Повышение эффективности обработки сигналов при оценке частотно-временных параметров Текст научной статьи по специальности «Физика»

Повышение эффективности обработки сигналов при оценке частотно-временных параметров

Патюков В. Г. fpvg@fromru.com)

Красноярский государственный технический университет

Выбор и оптимизацию алгоритмов обработки данных при оценке частотно-временных параметров исследуемых сигналов выполняют при разработке и построении самых различных радиотехнических систем и приборов, работающих на этих принципах. Наиболее распространенным методом построения аппаратуры и выводы о предельных значениях статистических оценок среднего значения частотно-временных параметров в случае отсутствия априорных данных об исследуемом сигнале, является метод обнаружения и оценки значений неизвестных параметров по максимуму функции правдоподобия, который реализуется в корреляционных и многоканальных устройствах [1]. Трудности, связанные с реализацией таких устройств обеспечивающих потенциальные точностные характеристики, привели к тому, что на практике нашли широкое распространение классические одноканальные цифровые устройства обработки сигналов (цифровые измерители среднего значения мгновенной частоты -частотомеры), для которых исследование механизма возникновения и снижения погрешностей при оценке частотно-временных параметров является актуальной задачей исследования.

Возможности повышения эффективности обработки сигналов при оценке частотно-временных параметров можно получить, исследуя распространенную модель аддитивной смеси гармонического сигнала и узкополосного детерминированного или случайного процесса:

x(t) = s(t) + g(t) = Um cos{co0t + (p0)+ A(t)cos[c01 + 0(t)] = U(t)cos[c0t + <p(t)] = U(t)cosф(г),

где Um, co0 и (0 - амплитуда, угловая частота и начальная фаза сигнала, а Att) и Ott) -огибающая и фаза случайного процесса ^{t); Utt), (tt) и Ф^) - огибающая, случайная фаза и полная фаза аддитивной смеси, представляющая собой случайный нестационарный процесс. Одной из исследуемых функцией, представляющей практический интерес, является мгновенная частота, связанная с полной фазой известным соотношением:

c (t) = dФ(t)/dt = c0 + Q(t),

где Q(t) = ((t) - случайная частота, определяемая через производную случайной фазы аддитивной смеси и характеризующая скорость ее изменения.

Оценка математического ожидания случайного процесса c(t) на интервале времени усреднения Т в общем виде может быть выполнена по формуле [2]:

t+T/ 2

m\a(t)] = J g(t -T)c(r)dr, (1)

t-T/ 2

где g (t) - весовая функция оператора сглаживания, удовлетворяющая условию несмещенности оценки:

T2

J g (t )dt = 1. (2)

-T 2

Среднее значение мгновенной частоты, вычисляемое классическими цифровыми частотомерами, определяется по приращению полной фазы сигнала на интервале времени усреднения T = tk - tH, то есть используется информация о значениях полной фазы в начале

Ф(^ ) и конце Ф(^ ) измерительного интервала с приращением, равным:

mi C(t )) = Т[Ф«к )-Ф(^ )],

или относительно середины измерительного интервала:

«1 Ио)=1т+Т)- (3)

Из приведенных аналитических выражений следует, что классический измеритель среднего значения мгновенной частоты реализует операцию дифференцирования фазы сигнала, а (3) является дифференциально-разностным уравнением, для которого существует интегральная форма, являющаяся оператором текущего сглаживания:

т (ю^)) = Т \ю(т)ат, (4)

1 *-ТА

совпадающим с (1) при g^) = 1/Т и осуществляет выборку усредненных значений мгновенной частоты с равномерным шагом, кратным времени измерения.

Использование весовой обработки в соответствии с выражением (1), позволяет существенно повысить точность и помехоустойчивость устройств, работа которых основана на использовании формулы (4). Как показано в [2], оптимизация весовой обработки позволяет получать практически потенциальные оценки среднего значения мгновенной частоты при стационарных флуктуациях случайной фазы исследуемого сигнала.

