Математическая модель торговой точки в виде системы массового обслуживания типа м/m/ оо с отказами от постановки в очередь. Часть 1. Выходящий поток обслуженных требований Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2009 Управление, вычислительная техника и информатика № 1(6)

УДК 519.2

Н.В. Степанова, А.Ф. Терпугов

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ ТОРГОВОЙ ТОЧКИ

В ВИДЕ СИСТЕМЫ МАССОВОГО ОБСЛУЖИВАНИЯ ТИПА М/М/ да С ОТКАЗАМИ ОТ ПОСТАНОВКИ В ОЧЕРЕДЬ.

ЧАСТЬ 1. ВЫХОДЯЩИЙ ПОТОК ОБСЛУЖЕННЫХ ТРЕБОВАНИЙ

Изучаются свойства выходящего потока заявок системы массового обслуживания типа М/М/1А» с отказами от постановки в очередь.

Ключевые слова: система массового обслуживания, выходящий поток.

Системы массового обслуживания (СМО) в качестве математических моделей для самых разнообразных систем с потоками заявок применяются в наше время очень широко. Могут быть они применены и для описания функционирования торговой точки. Ниже рассматривается одна из таких моделей, учитывающая «нетерпеливость» клиентов.

1. Описание модели

Времена всеобщего дефицита, когда в магазинах были пустые полки и за товарами выстраивались многочасовые очереди, канули в прошлое. Сейчас однотипных магазинов очень много, в них продаются однотипные товары и клиент, заходя в магазин, смотрит не только на ассортимент и цены, но и на наличие очереди. И если очередь, с его точки зрения, достаточно большая, то он откажется от покупки в этом магазине и пойдёт в другой магазин, где очередь, возможно, будет меньше.

В качестве математической модели этой ситуации рассмотрим систему массового обслуживания, на вход которой поступает простейший поток заявок с параметром X. В данной работе рассмотрен случай, когда время обслуживания имеет экспоненциальное распределение с параметром ц.

Дисциплина обслуживания заключается в том, что если поступающая заявка застаёт в системе i заявок, то с вероятностью г, 0 < ri < 1 она в очередь не становится и покидает систему, а с вероятностью 1 - ri становится в очередь для ожидания обслуживания.

Обозначения:

т(ґ) - число заявок, отказавшихся от обслуживания (поток уходящих требований) в течение времени t;

п(ґ) - число заявок, обслуженных за время t (выходящий поток заявок);

i(t) - число заявок в системе в момент времени t.

Для рассматриваемой СМО при заданных значениях параметров X, ц, ri процесс i(t) является цепью Маркова с непрерывным временем (процессом гибели и размножения), управляющим потоками rn(t) и п(0. Поэтому оба этих потока относятся к классу МАР-потоков (Marcovian Arrival Process).

Асимптотические (в условиях растущего времени t) и допредельные численные методы исследования МАР-потоков изложены в диссертации С.В. Лопуховой [1], на основе которых и проведены дальнейшие исследования.

2. Исследование выходящего потока (потока обслуженных заявок)

Так как двумерный случайный процесс {i(t ),n(t )} является цепью Маркова, то для его распределения вероятностей

P(i, n, t ) = P{i(T ) = i, n(t ) = n}

используя так называемый At-метод [2], можно записать следующие соотношения

(i > 0, n > 0)

P(i, n, t + At ) = P(i, n, t ) [1 - (X + |)At ] + P(i, n, t )Xri At +

+ P(i -1, n, t)X(1 - r-1 )At + P(i +1, n -1, t)|xAt + o(At). (1а)

При i = 0 эта система приобретает вид

P(0, n, t + At) = P(0, n, t)[1 -XAt] + P(0, n, t)Xr0 At +

+ P(1, n -1, t)|At + o(At), (1б)

так как при i = 0 уход обслуженной заявки невозможен (ведь её нет), а P(-1, n, t) = 0 . Обычным способом, переходя к пределу At ^ 0 при i > 0, отсюда получаем

nt) = - [(1 - г ) + ц] P(i, n, t) + X(1 - r_i )P(i -1, n, t) + |P(i + 1, n -1, t), (2а) dt

а при i = 0

dP(0, n, t) = -X(1 - r0 )P(0, n, t) + |P(1, n -1, t). (2б)

dt

Для решения этой системы введём функцию

H (i, и, t ) = £ ejunP(i, n, t ),

n=0

где j = V-Г . Тогда для этих функций можно получить следующую систему уравнений:

