CC BY
9
ЧЕБЫШЕВСКИЙ СБОРНИК
Том 21. Выпуск 4.
УДК 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-4-354-368
Определение законов неоднородности покрытия цилиндра, находящегося в плоском волноводе, для обеспечения минимального отражение звука1
Л. А. Толоконников, А. Э. Белкин
Лев Алексеевич Толоконников — доктор физико-математических наук, Тульский государственный университет (г. Тула). e-mail: tolokonnikovla@mail.ru
Антон Эдуардович Белкин — магистрант, Тульский государственный университет (г. Тула).
e-mail: anton.edurdQyandex.ru
Аннотация
В статье рассматривается обратная задача об определении законов неоднородности упругого покрытия абсолютно жесткого цилиндра, находящегося в плоском волноводе, одна граница которого - абсолютно жесткая, а другая - акустически мягкая. Полагается, что волновод заполнен идеальной жидкостью. Вдоль стенок волновода по нормали к поверхности цилиндрического тела распространяется гармоническая звуковая волна давления, возбуждаемая заданным распределением источников на сечении волновода, расположенного на конечном расстоянии от оси цилиндра. Определены параметры неоднородности покрытия, обеспечивающие наименьшее звукоотражение.
Решение обратной задачи получено на основе решения прямой задачи дифракции.
Зависимости плотности и модулей упругости материала покрытия от радиальной координаты аппроксимированы многочленами третьей степени.
Построены функционалы,определенные на классе кубических функций и выражающие усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном сечении волновода при фиксированной частоте или в некотором диапазоне частот.
С помощью генетического алгоритма осуществлена минимизация функционалов. Получено аналитическое описание оптимальных законов неоднородности покрытия цилиндра для обеспечения минимального звукоотражения.
Ключевые слова: дифракция, звуковые волны, цилиндр, неоднородное упругое покрытие, законы неоднородности, плоский волновод.
Библиография: 19 названий. Для цитирования:
Л. А. Толоконников, А.Э. Белкин. Определение законов неоднородности покрытия цилиндра, находящегося в плоском волноводе, для обеспечения минимального отражение звука // Чебышевский сборник, 2020, т. 21, вып. 4, с. 354-368.
1 Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
CHEBYSHEVSKII SBORNIK Vol. 21. No. 4.
UDC 539.3:534.26 DOI 10.22405/2226-8383-2020-21-4-354-368
Determination of the inhomogeneity laws of a cylinder covering located in a plane waveguide for providing minimum sound
reflection2
L. A. Tolokonnikov, A. E. Belkin
Lev Alexeevich Tolokonnikov — doctor of physical and mathematical Sciences, Tula State
University (Tula).
e-mail: tolokonnikovla@mail.ru
Anton Eduardovich Belkin — undergraduate, Tula State University (Tula). e-mail: anton.edurdQyandex.ru
Abstract
The article considers the inverse problem on determination of the inhomogeneity laws of an elastic coating of an absolutely rigid cylinder located in a plane waveguide, one boundary of which is absolutely hard and the other is acoustically soft.
It is believed that the waveguide filled by ideal fluid. The harmonic sound pressure wave excited by a given distribution sources on the section of the waveguide located on the final distance from the axis of the cylinder is propagated along the walls of the waveguide on normal to the surface of the cylindrical body. The inhomogeneity parameters for providing minimum sound reflection are determined.
The solution of the inverse problem is obtained based on the solution of the direct problem diffraction.
Dependences of the density and elastic moduli of the coating material from the radial coordinate are approximated by polynomials of the third degrees.
Functionals defined on the class of cubic functions and expressing the average intensity of sound scattering in a given section of the waveguide at a fixed frequency or at some frequency-range are built.
The minimization of the functionals is done with using the genetic algorithm. Analytical description of the optimal inhomogeneity laws of an cylinder coating are received to ensure minimal sound reflection.
Keywords: diffraction, sound waves, elastic cylinder, non-uniform elastic coating, inhomogeneity laws, plane waveguide.
Bibliography: 19 titles. For citation:
L.A. Tolokonnikov, A.E. Belkin, 2020, "Determination of the inhomogeneity laws of a cylinder covering located in a plane waveguide for providing minimum sound reflection", Chebyshevskii sbornik, vol. 21, no. 4, pp. 354-368.
2This Research was performed by a grant of Russian Science Foundation (project 18-11-00199).
