CC BY
25
УДК 539.21, 539.18
Вестник СПбГУ. Сер. 4. Т. 2 (60). 2015. Вып. 1
П. В. Колесниченко, С. А. Пулькин
ОПТИЧЕСКИЕ СВОЙСТВА КВАНТОВЫХ СТРУКТУР НА ОСНОВЕ ЗОНДОВ СКАНИРУЮЩИХ ЗОНДОВЫХ МИКРОСКОПОВ
Санкт-Петербургский государственный университет, Российская Федерация, 199034, Санкт-Петербург, Университетская наб., 7—9
Одной из фундаментальных идей создания «квантового» компьютера является изготовление массива квантовых точек одинаковой формы и размеров с целью лёгкого контроля записи, хранения и считывания информации. Известно, что в качестве квантовых точек вполне могут подойти кончики зондов сканирующих зондовых микроскопов. Для успешного функционирования квантового компьютера необходимо, чтобы кубиты имели одинаковые наборы энергетических уровней. С целью определения эквивалентности такого рода кубитов построено квантово-механическое описание оптических свойств кончиков одиночных зондов на основе геометрической модели конусообразной формы. Библиогр. 5 назв. Ил. 1.
Ключевые слова: зонд, квантово-размерные структуры, квантовая яма, оптическая спектроскопия.
P. V. Kolesnichenko, S. A. Pulkin
OPTICAL PROPERTIES OF QUANTUM STRUCTURES BASED ON PROBES OF SCANNING PROBE MICROSCOPES
St. Petersburg State University, 7—9, Universitetskaya nab., St. Petersburg, 199034, Russian Federation
One of the fundamental ideas of quantum computer implementation is creation of a matrix of equal-sized and equiform quantum dots in order to easily control processes of writing, storing and reading information. It is known that the tips of the probes of scanning probe microscopes are quite appropriate to be the quantum dots. For successful functioning of the quantum computer it is required that q-bits have one and the same set of energy levels. In this paper in order to measure the equivalence of such q-bits a quantum-mechanical description of optical properties of a single tip was made on the basis of geometrical conical model. Refs 5. Figs 1.
Keywords: probe, quantum-sized structures, quantum well, optical spectroscopy.
Введение. Данная работа является очевидным продолжением работ [1, 2] и представляет собой следующий этап построения описанной в них теории. Предположительно, читатель уже знаком с упомянутыми публикациями, и поэтому мы не будем подробно останавливаться на предпосылках, лежащих в их основе, и уже полученных результатах. Напомним лишь вкратце основную идею. Кончики металлических зондов сканирующих зондовых микроскопов имеют радиусы закругления порядка 10 нм и, следовательно, могут рассматриваться как квантово-размерные структуры. Подобные структуры теоретически могут быть рассмотрены как квантовые потенциальные ямы с квазисвободными электронами и дискретными уровнями энергии, расстояния между которыми лежат в инфракрасной области спектра [1].
Конечной целью нашего исследования является построение теории, описывающей оптические свойства набора зондов, расположенных в виде матрицы на некоторой твердотельной основе [3-5]. В работе [1] были представлены схема и описание эксперимента по наблюдению спектра от квантово-размерных кончиков зондов. В ходе эксперимента предполагается наблюдать рассеянное на зонде излучение, несущее исчерпывающую информацию об энергетической структуре исследуемого объекта. Между полученным спектром и размерами зонда, очевидно, будет взаимооднозначное соответствие. Поэто-
му необходимо заблаговременное знание структуры энергетических уровней для адекватного предсказания и описания результатов эксперимента.
В работе [1] рассмотрена простейшая одномерная модель зонда на основе квантово-механического описания прямоугольной потенциальной ямы с бесконечно высоким потенциалом, а также найдено аналитическое выражение для дипольного момента переходов электрона между различными энергетическими состояниями. Позднее, в работе [2], были рассмотрены следующие итерации выстраиваимой теории, а именно две модели зонда — трёхмерные прямоугольная и цилиндрическая потенциальные ямы. Сразу же отметим, что при рассмотрении цилиндрической модели зонда была допущена некоторая неточность, о которой мы упомянем ниже.