дИ {i, u t) = -[(1 -r ) + |]Hi, u, t) +X(1 - r-jH (i -1, u, t ) + ie]uH (i+, u, t ), (3)

dt

dH (0, U, t ) = -X(1 - r0) H (0, u, t ) + iejuH (1, u, t ). dt

Введём вектор-строку

H (u, t ) = {H (0, u, t ), H (1, u, t ),...} и перепишем систему (3) в виде

dHdut) = H (u, t){Q + |(eju -1)5}, (4)

dt

где Q - трехдиагональная инфинитезимальная матрица процесса гибели и размножения i(t), имеющая следующий вид:

■-X(1 - r0) X(1 - r0) 0 0 •••"

-[X(1 - r ) + |] X(1 - rx) 0 -

Q = 0 | -[X(1 - r2) + |] X(1 - r2) ^

0 0 | -[X(1 - Гз) + |] —

а в матрице В поддиагональные элементы равны 1, а остальные равны нулю.

Введём еще вектор-столбец Е, состоящий из единиц: E = (1,1,1,...)T . Тогда легко видеть, что матрица Q удовлетворяет условию QE = 0.

Рассмотрим решение дифференциально-матричного уравнения (4) при следующих начальных условиях:

1. п(0) = 0 с вероятностью 1.

2. Будем считать, что в начальный момент времени t = 0 в цепи гибели и размножения i(t) установилось стационарное распределение вероятностей P(i(t) = i) = = R(i), которое мы найдём ниже. Тогда, если взять t = 0, то P(i, n,0) = R(i)5n0, и поэтому H(i, u,0) = R(i). Вводя вектор-строку

R = (R (0), R(1), R(2),...), имеем H (u, 0) = R .

Далее, если взять и = 0, то

H(i,0, t) = Y, P(i, n, t) = P(i, t) = R(i)

n=0

в силу стационарности распределения вероятностей R(i). Тогда будет верно соотношение H(0, t) = R.

Таким образом, начальные условия систем (4) имеют вид

H(u,0) = H(0, t) = R .

3. Нахождение финального распределения вероятностей процесса i(t)

В стационарном состоянии граф переходов процесса i(t) имеет вид (рис. 1), что даёт следующую систему разностных уравнений для компонент финального распределения вероятностей R(i):

Х(1 - r0) R(0) = цЩ),

X(1 - r-)R(i -1) - [X(1 - r) + ц]R(i) + mR(i +1) = 0 . (6)

Заметим, что эту систему можно записать в следующем матричном виде: RQ = 0.

Ц1 - Го) Ц1 - Гі) Ц1 - Г2) Ц1 - Гз)

Рис. 1. Граф переходов процесса

Перепишем (6) в виде

Х(1 - r-)R(i -1) - цЛ(i) = X(1 - r)R(i) - mR(i +1),

откуда видно, что

X(1 - r-1) R (i -1) - MR( i) = const.

Из первого уравнения системы (6) следует, что const = 0, так что

Х(1 - r-j) R( i -1) = mR( i),

откуда

г-1

Я(г) = р(1 - г-1 )Я(/ -1) =... = Я(0)рг П (1 -к), (7)

к=0

где р = Х/ц.

ОТ

Константа Я(0) находится из условия нормировки £Я (г) = 1, которое можно

г=0

записать в виде ЯЕ = 0. Её явный вид

Я(0) = 1 |1 + £рг ]-1(1 - Гк)1. (8)

/ I г=1 к=0 J

В частности, из (8) следует, что условием существования стационарного распределения вероятностей в рассматриваемой СМО является сходимость ряда

ад г -1

£рг П(1 - Гк) <+ад.

г =1 к=0

Таким образом, для вектор-строки Н(и, *) имеем следующую задачу Коши:

= Н(и,*){ + ц{е1и -!)Я},

[ Н (и,0) = Я,

решение Н(и, *) которой определяет характеристическую функцию величины п(*). Действительно, беря

(9)

Н (г, и, *) = £ е;ип(*) Р(г, л, *)

п=0

и суммируя по г, получим

ад ад

м{ип(*)} = £ е]т £ Р(г., л,*) = £ Н(г, и, *) = н(и, *)Е,

п=0 г=0 г=0

где Е - единичный вектор-столбец.

4. Нахождение среднего числа обслуженных заявок

Для М{п(*)}, пользуясь свойствами характеристической функции, имеем

1 дН (и, *)

(10)

1 д М {е^)}

М{п(*)} = - 1 ’

] ди

] ди

Е.

