CC BY
48Обобщающие характеристики нестабильности частоты
Борисов Б.Д. Институт лазерной физики СО РАН
Аннотация. Рассматривается возможность использования структурных функций
Колмогорова и функций плотности распределения вероятностей флуктуаций частоты в качестве обобщающих характеристик оценок нестабильности частоты. Устанавливается связь оценок предлагаемых функций с известными характеристиками нестабильности частоты.
Ключевые слова: нестабильность частоты, функция Аллена, стандарт частоты, оценивание, плотность распределения вероятности
ВВЕДЕНИЕ
Проблема оценки стабильности колебаний осцилляторов, генераторов и стандартов частоты росла вместе с улучшением качества самих источников колебаний. Сегодня величина относительной нестабильности лабораторных образцов оптических стандартов частоты достигает 10-17 на интервалах измерения до 3 часов [1]. Было предложено и исследовано большое число характеристик нестабильности частоты во временной и частотной - Фурье областях, обзоры которых можно найти в [2 - 13].
В качестве основных были приняты две характеристики: спектральная плотность мощности
частотных флуктуаций $ (ю) Гц2 /Гц в частотной
области Фурье - преобразования и двухвыборочная
дисперсия (параметр) Аллана &2(2,т)Гц2 - во
временной области.
Парная или двухвыборочная дисперсия определена Алланом во временной области [5] как 1 _ _ 2 ... (1)
а;(2,г) =1 < (у 2 - у,)2 >
где у1 и у2 - средние относительные значения частоты на смежных парных, конечной длительностью Т сек каждый, интервалах с
"мертвым" временем - паузой Тт = 0 между ними.
Символ ^ у - обозначает оператор усреднения.
Каждая из рассмотренных характеристик нестабильности имеет свои специфические преимущества и свою область применения. Их отличительными особенностями являются информационная полнота и возможность простой технической реализации измерения. В то же время, многообразие характеристик, особенно во временной области, несмотря на выделение дисперсии Аллена, стимулирует поиск объединяющей характеристики. Наличие такой позволило бы унифицировать процесс
и аппаратуру измерений, сравнить ранее введенные характеристики между собой на общей основе, определять формулы перехода, в т.ч. из одной области в другую.
1. СТРУКТУРНЫЕ ФУНКЦИИ (СФ)
Известна попытка построить теорию нестабильности генераторов, основанную на структурных функциях Колмогорова [14]. Структурная функция определяется как дисперсия случайного процесса уф со стационарными приращениями (разностями) М-го порядка
В(м) (у,, т) =< д(М)у^, т) . д(М)у(^ + Т, т) >, (2)
1(М )
(М).
М
ГМ ^
где А(М)у(*, Т) = ^ (-1)* , у($ + (М - к)Т) -
к=0
V к У
М — е приращение процесса у(^) .
Это приращение имеет независимое от времени среднее значение, а его автокорреляционная функция зависит только от разности моментов времени. Основными аргументами для использования СФ служат следующие [2]:
1) СФ лежат в основе определений флуктуаций, определяющих нестабильность генераторов,
2) Использования СФ может исключить математические трудности, связанные с существованием особых точек в начале координат для СПМ флуктуаций степенных типов,
3) Средние значения процессов флуктуаций частоты являются функциями времени и вносят систематические ошибки в измерения нестабильности.
Применение СФ помогает решить проблему подавления систематической ошибки измерений, возникающей за счет дрейфов генератора. Конкретным примером структурной функции 1-го порядка является дисперсия Аллена (1). Обобщающая роль СФ фазы через ее связь с другими показателями нестабильности во временной области приведена в таблице 7 [2]. Связь между СФ и СПМ
8у (ю) в частотной - Фурье области устанавливается соотношением
и* = 22(м -1)(ют)2 ] (/)
мп2" (ж /т) (я/т)2
4/. (3)
Обратное соотношение определяется
преобразованием Меллина.
СФ обладает и свойством идентификации. В частности, с помощью структурной функции М - го порядка можно также определить верхний
о
порядок полинома, присутствующего в сигнале нестабильности, т.к. Р — е приращение фазы (М = Р) не зависит от времени, не обращается в нуль и прямо связано с коэффициентом ухода высшего порядка [13].
V .
