Выделение тренда временного ряда сплайнами второго порядка дефекта два Текст научной статьи по специальности «Математика»

Геометрически это означает, что площади фигур Фу и Фг (рис. 1) равны, где Фг={(х, у)\р£у<,д^хУ, хе[0, а]} -часть подграфика функции у=<((х), лежащая выше прямой^/?, а Фг={(х, у)\0<у<р, х{(р)<х<хЖр)} - грямоуголь-ник, заключенный между прямыми у=р, у=0, х=х1(р), При этом значении р, учитывая (6), (9), (10), получим максимальную величину ОСШ (2):

Мт=2ср^хг{р)-хх{р). (14)

Заключение

В рамках принятых предположений в результате решения оптимизационной задачи (3) - (5) нами получено, что оптимальная АФ апертуры детектора радиометриче-ской системы единственна и имеет следующий вид:

/. р,« = ХярОО. (15)

т.е. является характеристической функцией множества £>р = {* е [0, о]|ф(х) > р}, где [0, а]=5ирр <р - носитель

функции ИВ <р{х\ а параметр р находится ш уравнения (13). При этом максимальное значение ООН равно (14).

Примечательной особенностью полученной АФ (15) является то, что соответствующая ей апертура детектора обладает однородной чувствительностью к излучению, однако не по всему носителю функции ИВ (как это рекомендовано в [10]), а лишь в той его части, где лучевой размер ИВ больше некоторого критического значения, определяемого через параметр р из уравнения (13).

Полученные результаты могут быть использованы для оценки предельных возможностей радиометрических систем контроля, разрабатываемых для обнаружения в изделиях плотных ИВ сложной конфигурации.

ЛИТЕРАТУРА

1. Приборы для неразрушакмцего контроля материалов и изделий. В 2-х книгах. Кн. 1 / Под ред. В.В. Клюева. 2-е изд., перераб. и доп.

М.: Машиностроение, 1986.488 с.

2. Горбунов В.И., Покровский A.B. Радиометрические системы радиационного контроля. М.: Атомиздат, 1979.224 с.

3. Горбунов В.И., Завъяпкин Ф.М., Соподушкин В.И., Удод В.А. Выбор параметров радиометрических систем с дискретным сканирова-

нием радиационного поля // Автометрия. 1987. № 4. С. 21-27.

4. Горбунов В.И., Горбунов В.М., Завьялкин Ф.М., Квасница М.С. Влияние усреднения измеряемой характеристики изделия в поле

зрения детектора на выбор радиометрического устройства// Дефектоскопия. 1976. № 2. С. 117-127.

5. Завьялкин Ф.М., Удод В.А. Двухапертурное кодирование проекций II Автометрия. 1990. № 2. С. 91-93.

6. Недавний О.И., Максименко Б.В., Осипов СЛ., Удод В.А. Многоканальные радиометрические системы контроля с полутоновой визуализа-

цией теневых радиационных изображений. 4.2. Расчет оптимальных параметров систем // Дефектоскопия. 1993. № 7. С. 79-85.

7. ЯМ. Henkelman, B.R. Preiss. A nonuniform detector aperture for CT-IN // J. comput. assist tomogr. 1981. Vol. 5. № 3. P. 401-408.

8. Рудин У. Основы математического анализа. Пер. с англ. В.П. Хавина. М.: Мир, 1966. 320 с. ' 9.' Троицкий"ИИ. "Статистическая теория томографии. М: РаДиб и связ1, Г989.240 Ú.

ХО.СпхфцеваЛ.В. Разработка и исследование алгоритмов обнаружения дефектов в радиационной дефектоскопии: Аягореф. канн дис. Томск, 1981.

Статья представлена кафедрой исследования операций факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 1 февраля 2000г.

