Получение максимально правдоподобных оценок малых отклонений частот высокостабильных гармонических сигналов Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Ненашев А.В. Разработка метода параметрических характеристик для моделирования нелинейных радиотехнических устройств // Научно-технические ведомости СПбГПУ. Информатика, телекоммуникации, управление. 2008. № 6 (69). С. 156-163.

2. Аверина Л.И., Усков Г.К. Определение параметров нелинейных моделей полевого транзистора в системе схемотехнического СВЧ проектирования Microwave Office // Радиолокация,

навигация, связь: Труды ГХ междунар. науч,-техн. конф. / ООО "Саквоее". Т. 1. Воронеж, 2003. С. 457-465.

3. Алексеев О.В., Асович П.Л., Соловьёв A.A. Спектральные методы анализа нелинейных радиоустройств с помощью ЭВМ. М.: Радио и связь, 1985. 152 с.

4. Пупков К.А., Капалин В.И., Юшенко A.C. Функциональные ряды в теории нелинейных систем. М.: Наука, 1976. 448 с.

УДК 004.421.4

В.А. Карелин, И. В. Карелин

получение максимально правдоподобных оценок малых отклонений частот высокостабильных гармонических сигналов

Показатели качества различных радиотехнических систем, таких, как точность действия, разрешающая и пропускная способность, помехозащищенность, в значительной степени определяются метрологическими характеристиками задающих генераторов (хрони-заторов), роль которых выполняют меры частоты [1]. Метрологические параметры частоты сигналов задающих генераторов определяются путем сравнения с частотой сигнала эталонной меры. В связи с достаточно малой относительной нестабильностью частоты мер (~ 10-|0-Ю"14) предъявляются чрезвычайно высокие требования к измерительным устройствам, которые должны быть прецизионными, с характеристиками, близкими к потенциальным пределам, зависящими от эффективности алгоритмов обработки сигналов и достигаемой минимизации погрешностей оценок разности фаз и частот сличаемых сигналов. Теоретически оптимальными являются оценки, полученные на основе марковской теории нелинейной фильтрации с помощью ММП, но их реализация приводит к сложным корреляционным и многоканальным устройствам [2, 3]. Поэтому на практике широкое распространение получили упрошенные алгоритмы, использующие малоэффективные

среднеинтегральные оценки. При этом для повышения разрешающей способности осуществляется аналоговое умножение разности сличаемых частот и перенос ее с помощью гетеродинирования на низкую частоту — подставку [1], что искажает информацию об измеряемом параметре.

Для синтеза измерителей, обеспечивающих оптимальные характеристики в установившемся режиме при стационарных помехах, возможен выбор дискриминатора и синтез весовой функции усредняющего фильтра, обеспечивающего максимально правдоподобную оценку частоты, методами линейной фильтрации Винера. Правомерность такого подхода подтверждается еще и тем, что нелинейная зависимость входного сигнала от оцениваемого параметра разрушается именно вдискриминаторе. При этом возможен синтез алгоритма сличения частот — несложного для реализации и обладающего максимальным правдоподобием.

Цель исследования - решение задачи синтеза оптимальной по критерию максимального правдоподобия весовой функции усредняющего фильтра для оценки средней разности частот сигналов задающих генераторов при квадратичной функции потерь.

В качестве модели сигнала исследуемой меры частоты рассмотрим аддитивную смесь гармонического сигнала s(t) и случайного узкополосного процесса

XV) = s(t) + Z,(t) = í/^osKcoq + Aco)t + ф] + + A(t) cos [(íOq + Acó)/ + 0(Г)] = = l/(í) cos [(соо + Асй)Г+ф(0) = U(t) cosO(/),(l)

где со0, Дсо, ф — угловая частота сигнала опорной меры, отклонение частоты и начальная фаза измеряемого сигнала; /4(0, 0(0 — огибающая и фаза случайного процесса E,(t); U(t), ф(0 и Ф(/) — огибающая, случайная фаза и полная фаза аддитивной смеси.

