Оптимальное управление перемещением груза мостовым краном Текст научной статьи по специальности «Математика»

список литературы

1. Интегральные системы автоматического управления силовыми установками самолетов / Под ред. А. А. Шевя-кова. М.: Машиностроение, 1983. 283 с.

2. Петунин В. И. Принципы построения логико-динамических систем автоматического управления газотурбинными двигателями // Вестн. УГАТУ. 2003. Т. 4, № 1. С. 78—87.

3. Петунин В. И. Синтез систем автоматического управления летательными аппаратами с автоматами ограничений предельных параметров // Изв. вузов. Приборостроение. 2010. Т. 53, № 10. С. 18—24.

4. МирошникИ. В. Согласованное управление многоканальными системами. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 128 с.

Сведения об авторах

Валерий Иванович Петунин — канд. техн. наук, доцент; Уфимский государственный авиационный

технический университет, кафедра авиационного приборостроения; E-mail: petunin_vi@mail.ru

Аркадий Исаакович Фрид — д-р техн. наук, профессор; Уфимский государственный авиационный

технический университет, кафедра вычислительной техники и защиты информации; E-mail: arkfrid@mail.ru

Рекомендована кафедрой Поступила в редакцию

авиационного приборостроения 04.02.11 г.

УДК 62-505.3

С. А. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева

ОПТИМАЛЬНОЕ УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ГРУЗА

МОСТОВЫМ КРАНОМ

Рассматривается задача управления перемещением груза мостовым краном с использованием различных методов оптимизации. Исследуется сходимость итерационной процедуры при решении краевой задачи. Представлены результаты численного моделирования.

Ключевые слова: мостовой кран, принцип максимума, прогнозирующая модель.

Мостовой кран является неотъемлемой частью оборудования любого предприятия в сфере обрабатывающей промышленности, зачастую единственным устройством, позволяющим перемещать тяжелые предметы в ограниченном пространстве промышленного цеха. Однако из конструктивных особенностей мостового крана (невозможности жесткой фиксации тяжелого груза в процессе перемещения) вытекает существенный недостаток — трудность точного позиционирования груза вручную. Гибкая подвеска обусловливает возможность раскачивания груза как в процессе перемещения, так и в момент остановки в месте назначения. В связи с этим возникает проблема автоматизации управления тележкой мостового крана с целью обеспечения перевода захвата с грузом в заданное положение и его позиционной стабилизации. Учитывая актуальность проблемы, целесообразно оценить возможность реализации оптимальной динамики перемещения груза [1—3].

Разработку алгоритмов оптимального управления осложняет необходимость обеспечения сходимости итерационных процедур решения соответствующих краевых задач. Ввиду того что вычислительные трудности быстро возрастают при усложнении математической модели динамики крана, в настоящей статье рассматривается система дифференциальных уравнений, полученная при упрощающих предположениях: длина троса подвески груза постоянна

во время движения (внутренняя связь системы стационарна), угловые отклонения подвеса от вертикали малы, масса груза не изменяется.

При этих допущениях уравнения Лагранжа 2-го рода для рассматриваемой системы приобретают вид [3]

(M + m)s - ml0 = F, -s + 10 = - g 0,

где M, m — масса тележки и груза; s — горизонтальная координата крана; 0 — угловое отклонение подвеса; l = const — длина подвеса; F — сила, управляющая положением тележки крана.

Принимая в качестве переменных вектора состояния: xi (текущий угол отклонения подвеса груза от вертикали), x2 = dx1ldt, x3 = s/l, x4 = dx3/dt при горизонтальных координатах, определяющих текущее и конечное положение груза соответственно s и sf, получаем систему уравнений модели объекта в виде [1—3]

x = Ax+Bu, (1)

где x = [x1 x2 x3 x4 ], A = [aij] — (4*4)-матрица. Элементы матрицы А, кроме a12 = 1,

a21 = -а, a34 = 1, a41 = -с, равны нулю; B = [0 Ь/итах 0 Ь/итах], a = bg/l, b = (m + M)/M, с = = mg/(lM), g — ускорение свободного падения, и = итахр/[1(т + M)] — безразмерное управление (i = 1"4; j = 14).

Требуется обеспечить перевод системы из начального состояния xT (to ) = [0 0 0 0] в конечное xT (tf )= 0 0 Sf 0 при ограничении на управление |итах|<0,75.