1. Введение
Влияние покрытий цилиндрических тел на их звукоотражающие свойства исследовалось в ряде работ. В [1] рассмотрены прямая и обратная задачи дифракции плоской звуковой волны на цилиндре с перфорированным покрытием. Выбраны параметры среды резонаторов перфорированного покрытия, обеспечивающие заданный уровень гашения поля дифракции на цилиндре. В [2, 3] обсуждается задача о нерассеивающем покрытии для цилиндра, делающее его акустически прозрачным. Для снижения рассеяния падающей на цилиндр звуковой волны применено тонкое покрытие с протяженной реакцией. Дифракция плоской звуковой волны на упругой цилиндрической оболочке с однородным упругим покрытием исследована в [4]. Выявлены условия, при которых совместный выбор импедансов покрытия и оболочки позволяет минимизировать рассеянное поле. Задачи о рассеянии плоских и цилиндрических звуковых волн жестким цилиндром с непрерывно-неоднородным упругим покрытием решены в [5, 6]. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с непрерывно-неоднородным покрытием рассмотрено в [7], ас дискретно-слоистым покрытием
— в [8]. Влияние термоупругости материалов цилиндра и его радиально-неоднородного покрытия на рассеяние звука изучено в работах [10, 11]. При этом в [10] рассмотрены как прямая задача дифракции, так и обратная задача об определении законов неоднородности материала покрытия, обеспечивающих наименьшее звукоотражение в определенном угловом секторе и в заданном диапазоне частот. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами осуществлено в [11, 12]. В [13] получено приближенное аналитическое решение задачи дифракции плоской звуковой волны на однородном упругом цилиндре, имеющем цилиндрическую полость и радиально-неоднородное покрытие. На основе решения прямой задачи рассмотрена обратная задача об определении законов неоднородности покрытия, обеспечивающих минимальное звукоотражение. В [14] решена задача дифракции плоской звуковой волны на упругом цилиндре с непрерывно-неоднородным упругим покрытием, находящемся вблизи плоской идеальной поверхности (абсолютно жесткой и акустически мягкой). Задачи дифракции звуковых волн на сплошном упругом цилиндре с радиально-неоднородным покрытием в плоских волноводах с акустически мягкими и абсолютно жесткими границами решены в [15, 16]. В [17] исследовано рассеяние звука абсолютно жестким цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводе, одна граница которого является абсолютно жесткой, а другая — акустически мягкой. В [18] решены обратные задачи дифракции звука об определении квадратичных законов неоднородности покрытия упругого цилиндра в плоских волноводах с акустически мягкими и абсолютно жесткими границами, обеспечивающих наименьшее рассеяние звука в заданном сечении волновода. В настоящей работе решается обратная задача дифракции об определении оптимальных кубических законов неоднородности покрытия абсолютно жесткого цилиндра, находящегося в плоском волноводе, одна граница которого — абсолютно жесткая, а другая — акустически мягкая.
2. Постановка задачи
Рассмотрим плоский волновод шириной с! с идеальными границами, заполненный идеальной жидкостью с плотностью р\ и скоростью звука с (рис. 1).
Полагаем, что нижняя граница волновода является абсолютно жесткой, а верхняя граница
— акустически мягкой. В волновод помещен бесконечный абсолютно жесткий цилиндр радиуса Го. Цилиндр имеет покрытие в виде коаксиального радиально-неоднородного изотропного упругого цилиндрического слоя с внешним радиусом г\. Полагаем, что плотность материала покрытия р является непрерывной функцией радиальной координаты г, а модули упругости
Рис. 1: Волноводная система
\ и ^ — дифференцируемыми функциями координаты г цилиндрической системы координат г, ф, z, связанной с цилиндрическим телом. Ось вращения цилиндра совпадает с осью z и параллельна стенкам волновода.
Пусть вдоль стенок волновода по нормали к поверхности цилиндрического тела распространяется гармоническая звуковая волна давления ро с круговой частотой w, возбуждаемая заданным распределением источников на сечении волновода, расположенного на расстоянии Хо от оси цилиндра. Будем рассматривать общий случай произвольного расположения источников относительно оси волновода.
Введем прямоугольную декартову систему координат х, у, z так, чтобы ось х проходила по нижней стенке волновода, ось у лежала в сечении волновода с заданным распределением источников звука, а ось z была параллельна оси цилиндра. В системе координат нижняя граница волновода определяется уравнением у = 0, верхняя граница — уравнением у = d, а положение оси цилиндра определяется координатами
х = Х0, у = Y0, —ж < z < ж.