Настоящая статья главным образом посвящена рассмотрению следующего и последнего теоретического приближения, максимально отвечающего реальной форме одиночного зонда, — модели на основе конусообразной геометрической области с бесконечным потенциалом на границе.
Как и прежде, вне зависимости от геометрической модели, рассматривается задача следующего вида:
+ = 0, (1) п2
= 0, (2)
где тс — эффективная масса электрона в зоне проводимости; П — постоянная Планка; Д — оператор Лапласа; дБ — граница рассматриваемой геометрической области. Уравнение (1) представляет собой уравнение Шрёдингера, гамильтониан которого включает лишь кинетическую энергию электрона, в то время как бесконечный потенциал на границе выражен с помощью нулевых граничных условий (2). С математической точки зрения, очевидно, мы имеем дело с задачей Штурма—Лиувилля с однородными краевыми условиями на нахождение собственных функций и собственных значений в рассматриваемой области. При правильном выборе системы координат задача решается методом разделения переменных, т. е. собственные функции имеют вид Фару(|, п) = Фа(|)Фр(£)Фу(п), а собственные значения пропорциональны энергии £ару, где П — независимые переменные выбранной системы отсчёта; а, в, у — квантовые числа. Расстояние между энергетическими уровнями Еару — Еа'ру есть одна из важнейших спектроскопических характеристик в контексте рассматриваемой задачи.
Другой важной характеристикой оптических переходов внутри зонда является дипольный момент перехода между двумя стационарными состояниями Фару(|, п) и Фа'р'у'(I, п), который находится по формуле
<^ару,а'р' у' = / / / ФаруейФ*'ру 1 (I, п) ^ dп, (3)
в
где е — заряд электрона; й = п)Т — вектор независимых переменных выбранной системы координат; 1 п) — якобиан перехода из декартовой системы отсчёта в систему отсчёта с переменными п; Б — геометрическая область, аппроксимирующая кончик зонда. Согласно требованиям квантовой механики волновые функции в выражении (3) должны быть нормированными. Величина дипольного момента перехода показывает, насколько интенсивной будет соответствующая спектральная линия. Вдобавок совокупность значений ¿ару1а'ру определяет правила отбора, согласно которым не
все переходы электрона между двумя различными состояниями будут разрешены. Таким образом, зная энергии переходов и соответствующие дипольные моменты, можно в принципе построить теоретический спектр излучения, рассеянного на кончике зонда.
Цилиндрическая потенциальная яма (поправка к работе [2]). Как мы отметили выше, в одной из наших ранних работ при рассмотрении задачи для цилиндрической области была допущена неточность, а именно утверждалось, что собственные функции и собственные значения зависят лишь от двух квантовых чисел. В действительности и в этом случае волновые функции в силу непрерывности и энергия электрона будут зависеть от трёх квантовых чисел:
ФптгО'', ф, з) — С'тп'^т[ -
■ г ) ехр (гтф) эт ( л1 (--—
Епт1
2тс
М-тп , а2 с2
где г, ф,г — цилиндрические координаты; а — диаметр цилиндра; с — высота цилиндра; \^т.пп/2 — п-й нуль цилиндрической функции Бесселя т-го порядка; Стп — нормировочные постоянные, имеющие вид
Стп
8
2 72 (
а т +11 2
Отметим, что указанные поправки не влияют на качественные результаты, продемонстрированные в работе [2], в силу того, что движение электрона рассматривается исключительно вдоль радиуса. Это обосновано тем, что высота цилиндра предполагается значительно больше его диаметра, т. е. с ^ а, и означает, что уровни энергии, отсчитываемые по высоте цилиндра, лежат настолько близко друг к другу, что не представляют для нас никакого интереса. Более того, если положить т = 0 с целью сравнения с результатами для случая прямоугольной модели зонда, то получим в точности результаты, описанные в работе [2].
Конусообразная потенциальная яма. Для упрощения поиска решений положим, что конус имеет сферическое основание радиуса го с центром в вершине конуса (см. рисунок). Это позволяет решать задачу в сферических координатах методом разделения переменных. Без ограничения общности также положим угол раствора конуса равным а. Итак, представив оператор Лапласа в задаче (1), (2) в сферических координатах, легко можно убедиться, что волновая функция электрона в рассматриваемом случае выражается следующим образом:
Фшпк (г, 0, ф) = Атпк Зу„
яб.