(Ц)

Обозначим

так что

, ч 1 дН (и, *) п^) = -

] ди М{п(*)} = п1(*)Е .

Тогда из (9) получим

ёщ (*)

= № + ЯцВ ,

(12)

ад

и =0

так как Н(0, г) = Я. Умножая на Е, с учётом того, что QE = 0, имеем

й М{п(г)}

Ж

- = ЯцВЕ = цЯВЕ,

с начальным условием М{п(0)} = 0 . Поэтому

М{п(г)} = цЯВЕ • г.

В дальнейшем комбинацию цЯВЕ будем обозначать как к. Так как

ВЕ =

0 0 0 0 ••• 1 0

0 0 0 1 1

0 0 0 1 = 1

0 0 0 1 1

то

ЯВЕ = [Я(0) Я(1) Я (2) •••]•

= Ё Я(і) =

Хр! П(1 - гк)

= 1 - Я(0) = І=1 к=°--------

так что окончательно

1+Ер! П (1 - г)

і=1 к=0

М{п(ґ)} = к1/ = ц(1 -Я(0)К .

(13)

(14)

(15)

(16)

5. Решение задачи методом преобразования Фурье

Обозначим через У(и, а) преобразование Фурье по г от вектор-функции Н(и, г):

У (и, а) = | е/агУ (и, г )йг.

0

Тогда, интегрируя по частям, имеем

| е]Ш дН(и,г)йг = I (и,г) =

(17)

= е1 агН (и, г )| -/а| е1 агН (и, г )йг = -Я -/аУ (и, а)

0

и из (9) получим уравнение

-Я - /а У (и, а) = У (и, а) { + ц(е/и -1) В} .

(18)

і =1

Его решение У(и, а) имеет вид

У (и, а) = Я {цВ - Q -/а/ - е/ицВ} =

= Я {(цВ - ^ - /а/) [/ - е/а (цВ - Q - /а/)-1 цВ]}-1 =

= Я [/ - е1 (цВ - Q - /а/)-1 цВ] (цВ - Q - /а/)-1 =

I

= Я X е]ип [(цВ - Q - /а/)- цВ]” (цВ - Q - /а/)- .

п=0

В силу этого равенства определения функции Н(/, и, г) и равенства (17), для преобразования Фурье функции Р(п, г) запишем

1 I I

Р(п, г) = — | е~/агЯ X е/ип [(цВ - Q - /а/ )-1 цВ ]п (цВ - Q - /а/ )-1 Ей а .

2п -I п=0

Численная реализация этих формул в общем случае достаточно проблематична, так как вычисления произведения и обращения бесконечных матриц и нахождения и нахождения значений несобственных интегралов. Поэтому рассмотрим асимптотический метод решения задачи (9) в условиях растущего времени г.

6. Решение задачи (9) асимптотическим методом в условиях растущего времени

Пусть Т - некоторая достаточно большая величина, для которой будем полагать, что Т ^ I.

Условие г = тТ будем называть асимптотическим условием растущего времени. Дальнейшее исследование производится асимптотическим методом, разработанным А. А. Назаровым [3].

Асимптотикой первого порядка для характеристической функции

Н (и, г) Е = М{е/Ип(г)}

числа п(г) событий, наступивших в выходящем потоке за время г, будем называть функцию Н1(и, г) вида

к1 (и, г) = ехр{/ик1г}, где величина к1 определена выше методом моментов и имеет вид

к1 =ц ЯВЕ = ц(1 -Я(0)).

6.1. Асимптотика второго порядка Для построения асимптотики второго порядка к2(и, г) в уравнении (4)

дН^ = н(и, гш + ц(е/“ -1)В}

дг

выполним замену

Н(и, г) = Н2 (и, г)ехр(]ик}г). (19)

Тогда для Н2и, г) получим уравнение

НР = Н2 (и, г) { + ц{ -1)В - /иК/}, (20)

где / - диагональная единичная матрица.

В силу замены (19) начальное условие для решения Н2(и, /) уравнения (20) то же самое, что и для функции Н(и, /) в задаче (4):

Н2(и, 0 = Я. (21)

В уравнении (20), обозначив є2 = 1/Т, выполнив замены

/є2 = т, и = є^, Н2(и, /) = -Р2(^, т, є), (22)

получим уравнение

є2 д^2 (дТ т, є) = Е2 (w, т, є) {б + ц(е-1)В - I} . (23)

Это уравнение решим в два этапа.

