CC BY
135
ISSN 0321-2653 ИЗВЕСТИЯ ВУЗОВ. СЕВЕРО-КАВКАЗСКИЙ РЕГИОН._ТЕХНИЧЕСКИЕ НАУКИ. 2018. № 3
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 3
УДК 004.942 DOI: 10.17213/0321-2653-2018-3-27-33
МОДЕЛИРОВАНИЕ НАМОТКИ КОМПОЗИТНЫХ КОНСТРУКЦИЙ
© 2018 г. Е.С. Устинова
Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия
MODELING OF COMPOSITE STRUCTURES WINDING
E.S. Ustinova
Platov South Russian State Polytechnical University (NPI), Novocherkassk, Russia
Устинова Елена Сергеевна - мл. науч. сотр., НИИ Вычислительных, информационных и управляющих систем, Южно-Российский государственный политехнический университет (НПИ) имени М.И. Платова, г. Новочеркасск, Россия. [email protected]
Ustinova Elena Sergeevna - Junior Researcher, Research Institute of Computing, Information And Control Systems, Platov South-Russian State Polytechnic University (NPI), Novocherkassk, Russia. E-mail: [email protected]
Метод намотки используется для производства изделий из полимерных композиционных материалов путем автоматизированной укладки волокнистого материала на оправку, вращающуюся в намоточном станке. Рабочие органы намоточного станка с ЧПУ перемещаются по заданной управляющей программе, рассчитанной для изготовления конкретного изделия. Необходима математическая модель процесса намотки, учитывающая кинематические особенности станка и позволяющая производить оценку влияния различных возмущающих факторов метода намотки, на результат отработки управляющих программ.
Ключевые слова: намотка; оправка; намоточный станок с ЧПУ; линия укладки; композиционные материалы.
The winding method is used for the products from polymer composite materials manufacturing by automated laying of fibrous material on a mandrel that rotate in a winding machine. The CNC winding machine operating parts are moved according to prescribed NC code calculated for the product manufacture. A winding process mathematical model is required, which takes into account the kinematic features of the machine and allows one to evaluate the various perturbing factors influence of the winding method on the CN codes exercise result.
Keywords: winding; mandrel; CNC winding machine; laying line; composite materials.
Целью данной работы является разработка модели, позволяющей проводить оценку точности укладки волокнистого композиционного материала на поверхность оправки при наличии различных возмущающих факторов, сопутствующих технологическому процессу намотки, и проверку адекватности существующих моделей, используемых в современных системах подготовки управляющих программ (УП) намотки (CAM для намоточных станков) [1 - 3].
В сравнительно недавних работах [4, 5] рассматривалась задача восстановления линии укладки на оправке произвольной формы для известной траектории движения точки схода
нити [6]. В этих работах кинематика станка не рассматривалась. Предполагалось, что траектория точки схода нити может быть определена точно путем решения прямой задачи кинематики [7, 8] для всякого намоточного станка. Что справедливо только в том случае, когда точка схода нити на выходном звене станка зафиксирована при помощи гребенки или фильеры.
В работах [9, 10] предложена модель процесса укладки нити на поверхность произвольной формы, описываемая системой дифференциальных уравнений, устойчивость решения которых доказана прямым методом Ляпунова. Однако кинематика станка по-прежнему не рассматривается.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 3
В настоящей работе в качестве выходного звена намоточного станка рассматривается валок, на котором точка схода нити механически не фиксируется. Такое исполнение выходного звена станка в настоящее время является одним из самых распространенных (станки фирмы ООО «НПП ВИУС» г. Новочеркасск), поскольку данное решение позволяет улучшить управляемость шириной ленты материала, состоящей из нескольких жгутов. При этом в настоящей работе валок представлен в виде стержня, что принято намеренно для упрощения модели. Исходными данными для работы с моделью являются заданные траектории рабочих органов намоточного станка [11], а не траектория схода нити. Поэтому предлагаемая модель, на взгляд авторов, является более полной по сравнению с известными моделями.
