального зазора. Поскольку экономически это означает возрастание стоимости установки инструмента, то Х1 должен быть не слишком малым.
Задание величин ютах Sатах , Ртах и механических свойств Х3 заготовки оставляет возможность распорядиться начальным зазором Х1 , требованиями к начальной остроте режущих кромок инструмента (прежде всего пуансона), т. е. начальным радиусом скругления режущих кромок пуансона Х2 , а также требованиями к начальной точности установки пуансона, иными словами, — возможными значениями величин Х4 , Х5 . Причем реально можно лишь задать область их возможных значений в зависимости от зазора Х1 и рассматривать их значения как случайные в заданных диапазонах вида [0; С], где С определяется используемыми инструментами контроля установки, а необходимость использования того или иного инструмента зависит от Х1. Таким образом, реально управляемыми независимыми переменными являются лишь Х1 и Х2 .
После их задания начинается процесс вырубки деталей, в результате которого происходит интенсивный износ рабочих поверхностей пуан-
сона. Причем износ режущих кромок приводит к увеличению текущей величины радиуса скру-гления, а износ боковой поверхности пуансона— к увеличению текущей величины зазора. Это увеличение радиуса скругления и зазора в свою очередь приводит к изменению характера износа.
Будем считать, что сдвиг центра и угол наклона пуансона в процессе вырубки не изменяются.
Изменение (увеличение) величин радиуса скругления и зазора приводит к изменению (начиная с некоторого момента — ухудшению) качества деталей.
Опишем область D допустимых значений переменных:
для всех iе 1,..., N должны выполняться неравенства St < Sa max и Pi < Pmax ;
реальный минимальный зазор должен быть положителен, т. е. Z(X^X4,X5) > 0 .
В качестве скалярных критериев оптимальности, обеспечивающих заданное качество деталей и надежность технологического процесса, примем такие: для всех iе 1,..., N потребуем, чтобы
W1i (X) = Si - Sromax ^ min;
W2i (X) = Pi - Pmax ^ min.
Это обеспечивает максимальный запас качества, а наличие запаса дает защиту от случайных факторов, определяя тем самым надежность.
В качестве критериев оптимальности в плане требуемой стойкости инструмента и качества деталей возьмем
W3S (X) = max Si - min Si ^ min;
W3P (X) = max P - min P ^ min .
Эти критерии обеспечивают однородность деталей партии (то есть минимальное отличие одной детали от другой), а также (поскольку износ инструмента приводит к изменению качества деталей) и минимальный износ, т. е. требуемую стойкость инструмента.
Приходим к следующей модели принятия решения:
W (X) ^ min;
X = (X1,X2,X3,X4,X5)е D, P - P > 0;
max i
где D =
X
Samax - Si > 0 для i = 1,2,.,N;
Z (X) > 0
W(X) = (Wn(X), ...,Wm(X), W2i(X),..., W2i(X),■ W3S (X),W3P (X)) — векторный критерий оптимальности.
Вообще говоря, оптимальное решение X* векторной оптимизации не является оптимальным для частных критериев.
Сведение многокритериальной задачи к од-нокритериальной может быть проведено различными путями. Из-за наличия ограничений на величины Pi, Si целесообразно сначала уменьшить размерность многокритериальной задачи, заменив критерии Wn( X),..., W1N (X) одним минимаксным критерием min(-W1;- (X)) ^ max , или W1( X) = max(W1i (X)) ^ min, а критерии W21(X),
W2N (X) — одним минимаксным критерием: min(-W2i (X)) ^ max , или W2 (X) = max(W2i (X)) ^ min.
Такая замена отвечает задаче обеспечения требуемого качества деталей и надежности технологического процесса, так как приводит к созданию запаса качества деталей.
Теперь имеем следующую модель принятия решения:
W (X) ^ min;
X = (X1,X2,X3,X4,X5)е D,
где D =
X
P - P > 0;
max i
S - S
^ю max ,
Z (X) > 0
Sffl max - Si > 0, для i = 1,2,..
., N;
век-
№ (X) = (( ),Ж2( X ),Щ5 (X ),Щр (X)) — торный критерий оптимальности.