УДК 519.24

Б.Е. Тривоженко

ВЫДЕЛЕНИЕ ТРЕНДА ВРЕМЕННОГО РЯДА СПЛАЙНАМИ ВТОРОГО ПОРЯДКА ДЕФЕКТА ДВА

Рассматривается задача выделения тренда временного ряда, когд а моменты измерений его значений образуют случайный поток событий и неизвестны. Для рассматриваемого случая получены рекуррентные алгоритмы оценки коэффициентов сплайна и исследованы их статистические свойства. Получено выражение для средней интегральной погрешности выделения тренда.

Одна из задач анализа функционирования сложных ошибками измерений, внешними помехами и т.д. Для технических систем - выделение тренда телеметрируемых выделения тренда временного ряда производятся параметров, характеризующих состояние системы в неко- в некоторые моменты времени t,, t2,..., кото-торые дискретные моменты времени. Определяющими факторами при решении этой задачи являются:

1) выбор математической модели, описывающей тренд наблюдаемых значений случайного процесса;

2) задание схемы наблюдений, на основе анализа которых этот тренд выделяется.

В работах по анализу временных рядов (например, [1,2]) рассматривается случай, когда измерения значений случайного процесса производятся в мометы времени, отстоящие на одинаковую величину друг от друга. В предлагаемой работе измерение значений наблюдаемого процесса производится в некоторые случайные моменты времени, которые предполагаются неизвестными.

Пусть имеется временной ряд у(0 = /(/) + п((), являющийся суммой некоторой детерминированной функции /(0, называемой трендом процесса у((), и п(() -случайной функцией, наличие которой обусловлено

рые являются случайными величинами и образуют простейший поток событий с параметром X. Предполагается, что помехи измерений п, = ), /' = 1, 2,... - независимые одинаково распределённые величины с нулевым математическим ожиданием и дисперсией с1. Относительно тренда предполагается, что он представляет собой сплайн второго порядка. В этом случае время наблюдения разбивается на интервалы одинаковой длины Т и на к-м интервале тренд представляется в виде полинома второго

порядка fk (0 = ак + Ь„ - + с„

Считается, что

на каждом временном интервале отсчет времени ведётся от начала этого интервала. Эш полиномы должны быть «сшиты» на концах, т.е. конец (к -1) - го отрезка

кривой должен быть началом к-то отрезка /4Ч (Т) = = /к (0). В отличие от стучая, рассматриваемого в [3], в данной работе не требуется «сшивания» на границах интервалов разбиения первых производных. Предложенную модель тренда временного ряда будем называть сплайном второго порядка дефекта два. Для этой модели условие сшивания имеет вид

ак = а<ы +Ьк-\ +с*-и

Потребуем, чтобы эти оценки были так-

же сплайном дефекта два, т.е. должны быть «сшиты» на концах интервалов (Г) = /к (0), что приводит к условию

ок=ак^+Ьк.х+ск.1. (2)

Таким образом, ак однозначно определяется оценками коэффициентов на предыдущем интервале, а по

результатам наблюдений у}*}, 1 = 1, 2..... где

Nk - число измерений на к-и интервале, которое в соответствии с принятой моделью является случайной величиной и подчиняется закону Пуассона, р(Мк) =

_(ХГ)*» "к

Оценки недостающих коэффициентов Ьк и ск на к-м интервале будем находить из критерия

е'хт. Необходимо найти Ьк и ск.

-С

уР-К-Ь

/0 + 1)

* (Л, +2)

=> лип.

Отсюда

(Nl-l)(ЗN2i+ЗNk+2) 60(^+1X^+2X3^+1)^^ _ (^4-1X3^+3^+2) 2 +1)(3^4 +4) . 3^+3^+2

. 60(^4+1)^4+2X3^4+1)^ | 1 (^4-1X3^+3^4+2) 1 | 120(^4+1X^4+2)(2УУ4+1)г(>) + (^4-1X3^+3^4+2) 2

. 10(^4 +1X^4 +2) .