Представляет интерес в рамках одного исследования сопоставить результаты численных экспериментов с данной моделью, выполненных на основе различных алгоритмов оптимизации.

В настоящей статье рассматриваются возможности определения оптимального воздействия на тележку мостового крана с использованием различных методов оптимизации:

— на основании решения краевой задачи, вытекающей из принципа максимума Л. С. Пон-трягина;

— алгоритма управления с фиксированной программой прогноза движения;

— алгоритма последовательной оптимизации по иерархии критериев качества.

1. Будем решать задачу перевода системы (1) из начального положения в конечное при

I I ftf

ограничениях на управление вида щ < umax и минимизации критерия I = Vf (x, tf) + Jt dt

1 Т

(задача максимального быстродействия). Здесь Уу (х, ) = ^ Ах рАх, Ах = х^у) - ху,

р = р1, Р2, Рз, Р4) — матрица весовых коэффициентов, х у — заданный вектор. Канонические уравнения имеют вид [1—3]

. дН . дН .. — =д-, Р/ =-т-, (/ = 1,4). (2)

дР/ дх/

Т

Здесь Н =р (Ах+Ви)+1 — гамильтониан системы, р — вектор сопряженных переменных.

На интервале I е 1у ] интегрированием системы (1) с начальными условиями

х{ (^о) = х{о, (^о ) = Рю определяются х(у) при значении и, принятом, согласно принципу максимума (/=2,4)

итах, Р2 + Р4 > 0, (3)

и = 1 , 0 (3) I итах, Р2 + Р4 <

Оптимизация движения механической системы основана на решении краевой задачи

(2), (3).

Здесь, согласно теореме А. А. Фельдбаума об п интервалах для устойчивой системы [3], в соответствии с порядком модели предусматривается четыре интервала постоянства управления. Таким образом, воспроизводится реальная процедура ручного управления, особенно наглядно представляемая набором кусочно-постоянных функций.

Как известно, для большинства задач управления, представляющих практический интерес, затруднительно получить аналитическое решение в замкнутой форме. Но и их численное решение также сопряжено со значительными трудностями. Существует несколько методов численного решения, но их объединяет одна проблема: сходимость к приемлемому в рамках поставленной задачи результату напрямую связана с удачным выбором начального приближения.

В данном случае краевая задача (2), (3) решается методом Ньютона [4—7]. На первом шаге итерационного алгоритма задается вектор начальных условий, включающий компоненты вектора х(^), а также вектора сопряженных переменных р(^).

В соответствии с условиями трансверсальности вводится функция невязок выполнения граничных условий

фЫ)0)) = [(Р(</)-рАх)Г Щ;)]Т .

В алгоритме при исходных значениях констант рг(^0) = Сг (г = 1,4), tf = С5 интегрированием системы (2) вычисляются значения х(/) на правом конце интервала и выполняются переключения управления в соответствии с условиями (3). Затем последовательно задаются

приращения к каждой из взятых с 1-го приближения констант С(1 = Сг+Дг (г = 1,4), а также

приращение к начальному значению tf

Вычисляется функция невязки и численно определяется матрица частных производных Якоби (р05 = tf):

ФРо)=|дР-}> (г,] = 1,5). Ро [дРо}

Здесь элементы г-й (г = 1,4) строки матрицы ф (0) получаются следующим образом:

р0

дфг = Фг[Р01 + АР0Ь Ро2, Р03, Р04, tf ] - Фг (Ро, tf )

дР01 АР01

дфг _ _ Фг[Р01,Р02 + АР02,Р03,Р04, tf ]" "Фг(Р0, tf )

дР02 АР02

дФг _ _ Фг[Р01,Р02,Р03 + AР03,Р04,tf ]" "Фг(Р0, tf )

дР03 АР03

дФг _ Фг[Р01,Р02,Р03,Р04 + 4Р04 tf ]" "Фг(Р0, tf )

дР04 ^04

дфг = Фг[Р0Ь Р02, Р03, Р04, tf ] - "Фг (Р0, tf )

дР05 Аг/

Пятая строка будет иметь вид

дФ5 н[Р01 + АР01, Р02, Р03, Р04, t/ ] - - Н (Р0, t/)