Модель сигнала S0(r) опорной меры частоты можно выразить в виде

50(0 = Í/Ocos (о0Г. (2)

Пусть в качестве дискриминатора выбран измеритель разности фаз АФ(/), работающий в соответствии с известным алгоритмом [4):

т

\x(t)sm(ú0ldt

АФ(г) - ф(/) - co0r = arctg у-, (3)

Jx(/)coscü0/C//

о

где Т- интервал времени усреднения.

Мгновенная разность частот Дсо(0, среднее значение которой подлежит оценке, связана с ДФ(0 соотношением

íMo>(0 л , сМФ(/) . , . . ...

Дсо(0 =-— - Дсо +-— = Доо + и(0- (4)

dt dt

Случайная разность частого(/) определяет шумовую составляющую погрешности измерения среднего значения Асо(/), а характер изменения ее спектрально-корреляционных характеристик существенно влияет на дисперсию результата усреднения.

Оценка математического ожидания Дсо(0 получается с помощью алгоритма [5]

®(') - |Асо(/)g(t)dt, (5)

о

где£(0 — весовая функция усредняющего фильтра, зависящая от корреляционных характеристик случайного процесса Дсо(0 и удовлетворяющая условию несмещенности оценки

Определение весовой функции #(0, обеспечивающей минимальную дисперсию оценки (5), связано с решением интегрального уравнения [5], точное решение которого возможно только для ограниченного числа частных случаев бесконечного времени наблюдения и модели СПМ помехи в виде дробно-рациональной функции [5].

В настоящей статье предлагается алгоритм определения весовой функции усредняющего фильтра, позволяющий избежать указанных трудностей.

Предположим, что искомая функция g(r) дифференцируема как минимум один раз.

Учитывая (4) и (5), можно выразить погрешность оценки

Д = fo(t)g(t)dt.

(7)

Тогда оператор (7) может быть переписан следующим образом:

А = Ы'ЙФМ = яИф(г)- ¿К0)ф(0)- /¿(/)ф(/)Л.(8)

о о

Чтобы учесть условия несмещенности (6), представим искомую функцию^/) втаком виде:

0 < / < Г;

(9)

/ < 0; о Т. Подставив (9) в выражение (8), получим

о

где 5(0 — дельта-функция Дирака.

Запишем выражение для дисперсии а2(Д) оценки:

г г

Jf[S(r-7-)e,(r)-

о о

¡g{t)dt=1

(6)

сг(д) = с2( -5 (г)Л(г)-*(г)]х М11) 46(5 -7-) я, (Л) -

где угловые скобки означают операцию статистического усреднения.

Преобразование (11) с учетом свойства некоррелированности стационарного случайного

процесса и его производной в совпадающие моменты времени, а также фильтрующего свойства дел ьта- фу н к ци и поз воля ет зап исать

°2(л)=

= с

= (12)

ol[gf(T)- 2g, (Г) gl(0)R(0,T)+ g,2(0)j +

/TT

+ Jifti^.WvirWiKA )

\ о о

2gt(T)gl (0)R(0j)+g?(0)\ +

TT

+ \ ¡gl Ш, (i )(ф{г)ф(л)) dr eis

00

=с2 cl[gt (:г)- 2g, (7-)*, (0)л(0,7> g? (о)+

где а0 и Л(л, 5) — дисперсия и коэффициент корреляции случайного процесса (р(г).