+---а4>

где

3^+3^ +2

1 I

5(*) _ 1 у '

у;

у;

Заменяя ак выражением (2), получим следующую рекуррентную систему соотношений, определяющую оценки коэффициентов сплайна на к-ои интервале:

о к =<5*-1 + 4-1

л 4(Л^4 +1ХЗЛГ4 +4) . °к ---„„—Г-ак-1 ~

3^+3^4+2

(1)

По результатам измерений значений временного ря-

да у; ' на к-ом интервале необходимо построить оценки коэффициентов ак, Ьк и ск. Тогда оценка тренда

А Л

временного ряда будет иметь вид /к (/) = ак+Ьк +

4(^ + 1ХЗЛГ4 + 4) - 4(Л^ +1)(3^4 + 4).

--;-"к-1--;-с

ЗИ2к + ЗИк + 2 ЗЛ^2 +ЗЛ^4 +2

48(^4 +0(3^ +6Л^4 +1)

*-1

№к -1)(ЗЛ^42 +ЗЛ^4 +2)

60(Л^4 +1)(Л^4 +2)(ЗЛ^4 +1)

№к-1)(ЗЫ2к+ЗМк+2)

. 10(ЛГ4+1)(^4+2) А с> =-:-а

^ -

3^+3^4+2

*-1

10(^4 + 1)(Л^4 + 2) - 10(^4 + 1ХЛГ4 + 2) .

ЗN2+ЗNk +2

ЗЛ^+ЗЛ^ +2

с4_, -

60(^4+1X^4+2X3^+1)^ + (^4-1X3^+3^4+2) 1 | 120(^4 +1X^+2X2^4+0 дот (4)

(ЛГА-1X3^+3^4+2) 2 Исследуем свойства полученных оценок. Прежде всего проведём исследование этих оценок на асимптотическую несмещённость и устойчивость. Так как

*4+1 С* (*4 +1)^4+2)'

/(/+1)

то

П 1 2 ' 6(Л^4 +1) *

+

3^4+1 12(^4+1)

ГМ к) 3 к 12(л^4+1) 1

3^4:+6^4+1

+----ск.

+1)(Л^4 +2)

Разрешая (5) относительно Ьк и ск, получим "к (^-1X3^ + 3*4+2) МП

-[(60(^4+1X^ + 2X3^4+1)х х (ЗЛ^ + 6^4 + \))м)Д(Л^4 -1) х х (ЗЛ^2 + 6Nk + 1)(ЗЛ^42 + ЗЫ„ + 2))] -

4(^ +1)(ЗЛ^4 +4)

(5)

3^+3/^+2 60(^+1X^4+2X3^4+1)

120(^ + 1X^4+2X2^4+1) „(^ 1 +

( } (^4-1X3^+3^4+2) г2 1 *г

. Ю(Л^4 +1)(^4 +2) +-7Г~7Гт ~ а*-

(6)

зм;+мк+2 "

Вычитая из первого уравнения системы (4) соотношение (1), а из второго и третьего уравнения соотношения (6) и усредняя, получим для

Лak=äk-ak, Abk=Sk-bk, Аск=бк~ск следующую систему:

А ак = Лак_! + Abk_, + Act_,,

АЪк = Аск *

3N]+3Nk+2 10 (Nk +l)(Nk +2) 3Ni+3Nk+2

(Aak_, - Abk_x - Act_,),

(Aat_, +AVi + Act_,), (7)

где черта означает усреднение по случайным моментам наступления событий /,(*>,

Для асимптотической несмещённости оценок <54, ¿>4 и С* необходимо, чтобы эта система была устойчивой. Это возможно, если корни её характеристического уравнения

I, ЗЫ1+ЗМк+2)

будут по модулю меньше единицы. Корни этого

, , п , И1к+5Ик+6

уравнения Я, = х, = 0, а А, = —-5- при

^ ^ ^ ЗЛ^ + ЗЛ^+2 *

Ик>2 всегда меньше единицы. Таким образом, рекуррентные оценки (4) параметров сплайна являются устойчивыми и, следовательно, асимптотическими (по к ) несмещёнными.