дР01 АР01

дФ5 н[Р01, Р02 + АР02, Р03, Р04, tf ] -Н (Р0, t/)

дР02 АР02

дФ5 Н[Р0Ъ Р02, Р03 + АР03, Р04, t/]- -Н (Р0, tf)

дР03 АР03

дФ5 Н[Р01, Р02, Р03, Р04 + АР04, tf ] -Н (Р0, t/)

дР04 ар04

дФ5 Н[Р0Ъ Р02, Роз, Р04, t/ +А/] - Н (Р0, tf)

Аt^

V

В соответствии с формулой Тейлора следующее приближение для вектора ро определяется, согласно соотношению:

С(1) - г(0} 5Ф"1 т(г(0})

г0 - Г0 - 5Фг(о)^г0 /,

где 5 е (0,1] — скалярный множитель, используемый для улучшения сходимости метода [4, 6, 7]. Таким образом, получается набор констант интегрирования на каждую следующую итерацию метода Ньютона:

'а(/п-1))-рМ/4)-х/] Л

' г{п) ^ Г г(п" ь 1 -1) >

г (п) г2 г(п-г2 -1)

г3п) - г(п" г3 -1)

г4п) г(п" г4 -1)

с5п) V 5 У С(п" VС5 -1) У

- 5фг1 п 1)

Р2/1))-Р2[/П-1)) - Х2/] Рз/1))-Рз[ /П-1)) - хз / ] Р4((П-1))-Р4[0/П-1)) - Х4/]

н (t (;-1)) - 0

На каждом шаге проверяется условие

ф(р0п), t/п)

< в, невыполнение которого возвра-

щает к первому шагу алгоритма. Здесь 8>0 — заранее выбираемая любая малая положительная величина. В качестве нормы ф можно принять, например

V

I ф2 (р0п)).

/-1,5

Вычисления производились при следующих исходных данных: М = 20 т; т = 10 т; / = 3 м;

а = 4,9 с2; с = 1,635 с 2; итах

= 0,75 с2; 5///= 1,706; g = 9,81 м/с2.

Численная реализация приведенного алгоритма показала, что, не имея приемлемых предварительных оценок компонента С, (/ - 1,4), а также / сложно рассчитывать на получение искомого результата.

Рассматривая численные результаты решения краевой задачи, вытекающей из принципа максимума, целесообразно оценить эффективность и чувствительность решения к точности задания начального приближения для искомых значений С/. В работе [2] указывается, что в случае применения, например, метода стрельбы для получения решения требуется, чтобы начальное приближение отличалось от конечного результата на несколько процентов. Только в этом случае гарантируется сходимость итерационной процедуры решения краевой задачи. Полученные на основе использования описанного выше алгоритма результаты численных экспериментов подтверждают высокие требования к точности выбора начального приближения.

2. Эффективным инструментом выбора начальных приближений для постоянных интегрирования может служить какой-либо альтернативный метод оптимизации, также использующий фиксированную программу параметрического управления. В частности, при решении краевой задачи можно воспользоваться значениями сопряженных переменных Рг(^), полученными при реализации алгоритма с прогнозирующей моделью, основанного на минимизации функционала А. А. Красовского [1, 8]. В результате применения этого алгоритма можно получить начальные условия для сопряженных переменных.

В рассматриваемом случае релейное управление с выбранным по теореме А. А. Фельд-баума фиксированным количеством интервалов постоянства предполагает возможность оптимизировать моменты переключения. Для этого в качестве управляющих параметров дополнительно вводятся производные 4 = (здесь tk — моменты переключения управления

и завершения движения, к _ 1,4 ; ¿4 = tf [1, 3]).

Введение управлений моментами переключений добавляет к системе (1) уравнения

У = ™, (4)

где уТ _ [[ Н ¿4 ], ^ = [Щ ^2 Щ w4 ]. Таким образом, вводится расширенный вектор фаТ Т Т

зовых переменных хр = [х у ] .

Критерий качества целесообразно принять в виде функционала Красовского

I _ V,

1 / \ (х, ) + -1 (Т к -2 w + w0 к -2 w 0 )т,

1 Т

где Vf(х,tf) = 2Ах рАх, Ах = х(^)-х/, р = йа§(Р1,Р2,Р3,Р4), к = ёт§(кь-2,-3,-4) — матрицы весовых коэффициентов и коэффициентов усиления соответственно, которые первоначально определяются по принципу равных вкладов максимальных отклонений и уточняются в процессе моделирования.