Практическая реализация. В [10] приведен алгоритм использования СФ для этих целей. Он очень громоздок для практического применения, т.к. связан с перебором по / = 1...П и мало используемым интегральным преобразованием Меллина на последнем этапе идентификации типа фликкер-шума по измерениям СФ. К другим недостаткам применения структурных функций необходимо отнести:
- невозможность определения по единственному параметру (выделенному порядку СФ) - что доминирует в сигнале нестабильности: полином этого порядка или флуктуации со СПМ определенного степенного типа?
- поскольку СФ подавляет систематический уход в данных, с ее помощью невозможно выявление источника этого возмущения, а использование табулированной функции Е(т, т, ¥), для идентификации типа СПМ дополнительно снижает практическую полезность метода СФ.
Недостатки применения СФ для этих целей полностью перекрываются, например,
использованием другой основы - оптимальной фильтрации Калмана [15].
2. ФУНКЦИЯ ПЛОТНОСТИ РАСПРЕДЕЛЕНИЯ ФЛУКТУАЦИЙ ЧАСТОТЫ
В [16, 17] был развит другой подход по использованию в качестве обобщающей характеристики нестабильности частоты функции плотности распределения вероятностей флуктуаций частоты (ФПРВ). Это обобщение естественно базировалось на том факте, что большинство существующих характеристик во временной области являются, по - существу, моментами ФПРВ флуктуаций частоты и могут быть выражены через нее. Чтобы связать эту обобщенную характеристику с частотной областью Фурье - преобразований потребовалось ввести в рассмотрение ФПРВ по скоростям ухода частоты. Т.к. процесс флуктуаций частоты является стохастическим, то его полное описание содержится в многомерной ФПРВ, часто принимающей гауссову (нормальную) форму. Как известно, гауссов процесс полностью характеризуется своими статистиками второго порядка - корреляционной функцией R(t) и ее
Фурье-образом - СПМ S(w) .
Практическая реализация оценок ФПРВ хорошо известна как построение гистограмм. Аппаратура и пакеты прикладных программ, созданные для этих целей, реализует оператор преобразования процесса частотных флуктуаций относительно номинального значения частоты. Реализация флуктуационной компоненты fc (t ) преобразуется в отсчеты гистограммы по правилу
h, {fc (tt)} =
1, при • jAf £ fc (t, ,t)<(j + 1)A/ 0, при • fc (t, t ) < jAf, fc (t, ,t)>(i + 1)Af
(4)
где /с (¿г-, т) — 1-й отсчет частоты на интервале
т, I = ,
А/ — ширина дифференциального коридора гистограммы,
; = ±1, ±2, ±3... - номер дифференциального коридора, (знак - отражает симметрию гистограммы относительно значения ун).
Тогда для нормированной ; - й ординаты оценки плотности вероятности флуктуаций имеем
р; (/) = п}/ /, (5)
где
П,
M
У h{A(1) f (T ,t)}-
,=1
число
отсчетов,
N
П j = У hj {f (t, ,t)},
,=1
(6)
где п - число отсчетов, попавших в ; - й
дифференциальный коридор, N — общее число отсчетов.
Аналогично строится гистограмма
распределения флуктуаций по скоростям ухода
Р* [А(1) / (Т,т)] = пк/ А/М, (7)
попавших в к - й коридор,
Т = Т + Тп — интервал между соседними,
разделенными паузой Тп, отсчетами сигнала /с (^),
А(1) / (Т, Т) = | /&+1, Т) — / &, Т)| — величина
ухода частоты за время Т , первое приращение процесса /с (^),
М — общее число пар выборок, к = 1, 2, 3,...
Качество восстановления ФПРВ по гистограммам, выбор ширины дифференциальных коридоров А/ в зависимости от объема статистики N,М (в т. ч. с подвижными границами коридора) рассматриваются в специальной литературе и должны приниматься во внимание при создании реальной измерительной системы [18, 19, 20].
3. СВЯЗЬ ОЦЕНОК ФПРВ С ИЗВЕСТНЫМИ ПОКАЗАТЕЛЯМИ НЕСТАБИЛЬНОСТИ ЧАСТОТЫ
Связь оценок ФПРВ (гистограмм) с известными показателями нестабильности частоты - выборочной дисперсии, дисперсии Алана, дисперсии Адамара, нестабильности на интервале Т, а также вывод СПМ
5у (ю) в частотной области Фурье представлена в
Таблице.
