CC BY
41
УДК 681.3
ОПТИМАЛЬНАЯ СТРАТЕГИЯ УПРАВЛЕНИЯ РЕСУРСНЫМ ОБЕСПЕЧЕНИЕМ
ПРОИЗВОДСТВЕННОЙ СИСТЕМЫ
В.Н. Родионова, Н.В. Федоркова, Е.Д. Федорков
В статье приводится методика определения оптимальной стратегии ресурсного обеспечения производственной системы
Ключевые слова: методика, стратегия, ресурсы
Рассматривая изготовление сложных изделий в условиях большого числа состояний системы, предположим, что время проведения конкретной технологической операции пренебрежимо мало по сравнению с временем движения по технологической цепочке. В этом случае дискретное описание транспортных потоков переходит в непрерывное и должно моделироваться некоторым дифференциальным уравнением с частными производными. Решая это уравнение в сферической системе координат, получим обыкновенное дифференциальное уравнение относительно радиальных составляющих. Асимптотика решений дает количественное представление о поведении рассматриваемой производственной системы [1].
Пусть даны г материальных потоков Рк (к = 1, г ). Из составляющих эти потоки ресурсов производят сложные детали - «агрегаты». Предполагаем, что каждый поток Рк содержит ровно одну составляющую для данного агрегата. Пусть за время Т появилось по пк единиц ресурса из каждого потока Рк, т.е. образовался некоторый набор (ц,) = (п1,п2, ...,пг). Из этого набора может быть произведено Б0 =
шт пк агрегатов, причем набор-остаток (п'к ) = (п -
к
Б0). Обозначим через %(1) вероятность появления за время Т1 единиц ресурса из потока Рк. Найдем вероятность образования за это время набора-остатка (п'к). Понятно, что если вместо набора (пк) появляется набор (п + б), где б - целое число, то число произведенных агрегатов равно Б0 +б, а набор-остаток вновь (п'к), так как (п'к)= (пкп + б)- (б0 +б). Тогда вероятность образования указанного набора -остатка,
•у Г
«Ц)=X
(1)
ї=— ы
где каждое слагаемое в правой части означает
Родионова Валентина Николаевна - ВГТУ, д-р экон. наук, профессор, тел. (4732) 43-76-67
Федоркова Наталия Вадимовна - ВГТУ, д-р экон. наук, профессор, тел. (4732) 43-76-67
Федорков Евгений Дмитриевич - ВГТУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 55-42-48
вероятность образования одного из наборов (пк + б). Каждому потоку Рк поставим в соответствие
—
вектор вк г-мерного евклидова пространства Нг. Понятно, что материальные ресурсы потоков лишь преобразуются в процессе обработки и сборки агрегата, т.е. они не исчезают в «никуда» и не появляются из «ниоткуда». Рассматривая отходы производства как один из потоков Рк, можно записать закон сохранения материальных ресурсов в форме
?1 + +...+ 5,. = 0.
(2)
Обозначим через N целочисленный вектор-
— г —
индекс: N = ^ пквк = [пк ], где Пк -
к=1
целочисленные координаты. Вероятность появления
——
суммы векторов N =[Цс + б] вычисляется по формуле (1) и равна
(3)
В силу соотношения (3) при любом целом 8
——
каждому представлению [пк + 8] вектора N отвечает набор (пк + 8) с одним и тем же остатком (п'к ), и наоборот, каждому остатку (п'к) отвечает некоторое
—
представление вектора N. Иными словами, суммирование в формулах (2) и (3) можно проводить так: обозначим тк=пк+8 и суммируем лишь те Щс, для
—
которых [тк]= N :
(4)
случай
I ГЬк>-
(т, ]=/? *=|
Далее будем рассматривать пуассоновских распределений ’
<р* (/) = е"‘ ~ при / > 0, <р(/) = 0 при I < 0
с параметром распределения хк, что соответствует асимптотике биномиального распределения с очень
большим объемом выборки п (пр ~ хк). Теперь из (4) получим
виде
-I*
и—= ек = V— (Хк)
N N
(5)
где 8о=+ шах ( - пк )
к = 1, Г
Запишем параметрическую составляющую
——
вероятности У— (хк) для сдвига на в г : обозначая
N
символ Кронекера через
——
51к (51к = Оприк Ф I, skc = 1), получим N - I в = [пк -5'к], тогда из (5) получим соотношение
соответствующее дифференцированию выражения
тк
тк!
один раз по Хк:
^ тк тк-1
А (^_) = 3^х:к-1 = ------Иными
дхк тк! тк! (тк -1)!
словами, справедлива следующая формула дифференцирования
фференцир
НЫМ ПО ОД]
(6)
дгУл(хк) дх1дх2...дхг N
Это и есть искомое дифференциальное уравнение в частных производных, моделирующее поведение системы с большим числом состояний и законом сохранения материальных ресурсов в форме (2). Прежде чем переходить к решению уравнения (7), обсудим некоторые естественные обобщения последнего.