Гамильтониан задачи имеет вид

Н _ рТ х р + 2 wT к "2w + 2 w0 к -2 w0, (5)

где р _1 ' '

Т Т Р х Р у

— вектор множителей Лагранжа; w, w0 — векторы текущих и оптимальных

управлений моментами переключения и завершения движения ¿д (к _ 1,4) . Система уравнений для сопряженных переменных примет вид

-Т __дН • Т _ дН

Р х _ "Т" , р у _ ^

дх ду

Применение критерия Красовского позволяет заменить решение двухточечной краевой задачи решением задачи Коши для прогнозирующей модели (система (2), (4) с нулевым управлением w = 0):

х1 _ х2, х2 _ -ах1 + х5 [1 - 20(t - ¿1) + 20(t - ¿2) - 2e(t- ¿3)],

х3 _ х4, х4 _ -сх1 + х5 [1 -20^-¿1) + 20^- ¿2)- 20(t- ¿3)], (6)

11 _ 0, ¡2 _ 0, ¿3 _ 0, _ 0.

Здесь х5 = и, 0^ - ) — единичная функция (г _ 1,3).

t

о

Сначала в прямом времени интегрируется система (6), а затем совместно с (6) в обратном времени на интервале оптимизации производится интегрирование системы уравнений для сопряженных переменных

Р = аР2 + СР4, Р2 = -Р1, Рз = 0 Р4 = -Рз, Р = -2Х5Ь^ - Ч )(Р2 + Р4 X А2 = 2Х5- ¿2 )(Р2 + Р4 ), Р3 = -2X5(г - ^з )(Р2 + Р4 ), где - Ц ) — дельта-функция.

Интегрирование системы (7) в обратном времени по траектории свободного движения выполняется при начальных условиях на правом конце Р(ф, которые определяются из усло-

(7)

вий трансверсальности p(tf ) =

(svj_ Y

dx

по невязкам конечного вектора состояния, вычис-

ленного посредством интегрирования прогнозирующей модели (6) на интервале оптимизации [Щ. ЗДесь p1(tf) = Рг(ЩУ xif) (i = 1,4). При этом pti (t) = 2(- 1)1 мтах [Р2 (ti) + Р4 (ti)] (i = 1,3), Pt4(t) = H (tf ) [3].

Управления определяются, согласно соотношениям

wk =-kkptk (k = v4),

которые следуют из условия минимизации гамильтониана (5) по параметрам управления дН

dwk

= 0.

Длительность цикла ограничивается сверху величиной А^тах — допустимой дискретностью управления процессом, а снизу — А^п — производительностью ЭВМ, осуществляющей вычисления в режиме реального времени.

Результаты расчетов по определению компонентов вектора состояния и управления при Р1 = 0,1; р2 = 0,7; рз = 0,4; р4 = 0,4; р5 = 0,1; Рб = 0,001; ¿1 = 0,1; ¿2 = 0,1 ¿з = °,1; = 2,° приведены на рис. 1. Алгоритм позволяет эффективно удовлетворять всем краевым условиям, наиболее точно — по координатам прихода хз и углу отклонения подвеса х1.

Xi, Х2,

Х3, Х4, u

1

-1

___Хз

' - - Х.4 _

__ф __ ^^^^ __ 4 » __■ ^ > .

1 1 ^ 1 * ' \ У ___3 — —Х1 4 t, с

\ У /

u

0

Рис. 1

Более гибкий вариант алгоритма можно получить, предположив возможность управления интенсивностью силового воздействия итах. В этом случае к системе (1) кроме (2) следует

т

добавить уравнение и тах = V, где итах = (мтах1 мтах2 мтах3 мтах4) — вектор интенсивно-стей силовых воздействий (/ = 1,4), V = (^ У2 у3 У4 )т — вектор управления величинами

итах 1 .