Этап 1. Решение -Р2(^, т, є) уравнения (23) запишем в виде

(w, т, є) = Ф2 (w, т){Я + ]єм>/} + 0(є2) (24)

и найдём вектор/ а скалярную функцию Ф2(^,т) определим ниже на втором этапе. Перепишем уравнение (23) в виде

0(є2) = (м>, т, є) { + цjєwB - jєwкlI} = (Я + ]єм>/) {б + jєw[цB - К^І ]} =

= Яб + у^Я[цВ - V] + ]єм>/б = ]єм>{/б + Я(цВ - V)} ,

где учтено, что Яб = 0.

Отсюда получаем, что вектор / является решением неоднородной системы

/б + Я(цВ -V) = 0. (25)

В силу того, что б - вырожденная матрица, на / для его однозначного определения, можно наложить дополнительное условие. Наложим его в виде

/ Е = 0. (26)

Этап 2. Умножая дифференциально-матричное уравнение (23) на Е, получим

є2 ^тє) Е = (м>,т,є){бЕ + ц{в]єк -1)ВТ -]єм>к1Е} =

=*(,,,.> е+ц &£ ве }+0<л.

Подставляя сюда разложение (24), получим

є2 дФ^т) ЯЕ = Ф2 (м>,т)(Я + ]єм>/) <|ує^(цБ - к^І)Е + ц ^2— ВЕ| =

= Ф2 (w, т) {уєц>Я(цВ - к1І)Е + ц(^ ЯВЕ + (]єм>)2 /(цВ - к1І)Е} + 0(є3) =

= ф 2(w, т)^^{ЦЯВЕ + 2 ^ цЖ} + 0(є3).

Из этого равенства запишем уравнение, определяющее скалярную функцию Ф2^, т):

2

дФ 2(w, т) (jw)

—2“т = Ф2 (w, т)^- к2,

дт 2

где к2 = цЯВЕ + 2ц/ВЕ = к + 2ц/ВЕ. (27)

Очевидно, что Ф2(У, т) имеет вид

I ( jw)2

Ф2 (w, т) = exp j 2 К2т

Подставляя это выражение в (24), получим

F2 (w, т, e) E = Ф2 (w, t){RE + JewfE} + O(e3) =

Ф2^, т) + O(e3) = exp jjp- к2т^| + O(e3) .

Выполнив здесь обратные к (22) замены, получим

H2 (u, т)E = exp jK2tj + O ^Tj. (28)

Подставляя это выражение в (19), запишем асимптотику h2(u, t) второго порядка для характеристической функции величины n(t)

h2(u,t) = expjJuKit + (J2-K2tj. (29)

Здесь к2 определяется равенством (27), а вектор f определяется системой (25) -(26).

Отсюда следует, что при больших t D{t}=K2t. Очевидно, что если fBE = - f (0) Ф 0 , то поток n(t) не пуассоновский, так как нарушено его необходимое условие M{n(t)} Ф D{n(t)}.

6.2. Нахождение вектора f В явном виде система (25) имеет вид

-X(1 - Го) f (0) + yf (1) + Ц(1) - KiR(0) = 0 ,

X(1 - Г0) f (0) - [X(1 - ri) + y]f (1) + yf (2) + yR (2) - KiR(1) = 0 , (30)

X(1 - г-1 ) f (i -1) - [X(1 - г ) + y] f (i) + yf (i + 1) + yR (i + 1) - K1(i) = 0,

Суммируя первые i уравнений этой системы, получим

-X(1 - Г0) f (0) + yf (1) + yR (1) - K1R (0) = 0,

-X(1 - Г1) f (1) + yf (2) + y[ R(1) + R(2)] - K1 [ R(0) + R(1)] = 0, (31)

-X(1 - г-1) f (i -1) + yf (i) + y£ R(v) -K1 £ R(v) = 0,

v=1 v=0

откуда получаем рекуррентное соотношение для /г):

/(0 = Р(1 - Г-)/(I -1) + ^ X1 Я(у) -^Я(у). (32)

ц v=0 v=1

Введём обозначение

К г -1 г ¿-1 г

6(г) = ^ X ЯМ - XЯМ = (1 -Я(0))X Я(V) - Xям =

ц v=0 v=1 v=0 v=1

г-1 I

= Я(0) - Я (г) - Я(0) X Я(v) = Я(0^ Я(v) - Я(г). (33)

v=0 v=i

Таким образом, (32) принимает вид

I

/(г) = р(1 - Г-1)/(г -1) + 6(0, Р = Уц, 6(г) = Я(0^ Я(v) - Я(г).