♦ Закон сохранения материальных ресурсов имеет вид
/,£, +/гё2 + ••■+ /гёг =0,
(8)
где
и )ы -
заданные натуральные числа.
В этом случае рассуждения, приведенные выше, немедленно приводят к дифференциальному уравнению
(9)
Чтобы воспользоваться законом сохранения (8), необходимо /{ раз продифференцировать У — по
N
Хь
(и так для каждого номера 1= 1,2,...,г). В результате получим уравнение (9).
♦ Закон сохранения материальных ресурсов имеет вид
/,ё| +/2?2 -£|2„|+1 -£2Лн+2 -—~8г-тёг =°.
N Удобно представить закон сохранения в форме
всем переменным по одному разу, получим
дх[дх2..,дхг
= У*_г,-г,-...-?/**)-
/і?і + !гЬ + ■ +/„Лі = ІАйї +$і«т+і+^8гчь*г
(10)
Из выражения (10) и предыдущих рассуждений получим модельное уравнение
но в силу закона сохранения (2) и предыдущее соотношение можно представить в
х
к
к
т
Понятно, что уравнение (11) обобщает соотношения (7) и (9) в случае отрицательных целых коэффициентов, определяющих закон сохранения материальных ресурсов (3), (8), (10).
♦ Закон сохранения материальных ресурсов имеет вид соотношения (10), однако теперь
числа {г, & не обязательно целые.
Предположим, что это произвольные фиксированные положительные числа, не превосходящие единицу.
В этом случае модельное уравнение (11), оставаясь по форме таким же, приобретает другой смысл: здесь рассматриваются производные дробного порядка, определяемые соотношениями {Справочная математическая библиотека. Функциональный анализ/ Под ред. С.Г. Крейна. М.: Наука, 1964):
для каждого /і и gJ В результате получим следующее модельное уравнение:
ференциальное уравнение в частных производных.
Полученные модельные уравнения можно использовать не только для анализа поведения сложных технологических процессов на производстве. Заметим, что в информационных компьютерных сетях время передачи (приема) одного бита информации пренебрежимо мало по сравнению со временем работы сети. Потоки заявок от пользователей по существу ничем не отличаются от аналогичных заявок для телефонных линий. В этом случае число вызовов распределено по закону Пуассона. [1]. Кроме того, здесь также выполняется некоторый вариант закона сохранения информации. Сформулированные выше предпосылки позволяют использовать полученные модельные уравнения для анализа работы информационных сетей, а также для проектирования информационных сетей с заданными пропускными способностями.
Уравнение (12), как легко видеть, представляет значительные математические трудности.
Поэтому далее мы рассмотрим уравнения типа
(1).
Сделаем замену переменных
1-і
*=і
(13)
В этих координатах функция У — (хк) может
N
быть представлена в виде:
Здесь учтено, что
где через Г(-) обозначена гамма-функция Эйлера.
Построение всех указанных выше семейств моделей основано на следующих двух предположениях: все потоки подчинены
пуассоновскому распределению вероятностей; потоки связаны между собой одним линейным уравнением, выполняющим роль закона сохранения, или уравнения баланса материальных ресурсов. Как показывают приведенные рассуждения, при выполнении первого из этих условий уравнение баланса позволяет сразу записывать модельное диф-
так как
2>=о.
к=\
Напомним одну простую, но удобную формулу дифференцирования сложной функции специального вида. Пусть м> = м!(і) =
Лхаф(г) г = Вхв, где А, В, а, в - некоторые постоянные. Тогда
Подставим соотношение (13) в модельное уравнение (7). Для простоты обозначений неизвестную функцию У[пк ](р) из выражения (14) обозначим через у(р). Используя (15), из уравнения (7) получим
4П<«;+~р_г_)''(р)=у(р)’
Р 7=7 '■ (3Р
/к = п і. -
/і, + л2 +... + лг
Таким образом, приходим к модельному уравнению
где
I
к=1
пк
Это обыкновенное
дифференциальное уравнение г-го порядка с переменными коэффициентами.
Иными словами, предложенный нами метод позволяет свести задачу об исследовании асимптотического поведения системы с большим числом состояний к решению некоторого обыкновенного дифференциального уравнения
гипергеометрического типа.
Понятно, что для каждого конкретного случая входных данных г и (пк) требуется решить уравнение (16) и получить асимптотику его решения. Покажем это на примере. Пусть г = 2. Так как —
вектор N определяется с точностью до целочисленного сдвига, полагаем, что первая его компонента равна 0:
— = [0, к ]
. к • к
Тогда п = —2 ,П2 = 2 Уравнение (16) приобретает вид
, к І сі к 1 сі 2 / \
(-о + орТ')(о + ор~ГМр) = р у(р)>
2 2 ар 2 2 с1р
отсюда
Разделив обе части уравнения на Р—, придем к уравнению Бесселя
ар2 р сір
(17)
Удобно переписать уравнение (17) в виде уравнения Бесселя для модифицированных функций мнимого аргумента:
откуда после замены \ (р) = у і (2р), рі = 2р получим
ІІА + Р|^1_(р2+<.2)У| =0.