тпк
го
Г Р^П(С0Б 0) ехр(гтф), (4)
Геометрическая модель зонда
степени уп
лдг.
где г, 0, ф — координаты сферической системы отсчёта; Атпк — нормировочные постоянные; зУтп — сферические функции Бесселя порядка чтп; Рттп — присоединенные функции Лежандра т-го порядка пк/го — корни сферических функций Бесселя порядка vmn. Заметим,
2
л
что ввиду осевой симметрии зависимость от угла ф имеет одинаковый вид для цилиндрической потенциальной ямы и для конусообразной. Энергии стационарных состояний электрона в рассматриваемой потенциальной яме находятся по формуле
Отметим, что при рассмотрении объёмных моделей (параллелепипеда, цилиндра, конусообразной фигуры) в каждом следующем приближении количество слагаемых в выражении для энергии электрона уменьшается на единицу. Может сложиться впечатление, что также редуцируется количество параметров, влияющих на конкретный набор уровней энергии. Так, например, в формуле (5) присутствует лишь один параметр г о, определяющий высоту геометрической модели, и складывается впечатление, что угол раствора конуса а при прочих равных условиях никак не влияет на энергетический спектр. Однако при изменении угла раствора меняется набор чисел vmn, а следовательно, и чисел Ътпь. Таким образом, зависимость уровней энергии от угла раствора конуса присутствует, хотя и неявным образом. С помощью выражений (3) и (4) диполь-ный момент переходов (в поперечном к оси зонда направлении) между стационарными состояниями электрона Фтпк и Фтп'к с изменением энергии Етпк — Етп> к в рамках рассматриваемой модели запишется следующим образом:
го
((1'в)тпк,,тп/к - Я/1,,/, .1 ,,'/, / .Л':...,,
Полученный результат не представляется возможным вычислить аналитически. Более того, взять численно подобное выражение также пока не удаётся. Предположительно, в данном случае подавляющая часть спектра, как и для предыдущих приближений (параллелепипеда и цилиндра), будет лежать в инфракрасной области спектра, что по-прежнему диктует использовать чувствительные инфракрасные датчики.
Заключение. Решена задача о движении электрона в объёмной конусообразной потенциальной яме с бесконечным потенциалом на границе. Получены вид волновой функции и выражение для стационарных уровней энергии электрона, а также представлено выражение для дипольных моментов переходов для интересного нам случая поперечного движения. Располагая формулами (5) и (6), экспериментаторы имеют возможность описания полученных и предсказания новых спектров от одиночных зондов, что в свою очередь даст возможность судить об их форме и размерах.
Литература
1. ШаровТ. В., ПулькинС. А., КозловВ. В. Спектроскопическое исследование зондов сканирующих зондовых микроскопов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2010. Вып. 2. C. 23—27.
2. Колесниченко П. В., Шаров Т. В., ПулькинС. А., Козлов В. В. Теоретическое исследование на-норазмерных зондов сканирующих зондовых микроскопов // Вестн. С.-Петерб. ун-та. Сер. 4: Физика, химия. 2010. Вып. 4. C. 120-125.
3. Garguilo J. M., KoeckF.A.M., Nemanich R. J. Thermionic field emission from nanocrystalline diamond-coated silicon tip arrays // Phys. Rev. (B). 2005. Vol. 72. 165404.
(5)
0
0
4. MengG., Cao A., Cheng J.-Y. et al. Ordered Ni nanowire tip arrays sticking out of the anodic aluminium oxide template // J. Appl. Phys. 2005. Vol. 97. 064303.
5. LuoK., ShiZ., LaiJ., MajumdarA. Nanofabrication of sensors on cantilever probe tips for scanning multiprobe microscopy // Appl. Phys. Lett. 1996. Vol. 68, N 3. P. 325-327.
Статья поступила в редакцию 12 ноября 2014 г.
Контактная информация
Колесниченко Павел Владимирович — аспирант; e-mail: [email protected] Пулькин Сергей Александрович — доктор физико-математических наук, профессор; e-mail: [email protected]
Kolesnichenko Pavel Vladirriirovich — post-graduate student; e-mail: [email protected] Pulkin Sergei Alexandrovich — Doctor of Physics and Mathematics, Professor; e-mail: [email protected]
