Статистическое оценивание вероятностей с привлечением дополнительной информации Текст научной статьи по специальности «Математика»

+ 6(1 - Зе'2Ь +2е-гь)/аЬ + (1 - <Г')3Л). (31) Из приведённых на рис. 1 графиков зависимости ейд, , ей1 от Ь следует, что эффективность МНК-оценки параметра а достаточно высока. При -0,9 < 6 < 1,5 эффективность не менее 0,9. Эффективность параметра Ь несколько ниже, чем эффективность параметра а. Так, значения 0,9 она достигает при 0,6 < Ь < 1,7, а при увеличении или уменьшении Ь эффективность МНК-оценки параметра Ь, как и параметра о, убывает. Эффективность МНК-оценки тренда достигает своего наибольшего значения 0,91 при Ь - 1,4, а с уменьшением или увеличением Ъ она убывает.

Рис. 1

ЛИТЕРАТУРА

1. Кокс Д., Льюис П. Статистический анализ последовательностей событий. М.: Мир, 1969. 312 с.

2. Тривоженко Б.Е. Асимптотические свойства моментов наступления событий нестационарного пуассоновского потока // Математи-

ческое моделирование. Кибернетика. Информатика. Томск: Изд-во Том. ун-та, 1999. С. 140-150.

3. Свешников А.Г., Тихонов А Н. Теория функций комплексной переменной. М.: Наука, 1979.319 с.

Статья представлена кафедрой теории вероятностей и математической статистики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государстоенногсьуниверситсте, соступила в научную редакцию 14 марта 2000 R.

УДК 519.24

С. С. Тарима

СТАТИСТИЧЕСКОЕ ОЦЕНИВАНИЕ ВЕРОЯТНОСТЕЙ С ПРИВЛЕЧЕНИЕМ ДОПОЛНИТЕЛЬНОЙ ИНФОРМАЦИИ

Рассматривается способ учета дополнительной информации о вероятностях одних событий для улучшения эмпирических оценок вероятностей других. Приведен пример такого учета.

1. Пусть Х\, -Д, - последовательность независимых одинаково распределенных случайных величин, принимающих значения из измеримого пространства (Х,Б) с неизвестным распределением Р. Рассмотрим события A, Bi "t В„ принадлежащие ст-алгебре В. Предположим, что P(B,)=bh где b¡ ювесгны (М,—, s). Рассмотрим задачу статистического оценивания Р(А) с учетом данной информации. Результаты наблюдений представим в виде протокола;

А я. В,... в,

Хх m ЫХ) ых,)... ЫХ)

хг m 1тШ Ш... ых2)

Xi Ia(X,) ЫХ,) ЫХ)- ЫХ,)

... ...

Х„ ЦХг) 1вШ ЫХ)- ыхп)

В клетках протокола наблюдений /¿ДО) - индикатор некоторого события В из ст-алгебры В.

Рассмотрим события Л1=и1пи2г>—пи,, где и, либо 2?(, либо его дополнение, М,—, 5. Их совокупность, с возможным количеством до 2' событий, является разбиением пространства X. В этом случае имеют место равенства

I Р{л,)=Ь;, _/ = 1, --,5. (1)

Vя;

2. Для случая известных значений Р(Л,) в [3] была предложена оценка

= Рп(А,)>0,(2)

м Р„{А,)

1 я

где о-^гда

П1-1

В протоколе наблюдений часто реализуются не все события Л,, Предположим, что реализовалось только к из 2* событий Ai, для которых Р£А)>0. Остальные события в формуле (2) при рассмотрении отношения дают неопределенность типа 0/0 (если Р^АЦгО, то и PMAÍT =0). Аналогично, го событий Вк --, В, также реализуются не все, а только часть, допустим m<,k. Для этой ситуации рассмотрим следующую оценку

' i р^ШМ

-(3)

I

Суммирование ведется только по тем индексам, для которых эмпирическая оценка события А, не равна нолю. Эта оценка в отличие от (2) определена при любых РДЛД

3. В нашем случае значения P{A¡) неизвестны, но удовлетворяют условиям (1). Осталось оценить к вероятностей Р(А,). Если оценивать Р(Л,) распределением P„(A¡), то из (3) мы получаем Р"Л(А)=Р„(А).

