ОПТИМАЛЬНОЕ СГЛАЖИВАНИЕ ЧАСТОТНЫХ ФЛУКТУАЦИЙ ФЛИККЕРНОГО ТИПА С УЧЁТОМ КОНЕЧНОСТИ ИНТЕРВАЛА ИЗМЕРЕНИЯ Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

УДК 681.3

Оптимальное сглаживание частотных флуктуаций фликкерного типа с учётом конечности интервала измерения

Борисов Б.Д

Институт лазерной физики РАН, 630090, Новосибирск, просп. Лаврентьева 13/3,

Аннотация. Рассмотрен оптимальный метод получения оценки среднего значения частоты на фоне фликкер - шума с учётом конечности интервала сглаживания. Проведено сравнение оптимальных оценок с полученными с помощью традиционного частотомера при тех же условиях измерений.

Ключевые слова: флуктуации частоты, фликкер-шумы, оптимальная оценка среднего, конечность интервала измерения.

ВВЕДЕНИЕ

Задачу качественного сглаживания флуктуаций и получения несмещённой и эффективной - с минимальной дисперсией оценки математического ожидания процесса можно назвать классической [1]. К ней сводится и оценка среднего (знак над /)

значения частоты / одним из самых

распространённых приборов - частотомером. Только эта величина входит в определение основной характеристики нестабильности частоты во временной области - дисперсии Аллена Оу (2,т) для генераторов любого диапазона частот [2].

0у(2,*) = 1 < (у, - Уг-1)2 > (1)

где у,, у,-1 - средние относительные значения частоты на смежных интервалах измерения ,, , -1 с конечной длительностью Т

сек каждый. Символ ^ ^ - обозначает оператор

усреднения на бесконечном временном интервале.

Этот относительный показатель нестабильности частоты современных осцилляторов оптического диапазона уже достигает значений 10-18 [3]. Это значит, что

разность величин у,, у— в (1), т.е. и сами

величины необходимо оценивать с высокой статистической точностью. В реальных условиях, при конечных временах усреднения

получим выборочную оценку СГ2у (2, Т), на которую влияют:

1. длина конечного интервала наблюдения ТН = М • 2Т, вместо бесконечного ^ ^, с числом пар выборок М.

2. р{, г-1 - корреляционный момент для

смежных значений у,, уг-1.

3. способ усреднения частотных выборок у, на фиксированном интервале Т для получения оценки у .

Из сравнения факторов 1, 2, 3 можно выявить, что основной вклад в погрешность определения (1) вносит фактор 3, т.е. дисперсия

оценки у, - (у) , особенно при малых Т.

Известно, что специфические флуктуации или фликкер - шумы со спектральной плотностью мощности (СПМ) степенного тип [5]

£ (() = ( ,-2 <у< 2.

(2)

слабо подавляются из-за растущего вклада низкочастотных компонент спектра мощности при увеличении времени усреднения. Так при оценке постоянного среднего значения на фоне частотного фликкер - шума со спектральной

плотностью мощности (СПМ) £ (() = 1/ (О с

помощью электронно-счётного частотомера,

дисперсия оценки (у) не зависит от времени

усреднения и остаётся постоянной [4].

Потенциальная возможность улучшения точности измерений состоит в оптимальной обработке флуктуаций отсчётов частоты на выходе частотного (или фазового) детектора. В этом случае необходимо учесть 2 особенности:

- невозможность улучшить качество усреднения за счёт произвольного увеличения интервала измерения, т. к. последний фиксируется,

- частотные и фазовые флуктуации стандартов частоты, как правило, имеют неинтегрируемую степенную СПМ "фликкерного" типа с моделью (2).

Учтём, что в качестве частотного детектора в традиционном частотомере используется детектор переходов сигнала через нуль, а в качестве интегратора - счётчик таких переходов.

При этом реализуется известная связь сигналов в форме свёртки или П - оцениватель (p - estimator )

t

y = J y(t )• W (t -6)- dt. (3)

0

где W(t) - весовая функция окна прямоугольной формы длительностью т, которая должна удовлетворять условиям: физической реализуемости

W (t) = 0, t <0, (3a)

качеству, времени переходного процесса

W(t) = 0, t > т, (3b)

и нормировке

1 т

- J W (t )dt = 1,

(3с)

исключающей смещённость оценки (3).

1. ОПТИМАЛЬНЫЙ ОПЕРАТОР

СГЛАЖИВАНИЯ

Современные частотомеры реализуют измерения не только средних значений частоты и показателя её нестабильности (1), но и, для улучшения разрешения, используют в (3) различные формы "окон" W(t):

модифицированные, треугольные

(l- estimator) и др. [6, 7]. Это создаёт неопределённость в выборе формы окна и приводит к различиям в результатах измерений. В таких условиях возникает вопрос: какой должна быть весовая функция или форма "окна" в (3), чтобы не только удовлетворять условиям (3 а, b, c), но и обеспечить минимум дисперсии оценки

D[ s2(y) ] = mm?

