Научная статья на тему 'Оптимальная аподизация апертуры детектора излучения в радиометрических системах'

Оптимальная аподизация апертуры детектора излучения в радиометрических системах Текст научной статьи по специальности «Математика»

CC BY
101
17
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Аннотация научной статьи по математике, автор научной работы — Недавний Олег Иванович, Солодушкин Владимир Иванович, Удод Виктор Анатольевич

В одномерном варианте решена задача оптимального выбора аподизирующей функции апертуры детектора излучения, применяемого для регистрации излучения в радиометрических системах радиационного контроля. Представлена геометрическая интерпретация основного расчетного соотношения. Указана область использования полученных результатов.

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

Похожие темы научных работ по математике , автор научной работы — Недавний Олег Иванович, Солодушкин Владимир Иванович, Удод Виктор Анатольевич

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.
i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.

The optimal apodization radiation detectors aperture in radiometrical systems

The optimal choice problem of function apodization for radiation detector's aperture that applied to registration of radiation in radiometrical control has been solved for a one-dimensional case. The geometrical interpretation of the main calculating formula are presented. The field of using obtained results are pointed.

Текст научной работы на тему «Оптимальная аподизация апертуры детектора излучения в радиометрических системах»

ЛИТЕРАТУРА

1.JalnA.,FarrokfmiaF. Unsupervised texture segmentation using Gabor filters // Pattern Recognition. 1991. Vol. 24. № 12.P. 1167-1186.

2. Hofinann T., Puzicha J., Buhman J. Unsupervised texture segmentation in a deterministic annealing framework // IEEE Trans, on PAMI.

1998. Vol. 20. № 8. P. 803-818.

3. Daugman J. Uncertanity relation /or resolution in space, spatial frequency, and orientation optimized by two-dimiensional visual cortical

filters // Journal of the optical society Am. A. 1985. Vol. 2. № 7. P. 1160-1169.

4. Айвазян C.A., Мхитарян B.C. Прикладная статистика и основы эконометрики. М.: ЮНИТИ, 1998. 1022 с.

5. Ojala T., Pietikùinen M. Unsupervised texture segmentation using feature distributions // Pattern Recognition. 1999. Vol. 32. № 3.

6. Brodatz P. Textures: A Photographic album for artists and designers. New York: Dover Publications, 1966.

Статья представлена кафедрой высшей математики и математического моделирования факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 21 февраля 2000 г.

УДК 620.179.152

О. И. Недавний, В. И. Солодушкин, В. А. Удод

ОПТИМАЛЬНАЯ АПОДИЗАЦИЯ АПЕРТУРЫ ДЕТЕКТОРА ИЗЛУЧЕНИЯ В РАДИОМЕТРИЧЕСКИХ СИСТЕМАХ

В одномерном варианте решена задача оптимального выбора аподизирующей функции апертуры детектора излучения, применяемого для регистрации излучения в радиометрических системах радиационного контроля. Представлена геометрическая интерпретация основного расчетного соотношения. Указана область использования полученных результатов.

Проводимые в настоящей работе исследования относятся к радиометрическим системам неразрушающего радиационного контроля. Принцип действия данных систем состоит в следующем [1]. Пучок квантов, испускаемых источником рентгеновского или у-излучения, сканирует по объекту контроля (ОК), последовательно просвечивая все его участки. Излучение, прошедшее через контролируемый участок, регистрируется детектором и далее преобразуется к виду, удобному для дальнейшей обработки у (иди), оконечной регистрации.,Пр результатам регистрации оцератором чьцюсигс* рещедир q состоянии внутренней структуры ОК, в частности, о наличии (либо отсутствии) в ОК инородных включений (ИВ).

При проектировании радиометрической системы одной из основных является задача оптимального выбора апертуры детектора излучения [2]. Ранее эта задача решалась путем оптимального выбора отдельных параметров апертур, имеющих заданную форму и обладающих в пределах рабочей зоны детектора однородной чувствительностью к падающему излучению [2—6]. Между тем, естественно предположить, что для обнаружения системой ИВ сложной конфигурации целесообразно использовать детекторы с неоднородной (аподизированной) чувствительностью апертуры. На практике простейшие детекторы такого типа используются в некоторых системах рентгеновской вычислительной томографии для повышения пространственного разрешения томограмм [7].

