Определение закона движения раскладывающей головки намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты на технологическую оправку в процессе намотки конструкций из композиционных материалов Текст научной статьи по специальности «Математика»

Научный вестник НГТУ. - 2010. - № 3(40)

МОДЕЛИРОВАНИЕ СИСТЕМ, ПРОЦЕССОВ И УСТРОЙСТВ

УДК 514.181.2:519.67:612.778.1.068

Определение закона движения раскладывающей головки намоточного станка по заданному рисунку укладки ленты на технологическую оправку в процессе намотки конструкций из композиционных материалов*

Ю.И. БИТЮКОВ

Рассмотрено развитие геометрической модели технологического процесса намотки конструкций из волокнистых композиционных материалов. Укладка ленты на поверхность оправки показана с помощью явно заданного гладкого отображения прямоугольника в пространство, которое строится по известной кривой, задающей рисунок укладки (или схему армирования) ленты на оправку. С использованием построенного отображения приведен закон движения раскладывающей головки намоточного станка в системе координат, неподвижной относительно оправки.

Ключевые слова: лагранжев сплайн, композиционные материалы, полугеодезическая система координат ВВЕДЕНИЕ

Совершенствование и разработка новых конструкций, применяемых в авиационной и ракетно-космической технике, энергетике, машиностроении и других отраслях промышленности, в значительной мере связаны с использованием композиционных материалов. Композиционные материалы обеспечивают оптимальные физико-механические характеристики конструкций: легкость, прочность, антикоррозийность, кислотостойкость. Композиционные материалы представляют собой неоднородный сплошной материал, состоящий из двух или более компонентов. Среди этих компонентов выделяют армирующие элементы, обеспечивающие необходимые механические характеристики, и матрицу, или связующее, обеспечивающую совместную работу армирующих элементов.

В процессе изготовления высокопрочных армированных оболочек используется метод намотки непрерывными волокнами в направлении действия силы. При этом лента, образованная системой нитей или сформированная из тканей, пропитывается полимерным связующим и подается на вращающуюся оправку, имеющую конфигурацию внутренней поверхности изделия. Укладка ленты для заданной схемы армирования выполняется с помощью программы перемещения головки раскладчика намоточного станка, с которой лента сходит на оправку. После получения необходимой толщины и структуры оболочки производится полимеризация, окончательное отверждение связующего. Оправка может быть удалена или использована как часть конструкции. Точность процесса намотки и получение оболочки, удовлетворяющей требуемым геометрическим и прочностным характеристикам, прежде всего, зависят от качества отработки расчетных траекторий, точности укладки ленты на поверхность оправки и создания нужного натяжения на раскладчике ленты намоточного станка. Поэтому для разработки управляющих программ нужна наиболее полная математическая модель, описывающая процесс укладки лент на поверхность оправки с соблюдением целого комплекса условий.

В данной статье мы по известной кривой, задающей рисунок укладки ленты на оправку, построим явно заданное отображение, моделирующее ленту на поверхности. Используя по-

* Получена 20 мая 2010 г.

строенное отображение, найдем закон движения раскладывающей головки намоточного станка в системе координат, неподвижной относительно оправки. В отличие от представленного в [1], полученный закон будет учитывать ширину ленты.

1. ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ

Пусть в пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz и поверхность Е класса С2 задана параметрическим представлением r = r (u, v), ue [ai; bi], ve[a2; b2], где вектор-функция r(u, v) удовлетворяет условию r'u x r'v Ф 0 при любых ue[a1; b1], ve[a2; b2]. Пусть у - кривая на поверхности, заданная параметрическим представлением у: r(t) = r(uK (t), vK (t)), te[t0; t1]. Эта кривая будет определять схему укладки ленты. Например, по кривой у мы укладываем среднюю нить ленты (можно укладывать крайнюю нить ленты).

Требуется построить геометрическую модель укладки ленты из волокнистых композиционных материалов на поверхность технологической оправки. На базе этой модели описать движение раскладывающей головки намоточного станка в системе координат, неподвижной относительно оправки.