Выборочную, по N выборкам, оценку дисперсии частотных флуктуаций с учетом (4) запишем как
1 £/2
а2(Ь, Т,т) = — У п1 (]А/ )2,
L -1
Z-i'V
j=-L/ 2
(8)
где £ - число ординат гистограммы (четное).
Оценку дисперсии Аллана (1) получим, используя (7), как частный случай Т = Т, для
т = 0.
смежных, с
длительностью Т каждый
интервалов измерения
s2(M ,t,t) =
1
M
"E nk
nk (kDf )2 (9)
2(М -1)
Оценка дисперсии Адамара ОН (М, Т, Т) вычисляется по Q группам из М пар выборок в каждой [2]. Этот параметр нестабильности получен по Q группам (7) в форме [16]
А(1)/(М,Т,т) = | / м - / +/ М - / ($Л
ol{M ,T ,t)=-
1
Q
-z
E n,k (k&f)
k=1
(10)
Q(L -1) ^
Гистограмма по скоростям ухода (7) является функцией интервалов Т и Т. Если зафиксировать интервал Т, то определим параметр О2 (Т). Особенность этой характеристики заключается в том, что с ростом Т все возможные значения нестабильности не усредняются, а вносят вклад в
оценку О2 (Т) . Тогда с учетом (7)
S2(M, T) = -1 Enk [а(1) f (T,t)]2, t
m k=1
(11)
Другой важной особенностью величины О.2 (Т) является ее связь с корреляционной
функцией. Получая гистограммы (7) при разных Т , т.е. восстанавливая двумерную ру (Т, Т) ФПРВ и
вычисляя О2у (М, Т) по (9), можно найти оценку
Ку (Т) процесса флуктуаций, т.к.
Ry (T) = Ry (0) -s2(m,t) 2
12)
Используя преобразование Фурье, по (Т) можно
определить и СПМ 5у (ю).
В таблице сведены связи ФПРВ флуктуаций и
скоростей ухода флуктуаций (через ординаты пк
соответствующих гистограмм) с показателями нестабильности частоты, в т.ч. в частотной - Фурье
области. Отметим, что получение 5у (ю) в этом
случае намного проще, чем по СФ, т.к. используется стандартная программа быстрого преобразования Фурье (БПФ), в отличие от "экзотического" преобразования Меллина.
Эта обобщенная форма может широко использоваться и как средство оценки спектральной частоты колебания, обеспечивая оперативную оценку спектральной чистоты сигнала и возможность количественной оценки различных характеристик нестабильности частоты по приведенным формулам перехода.
Для иллюстрации практического использования ФПРВ на рис. приведены гистограммы сигнала биений 2-х лазеров: в режимах без стабилизации частоты (в свободном режиме) и со стабилизацией.
8 кГц
СВОБОДНЫЙ режим
64 Гц
РЕЖИМ СТАБИЛИЗАЦИИ
Рис. Характерные гистограммы флуктуаций разностной частоты двух Не-Ые/СН4 - лазеров (свободный режим и режим стабилизации), т = 0.1с.
Сравнивая свойства ФПРВ флуктуаций частоты и СФ необходимо отметить, что в специальных случаях СФ, как, например, дисперсия Аллана помогает обойти трудности степенной модели СПМ флуктуаций с особой точкой СО = 0,. Однако реализовать обобщающие свойства СФ намного сложнее. Более того, из ФПРВ скоростей ухода определенной разности может быть получена и соответствующая СФ.
Таким образом, метод оценки стабильности частоты на основе ФПРВ флуктуаций и скоростей ухода флуктуаций частоты позволяет определять характеристики нестабильности частоты, как во временной, так и в частотной - Фурье областях, а сами ФПРВ можно рассматривать как обобщающие характеристики нестабильности частоты.
2
Таблица
№ п/п ФПРВ и гистограмма флуктуаций частоты ФПРВ и гистограмма флуктуаций по скоростям ухода Связь с другими показателями
1. р (f ) =n. / DfN - 1 L/2 S(N,T,t) = L- Уn.(jDf )2 L 1 j=-L /2
2. - P*\Amf (T,t)\ = nt /DfM D(1) f (T ,t)=[f (ti+1,t) - f (ti ,t)\ 1 M s - M= 2M -1) У n(kDf )2
3. - {ngk = nfc } по Q группам s (M,T,t) = 1 Q г l 12 = q( L 1) У У nqk (kDf) Q(L — 1) q=1 l k=1 j
4. - nk / DfM 1 m r l7 <(M, T) = — У nk [a(1) f (T,t)\ , t = const.