Введенные прямоугольные и цилиндрические координаты связаны между собой соотношениями
х = Х0 + г cos у = Y0 + г sin z = z.
Определим законы неоднородности материала покрытия, обеспечивающих требуемое зву-коотражение.
3. Прямая задача дифракции звука на цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе
Решение прямой задачи дифракции в случае, когда одна граница волновода является абсолютно жесткой, а другая — акустически мягкой, приведено в [17].
В области х > 0 давление в падающей волне представляется совокупностью собственных волн волновода, распространяющихся вдоль оси х
<х
Р0 (х, у) = ^ Апei^nX cos \пу e-iut,
п=0
где
Сп = л/к2 - —2п; к = ш/с; —п = (2п + 1);
Ап - заданные амплитуды. Временной множитель ехр (—гсоЬ) далее опускается.
В цилиндрической системе координат падающая волна записывается следующим образом:
те
Ро (г,р)= ^ amJm (кг) eimip
т=-те
где Jm (кг) — цилиндрическая функция Бесселя порядка т;
те д
am = AneiSnX° cos (\nY0 - тф), ф = arcsin .
n=0
Давление полного акустического поля в волноводе
р = Ро + ps.
Давление рассеянного цилиндром поля ps представляется в виде потенциала простого слоя
Ps (х, у) = J щ (хо, уо) G (х, у\хо,уо) dlo,
La
где v\ (хо,Уо) — функция, описывающая распределение источников поля ps на внешней поверхности неоднородного покрытия; G (х, у\хо, Уо) — функция Грина; Lo — окружность радиуса г\ с центром в точке (Хо, Y^-, dlо = Г\(1ро — элемент контура Ltj. Функции Грина имеет вид
. те i
G (х, у\хо,уо) = V . , л cos -пу cos —пУо е^х-х°1.
d (1 + боп)
Когда \п > к, Сп = Vк2 — Х?п становится чисто мнимым. В этом случае для выполнения условий излучения на бесконечности необходимо, чтобы 1т £п > 0, то есть = г— к2. В полярных координатах выражение для р3 записывается в виде
2ж
Ps ( г,р) = J v (ро) G (г,р\г\,ро) d^,
где V (хо, уо) = гм (хо, уо)-
Функцию плотности распределения источников представляется в виде разложения в ряд Фурье
те
imip
v(p) = Ьте
т=—оо
Процедура определения коэффициентов Ьт описана в [17].
В декартовой системе координат выражения для рассеянного поля имеют следующий вид: при х ^ Хо + Г\
те
ps (х, у) = ^ Вгпе^"х cos —пУ , п=о
при х ^ Хо — Г\
те
3}пег^пХ /\П1
п=0
где
2жг ~
Рз (х, у) = ^ В1пе^"х сое Хпу ,
Вп = е-гЫХ° Е (—ТЬшЗш (кП) сон (\п¥о — тф)
й(1 + д 0п )с, п ^
т=—<х> оо
2тГ 1
В1п = ^гтг^ге^пХо Е (кг1) сон (ХпУо + тф).
а(1 + доп) Ы
4. Обратная задача дифракции
Для получения требуемых звукоотражающих характеристик цилиндрического тела, расположенного в волноводе, необходимо найти соответствующие законы неоднородности покрытия цилиндра, то есть определить зависимости р(г), А(г) и ¡(г).
Будем считать, что функции р(г), А(г) и ¡(г) аппроксимированы многочленами третьей
родности материала покрытия:
р(г) = р р*(г), А(г) = А А*(г), ¡(г) = А А* (г), (1)
где
3 3 3
р*(г) = ^, А*(г) = ^А(д) гд, а* (г) = Г*; (2)
д=0 д=0 д=0
А, X А — характерные величины механических свойств материала покрытия.
Рассеивающую способность тела будем характеризовать с помощью функционалов, построенных специальным образом.
Построим функционал $1, определенный на классе кубических функций (1) и выражающий усредненную интенсивность рассеяния звука в некотором интервале (а ^у ^Ь) заданного сечения волновода (х = х*) при фиксированной частоте ш = ш*
ь
Ф1 [ р,А,а] = у—а/ \Р* (х* ,У, ш*)\2йу.
а
В случае, когда частота звуковой волны не является фиксированной, а изменяется в некотором диапазоне [ш1,ш2], построим функционал $2) выражающий усредненную интенсивность рассеяния звука в заданном диапазоне частот и в фиксированной точке наблюдения (х = х*, у = у*).