Приведенное решение дает физически оправданное начальное приближение констант интегрирования для краевой задачи. В качестве начальных значений указанных констант для данной задачи можно принять следующие:

Р1(0) = С = 0,346; р2(0) = С2 = -0,158; рз(0) = Сз = 0,146;

Р4(0) = С4 = 0,138. (8)

Полученное выше время доставки груза = 4,04 в назначенную точку используется как начальная оценка оптимального времени для принципа максимума. Решение краевой задачи методом Ньютона [7], при выбранном таким образом начальном приближении, показывает приемлемую и достаточно равномерную сходимость к искомому результату за 25 итераций с

нормой невязки

ф(р0и))

= 0,798. В результате итерационного процесса получается следую-

3,879 с: С1 = -0,022 19; С2 = 0,064 49;

щий набор констант интегрирования при гу Сз = -0,233 38; С4 = -0,453 85.

В точке прихода фазовые переменные имеют следующие значения Х1 = -0,056; Х2 = -0,1564; х3 = 1,780; х4 = 0,0966. Графики изменения управления и фазовых переменных приведены на рис. 2.

Х1, Х2, Х3, Х4, и

1

-1

___.-Х3

— 1 - _______ ф — , " \ % х Х4

- / . -' Ху'

1 \ ч. N - 2 ^-- 3 г, с

\ ✓

0

Рис. 2

Алгоритм с фиксированной программой прогноза движения может служить как основным инструментом для получения оптимального по критерию Красовского управления перемещением груза, так и вспомогательным — для определения начальных значений сопряженных переменных при решении краевой задачи принципа максимума методом Ньютона.

3. С учетом трудностей, возникающих при попытке удовлетворения всего набора краевых условий задачи с одинаковой точностью, необходимо разделять условия по уровню значимости. В подобной ситуации эффективной является последовательная оптимизация движения механической системы по иерархии критериев оптимальности на основе использования прогнозирующей модели. Возможно введение приоритетов точности удовлетворения граничным условиям по разным компонентам вектора состояния и соответственно выработки управления. При решении рассматриваемой задачи применяется упрощенный двухуровневый вариант алгоритма, изложенного в работе [3].

Динамика управляемого процесса описывается системой уравнений для вектора состояния (1), дополненных уравнением

(Х5 Х6)Г = и, (9)

и = и1 + и2 , (10)

где Х6 = г у, а управления и1 и и2 минимизируют соответственно следующие целевые функционалы 11, ¡2 :

г/

I = Уу (X, ) +1.4 (X, г )ёг,

г0

1 2 У/ 1( x, г/ ) = 2 Р3( Х3(1/ ) - Х3 / ) ,

У/2(Х г/ ) = 1 Р1(х1(г/ ) - Х1 / )2 + 2 Р2(х2(1/ ) - Х2 / )2 + ^ Р4(х4(1/ ) - Х4 / )2 + ^ Р5 г/ ,

где /01(х, г)=0, /02(х, г) = и^Л2и2 + и2)0к"2и20, к=йа§(к5, к6), рг- (' = 1,5) и к5, к6 — заданные коэффициенты.

На первом уровне оптимизации итеративным путем из условия минимума критерия ¡1 подбирается оптимальное начальное значение Х° управляющего фактора Х5, с которым выполняется интегрирование системы (1), (9) при и1 = 0, и2 = 0 на интервале времени [1, ]. Затем производится вычисление значений сопряженных переменных р1 (гу) по невязкам выполнения краевых условий р1 (г/ ) = р1 (х1 (г/ ) - Х3/ ). При найденных граничных значениях х(1/), р(г/) осуществляется совместное интегрирование систем (1), (9) и сопряженной системы в обратном времени на интервале [г/, г ] с последующим получением значений р(г).

Управление 1-го уровня может быть вычислено различными способами. В данном случае используется упрощенный алгоритм коррекции его начального значения на ближайший интервал управляемого движения длительностью Дг

Х0 - Х »1 = (^ 0)т, Лг

где х5 = Х5 (1). Вычисление х5 производится любым численным методом итерационным путем

из условия х3 = х3/ при некотором начальном оценочном значении времени прихода 1/, х5 на первом шаге решения принимается равным начальному значению Х5, а на последующих — получается из решения задачи Коши для уравнения Х5 = и, в которой за начальное значение принимается х5 с предыдущего шага.

Импульс, обеспечивающий механической системе быстродействие, получается согласно соотношению

рг = Нм + Р61/,

где р6 — весовой коэффициент, Нм = р1х2+р2(-ах1+х5)+р3х4+р4(-сх1+х5) — гамильтониан, соответствующий неуправляемому движению модели.

