Нахождение оптимальной функции пространственной чувствительности детектора излучения с учетом объемности объекта контроля Текст научной статьи по специальности «Математика»

ВЕСТНИК ТОМСКОГО ГОСУДАРСТВЕННОГО УНИВЕРСИТЕТА

2008 Управление, вычислительная техника и информатика № 2(3)

УДК 620.179.152

В.И. Солодушкин НАХОЖДЕНИЕ ОПТИМАЛЬНОЙ ФУНКЦИИ ПРОСТРАНСТВЕННОЙ ЧУВСТВИТЕЛЬНОСТИ ДЕТЕКТОРА ИЗЛУЧЕНИЯ С УЧЁТОМ ОБЪЁМНОСТИ ОБЪЕКТА КОНТРОЛЯ

В работе решается задача оптимального выбора функции пространственной чувствительности детектора применительно к радиометрической системе, предназначенной для обнаружения инородных включений в объекте контроля (е учетом их трехмерной объемности). Дан полный анализ влияния всевозможных сложнопрофильных барьеров на обнаружение (выявление) произвольных однородных дефектов (неоднородностей).

Ключевые слова: оптимальные функции пространственной чувствительности, объект контроля, однородные дефекты.

При проектировании радиометрических систем радиационного контроля одной из основных является задача выбора функции пространственной чувствительности детектора (ФПЧД) ионизирующего излучения [1 - 4]. Ранее эта задача решалась путем оптимального выбора отдельных параметров апертур при использовании детекторов с однородной (в пределах его рабочей зоны) чувствительностью к падающему на него излучению [5 - 8]. Между тем, естественно предположить, что для эффективного обнаружения радиометрической системой в объекте контроля (ОК) инородных включений (ИВ) сложной конфигурации целесообразно использовать детекторы с неоднородной чувствительностью (ДНЧ). На практике такие детекторы используются в некоторых системах рентгеновской вычислительной томографии [1].

Между тем, насколько известно, теоретически не исследованы предельные возможности ДНЧ и не найдена оптимальная ФПЧД.

1. Постановка оптимизационной задачи

Указанную задачу будем решать при следующих предположениях и ограничениях:

1) Источник излучения - моноэнергетический, мононаправленный, пуассонов-ский.

2) Барьер (ОК) - однородный, сложнопрофильный с априорно известными геометрическими характеристиками и с линейным коэффициентом ослабления (ЛКО) излучения р,!.

3) ИВ (дефект) - произвольное трехмерное однородное тело, с заданными формой и размерами, ограниченное в пространстве (локальное образование), однородное. ЛКО ИВ - р2 .

4) ФП - однородный фильтрующий поглотитель с переменной толщиной, ЛКО ФП - р3.

5) ОК перемещается дискретно с малым (по сравнению с размерами ИВ) шагом.

6) Время измерения потока излучения детектором постоянно на каждом шаге и равно т.

7) Критерий качества - отношение сигнал/шум (ОСШ) [9, 10]:

М = —, (1)

о

где ДЫ - изменение среднего числа квантов, регистрируемых детектором, обусловленное наличием ИВ в ОК (сигнал); о - среднее квадратическое отклонение числа квантов, регистрируемых детектором при отсутствии ИВ в ОК (шум).

Введем декартову систему координат. Плоскость ХОУ расположим на рабочей поверхности детектора, ось 02 направим перпендикулярно плоскости ХОУ (если излучение мононаправлено, то параллельно падающему пучку излучения).

Зададим геометрические условия контроля: лучевую длину вдоль прямой, параллельной оси 02 и проходящей через точку (х,у,0), для объекта контроля обозначим Н(х,у); для инородного включения - g(x,y); для фильтрующего поглотителя - р(х,у).

Пусть О - рабочая поверхность детектора излучения (О - подмножество плоскости ОХУ). Предположим, что источник излучения мононаправленный с направлением, параллельным оси 02. Тогда среднее число квантов излучения, зарегистрированных детектором за время т при отсутствии ИВ, согласно [5, 10, 11]

N = Ы0 те Цехр(-ц1 Н(х,у) - ц3 р(х , у)) dxdy ,

о

где р = р(х, у) - лучевой размер ФП , ц3 - ЛКО ФП , Ы0 - плотность потока излучения, є - эффективность регистрации излучения детектором. Среднее число зарегистрированных детектором квантов за время т при наличии ИВ составит:

N2 = N0 те Цехр(^з р(х,у) - Ні Н(х,у) + (Ні - ^2 )Б(х,.у)) dxdy.