Ш2
Ф2[р, А, а] =- \р3 (х*, у*, ш)\2ёш.
ш2 — ш1 .]
у8 У^* > У*1 Ш2 — Ш1 ' "
Ш1
Для случая, когда требуется иметь минимальное звукоотражение в заданном интервале сечения и в некотором диапазоне частот, построим функционал Ф3.
фз[ Р, А,А = (Ь — а)Ш2 —ш1) / / 1 Р° (х*, У*, ш)\2 йш йу.
а Ш1
Найдем такие значения коэффициентов р(я), А®, Ад) (д = 0, 1, 2, 3) функций (2), при которых функционалы Ф^ [р, А, а] (] = 1, 2, 3) достигают минимального значения.
5. Генетический алгоритм
Для нахождения оптимальных законов неоднородности материала покрытия сначала определим область допустимых решений для функций (2) вводя ограничения
ао < Р*(г) ßo < Л*(г) < ßi, ^о < Ъ, ге [го, п] (3)
где aj, ßj, jj (j = 0,1) — некоторые положительные константы. Каждое из неравенств (3) имеет вид
bo < f (г) < bi, (4)
где
f(r) = а(о) + а(1)г + а(2)г2 + а(3)г3, (5)
и определяет прямоугольную область
Q = {(г, f): ге [го, П], f е [bo, bi]},
содержащую бесконечное множество кубических парабол.
Разобьем отрезок г е [го, Ti] на три равные части. В области Q каждая кубическая парабола f (г) однозначно определяется четырьмя точками с координатами (го, fo), (f'', fi) (f", f2) (ri, fs), где r' = (2го + n)/3, r" = (го + 2ri)/3] fa = f(го), fi = f(r'), h = f(r"), h = f(n)-
Подставив координаты этих четырех точек в (5), получим систему четырех уравнений, из которых определим значения а(д^ через величины го, Ть fq (q = 0,1, 2, 3).
Для некоторых наборов коэффициентов (а(о', о(1), а(2), а(3)) ( )
выходить из интервала [Ьо, Ь\], что приводит к нарушению ограничений (4). Чтобы исключить
f( )
лежащих на отрезке [Го, ri], где возможно достижение экстремальных значений.
Если а(°' = 0, то рассматриваются две стационарные точки гс =-тгт-.
3а(3)
Если а(3 = 0, то рассматривается одна точка гс = -а^/^а^).
В случае, когда точка гс попадает в отрезок [го, Ti] и при этом f (гс) < Ьо или f(rc) > bi, то соответствующий набор коэффициентов (а(о),
о(1), а(2), а(3)) исключается из рассмотрения. Нахождение оптимального набора параметров p(q', , ß(q> (q = 0,1, 2, 3), удовлетворяющего условиям (3) и минимизирующего функцию двенадцати переменных
^ min (т = 1, 2,... 3),
осуществим с помощью генетического алгоритма [19].
При фиксированном q каждое отдельное значение fq (q = 0,1, 2, 3) кодируется в виде последовательности р битов, где р — натуральное число, являющееся одним из параметров генетического алгоритма. Этот параметр называется разрядностью гена. Он выбирается произвольно. При заданном р отдельное значение fq представляется в виде
fq = Ьо + mq h, (6)
где mq — целое неотрицательное число, представляемое в виде двоичного р разрядного числа;
h = ~2р—I"' ^РеДставление (6) обеспечивает удовлетворение условия fq е [Ьо, Ь{] для любого
mq. Таким образом, задание или изменение значения fq в любом месте алгоритма сводится к
р
деляющим fq. Увеличение разрядности гена приводит к увеличению количества значений fq
на отрезке [Ъ0, Ъ]\. Разрядность, равная р, задаёт на отрезке [Ъ0, Ъ]\ равномерную сетку значений с шагом Н, которые может принимать функция /(г) в каждой из точек го, г', г", п. Так
( )
для увеличения потенциальной точности алгоритма.
Каждая из функций р*(г), А* (г), а* (г) однозначно определяется хромосомой, состоящей из четырех генов, определяющих значения данной функции в точках го, г', г'', Г1. Полная конфигурация из трех хромосом, соответствующих функциям р*(г), А*(г), А*(г)> называется особью.
При минимизации функционала с помощью генетического алгоритма рассматривается динамическая совокупность нескольких особей, называемая популяцией. Каждая итерация алгоритма сопровождается изменением популяции. Множество особей, рассматриваемых вместе в течение одной итерации, называется поколением.