Целью настоящей работы является оптимальный (в смысле заданного критерия) выбор аподизирующей функции (АФ) апертуры детектора радиометрической системы, предназначенной для обнаружения в ОК плотных ИВ сложной конфигурации. Ввиду сложности рассматриваемой задачи ограничимся одномерным вариантом при еб решении.

Постановка оптимизационной задачи

Для формализованного описания исследуемой задачи сделаем следующие предположения:

1) поток квантов излучения - пуассоновский;

2) сканирование ОК осуществляется дискретно с малым шагом (малым по сравнению с поперечными размерами обнаруживаемого ИВ). При этом само сканирование происходит следующим образом. Пучок излучения фиксируется в некоторой позиции на ОК и просвечивает его в течение определенного промежутка времени. По истечении этого времени пучок перемещается в следующую позицию (совершает шаг) и процесс повторяется;

3) детектор регистрирует излучение в счетном режиме, т.е. измеряет число квантов за фиксированный промежуток времени и притом тогда, когда пучок излучения находится в какой-то фиксированной позиции;

4) аподизированная апертура технически реализована в виде однородного филирующего поглотителя (ФП) излучения, имеющего переменную толщину и установленного за ОК перед детектором.

Одним из распространенных критериев качества функционирования радиометрических систем радиационного контроля является отношение сигнал / шум (ОСШ) [2], которое для счетного режима регистрации излучения представимо в виде

M.HL, m

а

где AN -максимальное изменение среднего числа кван-

тов излучения, регистрируемых детектором, обусловленное наличием ИВ в ОК (сигнал); а— среднее квадратиче-ское отклонение числа квантов, регистрируемых детектором при отсутствии ИВ в ОК (шум).

Используем в дальнейшем условие максимума ОСШ (1) как критерий оптимального выбора АФ апертуры детектора радиометрической системы. С учетом введенных предположений 1 - 4 запишем развернутое выражение для ОСШ (1) в одномерном варианте

]ф(;е)/(*)А А/ = с-._-(2)

fl/(X)dX

Здесь с = JbN0zx exp^- j; Ь - ширина апертуры

детектора (совпадает с шириной ИВ); А6 - плотность потока квантов излучения вблизи детектора при отсутствии ОК; £ - эффективность регистрации излучения детектором; г- время измерения числа квантов детектором (постоянное на каждом шаге сканирования ОК); щ - линейный коэффициент ослабления (JIKO) излучения для материала OK; Н - толщина ОК; ^з(х)=1-ехр(-/^<Д)) -функция ИВ, означающая для фиксированного х вероятность события {при движении кванта вдоль прямой, проходящей через точку * параллельно оси пучка излучения, он вступает во взаимодействие с материалом ИВ};

^Нг-Иг*0; Мг~ ЛКО ИВ; £0(;с) - лучевой размер ИВ (протяженность ИВ вдоль направления распространения пучка излучения); Дх)=ехр(-//3 р(х)) - АФ апертуры детектора, означающая для фиксированного х вероятность события {при движении кванта вдоль прямой, проходящей через точку х параллельно оси пучка излучения, он не вступает во взаимодействие с материалом ФП}; //3 - ЛКО ФП; р(х)~ лучевой размер ФП.

Задача заключается в отыскании АФ /х), доставляющей максимум выражению (2) дня заданной функции ИВ фс). Задачу будем решать в следующей математической постановке. Требуется найти максимум функционала

Jq>(;0/(x)&

F{f) =

J f{x)dx

(3)

f <pOc)/(*)A

]f(x)dx

(7)

Для V/еЛ будет выполняться неравенство

-ме а

J/(x)í£c>J/(x)í&, из которого вытекает справед-

ливость неравенства

1 <P(x)f(x)dx

J]/(x)dx

(8)

для V /ре В. Из (8) следует очевидный вывод: максимум функционала (7) следует искать на множестве А0 = = |{/|/ н0вне(0,а)}, т.е. среди таких /еА, которые тождественно обращаются в нуль вне

интервала (0,а). В этЬм случае неравенство (8) перейдет в равенство.