2. ПОСТРОЕНИЕ ГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ МОДЕЛИ УКЛАДКИ ЛЕНТЫ НА ПОВЕРХНОСТЬ ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ ОПРАВКИ

При выполнении условий, наложенных на вектор-функцию, определяющую поверхность, каждая точка этой поверхности является заведомо обыкновенной, и поэтому для любой кривой на поверхности существует (если ограничиться достаточно малым ее куском) полугеодезическая система координат [2], в которую данная кривая входит в качестве координатной линии. Напомним способ построения такой системы координат. В каждой точке M(t) кривой у берем направление на поверхности, ортогональное к направлению у, и через эту точку проводим в данном направлении геодезическую линию (что всегда можно сделать и притом единственным образом). Отложим на геодезической дугу длиной 5 (снабжая 5 знаком «плюс» или «минус» в зависимости от того, в какую сторону от у отложена дуга). В результате приходим в некоторую точку M (ип , vn) на поверхности, положение которой вполне определяется значениями t и 5 (система координат u' = t, v' = 5 на поверхности полугеодезическая). Точка M определяется также параметрами ип , vn. Следовательно, ип и vn есть функции от параметров t и 5: ип (t, 5), vn (t, 5).

Предположим, что указанные функции определены на прямоугольнике [t0; t1]x[-d/2; d/2]. Как известно [2], для поверхности, удовлетворяющей сформулированным выше условиям, всегда можно указать такой прямоугольник.

Если указанные функции можно было выписать в явном виде, то модель укладки ленты шириной d построили бы с помощью вектор-функции r (ип (t, 5), vn (t, 5)). В рамках такой модели, нить ленты, отстоящая от средней нити на расстояние |5|, 5 e [-d/2; d/2], укладывается на поверхность по кривой, определяемой вектор-функцией r(un (t, 5), vn (t, 5)), t e [t0; t1]. Такая геометрическая модель укладки ленты была предложена в [3]. Существенный ее недостаток в том, что ип (t, 5) и vn (t, 5) в общем случае неизвестны. Поэтому мы построим функции U(t, 5), V(t, 5), близкие к ним, но допускающие явное задание. Используя такие функции, моделировать укладку ленты будем с помощью вектор-функции r (U(t, 5), V(t, 5)), te[t0; t1], 5e[-d/2; d/2]. Таким образом, в рамках новой геометрической модели нить ленты, отстоящая от средней нити на расстояние |5|, 5 e [-d/2; d/2], укладывается на поверхность по кривой, определяемой вектор-функцией r(U(t, 5), V(t, 5)), t e [t0; t1].

Рассмотрим равномерную сетку

A,: To = to < T < ... < T„ = t1, Ti = to + (t1 - to\i/n, i = 0, 1, ..., n

на отрезке Из точки Qi, определяемой радиус-вектором r(uK(хi),vK(хi)), строим две воз-

можные геодезические у7+ и у7 , перпендикулярные кривой у. Пусть параметрические представления геодезических имеют вид

уг+: р = г (щ (s), vг+ (s)), s е [0; d/2]; у-: рГ(х) = г (щ (s), vг- (s)), s е [0; d/2].

Здесь через s обозначена переменная длина дуги геодезических. Рассмотрим равномерную сетку

Ах: = - d/2 < < ... < < sm = d/2, Si = (2т), 7 = 0, 1, ... ,п на отрезке [^/2; d/2] и введем следующие обозначения:

= иГ(-у); Vi,j+m = ^"(-у), у= - m, -1,0,

Ui,j+m = Vi,j+m = vг+(s^), у = 1, m.

Заметим, что иу+)Я = Vij+m = Vп(ti, ¿у). Эти значения могут быть найдены путем чис-

ленного решения дифференциальных уравнений, определяющих геодезические линии на поверхности [2]. Для построения функций Ц(V, 8), У^, 8) используем кубические лагранжевы сплайны [4]. Такой выбор обусловлен тем, что, во-первых, эти сплайны явно заданы, во-вторых, они дважды непрерывно дифференцируемы, а расчет характеристик схемы укладки ленты связан с нахождением первых и вторых производных вектор-функции кривой, по которой укладывается нить ленты [3]. Наконец, при использовании кубических сплайнов практически исключена осцилляция между узлами сплайна.

Определим кубические лагранжевы сплайны Цу (V), Уу (V) е С2[х2; Хп-2], у = 0, 1, ..., 2m на отрезке [х7; т7+1], 7 = 2, ., п - 3 равенствами [4]:

7+2

IV--

П (V-X,)

V (Х7+2 - Х+1 )2 (t - X )3 (Х7+3 - Х-1)

I и и ,■ ---;-т^-;-

Цу ( V )= I

к=7-1

" П (Хк-X,) 3('-+' ^^)

к

,=7-1

рФк

Ц ик,у (Хг -Тг-1 )2 (тг>1 - t)3 (тг>2 - Х7-2 ) 1 ик,у .