Для ответа на этот вопрос учтём первую особенность сглаживания флуктуаций в виде ограничений (3 а, Ь, с), что приводит к системе измерений с конечной памятью. Для решения этой задачи используем расширение оптимальной фильтрации Винера на системы с конечной памятью [8].

Оптимальное решение, определяющее форму весовой функции, доставляющей минимум

дисперсии оценки (у) , находится из решения

интегрального уравнения

JRf (t -в)- W(в)• de = 10t0 + 11t + .1ntn (4)

где tп - полезный сигнал полиномиальной формы, отражающий форму окна, 1 - неопределённый

множитель Лагранжа, возникающий в результате решения вариационной задачи на условный минимум среднеквадратичной ошибки оценки среднего значения, а стационарные частотные флуктуации имеют корреляционную функцию Rf.

Общая структура оптимальной весовой функции W(t) в этом случае определяется выражением [8]

W (t ) = A0 + A1t +... + Antn + B1 exp((t ) +... + B2m ехр() + Cd(t) +... + C,S1-m-1 (t) + ( + Dd(t-t) +... + Dl _Jl-m-1 (t-t),

5)

где A, B, C, D - коэффициенты, подлежащие определению,

дельта - функции d(t ), d(t -t) и её

производные dV (t) обусловлены действием оператора W на разрывы непрерывности сигнала на концах интервала t =0 and t = t,

(,..., (2m - корни характеристического уравнения Af (-( ) = 0 учитывают

статистические свойства частотных флуктуаций со СПМ в форме дробно-рациональной функции по чётным степеням

S (w)

Af (w2)

Bf (w2)

(6)

где числитель Лу (и ) - полином степени 2т, а знаменатель В у (и2) - полином степени 21, 21 > 2т.

Как следует из (4), для определения оптимальной формы окна W(t) необходимо знание корреляционной функции Яу частотных флуктуаций. Однако учёт второй особенности сглаживания показывает, что корреляционных функций для точной модели флуктуаций с СПМ (2) не существует в силу неинтегрируемости спектров.

Поэтому для оптимизации реальных измерений нужна физически реалистичная модель СПМ шумов в виде (6), обладающих конечной мощностью и корреляционной функцией. В [9] были предложены такие модели в форме

S (w):

am + W

a

+н

-,0 < V,m < 2,m £ V,a > 0, (7)

где а - нижняя граница роста спектра фликкер -шумов. Асимптотически при а ® 0 модели (7) стремятся к (2), позволяя в стационарном приближении применять оптимальные методы сглаживания. Для целочисленных значений — 2 £ V, ¡1 £ 2 получим аппроксимацию 5-и

0

0

известных типов частотных и фазовых фликкер -шумов [5].

2. ПРИМЕРЫ

А. Определение оптимальной формы весовой функции окна для П - оценивателя (частотомера) на фоне частотного шума случайных блужданий.

aC - Ап = 0

В этом случае в (7) V = 2, ¡1 = 0 и мы имеем

пару

S (w)

2 2 а2 + w

,R (в) = 1exp(-aiq). (8) a

Низкочастотную компоненту спектра а, если она неизвестна арпоп, можно принять из условия общего времени наблюдения (измерения) ТН, как а > 1/ТН = 1/(Ы • 2т) , где N - число отсчетов (выборок) частоты.

При оценке постоянного среднего значения в правой части (4) будем иметь компоненту полезного сигнала в виде г0. Тогда уравнение (4) примет вид

t

JRf (t -в)- W(в)-d0 = 10tc

(9)

а форма окна из (5)

Ж [г) = А0 + С8(г) + Д 8(г - т) , (10)

т. к. с учётом вида в (8), коэффициенты В

= 0 .

Подставляя (10) и Я {в) из (8) в (9) и интегрируя, получим значения трёх интегралов. Складывая их значения и приравнивая к правой части (9), получим

2Ао _(C Ао

• +

a

-at .

- e +

aa

+

(D Ап

(11)

-a(t-t)

= 1

А

aD = 0

А 0t + C + D = 1

Решая систему (12), получим значения коэффициентов

А = а / (ат+ 2); С = Д = 1 / (аТ+ 2). (13)

Подставляя их в (10), определим окончательный вид оптимальной весовой функции Ж(г) для сглаживания этого типа фликкер - шума (Рис. 1). Дельта - функции с амплитудами С и Б учитывают краевые эффекты на концах интервала Т и улучшают точность измерений.

DS(t -t)

0 Т I

Рис.1 Формы окон П - оценивателя или частотомера (пунктир) и оптимального сглаживателя О (сплошная линия).

Кроме того, определим искомую дисперсию оценки &2( у) для этого примера из соотношения [8]

a

a

s2Pt (y) = аА+mill+...+mnK,. (14)

где mv - моменты функции W(t) t

mv= JtvW{T)dT,V = 0,1,2...n .