В силу стационарности процесса <р(/) Л(г, 5) — = R(r— .у), следовательно,

гт

¡\gi(r)g(s)R(r-s)drds =

00

Поэтому выражение (12) может быть переписано:

а2(д) = с2а

g?{T)-2gl(T)gl{0)R{T)+

т

(О) + 2 Jg, (/)g, (/ + p)dt dp

• (13)

Для преобразования (13) получим следующие очевидные соотношения:

(14)

1

1

с—-

g,(0 )T+jg{t){T-t)dt

. (15)

Подставив (14) и (15) в (13), получим следующее выражение дисперсии оценки:

аЧАЬа2 2^(0)[1-^(Г)]+2я,(0)

Т-р

(16)

2 ¡Riß) ¡gi {{)g\ (f + p)dt dp

g,(0)r + ¡g,{t)[T-t\U

Выражение (16) представляет из себя функционал, зависящий от#|(0) и (/) (время наблюдения Гсчитаем фиксированным). С целью определения минимума функционала (16) продифференцируем его по g,0) ng,(0) и, приравняв частные производные к нулю, получим систему из двух уравнений:

2g,(0)[l -R(T)]=аТ-[ 1 -*(t)]Jg,(l)dr, (17)

о

'¡R{p)g\t + P)= a[r-/]-g,(0)[l - R{x)]- Jg,(/M;(18)

где д 2g,2(0)(l-/?(x)]+2g,(Q):

M)dt

(19)

л(О)+/А(Г)[г-/1Й

о

Объединив уравнения (17) и (18), имеем: С + р^р -ь + /?(г)]}£, (/)Л. (20)

Заметив, что коэффициент а (см.( 19)) не зависит от Г, продифференцируем обе части выражения (20):

г

{/?(/>)£, (/ + />)ф =-а. (21)

о

Левая часть (21) не будет зависеть от /только при условии: £,(/) = согЫ.

Поэтому g, ¡R(p\lp - -а, или

8i =

а

\R{p)dp

(22)

Таким образом, оптимальное значение производной весовой функции^/) можно найти, проинтегрировав дифференциальное уравнение (22):

at

\R(p)dp

(23)

где С— постоянная интегрирования, которую определим, подставив (23) в (20):

С -2а

Т Т2 [1 + /?(/)]

2 + "

/

¡pR(p)dp

4Г ¡R(p)dp |R(p)dp

/

(24)

f т

11 ¡R(p)dp + Г[1 + Л(Г)]|.

Выражения (23) и (24) определяют параметры оптимальной весовой функции в зависимости от коэффициента корреляции и времени наблюдения Т.

Для сравнения эффективности полученного алгоритма с алгоритмом, синтезированным методом теории нелинейной фильтрации, рассмотрим некоторые практически важные случаи.

1. Модель СП М ф(/) описывается выражением

to +а

Например, при фазовых флуктуациях смеси сигнала и аддитивного шума, прошедших линейную цепь, R(p) = е~°(Р). Полагая 1/а < Г, из (24) получаем С= Ь/2, где ft = Т/тк, т* — время корреляции случайного процесса ф(/).

Из (9) с учетом (22) получим выражение для оптимальной весовой функции:

g(0 =

[Г + М1-//7") 4---

Т(\ + Ы 6) (25)

0,/ < 0; / > Т.

Из (16) определим дисперсию оценки о2(Д) разности частот Дсо:

а2(Д) = ,2C¿ . T2(\+b/6)

(26)

Сравнение (26) с дисперсией широко распространенной среднеинтегральной оценки 2ст2

сг (Д) = дает выигрыш в точности в (1 + Ь/6)

раз, т. е. при Ь » 1 достигает порядка и более.

2. Модель СПМ ф(/) равномерная (белый шум). В этом случае имеем:

T + t(T-l)

g(0 =

, 0 < / < Т;

Т(\ + Т/6)

0, t < 0; / > Г;

а2(Д) = ^

(27)

Т\\ + Т/6)

Для сравнения эффективности синтезированного алгоритма с алгоритмом нелинейной фильтрации выразим (27) через отношение сиг-

N

нал/шум. Известно [4], что ст(2 =——, где /У0 —

2ЕС

энергия аддитивной помехи, £с — энергия сигнала за время наблюдения. Тогда

"о

« (Д) =

или при Т/6 » 1

ЕСТ2(\ + Т/6)

Ес Т

т. е. совпадает с дисперсией оценки алгоритма теории нелинейной фильтрации [3] для дискретного времени при предположении некоррелированности отсчетов смеси сигнала и шума и симметричности спектральной модели СПМ помехи.