Дальнейшее сведение задачи к однокрите-риальной разумно провести методом линейной свертки [3], так как он позволяет, определив коэффициенты а!, а2 , а35, а3Р методом экспертной оценки, учесть относительную значимость критериев, наиболее полно отражающую цели проектирования:
№ (X) = а1№1 (X) + а2Ж2( X) +
+ а35№35 (X) + а3РЖ3Р (X) ^тт.
В процессе вырубки происходит, как уже говорилось, увеличение зазора и радиуса скругле-ния кромок пуансона. Обозначим через Xli величину зазора после вырубки г'-й детали (тог-
да Хю = Х1 — начальный зазор), а через Х2, — величину радиуса скругления кромок пуансона после вырубки 1-й детали (тогда Х20 = Х2 — начальный радиус скругления). Увеличение этих величин при изготовлении 1-й детали прямо пропорционально работе, произведенной рабочей поверхностью пуансона, причем работа ЛгаА , режущих кромок приводит к увеличению радиуса, а работа Лгаг , боковой поверхности — к увеличению зазора (работа Л1ог i торцевой поверхности — к появлению некоторой конусности торца). Тогда получаем:
X1(i+1) - X1i + kAzaz i(X1i, X2i), X2(i+1) - X2i + kArad i(X1i, X2i).
(1)
где к — коэффициент пропорциональности.
Заметим, что если рассматривать зазор и радиус не как последовательности, а как непрерывные функции от времени, то из (1) (аналогично (1)) можно построить систему дифференциальных уравнений для радиуса и зазора:
dX1(t) =
dt dX2(t) dt
- AzaZi(X1(t),X2(t)),
- Arad i(X1(t),X2(t)).
(2)
На рис. 1 приведены зависимости Р, Б, Лгаа 1, Лгш, от Х1,Х5, рассчитанные методом конечных элементов [2].
С целью упрощения построения области Б постараемся подобрать аппроксимации для величин Р1 и Б1 попроще. Из анализа характера зависимости величины Р1 от зазора и радиуса скругления можно сделать вывод о том, что отклонение от плоскостности уменьшается при сохранении зазора и увеличении радиуса скру-гления кромок пуансона и увеличивается при увеличении зазора. Поэтому аппроксимируем Р1 выражением (коэффициенты подобраны методом наименьших квадратов)
Р = (1,516 + 0,909Х1 )(2,828 - 7,560Х2). (3)
Величину Б1 аппроксимируем линейной зависимостью
S) - 3,29 + 5,09X1 + 2,63X2.
(4)
Коэффициент к приобретает тогда смысл шага по времени.
Здесь (в (1) и (2)) функции ЛхаА ,, Лгаг , неизвестны, но их можно аппроксимировать.
Рассмотрим область возможных значений зазора и радиуса скругления в процессе вырубки. Для конкретной вырубки ее траектория, понимаемая как последовательность точек (Х^, Х2,), начинается в точке ((1,Х2) и продолжается в соответствии с формулами (1). Если считать зависимости Р, Б1, ЛхаА i, Лгаг , от Х1, Х2 установленными, то в плоскости ((1, Х2) можно построить область Б допустимых значений переменных и траекторию вырубки. В том случае, если вся траектория расположена внутри области Б, все изготовленные детали будут годными. Причем, если подставить все точки траекторий в указанные зависимости, то можно вычислить максимальные и минимальные значения величин Р, Б1 и соответственно значения функций
ЩХ), ^(Х), (Х), Щр(Х).
Здесь X1, X2 измеряются в миллиметрах, P, St — в процентах, размерность коэффициентов — соответствующая.
Для построения области Б полагаем Si - SЮ max, Pi - Pmax в формулах (3) и (4), а затем выражаем переменную X2. Область Б допустимых значений переменных при таких аппроксимациях зависимостей (принято 0)max = 0,3; БЮ max = = 4,5 %, Pmax = 3,4 %) имеет вид, представленный на рис. 2.
Здесь темно-серым цветом выделена допустимая область (при дополнительном предположении, что зазор, меньший 1 %, неприемлем из-за высокой стоимости установки инструмента без искажений); серым показана дополнительная область возможных значений, получаемая при отказе от недопустимости малых зазоров.