Ф,- ^ (!8)
Р\
Решение уравнения (18) представляется в модифицированных функциях Бесселя первого рода и целого порядка к: 1_к (2р) и 1к (2р):
(19)
Асимптотическое поведение этих функций известно. Так как нас интересует случай больших значений к, то можно воспользоваться асимптотикой вида
пк пк
где
*
и его решение можно найти в виде: N = [0,к,п],
8 24 2р
„ =Л„^1(1+{-™)2)ч+—(1 + (-)2)'г.
2 128 576 2р 3456 2р
При достаточно больших значениях параметра пуассоновского распределения р ~ 10, получаем
1 • 10-3
погрешность — • 10 , что вполне достаточно для
широкого класса практических задач.
Отметим, что приведенный пример является одним из простейших. В общем случае модельное уравнение (16) может приводить к появлению различных гипергеометрических функций и должно изучаться для каждого заданного набора г, (ц,) независимо.
Аналогично обстоит дело с модельными уравнениями в частных производных.
Проиллюстрируем это следующими простыми примерами. Пусть закон сохранения (10) имеет вид
вг = 2 в 2
тогда уравнение (11) переходит в уравнение теплопроводности
(21)
для которого допустимо решение в виде многочленов
Эрмита:
—
при N = [0,к] имеем
V/,(*|.Х2,Ху) = Хух2ц,к{г), г =
где Ь пк (7) - полиномы
(23)
(24)
связанные с полиномами Лагерра соотношением
Общий подход к решению модельных уравнений типа (11) состоит в разделении переменных и использовании разложений в кратные ряды Фурье.
После замены (13) и в случае пуассоновских распределений вероятности при ^ = 1 и,
следовательно, п, = 0, получим
к-2$
где к!, к Нк (г) = ^
$=0
$!(к - 2$)!'
(22) [•] обозначает
целую часть числа.
Если закон сохранения (10) имеет вид
— — — вг + в 2 = в 3 то уравнение (11) принимает форму
дУл _
дху дх,дх2
Так как у/х =-^ /кЩк то обе части
к=2
тождества являются периодическими функциями от (г-1) переменной ц/2,...,уг периодом 1. Тогда правую часть
тождества (25) можно рассматривать как разложение левой части в (г-1)-кратный ряд Фурье с коэффициентами искомыми функциями У[0 п2 п ] Следовательно,
эти функции можно найти как коэффициенты Фурье. Применяя известные формулы, получим
здесь ^г-1 -объем (г-1)-мерногопараллелепипеда с
— — —
ребрами-векторами в 2, в3,..., в г. Интегрирование проводят по этому параллелепипеду (йм>г-1 - элемент объема указанного параллелепипеда).
Пусть теперь ^ = d > 1 и 0 < п <й, полагая
_ 2тЫ
в = в в силу однородности пуассоновских распределений получим соотношение
Уп1,п2,...,пг ]]% Х2,-Хг )=ваП1Уп1,П2,...,Пг ( x2.•••. Хг \
используя которое, имеем
— > е ‘-2
/У
а=0
■
"2 "г
2»(my,+£n,4rt)
['".n2.....М‘
(27)
-2 Пт Ц/-1
Умножая обе части уравнения (27) на в получим в каждой из них периодические функции от у/2,^3,...,^г с периодом 1:
(28)
В рассматриваемом случае управляющими параметрами являются коэффициенты {fj };=1 и
( V - ;
\gifj = в законе сохранения или уравнении
баланса материальных ресурсов (11). Пусть мы заранее требуем от системы работу в таком режиме, при котором вероятность появления набора-остатка
(пк) заданное время Т является заданной величиной. Иными словами, функция У— (хк) в
N
левой части уравнения (28) задана. Тогда, применяя обратное преобразование Фурье и формулу (18), сможем определить требуемую величину й = /1. Поступая аналогично для всех остальных
аргументов хк, к=2, г определим все координаты в уравнении баланса материальных ресурсов (11). Задавая различные функции У— (хк) для разных
N
временных отрезков Т (с учетом ожидаемой стоимости сырья, электроэнергии, занятости складов и ряда других факторов), получим функции
и (т )};=. и ктг; , определяющие стратегию
предприятия на долговременный период. Иными словами, получаем возможность заранее определить управляющие параметры как для случая самых худших, так и для случая самых лучших ожиданий. По существу, совокупность функций ^(Т) и & (Т) является математическим выражением стратегии предприятия.
Литература
1. Справочная математическая библиотека. Функциональный анализ / Под ред. С. Г. Крейна. М.: Наука, 1964
2. Бейтмен Г., Эрдейн А. Высшие
трансцендентные функции. М., 1966. Т.2.
Воронежский государственный технический университет
OPTIMUM STRATEGY OF MANAGEMENT RESURSNYM ENSURING THE PRODUCTION SYSTEM
V. N. Rodionova, N. V. Fedorkova, E.D. Fedorkov
The optimal strategy of resourse provision in production sphere is considered in the article Key words: technique, strategy, resources