5=7-1 П (Хк -хр) 3(Х7+1 -Хг)(Х7+1 -Хг-1) к=г"2 П (Хк -X,);

X

" 11 Г

р=7-1 р=7-2

рФк рФк

7+2

и--

П (V-Хр)

7=7-1 рФк

к Я (х -х ) 3(Х+1 -X, )(Х7+2 -X, )

V ^'рфФк1 (Хг+2 - Х+1 )2 (t - X )3 (Х7+3 - Х7-1)

V (V )= I

к=7-1 П(Хк-Хр )

р=7-1

рФк

Ц (X -Х7-1 )2 (Х7+1 - t)3 (Х7+2 -2 ) Ц

1 П (Хк -Xр) 3(Х+1 -Х7)(Х7+1 -Х7-1) к1 -2 П (Хк -Xр)'

р=7-1 р=7-2

рФк рФк

X

а на прямоугольнике К = [т2; ти-2] [5_т+2; sm-2] определим функции и^, 5), V(t, 5) следующим образом. Если 5 е [sI■; sI■+l], i = - т + 2, ..., т - 3, то положим

1+2 , \ П (5-)

и (г, 5) = ^ ик+т (^--(^+2 )'(5 ^ )3 ^+3)- *-1) х

к=1-1 П (^ - ) 3 (S1 +1 - S1 ) (S1+2 - S1 )

,к

p=i—1 p^ k

x g Uk+m (t) (S — S'—1 )2 (S'+1 — 5)3 (S'+2 — Sj—2 ) g Uk+m (t) .

k=—1 п (sk—sp) 3(+1—)(+1—1) *=*-2 in (sk—sp); p=i—1 p=i—2 рфк рФк

i+2 / \ П (5 — Sp)

'x2 v 1Л Pp*k (si+2 — Si+1 )2 (5 — si )3 (Si+3 — si—1)

V(t,5)= X Vk+m (t)

к='—1 m П ( sk — Sp ) 3 ( S' +1 — S' ) (S'+2 — S' )

, к

p=i—1 рф к

x i+3 Vk+m (t) (S' — Si—1 )2 (Si+1 — 5)3 (S'+2 — Si—2 ) Vk+m (t)

X к+m \ / — V ' i—1) V '+1 / V '+2 '—2) X

к='—1 in (Sk — Sp) 3(+1 — S)(+1 — S—1) кх2 П (Sk — Sp)

p=i—1 p=i—2 pфk pфк

Лемма. Пусть задана равномерная сетка A: x0 = a < x1<... <xn = b, xt = a + ih, i = 0, 1, ..., n на отрезке [a; b]. Если имеют место неравенства f - g'l < ст, i = 0, 1, ..., n, то для кубических лагранжевых сплайновf(x) и g(x), построенных соответственно по данным {(x-;f), i = 0, 1, ..., n}, {(x'-; g), i = 0, 1, ..., n} имеет место оценка

и , и 56

llf — gIC[x2;xn—2У CT . (1)

Доказательство. Имеем xt - xj = (i - j)h. Следовательно, если ввести обозначение y(x) = = (x - xi-1)(x - x)(x - xi+1)(x - xi+2), то для сплайнов f(x) и g(x) на отрезке [x;; xi+1], i = 2, ., n - 3 можно выписать следующие выражения:

i+2

V(x) 2(x — x )3 i+3 fk

f (x )= X fk-^---X

i+2 3 i+3

(x — xk ) h3 П (k — p) 3h k='—1 П (k — p)

p=i—1 p=i—1

pфk pфk

3

2 (xi+1 x) X fk

3h k=i—2

3 i+2

П (k — p)

p=i—2

pф к

i+2

g (х )= Z gk

x )

2 ( x - xi)

k=i—1

i+2

i+3

Z

gk

(x — Xk )h П (k — p)

p=i—1 p*k

3 i+3

3h k=i—1 П3 (к — p)

p=i—1 p*k

Отсюда получаем

2 (X+1 — x f_ Z gk

3h3

k=i—2

i+2

П (k — p)

p=i—2 p* k

i+2

f (x) — g(x) < Z \fk — gk\

k(x )|

k=i—1

i+2

2 i+3 \fk — gk\

+3 Z

i+3

- +

|x — xk|h3 П \k — p k=i—1 П \k — p|

p=i—1 pФ k

p=i—1 p*k

2 i+2 fk— gj i+2 z -ъ—l < z c

_4_ 2 Z

1 ¿—1 i+2 _ Z " i+2 + о Z

3 k=i—2 TT „I k=i—1 TT 1?, „I 3 k=i—1

С

п k—p|

n k—p

p=i—2

p*k

p=i—1 p* k

i+3

п k—p| p=i—1 p* k

+

+ 2 Z2 _

3 ^ i+2 3 k=i—2

С

п k—p|

p=i—2 p*k

16 4 4 56

=-С+--С+--С =-С

3 9 9 9

Введем обозначение для частной производной: D(a,|3)U = д a+|3U/d tad5 ß.