Из рис 1, а, б видно, что линейная аппроксимация для Arad i, Azaz j неудовлетворительна, так как не отражает впадину около зазора 0,12 мм, т. е. 6 %. В связи со сложным характером зависимости величин Arad i, Azaz i от радиуса скругления и зазора аппроксимируем их кусочно-линейными функциями переменных от (1,X2) следующим образом. Разобьем так или иначе прямоугольник [0; 0,2]х[0,05; 0,25] рассматриваемых возможных значений переменных (X1,X2) на треугольники, используя в качестве
а)
X2 0,22 0,200,18 0,160,14 0,12 0,100,08 0,06-
1—'—I—1—г^—I—1—I—1—г~>—I—1—I—1—I—1—I
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 Ху
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 ху
в)
X
2
0,22-| 0,200,180,160,140,120,100,080,060,
/ I 2,991 l
\ \ 2,759 / / /
\ \ у \ 2,875 / / /
\ \ ) / / 3,107 /
2,526 / / / / / 3,224
/ / / / / / /
г)
X2
,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 X
0,16 0,14
0,10 0,08
Л \
Л \ \
\ \ \ 4,010 \ \ 3,585 \ \ \ " \ \ 3,798 \ 4,435
i 1 i 1 i 1 i 4,223 Г-i 1 I
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 0,14 0,16 0,18 Ху
Рис. 1. Рассчитанные методом КЭ зависимости величин Aradf (а), Azazi (б), р (в), S( (г) от X1, X2 (здесь = 30 %)
Рис. 2. Область допустимых значений переменных Xx, X2
вершин треугольников только те точки, в которых произведены расчеты величин Лгай,, Лхах,. Затем примем, что аппроксимирующие значения в произвольной точке прямоугольника равны значениям на плоскости, построенной над тем треугольником, куда попала данная точка.
Далее, поскольку при вырубке происходит увеличение и радиуса скругления, и зазора, поиск минимума целесообразно проводить следующим образом. Задав начальные значения зазора и радиуса так, чтобы начальная точка (Х10, Х50) располагалась на «кривой начальных значений» — нижней стороне области Б, рассчитаем траекторию вырубки по (1) с учетом принятых аппроксимаций Лга&,, Лтаъ,. Затем проверим, чтобы вся траектория целиком располагалась в области Б. Для полученной траектории вырубки вычисляем значения скалярных критериев Ж1(Х), №2(Х), №3Б(Х), №3Р(Х) и критерия №(Х).
Выбирая начальные точки с достаточно малым шагом и сравнивая для полученных траекторий значения критерия №(Х), находим оптимальные значения начального зазора и радиуса скругления.
Будем считать, что объем вырубки N соответствует 200 шагам по формулам (1). Подчеркнем, что это соответствие — условное и не означает, что N = 200. Коэффициент пропорциональности в (1) полагаем к = 2-10-8. Точки
1
0,200,18 0,16 0,140,12 0,100,080,06
Рис. 3. Траектории вырубки
на кривой начальных значений берем с шагом 0,0024. Типичные траектории вырубки приведены на рис. 3.
Из рис. 3 видно следующее: 1) длина траекторий для разных начальных точек различна; 2) траектории при малых зазорах (на рисунке они расположены левее) выпуклы вверх, причем с увеличением зазора на траекториях появляется точка перегиба; 3) при малых начальных зазорах сначала быстрее происходит износ режущих кромок, чем боковой поверхности, затем скорости износа слегка приближаются друг к другу.
На рис. 4 приведены значения критериев для различных начальных зазоров.
Так как начальные точки траекторий были выбраны на кривой начальных значений, во всех
а)
Значения критериев
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12 X!
б)
Значения критериев
1,21,00,8 0,6 0,40,2 -0,0
0,00 0,02 0,04 0,06 0,08 0,10 0,12
X!
Рис. 4. Значения критериев для различных начальных зазоров Х{ (отложены по оси ОХ): а - min.-(P) О; тах^(р) = W2(X) + Pmax (2); min^.) (J); max,(S) = Wx(X) + Sw,max (4); max = 4,5 % (5);
б - W3S(X) (1); W3P(X) (2)
3
1
1
точках которой по ее построению Р1 = 3,4 %, то, во-первых, для всех траекторий тахР, = 3,4 % и Ж2(Х) = 0% , а во-вторых, для всех траекторий в векторе Х величина Х2 связана с Х1 соотношением (3) при Р\ = Ртах . Заметим также, что тот участок кривой 4 на рис. 4, а, который расположен над прямой 5, соответствует неприемлемым начальным значениям — при них траектория не полностью попадает в область Б, т. е. некоторое количество последних деталей будут бракованными.