В качестве примеров возмущающих факторов технологического процесса, степень влияния которых на точность укладки материала на поверхности оправки может быть оценена при помощи предлагаемой модели, укажем следующие:
- погрешность в исходном расположении рабочих органов намоточного станка относительно оправки перед началом намотки;
- погрешность в установке оправки (биения, перекосы);
- неточности в модели поверхности оправки, по которой строится УП;
- погрешность в траекториях рабочих органов намоточного станка, вызванная отличием планируемых и реальных траекторий.
УП намотки для станка формируется на основе моделирования с использованием моделей: оправки, линии укладки материала, траектории движения точки схода нити, станка [1, 4]. Причем преобразование данных выполняется в следующем порядке: моделирование оправки, расчет линии укладки, формирование траектории схода, расчет траекторий движения рабочих органов станка. Предлагаемая в настоящей работе модель позволяет получить линию укладки на поверхности оправки на основании заданных траекторий движения рабочих органов станка, что дает возможность сопоставить две линии укладки, полученные в прямом и обратном направлениях преобразования данных и, таким образом, оценить адекватность используемых моделей.
На рис. 1 представлена модель намоточного станка, который послужил объектом для
исследования. В рамках настоящей модели интересуют следующие узлы станка:
- фиксированная точка тракта (А);
- выходное звено (В);
- оправка (С).
Рис. 1. Модель намоточного станка типа РПН (ООО «НПП ВИУС») / Fig. 1. Model of winding machine RPN type (OOO «NPP VIUS»)
Примем ряд допущений:
1. Над выходным звеном станка, на заданном расстоянии от него, расположена гребенка, которая фиксирует положение нити. Таким образом, будем считать, что точка касания нити фиксирована (точка А);
2. Выходное звено может иметь сложную геометрическую форму (цилиндр или вогнутая поверхность вращения). В модели примем за выходное звено стержень. По этому стержню нить может перемещаться.
С учётом допущений получим следующую геометрическую модель рассматриваемой системы объектов, которая включает выходной стержень, фиксированную точку тракта и оправку (рис. 2).
§2 = §2 ( h)
O /
Рис. 2. Геометрическая модель системы объектов / Fig. 2. Objects system geometrical model
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 3
Все рассматриваемые объекты отложим в системе координат О, привязанной к станине станка. Вектор обобщенных координат станка Х считается известным. Он задает положение всех тел в пространстве относительно системы координат О.
Задача состоит в определении положения нити на поверхности оправки и выходном стержне для начального значения вектора Х и для всех последующих положений рабочих органов намоточного станка при условии, что нить натянута.
Под определением положения нити будем понимать вычисление координат точки (и^) касания нитью оправки (оправка представлена в параметрическом виде уравнением г = г (и,у)) и
величины смещения (И) нити вдоль выходного стержня относительно центра системы координат, привязанной к середине стержня (рис. 2).
Зададимся значением координаты и на поверхности оправки. Физически это означает, что нить привязывается к оправке в некоторой точке (на некотором поперечном сечении оправки). Тогда уравнения для определения начального положения нити (И, V) можно записать в следующем виде:
F ( h,v ) =
fx ( h,v )
f (h,v)
gl (h,v) + §2 (h) ||gl (h,v) + §2 (h)||
I gl (h,v) m(v) \lg1(h,v 11m( v
p
i = 0
,(1)
1 = 0
где
g! (h, v) = Mcr (u, v) - w (h); g2 (h) = M^e - w (h);
m (v ) = Mc [ru (u,v )x rv (u,v)] - вектор нормали
3r(u,v)
поверхности оправки; ru (u,v) =
du
, . Зг (и,у)
гу (и,у) =—-—-; р = Мвеу - вектор, направку у
ленный вдоль выходного стержня; w (к) = Мв (е + Неу ) - радиус-вектор точки схода
нити со стержня; М^, Мв и Мс - матрицы приведения систем координат гребенки, стержня и оправки к системе координат станка соответственно.
Первое уравнение системы (1) означает, что скольжение нити по поверхности выходного стержня в статическом натянутом положении отсутствует. Второе уравнение требует, чтобы натянутая нить лежала в плоскости, касательной к поверхности оправки. Система (1) может быть
решена методом Ньютона [12]. Критерий останова выполнения метода Ньютона запишем в виде:
,1 (н,У))2 +(/2 (к,У))2 < 8 .