Найдем проекцию [ближайшую в смысле информационного расхождения (4)] P"¿A) в класс, удовлетворя-

ющий условию (1). Информационное расхождение ме-, жду {/»(Ai» и {P¿A,)} будет следующим:

du(P(A),Pn(A))= I

'=иул,)>о ДА,)

(4)

(6)

4. Рассмотрим случай, где решение задачи нелинейного программирования находится в явном виде. При Р (8;)=6у, где/=1,2, получим:

РШ=Р(В1пВ2);Р(А2)=Р(В1п(С1\В2)); Р(Аг)=Р((П\В1)гхВ2); Р(А4)=Р((С1\В1)п(С1\В2));

Если наблюдения распределились по всем четырем множествам, то на вероятности ДЛ^ наложены три ограничения:

Р(Л1)+Р(Л2)=г.1; Р(^0+ />(Л3)=Й2,-

......ЛА,5+>(Л-2)+ Р(А3У Р(/и)=\.......

Определив одну из вероятностей из нало-

женных ограничений, можно найти остальные. Оценим Р(А{) из условия минимума информационного расхождения, которое в рассматриваемом случае примет вид

(ДА, ),№,)) = 1/5(Л/)1п4т7Т =

/=1 Р{А1)

ДА,)

xln-

Ь2-Р{А,)

+ (Л,-/>(Л,))х

xln . . +(}-Ь2 -fe, +Р(Л,))х

¿,-/>(Л,) xln-

П(Л4)

1 -¿2 - fe, + P(A¡) Минимизация (7) по Р(Л ¡) приводит к уравнению

(7)

1-

Р„(Л,)РИ(Л4)> Ри(Л2)/>„( А,),

P¿( Л,) +

1-6, -fe2 + 6,

+ Ь,

Заметим, что суммирование ведется только го положительным P¿A¡) вследствие необходимости абсолютной непрерывности меры Р по отношению к мере Р„. Оц еним ДЛ) из условия минимума информационного расхождения при условии (1) и условии нормировки, которое в нашем случае определяется как:

1/ЧЛ,) = 1. (5)

Нахождение Р(А) свелось к задаче нелинейного программирования. Пусть решение поставленной задачи нелинейного программирования будет {/""(Л,); /=1,-,25}; подставив это решение в (3), получим

/Г(Л)= I ПЬ)3^-

<=1./>„(л,)>0 Рп{ А,)

Р„(Л,)/>В(Л4)

Р„(А2)РП(А,) Р„(Л,)/>,,(Л4)

/>Я(Л2)/>„(Л3)

12 />я(Л2)/>„(А,) Решение уравнения (8) следующее:

í ¿1 + Ä2

2(1-0,

'h +b2

t

где t =

2 2(1-0 Р„(Л2).Я„(Л3)

(9)

(1-0

. Это решение и есть оценка

/>Й(Л,)/>Я(Л4)

ДЛД которая однозначно определяет Р{А£, ДЛзХ ДЛ4) из вышеупомянутых наложенных ограничений.

В выражении (9), когда г<1, используем «минус», а когда £>1 - «плюс». При /=1 (случай независимости событий В\ и В2 между собой) выражение (9) берем равным Ь1хЬ2. График зависимости Р'П(А\) от / будет следующий:

0,6

OrNn^UllOS П ф № N Ю О г

Ю Ф т-

О о

О — ^ ч" t

N IM (V

График приведен для Р{В\)=0,5 и Р(В2)=0,6

Оценка вероятности Р(В\ В2) изменяется в границах от шах{0;б1+62-1)} до тт{Аьй2}, а эмпирическая оценка (по комплектным наблюдениям) искомой вероятности изменяется от 0 до 1. Остальные оценки вероятностей определяются из условия нормировки и двух дополнительных ограничений.

Если наблюдения не попали в одно из четырех множеств, то наши три ограничения однозначно фиксируют три оставшихся Р{Л,).

ЛИТЕРАТУРА

1. Тарима С.С. О свойствах эмпирического распределения, модифицированного с учетом знания вероятностей // Мат. моделирование

и теория вероятностей / Под ред. И.А. Александрова, Томск: Пеленг, 1998. С. 257.

2. Кудъбак С. Теория информации и статистики. М.: Наука, 1967. 408 е..

3. Дмитриев Ю.Г., Устинов ¡O.K. Статистическое оценивание распределений вероятностей с использованием дополнительной ин-

формации. Томск: Изд-во ТГУ, 1988.

Статья представлена кафедрой теоретической кибернетики факультета прикладной математики и кибернетики Томского государственного университета, поступила в научную редакцию 14 февраля 2000 г.