Ниже опишем шаги генетического алгоритма.
Шаг 1. Инициализация. На данном шаге генерируется начальное поколение Р, состоящее из N0 особей. Каждая из них задаётся как совокупность трех случайных хромосом. Генерация каждой особи сопровождается проверкой стационарных точек и в неудовлетворительном случае повторяется заново до тех пор, пока не будет получена допустимая конфигурация.
Шаг 2. Оценка приспособленности. Вводится функция приспособленности особи
Р [р,а,а]=с — Ф [р, А, а] ,
где С - положительная константа, определяемая экспериментально так, чтобы Р [р, А, а] была положительна при всех допустимых конфигурациях р*, А*, а*■ Таким образом, задача минимизации функционала Ф [р,А,а] сводится к задаче максимизации функции приспособленности. На втором шаге алгоритма рассчитывается значение функции приспособленности для каждой особи из начального поколения Р. Наибольшее среди полученных значений обозначим Р.
Шаг 3. Проверка критерия остановки алгоритма,. Генерация новых поколений останавливается, если на протяжении К поколений относительное улучшение максимального значения Р функции приспособленности не превышает заранее заданное число 5 — пороговое относительное улучшение значения функции приспособленности. Тогда в качестве оптимального решения берётся конфигурация (А*, А*, А*), содержащаяся в текущем поколении, такая, что Р А*, А*, А* = Р Таким образом, К — число поколений для контроля условия остановки
Шаг 4- Селекция хромосом. На данном шаге из текущего поколения выбираются особи, которые будут участвовать в формировании следующего поколения.
Совокупность N1 особей из Р, имеющих наибольшее значение функции приспособленности, формируют набор Р1 и гарантированно переходят в новое поколение. Таким образом, N1 — число особей, переходящих в новое поколение напрямую. При этом N1 < N0.
Из особей поколения Р, не вошедших в Р1, методом рулетки [19] отбираются N2 ^ N0 — N1 особей, формирующих набор Р^. N2 — число особей, попадающих в набор для участия в скре-Р2
К особям из Р1 и Р2 будет применён оператор скрещивания.
Из особей, не вошедших в множество Р1 и Р2, формируется набор Р4, к которому будет применён оператор мутации.
Шаг 5. Применение оператора скрещивания. Скрещивание выполняется для N3 пар особей, где 2Nз ^ N2. Особи выбираются мученым образом из динамического множества Р1 иР2. N3 — число скрещиваний в одной итерации алгоритма
Р3
Р2
Р2
Данное правило действует для того, чтобы число особей в популяции не изменялось.
Процесс скрещивания заключается в том, что хромосомы потомков формируются из хромосом родителей таким образом, чтобы часть генов каждой хромосомы была получена от одного родителя, часть — от другого. Для этого в каждой хромосоме случайным образом задаётся точка скрещивания так, чтобы обменивающиеся участки хромосом состояли из целого числа генов. Гены до точки скрещивания потомок получает от первого родителя (если формируется второй потомок, то от второго родителя), после точки скрещивания — от второго родителя (для второго потомка от первого родителя).
Р4
разом, выполняются мутации. Число особей в Р4 равно N4. В гене, подвергаемом мутации, инвертируется двоичный код. Число особей, их хромосом и генов, подвергаемых мутации (а также выбор данных особей, хромосом и генов в них) определяется случайным образом.
Шаг 7. Формирование нового поколения. Новое поколение формируется как множество Р = Р1 и Р2 и Р3 и Р4
6. Результаты расчетов
По изложенному выше алгоритму были проведены расчеты параметров законов неоднородности покрытия цилиндра, обеспечивающих наименьшее рассеяние звука. Рассматривался цилиндр радиуса Го = 1 м с покрытием толщиной 0,1 м, находящийся в плоском волноводе шириной й = 20 м, заполненном водой (р1 = 1000 кг/м3, с = 1485 м/с). Полагалось, что покрытие выполнено на основе полимерного материала, неоднородного по плотности, с характерной плотностью А = 1070 кг/м3 и характерными модулями упругости 1 = 3, 9 ■ 109 Н/м2, А = 9, 8-108 Н/м2 (поливинилбутираль). Положение оси цилиндра определялось координатами Хо = 10 м, !о = ^/10 м. Амплитуды Ап полагались равными единице.
Полагалось, что ао = Ро = 7о = 0,1, а1 = Р1 =71 = 1,5. Такие значения границ неравенств (3) обеспечивают достаточно широкий диапазон изменения функций р(г), А(г), А(г).