Уравнение (11) должно удовлетворяться тождественно, следовательно, коэффициенты

-аг -а(т-г) „

при е , е приравниваются к нулю. Это

даёт 21 = 2 однородных линейных уравнения для определения неизвестных коэффициентов Ао, С, Д. Третье уравнение найдём из условия нормировки (3с). В результате мы получим систему из 21 + п + 1 = 3 линейных уравнения для нахождения трёх коэффициентов А, В, С:

Приравнивая, в соответствии с (11), константу левой части этого уравнения к правой и подставляя значение А0 из (14) будем иметь

=¡0^0 = 2 А0/ а2 = 2/[а(ат + 2)]. (15)

Сравним этот результат с дисперсией оценки сглаженного параметра на выходе частотомера, которая, как известно, равна

2

0

e

0

°"ЭС¥ 2 = 2pJ S • HWW2 dw,

(16)

°ЭСЧ = N0/t

(18)

2 sin

!(w/2)

квадрат модуля

Iя И = ,2

1 1 (ит/2)2

передаточной функции счётчика. Подставляя это значение и $ (и) из (8) в (16), получим

S (y) =

1 [1 - exp( -2pat)]

2

a t

2p • at

(17)

На Рис. 2 представлены графики дисперсий оценок постоянного параметра на фоне частотного шума случайных блужданий частотомером (16) и оптимальным фильтром (15).

Рис. 2. Дисперсии оценок постоянного параметра на фоне частотного шума случайных блужданий; частотомером (пунктир), оптимальным сглаживанием (сплошная линия). Верхняя пара кривых для а = 0.1, нижняя пара кривых для а = 1

Из Рис. 2 видно, что область эффективности оптимального сглаживания пропорциональна 1/а и растёт с уменьшением а, обеспечивая уменьшение дисперсии оценок до 3-х раз в данном примере.

В. Определение оптимальной формы весовой функции окна для частотомера на фоне белого частотного шума.

В этом случае имеем пару $ (и) = Ы0 = со^Я (в) = Ы08{в).

Подставляя значение Я (в) в (9), с учётом (3с), нетрудно показать, что

Ясно, что ЭСЧ является оптимальным измерителем только в случае оценки постоянного значения частоты на фоне белого частотного шума.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Полученные оптимальные операторы сглаживания выборок сигнала на выходах частотного или фазового детекторов для оценки их средних значений на фиксированном интервале измерения учитывают краевые эффекты на концах интервала и обеспечивают повышение точности, в частности, при измерении нестабильности частоты в сравнении с традиционными средствами измерений на базе счётчиков.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Пугачев В.С. Теория случайных функций.- М.: Физматгиз, 1962.-.С. 565-576.

[2] J.A. Barnes, A.R. Chi, L.S. Cutler, D.J. Healey, D.B. Leeson, T.E. McGunigal, J.A. Mullen, Jr.,W.L. Smith, R.L. Sydnor, R.F.C. Vessot, and G.M.R. Winkler, "Characterization of frequency stability", IEEE Trans. Instrum. Meas., vol. IM - 20, pp. 105 -120, 1971.

[3] B.J. Bloom, T.L. Nicholson, J.R. Williams and at all, An optical lattice clock with accuracy and stability at the 10 - 18 level", Nature 506, pp, 71 - 75, Feb. 2014.

[4] Пашев Г.П. О предельной эффективности усреднения фликкер шума // Изв. ВУЗов. Радиофизика. -1981.- Т. 24.- № 8.- С.1030.

[5] Ж. Рютман, "Характеристики нестабильности частоты и фазы сигналов высокостабильных генераторов", ТИИЭР 66, # 9, p. 70, sept. 1978.

[6] E. Rubiola, "On the measurement of frequency and of its sample variance with high - resolution counters," Rev. Sci. Instrum., vol. 76, art. No. 054703, 2005.

[7] S.T. Dawkins, J.J. McFerran, A.N. Luiten, "Considerations on the measurement of the Stability of Oscillators with Frequency Counters", IEEE Trans. on Ultrasonic, Ferroelectrics, and Frequence Control, vol. 54, #5, pp. 918 - 925, May 2007.

[8] L.A. Zadeh, J.R. Ragazzini, "An extension of Wiener's Theory of Prediction", Journal of Applied Physics, vol. 21, pp. 645 - 655, July 1950.

[9] Борисов Б.Д. Оптимальная фильтрация частоты сигнала на фоне фликкер - шумов, Автометрия, 44, № 4, С .42-51, 2008.

Борисов Борис

Дмитриевич - зав. лабораторией электронных лазерных систем

Института лазерной

физики СО РАН, д.т.н., профессор кафедры

"Лазерные системы"

НГТУ.

e-mail: borisov@laser.nsc.ru

Optimal Smoothing of Frequency Flickering Fluctuations Taking into Account of the Finiteness of Measuring Interval

B.D. BORISOV

Abstract. The paper discusses optimal method of getting of estimate for mean frequency with the presence of flickering noise with taking into account

of the finiteness of measuring smoothing interval. The paper gives the comparison of optimal estimates with obtained ones with the helps of tradition frequency meter under the same measuring conditions.

Key words - Frequency fluctuation, flickering noises, optimal estimate of mean value, finiteness of measuring interval.