После определения значений (И, V), обеспечивающих натянутое состояние нити для начального значения вектора Х0, необходимо найти положения нити для всех последующих значений вектора Хг. Для этой цели составим следующую систему нелинейных уравнений:
g1 (Н,Л) + g2 (к)
F ( h,As ) =
fx ( h,As )
f2 ( h, As )"
||§1 (h, As) + §2 (h)|| gx (h,As) m(As)
Jgi (h,As )ll 11 m(As )|| ,
p = 0
,(2)
1 = 0
m
где Л - смещение вдоль вектора касательной к поверхности оправки;
^ (Н,Л ) = Мг (и (Л) ,у (л))- w (к);
(Л) = Мс [ги (и (Л),у(Л)) х Гу (и (Л),у(Л))] ;
и (Л ) = и0 + и0 Л ; у (Л) = у0 + у0 Л .
При определении положения нити на основании системы (2) предполагается, что очередная точка касания (рис. 3) оправки может быть найдена выполнением перемещения Л в направлении вектора касательной к оправке Т0. Вектор Т0 определяется для точки (и0, vo), найденной при предыдущем значении вектора Х.
С
Рис. 3. К определению очередной точки линии укладки / Fig. 3. Determining the next point of the laying line
Значения u0 и v0 определяются по вектору касательной, заданному в системе координат оправки, следующим образом:
, _([тx rv],m) ,
un =
(m ,m) , _([т x ru ],m)
Уо = / \
В последних выражениях предполагается, что все векторы отложены в системе координат оправки.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 3
Таким образом, предлагаемая модель представляет собой две системы нелинейных уравнений (1) и (2). Порядок использования модели следующий:
1) для начального значения вектора обобщенных координат станка X и параметра и на оправке определяется начальное положение нити (к, V) путем решения системы (1) численным методом;
2) все остальные векторы положений нити (и^,к)"+1 определяются путем решения системы
(2) для известного вектора Хи+1 и вектора (и,^Л)" .
Проведем тестирование разработанной модели.
Рассмотрим две поверхности вращения в качестве поверхностей оправок: цилиндр и цилиндр со сферическими днищами (баллон).
Построим на каждой поверхности линии укладки с постоянным значением угла геодезического отклонения, а также геодезическую линию. Будем обозначать эти линии г (¿1) .
Для линий укладки, сконструированных на цилиндре, построим траектории точек схода нити по формуле:
Я(,у) = п (я) + Х(я)т(^), где X (я) - константа.
Для линий укладки, построенных на баллоне, построим траектории точек схода нити с использованием поверхности безопасности. В этом случае закон X (я) определяется путем пересечения касательных к линии укладки с поверхностью безопасности.
Сформируем траектории движения рабочих органов (массив векторов обобщенных координат Х) для четырехкоординатного станка типа РПН для траекторий точек схода нити, полученных путем решения обратной кинематической задачи для каждой точки линии укладки. Исходные данные для модели подготовлены.
Применим описанную модель для восстановления линии укладки на поверхности оправки, т. е. получим линии укладки Г2 (¿2 ) .
Для оценки результата восстановления воспользуемся следующим подходом. Имеются две линии укладки г (¿1) и Г2 (¿2) . Для того чтобы оценить близость линии г2 к г1 , нужно каждой точке линии г (я/) найти соответствующую точку на линии г2 такую, что
(r1 ( )- r2 (5 2* ),Ti)
= 0 (рис. 4), где тг- - касательная к линии укладки в точке г (я/ ), Я2 -точка минимума функции, представленной выше.
I + 2
i - 2
O
Рис. 4. К определению соответствующей точки на восстановленной линии / Fig. 4. Definition of the corresponding point on the reconstructed line
После определения минимума функции Я2 расстояние до линии Г2 в точке ij ^я/ j вы-
числяется так
di =
(я/ )- r2 ( s2 )
(3)
Таким образом, качество восстановления линии укладки оцениваем при помощи разности (3).