а

Тогда величина сигнала от дефекта

ДЫ = - N2

или в развернутом виде

ДЫ = N0 ет Ц( |1 - ехр(-ц g(х, у) )ехр(- Ні Н(х,у) - ц р(х, y))dxdy, (2)

о

где н = Ц2 - Ні. Среднее квадратическое отклонение числа квантов, регистрируемых детектором, для пуассоновского потока излучения

а =д/N = /^0тє]|ехр(-ц1Н(х,у)-Цзр(х,у))ёхёу . (3)

V а

При подстановке (2) , (3) в (1) получаем развернутое выражение для ОСШ:

_____ ЯІ 1 - ехР(-Н И(X У))| ехР(-Нін(X У)- НзР(х, УЇ)^У

М = — = о-------- --------- . (4)

° у ехр(-НіЯ (х, у) -Нз р( х, у ))dxdy

Таким образом, в математическом отношении стоящая перед нами задача заключается в нахождении максимума выражения (4) по всем неотрицательным, измеримым по Лебегу [12, 13] функциям р(х,у).

Обозначим

/ (х, у) = ехр(-ц3р X, у)),

Ф1 (X У) = exp(-H!H(X, у)), Ф2 (X, у) = |1- ехр(-ц g(X, у)\, с N0st .

Введем нелинейный функционал:

i i f 'Ф1 'Ф2 dxdy F (f) =— , (5)

I I f •ф1 dxdy

где f e G = {f |0 < f < 1, f- измеримая по Лебегу функция f : R2 ^ R1}, ф1 e G = f: R2 ^ R'\0 < f < 1, f - измеримая по Лебегу функция}, Ф2 е G2 = {f: R2 ^ R11 f - ограниченная неотрицательная функция, принимающая положительные значения на ограниченном с ненулевой мерой множестве, измеримая по Лебегу функция}.

2. Решение оптимизационной задачи

Зафиксируем функции ф: и ф2, тогда получим нелинейный функционал

F: G ^ R1.

Из (4) и (5) следует, что ОСШ равно

М = cF(f).

Таким образом, необходимо найти максимум функционала F на множестве G, а также необходимо найти множество экстремалей этого функционала (множество функций, где функционал принимает максимальное значение). Обозначим

D = {(х, у)| ф2 (х, у) > 0};

L = sup ф2, хD - характеристическая функция множества D. Так как ф2 - финитная, то множество D - ограничено (D ей), следовательно,

v0 (D) = Цdxdy < +да,

D

а так как ф2 ограничена и неотрицательна, то 0 < L < +да .

Покажем, что функционал F (f) ограничен сверху. Действительно,

Я / 'Ф1 'Ф2 dxdy Ц / •ф1 -ф2 dxdy

F (/) = R_______________ = __________________________________D_ <

/Я/•ф1 dxdy Я/•ф1 dxdy + Я /•ф1 dxdy

Vr2 Vd R 2 \ D

Яf ' Ф1 'Ф2 dxdy Я f 'Ф1 dxdy

= F (f 'Xd ) - L' = = L'./Яf 'Ф1 dxdy -

f' ф1 dxdy jj f 'ф1 dxdy V d

< L ■ Jjj dxdy = L-<Jv0 (D) <+ж .

Отсюда вытекает, что функционал F ограничен на G и 3 sup F(f) = F0 <+ж

Также получаем, что

F(/) < F(/•Xd) и равенство F (/) = F (/ •Xd )

выполняется только для тех f для которых f = 0 на множестве R2 \ D (то есть / = / ^Xd с точностью до меры нуль). Кроме того, видим, что если множество

Р = { х, y) е D \ f (х, y) > 0} имеет нулевую меру, то F (f) = 0 . Отсюда можно сделать вывод: еслиf - экстремаль, то f (x,y) = f -Xd и v0 (P) > 0 . Поэтому везде в дальнейшем (не оговаривая особо) будем считать

/ = /•Xd и vo (P) > 0 .