Проведенное выше исследование позволяет свести исходную оптимизационную задачу (3)-(5) к задаче максимизации функционала

¡ф)Дх)сЬс

ÍJf(x)dx

(9)

по всевозможным функциям {/ е I, (-оо,+оо) | 0 < / < 1 почти всюду} (4) для заданной функции

Ф € В = {ф е с(-оо,+оо)|0 < / < 1;

ф в 0 вне (0, а), а > 0; ф" < 0 на (0, а)}, (5) где параметр а физически означает длину ИВ (его протяженность в направлении сканирования ОК). Связь между ОСШ (2) и функционалом (3) при этом следующая:

..........М-=>сР(/-)..........(6У

Сформулированная оптимизационная задача (3) - (5) является неклассической вариационной задачей, что предполагает использование специфических подходов для ее решения.

Решение оптимизационной задачи

Функция (ре В всюду непрерывна и ограничена, а функция / е I, (-оо,+оо), поэтому, согласно [8], произведение Уф е I, (~оо,+оо). Так как (ре В тождественно обращается в нуль вне интервала (0, а), то для функционала (3) будем иметь

при тех же ограничениях (4), (5). Легко видеть, что при этом будет выполняться равенство

шах F(/) = шах F(f) = max F0(f). (10)

/еА /еА„ /¿А

Обозначим: Dx ={*б[0,а]| ф(х) £ X }; S(X) = jdx -мера Лебега множества Dk ;Л0 =max <р(х); х0 е [0;а] та-

I о.а]

ково, что (¡о(х0)=Л0 (такое х0 существует и единственно, т.к. ср" (*)<0 на (0;а)); Хох (х)_ характеристическая функция множества х\{Х) и х£Л) - два корня уравнения q>(х)=Л, где 0<ti(A)<C2(Луса, Яе(0;А0). Если Яе(0; Лп), тс x¡(Á) - возрастающая функция, а х/Л) - убывающая, х, (0 + 0) = 0, х2(0-0) = а, Х](Я,0 -0)=хА X0 +0)= х0. Заметим, что S(X) - непрерывная убывающая функция при Ле(0; Л0) и 5(ОЮ)=а, S( Л0 -0)=0.

Пусть feA и | f(x)cix=cu 0<С\<а. Так как 5(Я) о

непрерывна и 0<S(A)<a, то найдется такое Л, что 5(Я)=с|. Для этого Л оценим разность: 1 ("

ПЛ = -7= /ф(*)<&Х А (x)dx-VCI Vo

- ]ф(х)/(х)л1 = -L )(Xd¡ (х) - f(x)Mx)dx = 0 / VCI 0

г- J(Xz>AM-/(*)M*)<&-

Vе! U-

Z3o\Dx 1

1

(

fX(l-/(*)) A- ¡Xf(x)dx) Vci VA Д,\о>.

X ¡dx-X ¡f(x)dx-X ¡f(x)dx

V I>, ¡b. D0\D>.

\

Ai

XS(X)-X ¡f(x)dx =-L Xcx-X\f{x)dx

Vcl

= —== (Xcj -Xc|) = 0. Vе.

Следовательно, ) ^ ^(/)• Это неравенство

превращается в равенство тогда и только тогда, когда выполняется система равенств:

Данная система равенств будет справедлива лишь в том случае, когда /= почти всюду (с точностью

до множества нулевой меры).

Из проведенного анализа вытекает следующий вывод: максимум функционала /"о достигается только на функциях вида

/ = 3^- (П)

При подстановке (11) в (9) получаем одномерную функцию

|<р(х)Л

и

«(X)=F0(Xfl,) =

¡h

IF

(12)

Задача поиска экстремали функционала Ец теперь сводится к отысканию точки максимума функции и(Я). Покажем, чге такое-Я существует м единстве»^ те. покажем, что экстремам ^ единственна, и выведем уравнение, ю которого находится оптимальное значение Я.

Для удобства дальнейшего анализа представим (12) в следующей эквивалентной форме:

iНе можете найти то, что вам нужно? Попробуйте сервис подбора литературы.

и(Я) =

|0(Ф(х)-Х.)(р(лг)Л

|б(Ф(;с)-Х)Л

где 0(0 - единичная функция Хевисайда: д/Л= П. если /¿О, К) \0, если КО.'

Поэтому (с учетом того, что в' (0=<5(0 - дельта-функция Дирака) получаем:

(7б(ф(х) - Х)сЬс)( |ф(х)Л - 2Х \сЬс)

и\Х) = -------------- 01--------

VF

Но при Я € (0; Я0 ) выполняются соотношения [9]:

1 1 >0;

/5(ср(х)-Х)Л = гт

|ф'(х,(А.))| \<?ХхЛЩ

т(Х) <, JS(X)dt - XS(X) = S(X)(X0 -2Х).