При расчетах использовались следующие значения параметров генетического алгоритма: р = 10,С = 0,01 5 = 10-5, К = 10 Щ = 10 N1 = 3, N2 = 4 N3 = 2.
Минимизация функционала Ф1 [р, А, а] осуществлена при 15 ^ у ^ 18 х* = 30 м и частоте
к о = 5
Оптимальное решение задачи минимизации функционала имеет вид:
р*(г) = 4001, 0 — 11253, 9г + 10539, 7г2 — 3285, 9г3,
А*(г) = 787, 6 — 2560, 8г + 2737, 4г2 — 963, 5г3,
А*(г) = 9151, 3 — 26073, 7г + 24755, 8г2 — 7831, 9г3.
Этим оптимальным законам неоднородности соответствует значение функционала Ф1 = 7, 04 ■ 10-6.
При минимизации функционала Ф2 [р, А, а] полагалось, что х* = 30 м, у* = 15 м, а диапазон
к о
Получены следующие оптимальные законы неоднородности материала покрытия:
р* (г) = 700, 6 — 2211, 9 г + 2306, 3 г2 — 794, 4 г3,
А* (г) = 3342, 0 — 9659, 7г + 9299, 3 г2 — 2980, 7 г3, А* (г) = 2991, 9 — 8648, 4 г + 8323, 2 г2 — 2666, 6 г3.
При этом Ф2 = 1, 56 ■ Ю-5.
Минимизация функционала Фз [р, X, осуществлена при х* = 30, у* = 15 для интервала сечения волновода 15 18 и диапазона частот, в котором 5 ^ к г о ^ 8.
Минимальному значению Фз = 1, 5 ■ 10-8 соответствует покрытие со следующими свойствами:
р*(г) = —587, 5 = 1641, 4 г — 1527, 9 г2 + 474, 2 г3, Х*(г) = 12106, 5 — 34779, 6 г + 36023, 5 г2 — 10617, 2 г3, р*(г) = 13230, 5 — 37822, 6 г + 36023, 5 г2 — 11430,1 г3.
На рис. 2 4 приведены графики оптимальных законов неоднородности материала покрытия. Сплошными, штриховыми и пунктирными линиями обозначены зависимости для параметров неоднородности, полученные при минимизации функционалов Ф^ Ф2 и Фз соответственно.
0.4-
0.2-1. __т__т__т__
1.00 1.02 1.04 1.06 1.08 1.10
р* ( )
Оценим значение и влияние параметров генетического алгоритма на результаты минимизации функционалов.
Разрядность гена р влияет на погрешность итогового решения. При увеличении разрядности гена на единицу шаг сетки уменьшается примерно в 2 раза, вследствие чего в любой из четырех опорных точек разность между значением точного оптимального закона неоднородности и значением ближайшего к нему в сетке приближенного оптимального решения уменьшается почти в 2 раза. Кроме того, увеличение р может приводить и к обнаружению новых локальных минимумов функционала, если они существуют в области гораздо меньшей шага сетки.
Константа С, используемая для построения функции приспособленности, подлежит экспериментальному определению. Ее минимально возможное значение равно наибольшему значению исследуемого функционала Ф [р, А, р], которое может быть обнаружено в процессе применения генетического алгоритма. При большом отличии С от данного значения алгоритм может остановиться раньше, чем погрешность найденного минимального значения функционала станет достаточно малой.
Покажем почему это происходит. Пусть Р' — наивысшее среди особей значение функции приспособленности, полученное на предыдущей итерации, а Р — значение функции приспособленности, полученное на данной итерации. Критерием остановки алгоритма является вы" Р' - Р Р' - Р полнение условия ——— ^ 5 на протяжении К итераций. Так как ——— =
(С - Ф') - (С - Ф) Ф - Ф'
-—- = —-, то при увеличении константы С всегда неотрицательное зна-
С - Ф С - Ф
чение ——— уменьшается и становится меньше порогового значения 5 на более ранних ите-
С
что алгоритм может остановиться раньше достижения приемлемого минимума функционала
Ф [р, А, р\.
Для получения более точного решения задачи минимизации функционала пороговое от-
меныпим, однако при этом увеличивается время работы алгоритма.
К
раций, на протяжении которых алгоритм должен отвечать критерию остановки. Данный параметр выбирается достаточно большим для того, чтобы в случае попадания в локальный минимум функционала случайные мутации могли вывести его из данной области и позволить
К
не представляется возможным из-за неизвестного характера локальных минимумов и чисто случайного характера мутаций.