Эффективность весовой обработки при переходе к цифровому измерению среднего значения мгновенной частоты снижается по сравнению с обобщенным алгоритмом (1). При цифровых измерениях с весовой обработкой результатов промежуточных отсчетов искомое значение среднего значения мгновенной частоты определяется в дискретные моменты времени, а оценка среднего значения мгновенной частоты при циклических измерениях производится с интервалом дискретности, пропорциональным времени усреднения, то есть на выходе измерителя формируется функция т1(ю(кТ)), где к - число циклов усреднения.

Выражение (3) для оценки среднего значения мгновенной частоты при цифровом усреднении классическим измерителем преобразуется к виду:

тх (ю (Ш)) = 1 [Ф(/Д + Т/2) - Ф(Ш - Т/2)], а интегральная форма (4) может быть представлена суммой:

1 1+п/2

тх (ю (Ш)) =-- £ ю (]Д), (5)

П + 1 }=г-и12

где Д1 - интервал квантования по времени, п - количество усредняемых промежуточных временных интервалов. Оператор текущего сглаживания (1) с произвольной весовой функцией g (^) преобразуется в аналитическое выражение:

1+П 2

т, (ю (Ш)) = £ g (]Д )ю (]Д), (6)

] =-п/ 2

где усредненное значение результирующей оценки мгновенной частоты на интервале времени измерения образуется суммой промежуточных отсчетов средних значений мгновенной частоты взятых с соответствующим весом. Усредненное значение мгновенной частоты по дискретной выборке при этих условиях можно представить как взвешенную сумму разности отсчетов промежуточных значений полной фазы аддитивной смеси на интервале времени измерения:

т1 (ю(Ш }) = g1

Ф(0 -Ф(г0)

. + gn| 2-

Дг

Ф^ ) - Ф(г )

4 п 2 ' П 2-1 '

+ g-1

Ф(г0) -Ф(/-:) „ Ф(г2) - Ф(^1)

Дг

■ + я

Дг

+ g -

Ф(гч) -Ф(г-2)

Дг

+

Дг

■ + g-п/ 2-

Ф(г ) -Ф(г ) 1

4 - п 2+1 4 - п/9 ' 1

Дг

= Д (g1ДФ1 + g-1ДФ-1 + g 2 ДФ 2 +

+ g-2 ДФ-2 + - + g П 2 ДФ п/ 2 + g-n/2 ДФ-„/2Х

где ДФ г - приращение полной фазы исследуемого сигнала на временном интервале Дг в г -м

промежуточном измерении. В соответствии с выражением (7), усредненное значение мгновенной частоты определяется через суммирование приращений полной фазы результирующего сигнала ДФ 1.

В связи с квантованием по времени возникает задача выбора интервала квантования случайного нестационарного процесса, обеспечивающего минимальное увеличение дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты гармонического сигнала. Решение этой задачи проведем для дискретной весовой функции Бартлетта, обладающей высокой эффективностью сглаживания флуктуационных помех [3]. Оптимизировать интервал квантования можно как в спектральной области на основе частотных характеристик усредняющих устройств, зависящих от используемых весовых функций и спектральных особенностей воздействующих помех или временным методом, исследовав погрешности оценки (7). Последнее в данном случае представляется наиболее доступным, поэтому, учитывая условие несмещенности оценки (2) и дискретную весовую функцию Бартлетта, определим дисперсию оценки (7) по общим правилам для суммы зависимых случайных величин [4]:

_2

2 = < ^Яп п/ 2

(2Дг£ О2

п + 2

п2

£ (п +1 - 31)щы) - £ (п +1 - /)Я(/Дг)

г=п 2+1

г =1

(8)

где < - дисперсия фазовых флуктуаций усредняемой реализации; Я(гДг) - значение

нормированной корреляционной функции фазовых флуктуаций, разделенных временным интервалом г = гДг. После преобразований, формула (8) приводится к виду:

<2 = 16^

8п , о\2

Дг2 п(п + 2)2

V2 1 31 п 1 г

1 + 2£ (1 +- - — )Я(1Дг) - 2 £ (1+- - -) Я(1Дг) 7=1 п п „ п п

г =—+1 2

(9)

а так как количество промежуточных измерений п = Т/ Дг, то из (9) получим:

2 = 32Дг<2

<г" т 3

1 п^п Дг 3/Дг.0... . Дг /Дг. .