Следовательно, при Я е ; Я0 ) с учетом того, что

5(Я>0, получим: т(Л)^3(Л)(Ла -2Л)<0. А так как т(Я) не-

Я

прерывна и т(0)= \S(t)dt > 0, то на интервале (0;—) о 2

существует корень уравнения от(Я)=0. Покажем, что этот корень единственный на (0; Яо). Найдем производные функции /я(Я):

т'(Х) = -S(X) - S(X) - XS'(X) = -2S(X) - XS'(X),

m\X) = -3S'(.X)-XS"(X). Как следует из [9],

—(

или S "(к) =

1

1

Ф'(*,(Х)) ф'(*2(Ь))

(p"(x,(X))x;(V (р'(х2(Х))х'2(Х)

>0.

След овательно, знак производной и'(Л) совпадает со

знаком функции т(Х) = гфи Хе

ох ¡К

е (0;Х0). Покажем, что уравнение /и(Я)=0 имеет единственное решение Л=р на интервале (0; ЯоХ и этот корень р доставляет функции а(Я) глобальный максимум. Заметом,

«по от(Я) = \ 5(г)£Й - Я5(Я). Так как 5(Я) убывает, то

(Ф'(^М))2 (ф'(*2(Щ2 Но так как *|(Я) возрастает при Яе(0,Яо), х2(Л) -убывает, а ф'<0, то 5"(Х)<0 при Яе(Ь, Яо). г!о-

этому т" = -3£'(Х)-Х£"(Х)>0, таккак 5'(Л)<0. Следовательно, функция т(л) выпукла вниз и поэтому у нее есть единственная точка минимума Л= =Я[. Найдем значение функции т(Л) при Я=Яо: V)

т(Х0)= |$(г)й-Х05(Х0) = 0-Х00 = 0.

Таким образом, т(Я) убывает на (0; Л{) от значения т(0)Х) до своего минимального значения т(Л\\ а затем на (Я(_ Хо) возрастает от /я(Я0<О до /и(Яо)=0, поэтому на (0; Я,) существует единственный корень р уравнения т(Лу=0, а на интервале (д Яо) т(Я) отрицательна, т.е. уравнение /я(Я)=0' имеет единственный корень р на (0; Яо). Причем т(Я)>0 на (0; р) и т(Я)<0 при Ле(/г, Яо). Следовательно, функция и(Я) возрастает при Яе(0^>) и убывает при Яе(дЯо), поэтому р - единственная точка глобального максимума функции «(Я). Это значит, что = Хг>„ ~ единственная функция,

доставляющая максимум функционалам и Щ). Экстремальное значение р находится из уравнения *:<р)

|Ф(х)Л = 2р(х2(р)-х|(р)). (13) *|(р>

У=ф(х)

х,(р) хо Хг(р; а

Рис. 1. К расчету значения р

Геометрически это означает, что площади фигур Фу и Фг (рис. 1) равны, где Фг={(х, у)\р£у<,д^хУ, хе[0, а]} -часть подграфика функции у=<((х), лежащая выше прямой^/?, а Фх={{х, у)\0<у<р, х{(р)<х<хЖр)} - грямоуголь-ник, заключенный между прямыми у=р, у=0,

При этом значении р, учитывая (6), (9), (10), получим максимальную величину ОСШ (2):

Мт=2ср^хг{р)-хх{р). (14)

Заключение

В рамках принятых предположений в результате решения оптимизационной задачи (3) - (5) нами получено, что оптимальная АФ апертуры детектора радиометриче-ской системы единственна и имеет следующий вид:

/ор,(*) = ЗСДрМ. (15)

т.е. является характеристической функцией множества £>р = {* е [О, о]|ф(х) > р}, где [0, а]=5ирр <р - носитель

функции ИВ <р{х\ а параметр р находится ш уравнения (13). При этом максимальное значение ООН равно (14).

Примечательной особенностью полученной АФ (15) является то, что соответствующая ей апертура детектора обладает однородной чувствительностью к излучению, однако не по всему носителю функции ИВ (как это рекомендовано в [10]), а лишь в той его части, где лучевой размер ИВ больше некоторого критического значения, определяемого через параметр р из уравнения (13).

