Управление перемещением груза мостовым краном по методу обратных задач динамики Текст научной статьи по специальности «Математика»

30

С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева

УДК 62-505.3

С. A. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева

УПРАВЛЕНИЕ ПЕРЕМЕЩЕНИЕМ ГРУЗА МОСТОВЫМ КРАНОМ ПО МЕТОДУ ОБРАТНЫХ ЗАДАЧ ДИНАМИКИ

Рассматривается задача управления перемещением груза мостовым краном с использованием метода обратных задач динамики. Представлены результаты численного моделирования.

Ключевые слова: мостовой кран, метод обратных задач динамики.

Точное ручное позиционирование груза при перемещении мостовым краном затруднено вследствие его раскачивания как в процессе перемещения, так и при остановке. В связи с этим возникает проблема автоматизации управления тележкой мостового крана с целью перевода захвата с грузом в заданное положение. В работах [1, 2] исследована возможность реализации оптимальной динамики перемещения груза. Разработку алгоритмов оптимального управления осложняет требование обеспечения сходимости итерационных процедур решения соответствующих краевых задач.

При допущениях о постоянстве длины троса подвески груза во время движения, малости угловых отклонений подвеса от вертикали, неизменности массы груза уравнения Лагран-жа 2-го рода для рассматриваемой системы приобретают вид [1]:

(M + m)s - ml0 = F,

-s + 10 = - g 0,

где M, m — масса тележки и груза; s — горизонтальная координата крана; 0 — угловое отклонение подвеса; l = const — длина подвеса; F — сила, управляющая положением тележки крана.

Приняв в качестве переменных вектора состояния x1 (текущий угол отклонения подвеса груза от вертикали), x2 = dx\/dt, x3 = s/l, x4 = dxi/dt при горизонтальных координатах, определяющих текущее и конечное положение груза соответственно s и sf, получаем систему уравнений модели объекта в виде [2]:

x = Ax+Би, (1)

где x = [xi ], X = [x ], A = [aj — матрица (4^4). Элементы матрицы А, кроме a12 = 1, a21 = -а,

a34 = 1, a4i = -с, равны нулю; Б = [0 Ь/итах 0 Ь/итах], a = bg/l, b = (m + M)/M, с = mg/(lM), g — ускорение свободного падения, и = ишах^/[1(т + M)] — безразмерное управление,

i = V4; j = 1Я

Требуется обеспечить перевод системы из начального состояния xT (to ) = [0000] в конечное xT (tf ) = 00sf 0 при ограничении на управление |итах|<0,75.

В настоящей статье представлен вариант решения задачи управления мостовым краном с помощью алгоритма на основе обратных задач динамики [3].

В тех случаях, когда требуется обеспечить точный приход системы в заданную точку фазового пространства, один из вариантов решения проблемы — сформулировать ее как обратную задачу динамики. Тогда можно синтезировать алгоритм терминального управления в замкнутой форме методом прямого интегрирования дифференциальных уравнений движения [4].

В рамках такого подхода целесообразно рассмотреть соответствующую модели (1) систему из двух уравнений Лагранжа 2-го рода, первое из которых, записанное относительно угла отклонения подвеса груза от вертикали, является независимым и приводится к виду

Х1 + ах1 = и.

Можно предположить, что фазовая траектория Х(г), на которой целевой функционал принимает минимальное значение, является непрерывной функцией независимой переменной. Согласно теореме К. Вейерштрасса о приближении, любая непрерывная функция может быть аппроксимирована полиномом с любой заданной точностью. Тогда она может быть сколь угодно точно аппроксимирована полиномом

к-1

ч — I С 1=0

так, что норма разности Х - Хк будет меньше любого заданного малого числа в при всех

г с

0 г0

. При этом заданная точность аппроксимации в однозначно определяет минимальное число членов к аппроксимирующего полинома. Если решается задача оптимизации, о точности приближения к экстремали можно, например, судить по скорости изменения функционала, которая вблизи экстремума стремится к нулю.

Минимальное время прихода в заданную фазовую точку х (0 = [0 0 0] при поставленных условиях было получено при решении задачи максимального быстродействия [2]. Таким образом, возможно получить „оптимальное" решение задачи уже за одно приближение, если воспользоваться значением времени 0 из решения задачи по принципу максимума. В этом случае начальное приближение Х0 оптимальной фазовой траектории Х разыскивается в виде полинома с минимально возможным числом членов, обеспечивающим лишь решение краевой задачи.

Согласно работам [3, 4], выходная функция задается в виде

Х1(<) = Е 0 С (< - <0).

Использование начальных условий дает значения произвольных постоянных С0 = 0, С1 = 0.