Минимум критериев (X), Ш3Р (X) достигается при начальном зазоре 0,0984 мм (тогда начальный радиус скругления 0,09398 мм).
Таким образом, принимая а1 =а2 = 0, а3 = а4 = 1/2, получаем V(X)тЬ = 0,698 при начальном зазоре примерно 5 % с каждой стороны.
Окончательный вариант технологического процесса должен выбираться с привлечением дополнительных экономических критериев, например приведенной суммы затрат на изготовление.
В результате проведенных исследований корректно поставлена и разработана процедура решения задачи оптимального параметрического синтеза.
На плоскости «зазор — радиус скругления пуансона» определено понятие траектории вырубки.
Изучено влияние начальных значений зазора и радиуса скругления пуансона на траекторию вырубки.
Вычислены оптимальные начальный зазор и радиус скругления, обеспечивающие изготовление вырубкой однородной партии деталей с заданными характеристиками.
СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ
1. Афанасьев, А.С. Системное проектирование конструкций и технологий изготовления изделий ответственного назначения [Текст] / А.С. Афанасьев, К.М. Иванов, И.Г Воронцова // СПб.: Изд-во БГТУ, 2011.
2. Иванов, К.М. Влияние точности установки на стойкость инструмента в процессе вырубки — про-
бивки [Текст] / К.М. Иванов, П.М. Винник // Металлообработка.— СПб.:Политехника, 2012.
3. Сафронов, В.В. Основы системного анализа: методы многовекторной оптимизации и многовекторного ранжирования [Текст] / В.В. Сафронов.— Саратов: Научная книга, 2009.
REFERENCES
1. Afanas'ev A.S., Ivanov K.M., Vorontsova I.G. Sis-temnoe proektirovanie konstruktsii i tekhnologii izgotov-leniia izdelii otvetstvennogo naznacheniia [Tekst].— SPb.: BGTU, 2011. (rus.)
2. Ivanov K.M., Vinnik P.M. Vliianie tochnosti us-
tanovki na stoikost' instrumenta v protsesse vyrubki-probivki [Tekst] // Metalloobrabotka.— SPb.: Politekhnika, 2012. (rus.)
3. Safronov V.V. Osnovy sistemnogo analiza: metody mnogovektornoi optimizatsii i mnogovektornogo ranzhi-rovaniia [Tekst].— Saratov: Nauchnaia kniga, 2009. (rus.)
СВЕДЕНИЯ ОБ АВТОРАХ /AUTHORS
ВИННИК Петр Михайлович — кандидат физико-математических наук доцент кафедры высшей математики Балтийского государственного технического университета «Военмех» им. Д.Ф. Устинова; 190005, 1-ая Красноармейская ул., д.1, Санкт-Петербург, Россия; E-mail: vinnik.pm@gmail.com
VINNIK Petr M. — Baltic State Technical University «Voenmeh» named after D. F. Ustinov; 1st Krasnoarmeyskaya st., 1, St-Petersburg, Russia; e-mail: vinnik.pm@gmail.com
ИВАНОВ Константин Михайлович — доктор технических наук профессор, заведующий кафедрой технологии производства артиллерийских систем и боеприпасов и ректор Балтийского государственного технического университета «Военмех» им. Д.Ф. Устинова; 190005, 1-ая Красноармейская ул., д.1, Санкт-Петербург, Россия; E-mail: Rector@bstu.spb.su
IVANOV Konstantin M. — Baltic State Technical University «Voenmeh» named after D. F. Ustinov; 1st Krasnoarmeyskaya st., 1, St-Petersburg, Russia; e-mail: Rector@bstu.spb.su
АФАНАСЬЕВ Александр Сергеевич — кандидат технических наук доцент кафедры высокоэнергетических устройств автоматических систем Балтийского государственного технического университета «Военмех» им. Д.Ф. Устинова; 190005, 1-ая Красноармейская ул., д.1, Санкт-Петербург, Россия; E-mail: afanasjeff64@ gmail.com
AFANASIEFF Alexander S. — Baltic State Technical University «Voenmeh» named after D. F. Ustinov; 1st Krasnoarmeyskaya st., 1, St-Petersburg, Russia; e-mail: afanasjeff64@gmail.com
© Санкт-Петербургский государственный политехнический университет, 2013