Теорема. Пусть при каждом фиксированном t e [t0; t1] функция одного аргумента ип (t , 5) e C4[-J/2; а/2] и при каждом фиксированном 5 e [-а/2; J/2] функция одного аргу-

мента ип (t, 5 )eC4[t0; t1]. Если D(4'0)un, Dl0'4)un e C(K), K = [t0; t1]x[-J/2; а/2], то имеет место оценка

->(0,4).

II TT u II < 56 (!' ( t1 — to

U — un| |C( к ')< у ß

D(4,0)u

+ ß'l — C(к') * ^ 2m

D(0,4)u

C( к')

где K = [X2; x„J [s.m+2; -w] И Q = 35/1152.

Доказательство. Введем следующие обозначения hs = d/(2m), ^ = (/1 - ^)/п. Для каждого фиксированного V е [х2; Хп-2] обозначим R(t, 8) кубический лагранжев сплайн, построенный для значений ип @ , si)), 7 = - m, m. Тогда, как известно [4], имеет место оценка

<п (Л 5) — R (t\ 5)

< ßh4

D(0,4)u

C (к')

для любого 8е[s-m+2;sm+2]. Следовательно, для всех 8е[s-m+2;sm+2] выполняется неравенство Ц (8) - ип (V*, 8) < Ц (Л 8) - Я(8) + ип (V*, 8) - Я (8) <

4

4

п

U(t\ 5)- R(t*, 5)1 + Q'h

D(0,4)u

c( к')"

При фиксированном значении t функция и^ , 5) представляет собой кубический лагранжев сплайн, построенный по данным • и:]+т ^ )), / = - т,...,т. Так как и+т (t) представляет собой кубический лагранжев сплайн, построенный по данным (/,■; щ+т),] = 0, 1, ..., п, а щ+т = ип (■ •,), то имеет место оценка [4]

'и (t, st )- U+m (t)|< Q'h

D(4,0)u

C( к')

для всех te[т2;тя-2], / = - т,...,т. В частности, это неравенство справедливо и для t . Следовательно, в силу неравенства (1) находим

Р - "и| C( к ')<56 ßV

D( 4'0)u

C( к')

+ Q'h4

D(0,4)u

C( к')

Как видно из полученной теоремы, если функции ип, упеС (К), то, задав на прямоугольнике К последовательность сеток = Д(^ х д(<?)

Д(^ : Ъ0 = к) <Ъ1 < ••• = t1, Ъ = к) + - )• i / ^ , = 0,1,•••, ^ ;

: тч < S-mq +1 < ••• < % , = $ / (), ■ = , •••, - 1 0, 1, •••, mq ,

удовлетворяющую условию

lim min (nq, mq ) = да,

получим последовательность замкнутых прямоугольников

к1 с к2 с... с к, к = и к

q=1

на которых будут выполняться неравенства

^ C( Kq )

\\U„ -wj|_, ч< const H Fq - vJL/~ \< const H

lb(кq )

где Hq = max((^ - t0)/nq, d/(2mq)), а Uq(t, 5) и Vq(t, 5) - функции, построенные на сетке Aq с использованием кубических лагранжевых сплайнов. Следовательно, полученные последовательности функций Uq (t, 5) и Vq (t, 5) сходятся равномерно, соответственно к ип (t, 5), vH (t, 5), на любом замкнутом прямоугольнике K' с Int K. Для того чтобы функции ип (t, 5), vH (t,5) принадлежали C4(K), достаточно, чтобы вектор-функция, определяющая поверхность оправки, принадлежала C7([a1; 61]х[а2; b2]) [2].

Укладку нитей ленты будем теперь моделировать с помощью вектор-функции

m(t, 5) = г (U(t, 5), V(t, 5)), (t, 5) е K = [12; т^] [s-m+2; Sm-2]

по следующему правилу: нить ленты, находящаяся на расстоянии |5|, 5 е [- d/2; d/2] от средней нити, укладывается по кривой, определяемой вектор-функцией ю (t, 5), t е [т2; тп-2]. Моделирование укладки ленты осуществляется с помощью явно заданной функции, тогда как в [3] - по кривым, параметрическое представление которые выписать невозможно. Тем не менее по доказанной теореме кривые, по которым укладываются нити ленты в новой модели, и кривые, по которым укладываются нити ленты в модели [3], сколь угодно мало отличаются.