2 + £(1 + Т~—)К(гДг)- £(1 -Т-ТЩгДг)

2

г=1

/=—+1

2

Т Т

(10)

При больших п выражение (10) упрощается и, переходя к непрерывному времени, преобразуется в интегральную форму вычисления дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты:

< 32<2

Т3

Т/2

| (1 - Т)Я(т)ёт-\ (1 -1)Я(т)ёт

Т

Т/2

Т

(11)

2

2

г =1

Вычислим дисперсию оценки среднего значения мгновенной частоты на примере некоторых моделей фазовых флуктуаций, например с экспоненциальной корреляционной функцией, нормированный вариант которой будет иметь вид:

ВД = е

— п Тк*

(12)

где тк*- время корреляции фазовых флуктуаций.

Выполнив вычисления в соответствии с (11), в результате получим:

2 16п2а* -в 1 - в 3 а! = —^(2е п -1 е п + 3),

2 п 2

р2Т2

(13)

где в = сое Т, а а>е = 2п¥е - эффективная ширина спектра фазовых флуктуаций.

При больших временах усреднения, соответствующих Т >> тк*, формулы для вычисления

дисперсии (11) и (13) преобразуются к упрощенному выражению для вычисления дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты:

а 30.г

а/Д~ т3 * ~

О.

Т3 ^

(14)

которая по сравнению с оценкой классического измерителя, равной а2КС = 2 а*! Т и исследованной в [5], дает выигрыш в точности, равный:

найденной

0 = а2Кс/ а2д= Т/ 16т* = РеТ/4,

который можно достигнуть, оптимизировав обработку исследуемого сигнала.

Полученные выражения для вычисления дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты, могут быть использованы для определения оптимального количества выборок на интервале усреднения и шага квантования по времени. Оптимальный шаг квантования определим, составив и исследовав отношение дисперсий (10) и (14), равное:

0 = 0 =

2

а

/д

1к*

1 П2 37 " 7

2(1 - т Ж1Д) - £ (1 - т) К(ш)

1=1

п

п

(15)

1Дt

где Я(1Д() = R1(iДt) = е Тк* дискретный аналог корреляционной функции (12), или для сравнения - модель фазовых флуктуаций с равномерным энергетическим спектром и

Ш

12п

ш

= 2п к*

Другим выражением, представляющим интерес для исследований, является отношение дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты цифрового измерителя с весовой обработкой и дисперсии оценки среднего значения мгновенной частоты классического измерителя, равное:

т

2

2

а 2 =■

< „

2 2 <КС

16

п

п 2

+ £ (1 - 3)Я(г ) - £ (1 -1)Я(г )

г=1 п тк? г=п+1 п тк?

Дг

т

Дг

т

Результаты расчетов по (15) и (16) приведены на рис. 1 и рис. 2. На рис. 1 даны изменения Qg1 для сигнала с экспоненциальной функцией корреляции фазовых флуктуаций. Приведенные

графики построены при различных отношениях шага квантования и времени корреляции фазовых флуктуаций Дг/тк9 .