v=i

Отсюда имеем

/ (1) = р(1 - г0) / (0) + 6(1),

/ (2) = р(1 - г1) / (1) +6(2) = р(1 - г1)[ р(1 - Г0) / (0) + 6(1)] +6(2) =

= р(1 - /)р(1 - /)/(0) + р(1 - /)6(1) +6(2),

/ (3) = р(1 - /2) / (2) + / (3) =

= р(1 - /2)[ р(1 - /1) р(1 - /0) / (0) + р(1 - /1) 6(1) + 6(2)] + 6(3) =

= р(1 - /2)р(1 - /)р(1 - /)/(0) + р(1 - /)р(1 - / )6(1) + р(1 - /2)6(2) + 6(3) .

В общем виде получаем

/(г) = /(0)рг П (1 - /) + X 6МП ^ - /к) + 6(г). (34)

Для нахождения/(0) используем условие/ Е = 0, то есть X /(0 = 0 . Тогда

г=0

I I Г г -1 г -1 г-1 1

0 = X /(г) = /(0) + X1 /(0)рг П А - /к) + X 6МП (: - /к) + 6(г) [ =

і=1 I к=0 v=1 к^

ад і-1 І ад Г і-1 і-1

= / (0) 11 + Xpг П ^ - /к )^ + X^X 6(v)П ^ - /к) + 6(0[-. (35)

I г =1 к=0 \ г=1 и=1 к=v \

Отсюда имеем окончательно

I Г г-1 г -1 1

XIX 6мП (1- /ъ)+6(г)\

-/(0) = г= lv=1 I к=^---------------\ = /ВЕ, (36)

1+Xpг п а - /к)

г =1 к =0

что и определяет к2, а вместе с ним и Б{п(г)}.

6.3. Частный случай Г0, если г < N,

Пусть /г =

11, если г = N.

В этом случае Я(г) = Я(0)рг, Я(0) = = 1 рр+1 .

Хр

к=0

к

1 -р

Далее имеем

ДО = /(0)рг + ЕЬ^) + Ь(') = /(0)рг + ЕьМ, г < ж,

v=l

ж ж '

0 = X / (О = / (0)+/ (0)Е рг + Е X Ь(у) =

г=0 '=1 '=0 v=0

ж ж ж ж ж

=/ (0)Е рг+Е ь(v)Е 1=/ (0)Е рг+Е (ж +1 -V )Ь^).

'=0 v=0 г=v г=0 v=0

ж

Е (ж+1 - 0Ь(0

Отсюда - / (0) = ---ж-------•

Е Р

г=0

Вычислим теперь величины Ь(г). Имеем

ж ж Р - рж+1

Ь(г) = Л(0)Е R(v) - Я(0 = я 2(0)ЕpV- я(0)р' = я2(0)^-----------Я(0)рг =

v=г v=г 1-Р

Г 1 -пж+1-г 1 N -пж+1-г 1 _ж+1

=Я(0)рг | я(°)^{^ -1]=Я(°)рг -1|=Я(°)(рг - »^-р+т.

Итак, окончательно,

ж

Е (ж+1 - 0Ь(0 ж+1

-/(0) = ^----ж------------, Ь(г) = Я(0)(рг - 1)-РжГ. (37)

Ер' 1-Р

г=0

Если / (0) Ф 0, то выходящий поток не является пуассоновским.

Заключение

Построена математическая модель торговой точки в виде системы массового обслуживания типа М/М/ да с отказами от постановки в очередь. Выполнено исследование выходящего потока обслуженных требований. Определено среднее число обслуженных заявок и построено финальное распределение вероятностей числа заявок в системе.

ЛИТЕРАТУРА

1. Лопухова С.В. Асимптотические и численные методы исследования специальных потоков однородных событий: Автореф. дис. ... канд. физ.-мат. наук. Томск, 2008.

2. Назаров А.А., Терпугов А.Ф. Теория массового обслуживания. Томск: Изд-во НТЛ, 2004.

3. Назаров А.А. Асимптотический анализ марковизируемых систем. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1991.

Статья представлена кафедрой программной инженерии факультета информатики Томского государственного университета. Поступила в редакцию 13 октября 2008 г.