Очевидно, что точность восстановления линии укладки должна зависеть от шага, взятого на траекториях рабочих органов Х станка. Сравним качество восстановления при шагах, отличающихся в 4 раза.
Исходные данные для тестирования модели на цилиндрической поверхности представлены в табл. 1.
Таблица 1 / Table 1 Данные для тестирования на цилиндре / Data for testing on a cylinder
Параметр Значение
Геометрические размеры длина 1000 мм, радиус 120 мм
Угол намотки в первой точке линии укладки 45°
Тангенс угла геодезического отклонения ($0) 0; - 0,2; + 0,2
Величина X 150 мм
Шаг по параметру вдоль траекторий движения рабочих органов станка 10 мм; 2,5 мм
На рис. 5 показана модель цилиндрической поверхности и линии укладки, построенные на ней.
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 3
0,000004 0,0000038 0,0000036 0,0000034 0,0000032 0,000003 0,0000028 0,0000026 0,0000024 0,0000022 0,000002 0,0000018 0,000016 0,0000014 0,0000012 0,000001
0,0000006 0,0000004 0,0000002 0
Шш = № мм ■
Шаг = 2-.iiM«-
0
0
50 60 70 Номер точки
б
90 100 110
0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110
Номер точки
Рис. 6. Графики расстояний между исходными и восстановленными линиями укладки на цилиндре: а - при tg0 = - 0,2; б - при tg0 = 0; в - при tg0 = 0,2 / Fig. 6. Graphs of the distances between the initial and reconstructed laying lines on the cylinder: а - at tg0 = - 0,2; б - at tg0 = 0; в - at tg0 = 0,2
Исходные данные для тестирования модели на поверхности баллона представлены в табл. 2.
Таблица 2 / Table 2 Данные для тестирования на баллоне / Data for testing on a bulb
Рис. 5. Линии укладки на цилиндрической поверхности / Fig. 5. Laying lines on a cylindrical surface
Оценка результатов восстановления линий укладки, выполненная по формуле (3) для цилиндрической поверхности, показана в виде графиков на рис. 6.
0,50
0,45 0,40 0,35 0,30 0,25 0,20 0,15 0,10 0,05 0
Параметр Значение
Геометрические размеры длина 510 мм; радиус цилиндрической части 85 мм; длина цилиндрической части 342 мм
Тип витка Спиральный
Тангенс угла геодезического отклонения ^0) 0; - 0,2; + 0,2
Величина X Переменная
Шаг по параметру вдоль траекторий движения рабочих органов станка 4,28 мм; 1,07 мм
На рис. 7 показана модель поверхности баллона и линии укладки, построенные на ней.
Рис. 7. Линии укладки на поверхности баллона / Fig. 7. Laying lines on a bulb surface
Оценка результатов восстановления линий укладки, выполненная по формуле (3) для поверхности баллона, показана в виде графиков на рис. 8.
Отклонения на графиках даны в миллиметрах. Видно, что сокращение расстояния между точками на траекториях движения рабочих органов станка приводит к уменьшению отклонения восстановленных линий от исходных, причем точность восстановления пропорциональна уменьшению величины шага. Полученные значения отклонений в 0,5 мм можно считать приемлемыми с учетом размеров оправок и специфики технологического процесса жгутовой намотки. Таким образом, предложенная модель может использоваться для исследования процесса жгутовой и нитяной намотки.
а
10
20
30
40
80
в
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION.
TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 3
1,2 1,1 1
0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0,1 0
0 20 40 60 80 100 120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Номер точки
20 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Номер точки
120 140 160 180 200 220 240 260 280 300 Номер точки
Рис. 8. Графики расстояний между исходными и восстановленными линиями укладки на баллоне: а - при tg0 = - 0,2; б - при tg0 = 0; в - при tg0 = 0,2 / Fig. 8. Graphs of the distances between the initial and reconstructed laying lines on the bulb: а - at tg0 = - 0,2; б - at tg0 = 0; в - at tg0 = 0,2
Литература
Маринин В.И., Князев Д.Н., Искиндиров М.С., Бабичев А.А., Азаров А.В. Программно-математическое моделирование технологического процесса намотки композитных конструкций сложной геометрической формы // Вопросы оборонной техники. Серия 15. Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. 2015. № 3 (178). 88 с.