3. Необходимо заметить, что при выводе выражения для оптимальной весовой функции усредняющего фильтра единственным допущением относительно случайного процесса ф(г) была его стационарность. Но можно показать, что с помощью синтезированного алгоритма можно получить конструктивные результаты на классе случайных процессов ф(/), спектр мощности которых обладает бесконечной интенсивностью в области низких частот, например винеровский процесс.

Для определения модели R(p) в этом случае воспользуемся представлением процесса ф(/) в виде квазистационарного случайного процесса с бесконечной памятью. Согласно [6] коэффициент корреляции такого процесса может быть записан в виде R(p) = = 1 -кр, где/:—const, и для конечных /справедливо

кТ« I.

(28)

Г

Из (9) и (22) с учетом (28) получим

g(') =

¡1/T, 0<t <Т; О, /< 0; /> Г.

То есть получим среднеинтегральный алгоритм усреднения, приводящий, как известно [7], к оптимальному результату в случае "белого шума", моделью которого в данном примере описывается сглаживаемый процесс о(/), получаемый дифференцированием ф(Г).

Заметим, что полученный алгоритм синтеза оптимальной весовой функции усредняющего фильтра инвариантен относительно типа дискриминатора, один из примеров которого приведен вданной статье.

На основе проведенного исследования разработано цифровое устройство [8], позволяющее получать высокоточные оценки малых отклонений частоты, не прибегая к преобразователям, которые повышают разрешающую способность.

но существенно искажают информацию об оцениваемом параметре исследуемого сигнала.

С использованием вариационного подхода получен алгоритм синтеза оптимальной (по критерию минимума среднего квадрата ошибки) весовой функции усредняющего фильтра для оценки малых отклонений частоты сигналов задающих высокостабильных генераторов. Показано, что оценки на выходе синтезированных фильтров имеют наивысшую точность, совпадающую с точностью оценок, получаемых с помощью классической теории нелинейной фильтрации, но требуют для своей реализации гораздо меньше аппаратных и программныхсредств.

Рассмотренная методика синтеза усредняющих фильтров с целью получения конструктивных результатов не требует предположения о некоррелированности помехи, так как в выражения для параметров оптимальной весовой функции в явном виде входит коэффициент корреляции паразитных фазовых флуктуаций.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Вилснкин С.Я. Статистические методы исследования стационарных поцессов и систем автоматического регулирования. М.: Советское радио, 1967. 120 с.

2. Аппаратура для частотных и временных измерений / Под ред. А.П. Горшкова. М.: Советское радио, 1971.

3. Тйхонов В.И. Оптимальный прием сигналов. М.: Радио и связь, 1983. 320 с.

4. Цифровые радиоприемные системы: Справочник / М.И. Жоддишский и др.; Под. ред. М.И. Жод-дишского. М.: Радио и связь, 1990. 208 с.

5. Пестряков В.Б. Фазовые радиотехнические системы (основы статистической теории) М.: Советское радио, 1968. 468 с.

6. Кшнтр MG Шум типа 1/Г//ТИИЭР 1982. Т 70, № 2

7. Тихонов В.И. Статистическая радиотехника. 2-е изд. М.: Радио и связь, 1982.

УДК 519.714.23

В.Н. Коновалов, И. В. Коновалов

подход к многоуровневой оптимизации

комбинационных логических схем

Один из завершающих этапов логического проектирования цифровых схем - покрытие или технологическое отображение (technology mapping), т. е. преобразование технологически независимой схемы, полученной в результате многоуровневой декомпозиции идетализации и состоящей из различных двухвходовых логичес-

ких блоков, в эквивалентную схему в целевом технологическом базисе [3,5,6]. В современных интегральных схемах таким технологическим базисом могут служить двухвходовые элементы И-НЕлибо ИЛИ-НЕ, реализованные в виде базовых матричных кристаллов или программируемых пользователем вентильных матриц (ППВМ