Обозначим множество экстремалей:

G3 = {f е G\F (f) = F0 } .

Заметим, что если множество экстремалей G3 Ф 0 , то sup можно заменить на

f *G

max . Для любого Х> 0 введем множества

f Е G

Dx = {({У)1 Ф2(XУ)>M> Bx = {(xУ)l Ф2(xy) = M >

A = {({ y)l Ф2 (x y) ;

M = {f € f 3X> 0: f = x D,} , K = {f € { 3X> 0: f = x a, } ,

где xX - характеристическая функция множества X с R2 . Ясно, что D0 = D . Особо не оговаривая, будем считать, что две функции равны, если они совпадают с точностью до меры нуль (почти всюду).

Докажем, что G3 с MУ K . Доказательство состоит из двух частей:

1) V f е G ЗХ, 3 Б с Бх, такие, что

F (f) < F (х и в) , причем равенство достигается только тогда, когда

/ = X D U B .

Отсюда вытекает, что G3 состоит из функций вида Xdx и в, то есть G3 с G4 = {/ е G | 3 ^ м 3 B £ такие, что f = х^ ив }.

2) Докажем, что если f е G3, то 3 X такое, что f = хd или f = х^, то есть B = 0 или B = ВЛ (равенства здесь выполняются с точностью до меры нуль).

Поэтому

G3 с M U K .

Итак,

1) Обозначим

v(X) = Цdxdy , S (X) = v (DX) = jjdv = jj ф1 dxdy ,

X Dx DX

Sd (X) = v (AX) = jj d v = jj ф1 dxdy .

A%. A%.

Ясно, что v (Вх) = Sj (X) - S (X) ,

- непрерывная слева, S - непрерывная справа. Обозначим a = Ц f • ф: dxdy , S (0) = JJфxdxdy .

D D

Получим 0 < a < S (0), 0 < S (X) < S (X) < S (0).

Так как ф1 > 0 , то при Xt <Xx получим DXj с DX , следовательно, S (X) и

Sl (X) - невозрастающие функции и выполняется равенство

S(X-0)-S(X + 0) = S (X-0)-S (X + 0) = v(Вх).

Отсюда вытекает, что если площадь (мера Лебега) множества Бх равна нулю, то S и Sj непрерывны в точке X. Для заданной функции f выберем такие X и B с Вх, что a = S (X) + v (B). Покажем, что F (f) < F ( xDx и в). Для удобства обозначим Q = Dx У B . Тогда

! (

F if)- F(Xq ) = Яf • Ф1 • Ф2 dxdy - ЯФ1 • Ф2 dxdy

1

'•la

< _1_ \fa

< _1_ Va

A

_X_

-fa

Я f 'Ф1-Ф2 dxdy - Я(1 - f) Ф1 • Ф2 dxdy

,D\Q Q

f \

Я f-Ф1 -ф2 dxdy - Я ^ (1 - f) Ф1 dxdy U\Q q

( \

Я f • Ф1 -X dxdy - Я X- (1 - f) Ф1 dxdy d\q Q

\

X X

Я f •ф1 dxdy - Я Ф2 dxdy - Ц ф1 dxdy = —= (a - S (X) -v (B ))=-=■• 0 = 0 .

A в ) va Va

,D D B

То есть F(f) < F(Xq ). Если f e G3 ^ F(f) = F(Xq ), а это равенство верно только в том случае, когда выполнена система равенств:

Я(Ф2-Х)(!- f) Ф1 dxdy = 0

Q

Я (Х-ф2) f •ф1 dxdy = 0.

D\Q

Так как ф1 > 0 и ф2 (x, у) = Х при (x, у) е Вх , то данная система эквивалентна следующей:

' Я(! - f) dxdy = 0’

<DX

Я f dxdy = 0.

d \ A

Из этой системы вытекает [12 - 14]:

il, (х, у) е Dx,

f(х’у)=ln ( \ л

[О, (х,у)е D\ Ах.

Остается вопрос о значениях экстремали f е G3 на множестве Бх .