Полученные результаты могут быть использованы для оценки предельных возможностей радиометрических систем контроля, разрабатываемых для обнаружения в изделиях плотных ИВ сложной конфигурации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Приборы для неразрушакмцего контроля материалов и изделий. В 2-х книгах. Кн. 1 / Под ред. В.В. Клюева. 2-е изд., перераб. и доп.

М.: Машиностроение, 1986.488 с.

2. Горбунов В.И., Покровский A.B. Радиометрические системы радиационного контроля. М.: Атомиздат, 1979.224 с.

3. Горбунов В.И., Завъяпкин Ф.М., Соподушкин В.И., Удод В.А. Выбор параметров радиометрических систем с дискретным сканирова-

нием радиационного поля // Автометрия. 1987. № 4. С. 21-27.

4. Горбунов В.И., Горбунов В.М., Завьялкин Ф.М., Квасница М.С. Влияние усреднения измеряемой характеристики изделия в поле

зрения детектора на выбор радиометрического устройства// Дефектоскопия. 1976. № 2. С. 117-127.

5. Завьялкин Ф.М., Удод В.А. Двухапертурное кодирование проекций II Автометрия. 1990. № 2. С. 91-93.

6. Недавний О.И., Максименко Б.В., Осипов СЛ., Удод В.А. Многоканальные радиометрические системы контроля с полутоновой визуализа-

цией теневых радиационных изображений. 4.2. Расчет оптимальных параметров систем // Дефектоскопия. 1993. № 7. С. 79-85.

7. R.M. Henkelman, B.R. Preiss. A nonuniform detector aperture for CT-IN // J. comput. assist tomogr. 1981. Vol. 5. № 3. P. 401-408.

8. Рудин У. Основы математического анализа. Пер. с англ. В.П. Хавина. М.: Мир, 1966. 320 с. ' 9.' Троицкий"ИИ. "Статистическая теория томографии. М: РаДиб и связ1, Г989.240 Ú.

ХО.СпхфцеваЛ.В. Разработка и исследование алгоритмов обнаружения дефектов в радиационной дефектоскопии: Аягореф. канн дис. Томск, 1981.

Статья представлена кафедрой исследования операций факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 февраля 2000г.

УДК 519.24

Б.Е. Тривоженко

ВЫДЕЛЕНИЕ ТРЕНДА ВРЕМЕННОГО РЯДА СПЛАЙНАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЕФЕКТА ДВА

Рассматривается задача выделения тренда временного ряда, когд а моменты измерений его значений образуют случайный поток событий и неизвестны. Для рассматриваемого случая получены рекуррентные алгоритмы оценки коэффициентов сплайна и исследованы их статистические свойства. Получено выражение для средней интегральной погрешности выделения тренда.

Одна из задач анализа функционирования сложных ошибками измерений, внешними помехами и т.д. Для технических систем - выделение тренда телеметрируемых выделения тренда временного ряда производятся параметров, характеризующих состояние системы в неко- в некоторые моменты времени t,, /2,..., кото-торые дискретные моменты времени. Определяющими факторами при решении этой задачи являются:

1) выбор математической модели, описывающей тренд наблюдаемых значений случайного процесса;

2) задание схемы наблюдений, на основе анализа которых этот тренд выделяется.

В работах по анализу временных рядов (например, [1,2]) рассматривается случай, когда измерения значений случайного процесса производятся в мометы времени, отстоящие на одинаковую величину друг от друга. В предлагаемой работе измерение значений наблюдаемого процесса производится в некоторые случайные моменты времени, которые предполагаются неизвестными.

Пусть имеется временной рад у(0 = /(/) + п((), являющийся суммой некоторой детерминированной функции /(0, называемой трендом процесса у((), и п(() -случайной функцией, наличие которой обусловлено

рые являются случайными величинами и образуют простейший поток событий с параметром X. Предполагается, что помехи измерений и, = ), /' = 1, 2,... - независимые одинаково распределённые величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией а2. Относительно тренда предполагается, что он представляет собой сплайн второго порядка. В этом случае время наблюдения разбивается на интервалы одинаковой длины Т и на к-м интервале тренд представляется в виде полинома второго

порядка fk (0 = ак + Ь„ - + с„

Считается, что

на каждом временном интервале отсчет времени ведётся от начала этого интервала. Эш полиномы должны быть «сшиты» на концах, т.е. конец (к -1) - го отрезка

i Надоели баннеры? Вы всегда можете отключить рекламу.