п

и

и

и

Итак, с помощью построенной функции, мы сможем смоделировать укладку ленты шириной 2 - Я-т+2. Для моделирования укладки ленты шириной d нужно построить дуги геодезических у7+ и у7 длиной d/2 + Дd, для некоторого ^ > 0 и выбрать разбиение отрезка [^/2 - Ad; d/2 + Ad] так, чтобы я^г = d/2, s-m+2 = - d/2.

3. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ЗАКОНА ДВИЖЕНИЯ РАСКЛАДЫВАЮЩЕЙ ГОЛОВКИ НАМОТОЧНОГО СТАНКА

Опишем закон движения раскладчика ленты по заданному рисунку укладки ленты в системе координат, неподвижной относительно оправки. Этот закон, в отличие от закона, полученного в [1], будет учитывать ширину ленты. При получении закона движения раскладывающей головки будем использовать построенную в разд. 2 вектор-функцию Q(t, 5), моделирующую укладку нитей ленты.

Будем считать, что в пространстве фиксирована декартова система координат Oxyz, неподвижная относительно поверхности оправки. Найдем закон движения раскладчика относительно этой системы.

Положение раскладывающей головки в пространстве в системе Oxyz будем описывать радиус-вектором Га (t) одной из крайних точек A этой головки, а ее ориентацию в пространстве - вектором p(t) с началом в выбранной точке A и концом в другой крайней точке головки. При этом p(t)| = const = п (см. рисунок).

Обозначим Ха расстояние от точки A до точки схода крайней нити ленты, например определяемой вектор-функцией w(t, d/2), с поверхности оправки. Это значение зафиксируем. Аналогично, пусть Хв (t) - расстояние от другой крайней точки раскладчика до точки схода второй крайней нити с поверхности. Это значение найдем. Очевидно, имеют место равенства:

A (t) = ш (t, d /2) +

ш;( t, d/2)

Ш;( t, d /2)1

/ ч / ч / , , ч ш! (t, - d / 2) я . .

rA(t) + p(t) = Ш(t, -d/2) + *t) Хв (t).

ш

! (t, - d/2)

При этом должно выполняться равенство

Л = 1P (t )| =

ш

(t, -d/2) +

ш!(t, -d/2)

ш

t( t, - d /2)

ХB (t)- ш (t, - /2)-

ш! (t, d /2) k (t, d /2 )|

(2)

Y

B

ЫЪ

Шг (t, - d/2)

ш (t, - d/2) '

Z

Х

Определение закона движения раскладчика

Обозначим

,ч wt (t, d /2) .. wt ít, - d /2) . ,, . ,, .

01 (t) = I , ) ,,, I; 02(t) = i t ' 1; %(t) = wt (t, -d/2)-wt (t,d/2) .

|wt (t, d/2) w |wt (t, - d/2)1

(2) можно п нение для определения XB(t):

2 I |2

Тогда равенство (2) можно переписать в виде ^ = К + X562 - X. Отсюда получаем урав-

12в + 2Х в ((%, 02 )-^ A (01, 02 )) + ^A - 2 ( %, 01) X a +|%|2 -П2=0. Дискриминант полученного квадратного уравнения имеет вид

D = 4 (x2a ((01, 02 )2 - 1) + (( %, 02 )2 - |%|2 ) + 2Я A ((%, 01)-(%, 02 )(01, 02 )W ) .

При этом заметим, что |%| < (01,02) «1, (%, 01) « (%, 02) « 0 . Итак, если D > 0, то для Хв (t) получаем следующее выражение:

Я в = Х a ( 01, 02 )-( %, 02 )± 2 (ta Q Ч2 A.íís Q Ч2 líl2\ , оч /7 с а\ /со Wa 9^.-2

±^А ((01, 02 )2 - !) + (( %, 02 )2 - |%|2 ) + 2^ а ((%, 01)-(%, 02 )(01, 02 ))+П2.