Но для экстремали f е G3

Я f -Ф! -Ф2 dxdy Я Ф1' ^2 dxdy + Х Я f -Фх dxdy

F (f ) = D = B ___ .

/Яf - ФХ dxdy ЯФХ dxdy + Яf -фх dxdy

\d bx

Обозначим

a = Я Ф1 ’ Фг dxdy , в = Ц ф[ dxdy , t = Ц f ■ ф[ dxdy , b = v (Bx) = Ц ф1 dxdy ,

Dx Dx Bx Bx

тогда F (f) =

VP + t

- функция от аргумента t, где t e [0; b], a > 0; P > 0; X > 0; b > 0 .

Исследуем на экстремум функцию

,4 a + Xt r ... dg Xt + (2^p-a)

g(t) = . на отрезке t e [0, bj. Производная — =------------- -.

vP + t dt 2л] (t + P)3

Поэтому, если 2^p-a> 0, то g(t) - возрастающая, и, следовательно, глобальный максимум функции достигается при t = b . Если 2^p-a< 0, то g (t) при возрастании t сначала убывает до значения t = a / п- 2р, а затем g (t) возрастает. То есть при 2^p-a < 0 функция принимает максимальное значение либо при t = 0, либо при t = b .

Таким образом, для оптимальной f е G3 имеем

Я f -Ф1 dxdy = 0 ,

вх

следовательно, f (x, y) = 0 при (x, y) e Bx либо

Я f (x, y) ф1 dxdy = b = Я Ф1 dxdy,

поэтому Я (f -1) Ф1 dxdy = 0 ,

BX

следовательно, f = 1 при (x, y) e B-

x.

То есть, если / е 03, то либо / = хВх, либо / = х^ увх = Xа , следовательно, 03 с МУ К (равенства функций понимаются с точностью до меры нуль, то есть почти всюду). Заметим, что если 5 (X) непрерывна в точке X (то есть V (Бх) = 0 ), то с точностью до меры нуль

Х А и Въ ХА , а если 5 (X) непрерывна в любой точке, то М = К .

Таким образом, если функция f доставляет максимум функционалу Г, то f -характеристическая функция %Вх или х ах ■ То есть оптимальный фильтрующий

поглотитель имеет один из видов :

[0, Ф2 (X, у) >Х,

Р (Х у )=,+ , ч.»

[+да , Ф2(X,у)<Х

(0, ф2 (х, у) >Х,

или Рг (ХУ) = 1 , ч ,

[+да , фг (х,у)<Х.

Следовательно, задача свелась к классической задаче нахождения максимума одномерных функций щ (X) и и2 (X), зависящих от одного аргумента X:

Ц ф1 • ф2 dxdy Ц ф1 • ф2 dxdy

Р ) = °)гг dd = " (^) и Р )= dd = и2 (^) .

^ ф1 dxdy ^ ф1 dxdy

\А У А

Оптимальную апертуру определяют множества Б-к или Лх, где X определяется из максимума (супремума) функций щ (X) или и2 (X).

Из теоремы Д.Ф.Егорова [14] вытекает, что функции ф1 и ф2 можно заменить на «близкие» им (относительно меры Лебега), но достаточно «гладкие» функции, причем так, что и1 (X) и и2 (X) совпадут и будут непрерывно дифференцируемы.

В случае непрерывной дифференцируемости функций и1 (X) и и2 (X) получим (дифференцированием) соотношение для нахождения оптимального значения X :

ЦФ[(ф2 -X)dxdy = X • Цфídxdy . (6)

А А

Соотношение (6) можно записать в эквивалентном виде:

Я(Ф2 у = ), (7)

А

где

v(X) = Я Ф1 (х, y)dxdy

X

- весовая мера Лебега [14]. Равенство (7) можно интерпретировать геометрически (см. рис. 1). На этом рисунке оптимальное значение X находится из равенства объемов фигур Ф1 («шапочки», определяемой поверхностью г = ф2(х; у) и лежащей выше уровня X) и Ф2 (лежащей ниже уровня X и ограниченной с боков цилиндрической поверхностью, а сверху и снизу - плоскостями). Объем здесь понимается относительно весовой меры Лебега у( *).