Значение горизонтальной координаты тележки (и соответственно точки прихода груза) Х3 определяется последовательным интегрированием соответствующих уравнений из (1) при переменном верхнем пределе

г г

Х4(<) = | (-СХ1 + и)ёт и Хз(г) = | Х4ёт . г0 г0

В результате получается (при Дг = г - <0 )

Х3 = С1Дг + С2Дг2 + С3Дг3 + С4Дг4 + С5 Дг5 + (а - с)

С2 Дг4 С3 Дг5 С4Дг6 С5Дг7 2 +—— + —4— + • 5

12 20 30 42

Использование граничных условий на правом конце интервала (в точке прихода) позволяет вычислить коэффициенты С1 (г — 1,5) по формулам

= 420 = 1680 = 2100 = 840

^2 —-- . , С3 —----, С4 —-~Г , С5 —--- ^ / ,

(а-с)Дг4 у (а-с)Дг5 У (а-с)Дг6 (а-с)Дг7

где Дг — г0 - г0.

Значение управления вычисляется согласно соотношению [4]:

и — С2 (2 + аД2) + С3 (бДг + аДг3) + С4 (12Дг2 + аДг4) + С5 (20Дг3 + аДг5). (2)

На рис. 1 приведен результат вычислений по приведенному выше алгоритму при интервале времени управления гт^ — 3,52 с, равном интервалу оптимизации в задаче максимального быстродействия [2]. Можно отметить высокую точность выполнения краевых условий в точке прихода. Обращает на себя внимание сглаженно-ступенчатая форма полученной функции управления. При

32

С. А. Кабанов, Е. Н. Никулин, Б. Э. Якушев, Д. Б. Якушева

этом качественный характер динамики вектора состояния согласуется с его оптимальной динамикой [2]. Однако при условии быстродействия системы управление, получаемое в рамках такого подхода, обладает существенным недостатком: оно не удовлетворяет ограничению |ишах|<0,75: ишах = 2,732, а ит\п = - 2,827. Это обстоятельство при ограничении затрат на управление объекта или по иным причинам может затруднить и даже исключить применение выработанного закона управления. С другой стороны, очевидно, что гладкие функции управления облегчают их практическую реализацию. Рассчитано, что при увеличении времени прихода в заданную точку фазового состояния наблюдается уменьшение предельных значений управляющего воздействия: приемлемая величина предельных отклонений управления достигается при tf = 4,91 с. В этом случае имеем = - 0,749, т.е. выполняется условие |ишах|<0,75.

x1, x2, x3,

ишах = 0,731 и ишт

t, с

Х4, и 2

1

0 -1 -2

-3

Рис. 1

На рис. 2 приведены графики изменения фазовых переменных и управления для случая tf = 4,91 с. Видно, что в процессе движения отклонения всех контролируемых параметров от значений, соответствующих равновесному положению в исходной и конечной точках, уменьшились до 50 % от их значений, зафиксированных при движении в режиме максимального быстродействия [2]. Следовательно, постановка задачи об определении управления, исключая оптимизацию в режиме максимального быстродействия, как обратной задачи динамики позволяет обеспечить приход системы в заданное положение более плавно с минимальными перегрузками.

Хъ ^ ^

Х4, и

1,5

0,5

-0,5

-1

Рис. 2

Таким образом, в работе приведено решение задачи перемещения груза мостовым краном по методу обратных задач динамики. Показано, что разработанный алгоритм позволяет обеспечить приход системы в заданное положение с минимальными перегрузками.

1

0

список литературы

1. Troch I. Parametrisierung - Ein Werkzeug zur Berechnung optimaler Steuerungen // Automatisierungstechnik. AT. 1990. Bd 38, N 6. S. 230—236.

2. Кабанов С. А., Никулин Е. Н., Якушев Б. Э., Якушева Д. Б. Оптимальное перемещение груза мостовым краном // Изв. вузов. Приборостроение. 2011. Т. 54, № 5. С. 56—65.

3. Батенко А. П. Оптимизация терминальных управлений методом постепенного улучшения // Техническая кибернетика. 1980. № 5. С. 185—192.

4. Кабанов С. А., Якушев Б. Э. Использование неклассического критерия оптимальности в задаче управления работой подъемно-транспортного оборудования // Докл. 55-й конф. проф., преп., науч. раб., инж. и асп. СПбГАСУ. СПб: Изд-во СПбГАСУ, 1998. Ч. I. С. 63—65.

Сергей Александрович Кабанов

Евгений Николаевич Никулин

Борис Эдуардович Якушев

Дарья Борисовна Якушева

Сведения об авторах

д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический университет „ВОЕНМЕХ" им. Д. Ф. Устинова, кафедра систем обработки информации и управления, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected]

д-р техн. наук, профессор; Балтийский государственный технический университет „ВОЕНМЕХ" им. Д. Ф. Устинова, кафедра средств поражения и боеприпасов, Санкт-Петербург; E-mail: [email protected] канд. техн. наук, доцент; Санкт-Петербургский государственный архитектурно-строительный университет, кафедра теоретической механики; E-mail: [email protected]

аспирант; Санкт-Петербургский государственный университет, кафедра информационных систем; E-mail: [email protected]

Рекомендована кафедрой

систем обработки информации и управления

Поступила в редакцию 25.11.10 г.