Перейдём теперь к выводу ковариационной матрицы полученных оценок. Из соотношений для

АЬк = -4Аак_{ -4АЬк_х -4Дс*_, +48Д5,<*) -60АУ<*>,

. 10 Л 10 .. 10 .

Ас* = у Аак-1 + ~ + ~ + (8)

+ 60А5/*' +80А5'*). Будем считать, что сплайн, описывающий тренд временного ряда, является стационарным случайным процессом. Тогда в системе выделения тренда с течением времени также установится стационарный режим, в результате чего при больших к все статические характеристики перестанут зависеть от к.

Возводя в квадрат уравнения системы (8), перемножая их и усредняя, получим

+ 2 соу(а4_, ,Ь4_1)+2 соу(а4_,, ск_,)+2 соу(ь4_, , ск_,} = 16 + 1б/){4_,} +16%.,} +

+ 32 соу(д4_, , Ьк_,)+ 32 соу(аА_,, ск)+ +32 соу(б,_,, )+ 2304£){5,(*)} + +ЗбООЯ^ }- 5760 соу^?° , Б\к)},

200

L г \ 200 /. .ч

cov\,a*-i. Ьк-\)+ — cov(ai-l. с,., )н

у \ »-" «-•/ ^

+ ^ со v(bM, с4_,)+ 3600Z){s,(i)}

+

KLf±i.

.....+ 64000^*!}- 9600 соу^*', Б[к) \.....

соу(а,, Ък )= }- }-4Я{с,_, }-

- 8 соу^., , )- 8 соу(5,_, , ск_х)-8 соу(^_, , с,.,)

соу(5,Л )=уВ{ак.х}+^)+ ^/>{с_}+

20 г \ 20 . ч 20 к . \

у соуЦ., , Ьк_,)+ — соу(о,.,, )+ у соу^_, , с4_, \

80 Л « \ 80 /. .ч -—соу\а,_,, )-—соу(а1.1, )-

- у соу^., , ск_х)- 2880Я^> }-

-4800Д^*))+7440СОУ^),5<*)}. (9) Получена система шести уравнений с шестью неизвестными. С течением времени в системе устанавливается стационарный режим, т.е. статистические характеристики рекуррентных оценок коэффициентов сплайна не зависят от к; введем обозначения:

СаЬ = соу(а*, Ьк} Сж = соу(а,, ск\ С* = соу(б*, ск) и систему уравнений (9) приведем к системе из трёх уравнений

-16Д, + £>4 = 2304£>}$1(*)}+3600Я{? }-

-5760СОУ{^1(*),5'>,}> _ 1^^+^=3600^}+

Аак, АЬк и Аск рассмотрим

Т N +1

индекс к временно опущен. Тогда М

IM

1 Т

N

. Здесь

= 0 и

М-

Ati А/у T T

(j_

N

min (i,j) (N + l)(N + 2)

1 г •

mini

KN NJ N2j

, - r

(N +1) (TV + 2) N[

Используя линеаризацию по At,, получаем

Г/Л2 /(/ + 1) J i А/Л2 IrJ (N + l)(N + 2) \N +1 T) ,(i + l)

^2-L-A

(Л^ + 1ХЛ^+2) N +1 Т

t

Тогда у\к) = ак+Ьк^у + ск

(*) (

\ Т

л к т к Nk + l Т Подставляя это в выражение для S{vk), имеем

_ * Nk + l Т ' J

Если теперь подставить всё это в выражения для Аак, АЬк, Аск, то получим

А ак = Aat_, +Abk_l + Act_,,

+6400£>{? }- 9600 соу^'*» , 5 <*>}

-14Д, -|/)с = 2880я{$,<*))+

+4800£>{?<*)}- 7440 соу^** , } Разрешаем эту систему относительно £>а, йь и Д. и подставляем в формулу для средней интегральной погрешности