2 2 / ° ГА

0 0,1

<')=«Ф(Ч А') / Т кф Т кф /

п=100

п=10

А1

'кф

10

Рис. 1. Оптимизация шага квантования по времени

1

2

2

1

Из рисунка следует, что увеличение шага квантования относительно времени корреляции тк9 приводит к уменьшению точности цифрового измерения, которое при Дг >> тк9 становится

существенным. Так, например, при Дг/тк9 = 10 дисперсия погрешности цифрового измерения

возрастает в 5 раз. Если шаг квантования соизмерим с временем корреляции фазовых флуктуаций, то эффективность цифровой обработки приближается к аналоговой при увеличении количества отчетов п = Т/ Дг. Например, уже при п = 102 - 103 в области значений 0,1ткр < Дг < 2ткр наблюдается незначительное отличие аналоговой и цифровой весовых обработок.

Рис. 2. Зависимость коэффициента эффективности от шага квантования по времени

На рис. 2 приведены результаты расчетов по формуле (16) для двух моделей фазовых флуктуаций. Из рисунка следует, что классические измерители с увеличением количества отсчетов значительно уступают по точности измерителям с весовой обработкой. В области значений 0,1ткр < At < 2ткр коэффициент эффективности Qg2 изменяется нелинейно и зависит

от вида корреляционной функции фазовых флуктуаций, а при At > 2ткр для каждого п

достигается предельный выигрыш, равный ~ п/8 . Из анализа графиков, приведенных на рис. 1

следует, что для At < 2тк^ и малом количестве выборок аналоговая обработка уступает

цифровой, а на рис. 2 график Qg2 для п = 10 подтверждает, что для временных интервалов,

соизмеримых с временем корреляции (At < ткр ), весовая обработка теряет свои преимущества.

Эти результаты еще раз подтверждают известный факт [4], что увеличение числа выборок из реализации фиксированной длительности не всегда приводит к увеличению точности измерения. При малом количестве выборок целесообразным остается применение классического варианта построения измерителя, использующего всего два отсчета - в начале и конце измерительного интервала.

Как следует из графиков, приведенных на рис. 2, вид исследуемой модели фазовых флуктуаций оказывает влияние только в области временных интервалов At <тк1 и с

увеличением количества усредняемых интервалов наблюдается тенденция к сокращению этой области. При At > ткв формуле (16) суммы не оказывают существенного влияния на

исследуемое отношение и графики стремятся к предельному значению равному ~ 8/п .

Исходя из полученных результатов можно обосновать требования к выбору шага квантования, учитывая особенности построения цифровой измерительной аппаратуры, использующей переходы через нулевой уровень. Эффективность использования цифровой обработки сигнала при построения аппаратуры с весовой обработкой увеличивается с возрастанием количества выборок за фиксированный измерительный интервал. Шаг квантования по времени необходимо выбирать с учетом корреляционных характеристик присутствующих помех, а предельные значения эффективности весовой обработки достигаются при шаге квантования, равном At > (1 ■ 2)ткр. В связи с этим, если период исследуемого сигнала

соизмерим или меньше времени корреляции фазовых флуктуаций, то эффективность устройств,

обеспечивающих оценку частотно-временных параметров исследуемых сигналов с весовой обработкой, будет увеличена при квантовании и обработке не отдельных периодов исследуемого сигнала, а их групп, сформированных в промежуточные вспомогательные измерительные интервалы с длительностью Ti > (1 ^ 2)ткр.

Литература

1. Тихонов В. И. Оптимальный приём сигналов. М.: Радио и Связь, 1983. 320 с.

2. Патюков В. Г., Чмых М. К. Квазиоптимальные оценки математических ожиданий случайных процессов // Известия Вузов. Приборостроение. 1979. № 1. С. 7-12.

3. Гутников В. С. Фильтрация измерительных сигналов. Л.: Энергоатомиздат, 1990. 192 с.

4. Виленкин С. Я. Статистическая обработка результатов исследования случайных функций. М.: Энергия, 1979. 320 с.

5. Патюков В. Г. Фильтрация флуктуаций при измерении частотно-временных параметров сигналов //Системные проблемы качества, математического моделирования, информационных, электронных и лазерных технологий /Материалы Международной конференции, Российской научной школы и Российского научного симпозиума. М.: Радио и связь, Ч. 4. 2002. С. 133-136.