Управление 2-го уровня имеет вид

Т

»2 = (-к5р5 -к6рг) .

Таким образом, искомое управление получается как сумма управлений, определяемых на 1-м и 2-м уровнях.

С управлением, вычисленным согласно (10), производится интегрирование системы (1), (9) на один шаг Дг вперед. После этого все описанные процедуры повторяются при уточненном значении момента конца интервала. Получаемое управление представляет собой кусочно-постоянную функцию на каждом промежутке времени Дг. Для сглаживания кривых изменения скоростей (х2, х4) применяется специальный способ вычисления управляющего фактора х5. Он определяется как среднее арифметическое значений х5, вычисленных для движения на два последовательных шага вперед (при этом первый шаг по траектории проходится виртуально

с управлением, вычисленным согласно описанному выше алгоритму, а для второго управление только вычисляется, но последующее управляемое перемещение не осуществляется). С этим значением х5 осуществляется один шаг по траектории управляемого движения. Затем вся процедура повторяется.

Результаты вычислений по указанному алгоритму при р1 = 0,1; р2 = 0,0; р3 = 10; р4 = -30; р5 = 0,1; р6 = 0,001; к5 = 1,0; к6 = 0,001 представлены на рис. 3. Шаг вычислений Дt = 0,05 с. В точке прихода при tf = 3,85 с зафиксированы следующие значения фазовых переменных: х1 = 0,1097; х2 = -0,0579; х3 = 1,6208; х4 = 0,6907.

В статье исследованы возможности построения оптимального управления тележкой мостового крана с использованием различных методов оптимизации. Показано, что алгоритм управления с заданной программой прогноза движения может служить как основным инструментом для получения оптимального по критерию Красовского управления перемещением груза, так и вспомогательным — для нахождения начальных значений сопряженных переменных при решении краевой задачи принципа максимума для максимального быстродействия методом Ньютона.

Исследования, описанные в настоящей статье, выполнены по гранту Российского фонда фундаментальных исследований № 09-08-008-29.

список литературы

1. Справочник по теории автоматического управления / Под ред. А. А. Красовского. М.: Наука, 1987. 712 с.

2. Troch I. Parametrisierung - Ein Werkzeug zur Berechnung optimaler Steuerungen // Automatisierungstechnik AT. 1990. Bd 38. N 6. S. 230—236.

3. Кабанов С. А. Управление системами на прогнозирующих моделях. СПб. Изд-во СПбГУ, 1997. 200 с.

4. Кабанов С. А. Оптимизация динамики систем при действии возмущений. М.: Физматлит, 2008. 200 с.

5. Кабанов Д. С. Оптимальное управление ядерным реактором с учетом случайных возмущений // Изв. вузов. Приборостроение. 2009. Т. 52, № 5. С. 27—30.

6. Якушева Д. Б. Решение навигационой задачи Цермело при линейно-вихревой структуре течения // Процессы управления и устойчивость: Тр. 40-й Междунар. науч. конфер. СПб: Издат. дом СПбГУ, 2009. С. 91—96.

7. Федоренко Р. П. Приближенное решение задач оптимального управления. М.: Наука, 1978. 488 с.

8. Кабанов С. А., Якушев Б. Э. Использование неклассического критерия оптимальности в задаче управления работой подъемно-транспортного оборудования // Докл. 55-й конф. СПбГАСУ. Ч. I. СПб: Изд-во СПбГАСУ, 1998. С. 63—65.

Сведения об авторах

Сергей Александрович Кабанов — д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический

университет „ВОЕНМЕХ" им. Д. Ф. Устинова, кафедра систем обработки информации и управления; E-mail: kaba-sa@mail.ru

Евгений Николаевич Никулин

Борис Эдуардович Якушев

Дарья Борисовна Якушева

д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический университет „ВОЕНМЕХ" им. Д. Ф. Устинова, кафедра средств поражения и боеприпасов; E-mail: enikulin@onixmail.ru канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, кафедра теоретической механики; E-mail: yakushev.spb@mail.ru

аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет, кафедра информационных систем; E-mail: dariayakusheva@gmail.com

Рекомендована кафедрой

систем обработки информации и управления

Поступила в редакцию 14.12.09 г.