усредняя уравнение (1), имеем ак = ак_х +Ьк_х +с4_,. В стационарном случае все эти величины не должны зависеть от номера к. Тогда из последнего уравнения следует, что + ск = 0, а величина сГк может

быть произвольной. Записывая (1) в виде ак --ак_х =Ьк_, возводя его в квадрат и усред-

няя, получим (ак -ак_х)2 =(Ьк_, +ск_,)2. Если обозначить (ак -ак_,)2 через V, то в силу стационарности сплайна эта величина не зависит от к. Заме-

которая для стационарного режима

тим, что это тот же самый параметр (хк - хк_1)2, что и для линейных сплайнов первого порядка [3].

Так как M

принимает вид

Щ

1

1

ХТ (\Т)2 (AT)3

то при

или

IJVJL 9 ' 12 ь 20 cj

_ . .Г 1 1Г107 77 23 г— 53 "7 , ,1

D = Л/<{ — U-Ь:+—ькск+-с: +3ст2 .

{N JLî40 * «4 * * 31S J

Отметим, что если счнппъ исходный трена стационарным случайным процессом, то Щ, Ькск и с2к не являются независимыми величинами. Действительно,

ЯТ» 1 окончательно имеем £> = —[о,16ИЧЗа21.

Из полученной формулы имеем, что средняя интегральная погрешность выделения тренда отлична от куЛя прй отсутствии Помех измерений. Это обусловлено тем, что моменты измерений являются случайными величинами и вносят дополнительную погрешность в измеренные значения временного ряда.

ЛИТЕРАТУРА

1. Андерсон Т. Статистический анализ временных рядов. М.: Мир, 1976. 755 с.

2. Кендалл МД„ Стьюарт А. Многомерный статистический анализ и временные ряды. М.: Наука, 1976. 736 с.

3. Тривоженко Б.Е. Выделение трендов временных рядов и потоков событий. Томск: Изд-во ТГУ, 1989. 285 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 14 марта 2000 г.

УДК 519.2

Б.Е. Тривоженко

АСИМПТОТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА МНК-ОЦЕНОК ПАРАМЕТРОВ ГИПЕРБОЛИЧЕСКОГО ТРЕНДА ИНТЕНСИВНОСТИ ПУАССОНОВСКОГО ПОТОКА

Получены уравнения для МНК-оценок параметров гиперболического тренда пуассоновского потока. Исследованы их статистические свойства. Показано, что эти оценки являются несмещенными. Получены выражения для подтверждения эффективности МНК-оценок параметров и эффективности МНК-оценки гиперболического тренда.

Пуассоновский поток событий является простейшим для изучения, поскольку его свойства полностью описываются единственной функцией - его интенсивностью Л(1) [1]. В нестационарном потоке сохраняются основные свойства, делающие его изучение лёгким, - независимость событий и ординарность, г

Обозначим j\(u)du через А(/). Тогда вероятность о

того, что на интервале наступит / событий, будет

(1)

а вероятность того, что на бесконечно малом интервале + наступит одно событие, равна X{t)dt.

Будем предполагать, что интенсивность пуассоновского потока описывается функцией

А(0- 1

Такой вид зависимости интенсивности от / соответствует линейному тренду средней длительности интервалов между двумя последующими событиями в нестационарном пуассоновском потоке.

По наблюдениям моментов наступления событий I, <г2 <...<<ЛГ необходимо оценить неизвестные параметры а и Ь, т.е. выделить тренд интенсивности. Число событий N, по которым оцениваются параметры, фиксировано, и мы в данном случае имеем дело с Л^-планами эксперимента. Поскольку N фиксировано, то для того, чтобы можно было применять асимптотические методы, представим А(Г) в виде

1

х0(0-я.

'Г

a+bt/N

(3)

a + bt

(2)

Если - момент наступления 1-го события, то в [2] было показано, что асимптотически при N <»