5. - - Sy (w) = F {2R(O) — Sy(M, T)}
Комментарии: 1 - Выборочная дисперсия. Ь-число ординат гистограммы (четное).№число выборок. 2 - Дисперсия Аллена по М парам выборок. Т = Т 3 - Дисперсия Адамара по 0 группам из М выборок каждая. 4 - Нестабильность на интервале Т, Т = Т+Тт , Тт = 0 — тТ. 5 - Для разных Т = О + кт
ЛИТЕРАТУРА
[1] G. Grosche, B. Lipphardt, H. Schnatz // Measurement and synthesis of optical frequencies using two femto-second fiber lasers, Physikalisch-Technische Bundesanstalt, Bundesallee 100, 38116 Braunscheig, Germany, 2012.
[2] Рютман Ж. Характеристики нестабильности фазы и частоты сигналов высоко стабильных генераторов: // ТИИЭР.- 1978.-Т. 66.- № 9.- С. 70.
[3] Багдади Е., Линкольн Р., Нелин Б. Кратковременная стабильность частоты: определения,теория и измерения // ТИИЭР.- 1965.-Т 53.- № 7.- С. 811-831.
[4] Стабильность частоты; Тематический выпуск // ТИИЭР.-1966.- Т.54.-№ 2.
[5] Barnes J., Chi A., Cutler L., etc. Characterization of frequency stability // IEEE Trans. Instrum Meas.-1971- V. IM-20.-№ 2- P. 105.
[6] Пашев Г.П., Парфенов Г.А. Анализ современных прецизионных методов измерения нестабильности частоты //Техника средств связи, сер. Радиоизмерительная техника.-1982.- Вып. 2.- С. 1.
[7] Уоллс Ф., Аллен Д. Измерение стабильности частоты // ТИИЭР.- 1986.-Т. 74.- № 1.- С.
[8] Музычук О.В., Шепелевич Л.Г. К вопросу об определении кратковременной нестабильности частоты колебаний // Изв. ВУЗов. Радиофизика.- 1974. Т. XVII.- № 6.- С. 855.
[9] ГОСТ 8.441 - 81. Меры частоты и времени высокой точности.-Введ. 01.01.83.- М.: Изд - во стандартов, 1981.
[10] Линдси Ч., Цзе Чжамин Теория нестабильности генераторов, основанная на структурных функциях // ТИИЭР.-1976.- Т. 64.- № 12.- С. 5.
[11] E. Rubiola On the measurement of frequency and of its sample variance with high-resolution counters// arXiv:physics/0411227 v2 31 Dec 2004.
[12] E. Rubiola On the measurement of frequency and of its sample variance with high-resolution counters// arXiv:physics/0411227 v2 31 Dec 2004.
[13] S. Dawkins, J.J. McFerran, and A. Luiten Considerations on the Measurement of the Stability of Oscillators with Frequency Counters // IEEE Trans. On Ultrasonic, Ferroelectrics, and Frequency Control,Vol. 54, no 5, May 2007.
[14] Lindsey W., Chak Ving Chve Identification of power - law type oscillator phase noise spectra from measurements // IEEE Trans.-1978. - IM-27 - № 1.- P. 46.
[15] Борисов Б.Д. Оптимальный метод оценки систематического изменения частоты сигналов // Измерительная техника.- 1987.- № 6.- С. 22.
[16] Борисов Б.Д., Гусев А.Ю., Собстель Г.М. Автоматизация исследований в лазерной спектроскопии: Препринт 33-79 / Институт теплофизики СО АН СССР.-Новосибирск, 1979.
[17] Гусев А.Ю. К оценке стабильности частоты ОКГ // Автометрия.- 1981.- № 6.- С. 102.
[18] Мирский Г.Я. Аппаратурное определение характеристик случайных процессов. - М.: Энергия, 1975.
[19] Гусев А.Ю, Дьяконов В.Н., Зензин А.С. и др. Программно-управляемые модули для построения анализатора частотной стабильности генераторов//Автометрия.-1975.- № 4.
[20] Домарацкий А. Н., Иванов Л. Н., Юрлов Ю. И. Многоцелевой статистический анализ случайных сигналов. Новосибирск: Наука, 1975.
Борисов Борис Дмитриевич - д.т.н., заведующий лабораторией Института лазерной физики СО РАН (Новосибирск).