2. Князев Д.Н. Автоматизация подготовки производства неосесимметричных оболочек из композиционных материалов методом намотки // Интеллектуальные системы 2007 и Интеллектуальные САПР 2007: материалы меж-дунар. конф. Дивноморское, 3 - 10 сент. 2007 г. / ТРТУ. М., 2007. С. 153 - 157.
3. Маринин В.И., Князев Д.Н., Миткевич А.Б. Разработка системы автоматизированной подготовки управляющих программ для намоточных станков // Теория и практика технологий производства изделий из композиционных материалов и новых металлических сплавов (ТПКММ). Корпоративные нано- и CALS-технологии в наукоемких отраслях промышленности: материалы междунар. конф. Москва, 26 - 29 апр. 2005 г. М.: Знани, 2006. С. 537 - 540.
4. Шварц А.Б., Князев Д.Н. Моделирование процесса формирования изделия методом намотки при заданных траекториях движения рабочих органов намоточного станка // Новые технологии управления движением технических объектов: материалы междунар. конф. Новочеркасск, 12 - 14 дек. 2001 г. Ростов н/Д: Изд-во СКНЦ ВШ, 2001. Т. 3. С. 53 - 55.
5. Шварц А.Б. Математическое и программное обеспечение геометрического моделирования процессов намотки изделий из композиционных материалов: дис. ... канд. техн. наук. Новочеркасск, 2002.
6. АлексейчикВ.В., Ершов В.К., Иванченко А.Н., Пальцев В.А. Структура модели процесса намотки в системе автоматизированного проектирования управляющих программ для станков с ЧПУ // Системы управления технология. процессами: Межвуз. сб. Новочеркасск: Изд-во НПИ, 1980. 42 с.
7. Фу К., Гонсалес Р., Ли К. Робототехника: пер. с англ. М.: Мир, 1989. 624 с.
8. Коловский М.З., Слоущ А.В. Основы динамики промышленных роботов. М.: Наука, 1988. 240 с.
9. Маринин В.И., Князев Д.Н., Савин А.Г. Моделирование технологического процесса намотки изделий на многокоординатных намоточных станках. // Управление большими системами (УБС 2015): материалы всерос. конф. Волгоград, 7 - 11 сент. 2015 г. М.: ИПУ РАН, 2015. С. 738 - 748.
10. Савин А.Г. Решение задачи построения линии укладки нити на поверхности оправки для заданных траекторий движения рабочих органов намоточного станка при моделировании технологического процесса намотки // Вопросы оборонной техники. Серия 15: Композиционные неметаллические материалы в машиностроении. 2016. № 3 - 4 (182 - 183). С. 77 - 83.
11. Маринин В.И., Князев Д.Н. Расчет координатных перемещений рабочих органов трехкоординатного намоточного станка // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Техн. науки. Спецвыпуск: Математическое моделирование и компьютерные технологии. 2002. С. 38 - 40.
12. Моисеев Н.Н. Элементы теории оптимальных систем. М.: Наука, 1974. 528 с.
References
а
б
в
1
1. Marinin V.I., Knyazev D.N., Iskindirov M.S., Babichev A.A., Azarov A.V. Programmno-matematicheskoe modelirovanie tekhno-logicheskogo protsessa namotki kompozitnykh konstruktsii slozhnoi geometricheskoi formy [Programmatic and mathematical modeling of the technological process of winding composite structures of complex geometric shape]. Voprosy oboronnoi tekhniki. Seriya15. Kompozitsionnye nemetallicheskie materialy v mashinostroenii, 2015, no. 3 (178), p. 88. (In Russ.)
ISSN 0321-2653 IZVESTIYA VUZOV. SEVERO-KAVKAZSKIYREGION. TECHNICAL SCIENCE. 2018. No 3
2. Knyazev D.N. [Avtomatizatsiya podgotovki proizvodstva neosesimmetrichnykh obolochek iz kompozitsionnykh materialov metodom namotki]. Intellektual'nye sistemy 2007 i Intellektual'nye SAPR 2007: materialy mezhdunar. konf. [Intellectual Systems 2007 and Intelligent CAD 2007: Materials of the International. conf]. Moscow, 2007, pp. 153 - 157. (In Russ.)