Окончательно получаем систему равенств, определяющих положение раскладочной головки намоточного станка в системе координат 0ху2:

,ч ю» (х^ /2) .. ю^ (х,^ /2) . ,, . ,, . 01 (х)=; 02 (х)=; % (х)=юх (х^/2) - юх/2);

Я 5 = Х А (01, 02 )-( %, 02 )±

±^А ((01, 02 )2 - 1) + ((%, 02 )2 - |%|2 ) + 2^А ((%, 01)-(%, 02 )(01, 02 )) + П2 ' Га (х) = ю(х, d /2) + 01 (X)Ха; Р(х) = %(х) + 02 (х)X5 (х) -01 (х)Ха .

Итак, по заданному рисунку укладки ленты на поверхность технологической оправки получен закон движения раскладывающей головки намоточного станка.

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Предложена новая геометрическая модель укладки ленты на поверхность технологической оправки в процессе намотки. Процесс намотки осуществляется на станках с числовым программным управлением и имеет ряд особенностей. Укладка ленты на оправку осуществляется в соответствии с программой движения головки намоточного станка. Качество получаемого изделия, его прочностные и геометрические характеристики зависят от качества отработки расчетных траекторий, точности укладки ленты по расчетным траекториям, создания на раскладчике нужного натяжения. Поэтому для разработки программ движения головки намоточного станка необходима наиболее полная геометрическая модель процесса укладки ленты, которая учитывает реальную структуру ленты. Созданная на базе этой геометрической модели компьютерная модель процесса намотки позволит отработать схему укладки ленты до выхода на станок с ЧПУ. Это сэкономит дорогостоящие композиционные материалы, поскольку схема укладки создается не на реальном станке, а в компьютерной модели.

В [3] впервые была предложена геометрическая модель намотки, учитывающая реальную структуру ленты и предназначенная не только для поверхностей вращения. До нее рассматривались в основном только нитевые модели, в которых ширина ленты не учитывалась. Недостаток указанной модели заключается в том, что моделирование укладки нитей ленты происходит по кривым, параметрическое представление которых неизвестно. Это вносит трудности в анализ схемы укладки ленты. В предлагаемой нами геометрической модели укладки ленты на оправку указанный недостаток устранен. Укладка ленты моделируется с помощью явно заданного гладкого отображения прямоугольника в пространство. С использованием методики расчета параметров схемы укладки (параметра, характеризующего равновесность ленты на поверхности и параметра, характеризующего ее прилегания к поверхности), предложенной в [5], может быть разработана компьютерная модель процесса намотки, которая позволит дать детальный анализ выбираемой схеме укладки ленты.

В данной статье, с использованием отображения, моделирующего укладку ленты на технологическую оправку, получен закон движения нитераскладывающего механизма. Этот закон учитывает ширину и реальное расположение ленты на поверхности, поэтому не имеет себе аналогов. До сих пор попытки построения таких законов осуществлялись в рамках нитевых моделей (не учитывающих ширину ленты) только по кривой, определяющей рисунок укладки ленты.

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Душенко А.Г., Моргун А.Н., Боляев В.И. Расчет технологических координат траектории движения укладчика // Тр. Новочеркасск. политехи. ин-та им. С. Орджоникидзе. - 1975. - Т. 310. - С. 18-24.

[2] Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - Изд. 4-е, испр. - М.: Едиториал УРСС, 2003.

[3] Калинин В.А., Якунин В.И. Геометрическое моделирование технологического процесса намотки в производстве ЛА: учеб. пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1995.

[4] Квасов Б.И. Изогеометрическая аппроксимация сплайнами. - М.: Физматлит, 2006.

[5] Битюков Ю.И. О параметрах, характеризующих схему укладки ленты в процессе намотки // Вестн. МАИ. -2009. - Т. 16, № 5. - С. 274-281.

Битюков Юрий Иванович, кандидат технических наук, доцент кафедры теории вероятностей Московского авиационного института. Направление научных исследований - геометрическое моделирование, теория сплайнов, дифференциальная геометрия. Имеет 16 публикаций, в том числе 1 монографию. E-mail: aet@mai.ru

Yu.I. Bitjukov

Definition of the law of movement of a displaying head of the machine tool on the set drawing ofpacking of a tape on a technological surface in the course of winding of designs from composite materials

Given article is devoted development of geometrical model of technological process of winding of designs from fibrous composite materials. In article tape packing on a surface is modeled by means of obviously set smooth display of a rectangle in space which is under construction on the known curve setting drawing of packing (or the reinforcing scheme) tapes on a surface. Using the constructed display, in article the law of movement of a displaying head of the machine tool in system of co-ordinates, motionless concerning a surface turns out.

Key words: a spline, composite materials, semigeodetic system of co-ordinates, geodetic