Число особей в популяции N определяет число конфигураций, рассматриваемых одновременно в пределе одной итерации. От него зависит количество «материала» для скрещиваний и мутаций. Значение N следует выбирать таким, чтобы иметь достаточное количество конфигураций, которые могут принять участие в скрещиваниях и мутациях.
При задании параметров N1, N2, N3, N4 должны выполняться соотношения N1 +N2 + N4 = Щи 2Nз ^ N2. Если значение N2 + N3 + N4 слишком мало, то алгоритм может «застопориться», то есть относительное улучшение максимального значения функции приспособленности не будет происходить и критерий остановки будет выполнен слишком рано. Но в процессе работы алгоритма за этим можно следить, показывая результат каждой итерации. Во всех остальных случаях конкретные значения ^,N1, N2, N3, N4 не играют роли, так как они влияют только на то, сколько итераций потребуется для достижения результата.
7. Заключение
Осуществив минимизацию соответствующих функционалов, получили аналитическое описание оптимальных механических параметров непрерывно-неоднородного покрытия цилиндра для обеспечения минимального звукоотражения. Такое покрытие можно реализовать с помощью дискретной системы тонких однородных упругих слоев, имеющих различные значения механических параметров (плотности и упругих постоянных).
СПИСОК ЦИТИРОВАННОЙ ЛИТЕРАТУРЫ
1. Иванов В. П. Анализ поля дифракции на цилиндре с перфорированным покрытием // Акустический журн. 2006. Т. 52. № 6. С. 791-798.
2. Бобровницкий Ю.И. Нерассеивающее покрытие для цилиндра // Акустический журн. 2008. Т. 54. № 6. С. 879-889.
3. Бобровницкий Ю. И., Морозов К. Д., Томилина Т. М. Периодическая поверхностная структура с экстремальными акустическими свойствами // Акустический журн. 2010. Т. 56. № 2. С. 147-151.
4. Косарев О. И. Дифракция звука на упругой цилиндрической оболочке с покрытием // Проблемы машиностроения и надежности машин. 2012. Т. 46. № 1. С. 34-37.
5. Романов А. Г., Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с неоднородным упругим покрытием // Прикладная математика и механика. 2011. Т. 75. Вып. 5. С. 850-857.
6. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202-208.
7. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Часть 2. С. 265-274.
8. Ларин Н.В., Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим цилиндром с дискретно-слоистым покрытием // Прикладная математика и механика. 2015. Т. 79. Вып. 2. С. 242-250.
9. Ларин Н. В. Дифракция плоской звуковой волны на термоупругом цилиндре с непрерывно-неоднородным покрытием // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 6. С. 154-173.
10. Ларин И. В. О влиянии непрерывно-неоднородного покрытия на звукоотражающие свойства термоупругого цилиндра // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 9. Часть 1. С. 395-403.
11. Ларин И. В., Скобельцын С. А., Толоконников Л. А. Об определении линейных законов неоднородности цилиндрического упругого слоя, имеющего наименьшее отражение в заданном направлении при рассеянии звука // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2014. Вып. 4. С. 54-62.
12. Толоконников Л. А., Ларин И. В., Скобельцын С. А. Моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра с заданными звукоотражающими свойствами // Прикладная механика и техническая физика. 2017. № 4. С. 189-199.
13. Толоконников Л. А. Определение законов неоднородности покрытия упругого цилиндра с цилиндрической полостью, обеспечивающих минимальное звукоотражение // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 67-81.
14. Толоконников Л. А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом цилиндре с неоднородным покрытием, находящемся вблизи плоской поверхности // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 276-289.
15. Толоконников Л. А Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с акустически мягкими границами // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 43-53.
16. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на упругом цилиндре с неоднородным покрытием в плоском волноводе с абсолютно жесткими границами // Известия Тульского гос. ун-та. Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 76-83.
17. Толоконников Л. А. Рассеяние звуковых волн цилиндром с радиально-неоднородным упругим покрытием в плоском волноводе // Чебышевский сборник. 2019. Т. 20. Вып. 1.
С. 270-281.
18. Толоконников Л. А., Ларин Н. В. Математическое моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра, находящегося в плоском волноводе // Известия Тульского гос. ун-та. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 315-323.