3. Marinin V.I., Knyazev D.N., Mitkevich A.B. [Development of a system for automated preparation of control programs for winding machines]. Teoriya i praktika tekhnologii pr-va izdelii iz kompozitsionnykh materialov i novykh metallicheskikh splavov (TPKMM). Korporativnye nano- i CALS-tekhnologii v naukoemkikh otraslyakh promyshlennosti: materialy mezhdunar. konf. [Theory and practice of technologies for the production of composite materials and new metal alloys (TPKMM). Corporate nano- and CALS-technologies in science-intensive industries: materials of the international. conf.] Moscow, 2006, pp. 537-540. (In Russ.)
4. Shvarts A.B., Knyazev D.N. [Modeling of the process of forming the product by winding with the given trajectories of the movement of the working parts of the winding machine]. Novye tekhnologii upravleniya dvizheniem tekhnicheskikh ob"ektov: materialy mezhdunar. konf. [New technologies for controlling the movement of technical objects: materials of the international. conf.]. Rostov-on-Don, 2001, T. 3, pp. 53 - 55. (In Russ.)
5. Shvarts A.B. Matematicheskoe i programmnoe obespechenie geometricheskogo modelirovaniya protsessov namotki izdelii iz kompozitsionnykh materialov. Diss. kand. tekhn. nauk [Mathematical and software for geometric modeling of the processes of winding products from composite materials. Cand. tech. sci. diss.]. Novocherkassk, 2002. (In Russ.)
6. Alekseichik V.V., Ershov V.K., Ivanchenko A.N., Pal'tsev V.A. Struktura modeli protsessa namotki v sisteme avtomatizirovan-nogo proektirovaniya upravlyayushchikh programm dlya stankov s ChPU [Structure of the winding process model in the computer-aided design of control programs for CNC machines] Sistemy upravleniya tekhnologich. protsessami, 1980, p. 42. (In Russ.)
7. Fu K., Gonsales R., Li K. Robototekhnika [Robotics]. Moscow, 1989, 624 p.
8. Kolovskii M.Z., Sloushch A.V. Osnovy dinamiki promyshlennykh robotov [Basics of the dynamics of industrial robots]. Moscow,
1988, 240 p.
9. Marinin V.I., Knyazev D.N., Savin A.G. [Modeling of the technological process of winding products on multi-axis winding machines]. Upravlenie bol'shimi sistemami (UBS 2015): materialy vseross. konf. [Management of large systems (UBS 2015): materials vseross. conf.]. Moscow, 2015, pp.738-748. (In Russ.)
10. Savin A.G. Reshenie zadachi postroeniya linii ukladki niti na poverkhnosti opravki dlya zadannykh traektorii dvizheniya rabo-chikh organov namotochnogo stanka pri modelirovanii tekhnologicheskogo protsessa namotki [The solution of the problem of constructing the laying line of the filament on the surface of the mandrel for given trajectories of the movement of the working parts of the winding machine while modeling the winding process]. Voprosy oboronnoi tekhniki. Seriya 15. Kompozitsionnye nemetallicheskie materialy v mashinostroenii,2016, no. 3-4 (182-183), pp.77 - 83. (In Russ.)
11. Marinin V.I., Knyazev D.N. Raschet koordinatnykh peremeshchenii rabochikh organov trekhkoordinatnogo namotochnogo stanka [Calculation of coordinate displacements of the working bodies of a three-axis winding machine]. Izv. vuzov. Sev.-Kavk. region. Tekhn. nauki. Spetsvyp.: Matematicheskoe modelirovanie i komp'yuternye tekhnologii, 2002, pp. 38 - 40. (In Russ.)
12. Moiseev N.N. Elementy teorii optimal'nykh system [Elements of the theory of optimal systems]. Moscow, 1974, 528 p.
Поступила в редакцию /Receive 24 апреля 2018 г. /April 24, 2018