г = ф2(х; у)

1

Ф1

« ^ г

к? а /у

Ф2

/

' ' X

Рис. 1. К расчету оптимального значения уровня X

Теперь приведем пример численного расчета выигрыша от применения оптимальной апертуры для дефекта, имеющего ступенчатую форму (см. рис. 2, 3 и 4).

(Р

а Ь А В С

Рис. 2. Дефект ступенчатой формы

Рис.З.Алгоритм нахождения оптимальной апертуры для дефекта ступенчатой формы

Если

1 - 2 р

0 < р < 0,5; 0 < х <—2— ,

р2

то выигрыш в ОСШ равен:

^ ОСШ (АВ) ал/а а^а (а + Ь) л/1 + х ~ ОСШ (АС) ~ (а а + в Ь, “ а а + Р Ь ~ 1 + рх ' л/ а + Ь

Рис. 4. Величина выигрыша от применения оптимальной апертуры для дефекта, имеющего ступенчатую форму

Заключение

Показано, что наилучшее обнаружение инородного включения достигается при использовании детектора, пространственная чувствительность которого описывается характеристической функцией некоторого специального множества.

Выведено соотношение, позволяющее найти оптимальную функцию пространственной чувствительности детектора, используемого в радиометрической системе при обнаружении ею в контролируемом объекте инородных включений. Показано, что если лучевой размер инородного включения описывается выпуклой функцией, то оптимальная функция пространственной чувствительности детектора существует и единственна. Предложена простая геометрическая интерпретация основных результатов исследования. Отмечена область преимущественного использования полученных результатов.

ЛИТЕРАТУРА

1. Henkelman R.M., Preiss B.R. A nonuniform detector aperture for CT-IN // J. Comput. Assist. Tomogr. 1981. No. 3. P. 401 - 408.

2. Сидуленко О.А., Солодушкин В.И., Удод В.А. Фильтрация изображений с переменной разрешающей способностью на основе применения аподизированных приемников изображений // Обозрение прикладной и промышленной математики. 2001. Вып. 1. С. 350 - 351.

3. Солодушкин В.И. О выборе апертуры детектора излучения радиометрической системы контроля // Научно-практическая конференция «Молодые ученые и специалисты - народному хозяйству»: Тез. докл. Томск, 1983. C. 6.

4. Солодушкин В.И., Удод В.А. Оптимизация характеристик сканирующих систем по модифицированному критерию пространственной разрешающей способности // Региональная конференция «Обработка изображений и дистанционные исследования»: Тез. докл. Новосибирск, 1987. С. 173 - 174.

5. Рентгенотехника: Справочник. В 2 кн. Кн. 1. / Под ред. В.В. Клюева. М.: Машиностроение, 1986. 383 с.

6. Гурвич А.М. Физические основы радиационного контроля и диагностики. М.: Энерго-издат, 1989. 168 с.

7. Вагин А.Е., Зыков И.К., Клейнер В.Д. К вопросу о выборе параметров ионизационнорадиометрического дефектоскопа // Дефектоскопия. 1968. № 6 С. 83 - 85.

8. Васильев В.Д., Покровский А.В. Расчет оптимальных параметров многоканальных радиометрических дефектоскопов // Дефектоскопия. 1978. № 3. С. 100 - 102.

9. Приборы для неразрушающего контроля материалов и изделий: В 2 кн. Кн. 1 / Под ред. В.В. Клюева. 2 -е изд., перераб. и доп. М.: Машиностроение, 1986. 488 с.

10. Солодушкин В.И. Выбор оптимальной формы апертуры детектора излучения в радиометрических системах контроля // Томский государственный архитектурно-строительный университет. Томск, 1999. 8 с. Деп. в ВИНИТИ 01.12.99, № 3564-В99.

11. Добромыслов В.А., Румянцев С.В. Радиационная интроскопия. М.: Атомиздат, 1981. 352 с.

12. Рудин У. Основы математического анализа: Пер. с англ. В.П. Хавина. М.: Мир, 1966. 320 с.

13. Бронштейн И.Н., Семендяев К.А. Справочник по математике. М.: Наука, 1981. 720 с.

14. Колмогоров А.Н., Фомин С.В. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 360 с.

Статья представлена кафедрой исследования операций факультета прикладной математики

и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию

10 марта 2008 г.