19. Рутковская Д., Пилиньский \!.. Рутковский Л. Нейронные сети, генетические алгоритмы и нечеткие системы. М.: Горячая линия - Телеком, 2006. 452 с.
REFERENCES
1. Ivanov, V. P. 2006, "Analysis of the field diffracted by a cylinder with a perforated coating", Acoustical Physics vol. 52, no 6, pp. 683-690.
2. Bobrovnitskii, Yu.I. 2008, "A nonscattering coating for a cylinder", Acoustical Physics, vol. 54, no 6, pp. 758-768.
3. Bobrovnitskii, Yu. I., Morozov, K. D. k, Tomilina, Т. M. 2010, "A periodic surface structure with extreme acoustic properties", Acoustical Physics, vol. 56, no 2, pp. 127-131.
4. Kosarev, O. I. 2012, "Diffraction of sound by an elastic cylindrical shell with a coating", Probl. Mashinostr. Nadezh. Mashin, vol. 46, no 1, pp. 34-37, fin Russian].
5. Romanov, A.G. k Tolokonnikov, L. A. 2011, "The scattering of acoustic waves by a cylinder with a non-uniform elastic coating", J. Appl. Math. Mech., vol. 75, no. 5, pp. 595-600.
6. Tolokonnikov, L.A. 2013, "Diffraction of cylindrical sound waves by an cylinder with a nonuniform elastic coating", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 3, pp. 202-208, fin Russian].
7. Tolokonnikov, L.A. 2013, "Scattering of an obliquely incident plane sound wave by an elastic cylinder with a non-uniform covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2-2,
pp. 265-274, fin Russian].
8. Larin, N.V. k Tolokonnikov, L.A. 2015, "The scattering of a plane sound wave by an elastic cylinder with a discrete-layered covering", J. Appl. Math. Mech., vol. 79. no 2, pp. 164-169.
9. Larin, N.V. 2017, "Diffraction of a plane acoustic wave on the thermoelastic cylinder with the continuously inhomogeneous covering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no 6,
pp. 154-173, fin Russian].
10. Larin, N.V. 2017, "Influence of the continuously inhomogeneous coating on the thermoelastic cylinder sound-reflecting properties", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 9-1,
pp. 395-403, fin Russian].
11. Tolokonnikov, L.A., Larin, N.V. k Skobel'tsvn, S.A. 2014, "About definition of linear laws of heterogeneity of the cylindrical elastic layer having the least reflexion in the set direction at sound scattering", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 4, pp. 54-62, fin Russian].
12. Tolokonnikov, L. A., Larin, N. V. k Skobel'tsvn, S. A. 2017, "Modeling of inhomogeneous coating of an elastic cylinder with given sound-reflecting properties", J. Appl. Mech. and Techn. Physics, no 4, pp. 733-742.
13. Tolokonnikov, L. A. 2017, "Determination of the inhomogeneitv laws for an covering of an elastic cylinder with cylindrical cavity,providing minimum sound reflexion", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki , no 4, pp. 67-81, fin Russian].
14. Tolokonnikov, L.A. 2018, "Diffraction of a plane sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating situated near to a flat surface", Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki , no 9, pp. 276-289, fin Russian].
15. Tolokonnikov, L. A. 2015, "Diffraction of sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating in a plane waveguide with acoustic soft boundaries",Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 1, pp. 43-53, fin Russian].
16. Tolokonnikov, L. A. 2015, "Diffraction of sound waves by an elastic cylinder with an non-uniform coating in a plane waveguide with absolutely rigid boundaries",Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Estestv. Nauki, no. 2, pp. 76-83, fin Russian].
17. Tolokonnikov, L. A. 2019, "Scattering of sound waves by an cylinder with an radial non-uniform elastic coating in a planar waveguidë\Chebyshevskii sbornik, vol. 20, no 1, pp. 270-281, fin Russian].
368
il. A. Tojiokohhhkob, A. 3. Bbjikhh
18. Tolokonnikov, L. A. k Larin, N. V. 2018, "Mathematical modelling of an inhomogeneous coating of an elastic coating in a plane waveguide ",Izv. Tul. Gos. Univ., Ser. Tekh. Nauki, no. 9, pp. 315-323, fin Russian].
19. Rutkovskava, D., Pilinskii, M. k Rutkovskii, L. 2006, "Neural Networks, Genetic Algorithms and Fuzzy Systems", Gorvachaia Liniva - Telekom, Moscow, 452 p., fin Russian].
nojiyneHO 25.02.2020 ilphhato b nenaib 22.10.2020 r.
