CC BY-NC
0
УДК 621.317.334.5 EDN: EAELXG
Г.Н. Цицикян , В.В. Григорьев
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ВЗАИМНЫХ ИНДУКТИВНОСТЕЙ И ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИХ СИЛ В СООСНЫХ СИСТЕМАХ С СИММЕТРИЕЙ ВРАЩЕНИЯ
Объект и цель научной работы. Статья посвящена методу оценки взаимной индуктивности и электродинамических сил для соосных соленоидальных и дисковых катушек на основе выражений, содержащих сферические функции Лежандра с полуцелым индексом, численные значения которых определяются через найденные соотношения между ними и подробно табулированными вспомогательными функциями. Материалы и методы. Использованы методы теоретической электротехники. Основные результаты. Даны примеры численной реализации и необходимые сопоставления. Заключение. Указанный метод рекомендуется для численной реализации.
Ключевые слова: взаимная индуктивность, электродинамические силы, однослойные и двухслойные соленоиды. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
UDC 621.317.334.5 EDN: EAELXG
G.N. Tsitsikyan , V.V. Grigoryev
Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
DETERMINATION OF MUTUAL INDUCTANCE
AND ELECTRODYNAMIC FORCES IN COAXIAL SYSTEMS
WITH ROTATIONAL SYMMETRY
Object and purpose of research. The paper deals with the method used to estimate mutual inductance and electro-dynamic forces of coaxial solenoid and disk coils based on the equations containing Legendre spherical functions with semiinteger index, whose numerical values are obtained through the relations derived between the same, and elaborately tabulated auxiliary functions.
Materials and methods. The methods of electric engineering theory are applied. Main results. Examples of numerical implementation and necessary comparisons are provided. Conclusion. This method is recommended for numerical implementation. Keywords: mutual induction, electrodynamic forces, single- and double-layer solenoids. The authors declare no conflicts of interest.
Как известно из литературных источников, численная оценка взаимных индуктивностей и электродинамических сил в токопроводных системах с симметрией вращения [1] продолжает оставаться в поле зрения инженерных и научных работников [2-5].
Для компактных по виду выражений взаимной индуктивности и электродинамических сил в си-
стемах с симметрией вращения требуется численная реализация, которая может быть получена с использованием соотношений, связывающих искомые величины со вспомогательными функциями с имеющимися табличными значениями. Примером служит нахождение численных значений взаимной индуктивности двух коаксиальных круговых кон-
Для цитирования: Цицикян Г.Н., Григорьев В.В. Определение взаимных индуктивностей и электродинамических сил в соосных системах с симметрией вращения. Труды Крыловского государственного научного центра. 2024; 4(410): 127-131.
For citations: Tsitsikyan G.N., Grigoryev V.V. Determination of mutual inductance and electrodynamic forces in coaxial systems with rotational symmetry. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2024; 4(410): 127-131 (in Russian).
туров с радиусами Я1 и Я2 (рис. 1) по выражению (5.20) в [1], когда взаимная индуктивность может быть определена в соответствии с выражением:
M _ 10 д/RR F (m2), 4п
(1)
где ¥(ш ) - вспомогательная табулированная функция от безразмерной величины да2.
m2 = (R2 - Rl)2 + (R2 + R1)2 + х2
(2)
M _ | 04RR~2QV2 ( g ) = I 04RR~2QV2 (1 + Ag ),
х2 + Rj2 + R22 _ 1+ х2 + (R2 -Rj)2
2RR
2RjR2
1+ Ag,
(3)
(4)
Ag
х2 + (R2 - Rj)2 2RjR2 '
(5)
В работе [8] вместо х2 используется обозначение 22.
Из сопоставления выражений (1) и (3) следует, что
Qi/2(1 + Ag ) =
F ( m2) 4п '
(6)
Ri
a
Ri
Рис. 1. Коаксиальные контуры радиусов R1 и R2 с расстоянием х между плоскостями их расположения
Fig. 1. Coaxial circuits of radius R1 and R2 with х distance between the planes of their arrangement
как и записано в [8], и между выражениями (2) и (5) имеет место следующее равенство:
Л" (7)
Другая форма представления для взаимной индуктивности двух параллельных коаксиальных контуров дана в работах [3-5, 7, 8] через сферическую функцию Лежандра второго рода, которая в обозначениях рис. 1 записывается в виде [8]:
2 + Ag
которое может быть проверено непосредственной подстановкой (5) в (7).
Отсюда и вытекает возможность нахождения численного значения функции Q1/2 (1 + Дg), входящей в формулу (3), когда по значению Дg находится численное значение да2 в соответствии с (7), а затем по таблице значений, связывающей F(ш2) и ш2 с интервалом 0,01 [1], находится численное значение F [1, табл. 5.5] с завершающим делением на 4п для получения значения Q1|2 (1 + Дg) в соответствии с (6) и М по формуле (3).
2 0,15
Пусть для примера Дg = 0,15 и ш - ~
2,15
значение
где х - расстояние между плоскостями витков и Ag равно:
= 0,0698 ^ 0,07.
Значению m2 = 0,07 отвечает F = 10,18, и тогда соотношение (6)
Q1/2(1 + 0,15) _ Q1/2(1,15) _ 1018 = 0,81,
4п
и, следовательно, М = Д0Ч/Я1Я2 ■ 0,81.
Полученное численное значение для Q1/2 (д) незначительно отличается от усредненного значения, когда g располагается между значениями 1,1 и 1,2 в соответствии с таблицей значений для Q1/2 ^), данной в Приложении 4.1 в [7].
Переходя к определению силы взаимодействия соленоида с током ¡1 и с числом витков w1 и витка с током /2 имеем [3], (рис. 2):
/с
ЮЛ W \ R
сол,виток
(2s / R1) ^ R,
>1/2
[Q1/2 (gl ) - Q1/2 (g2 )]_
M J
I0V2 W
(2s / R1)
R.
Л
>1/2
[Q1/2 (1 + Ag1) - Q1/2(1 + Ag2)], (8)
где w1 - число витков соленоида, Я1 и Я2 - радиусы соленоида и витка.
g1,2 _ 1 + '
51,2
_ 1 +
(х + s)2 + (R2 -Rx)2
Здесь
51,2
2R1R2
(х + s)2 + (R2 - Rt)2
2R1R2
(9)
(10)
и х + 5 - расстояния между крайними витками соленоида и витка радиуса Я2.
Отметим, что в оригинале [3] вместо x используется обозначение h.
Для оценки силы взаимодействия соленоида радиуса Rl и соосного витка радиуса R2 в соответствии с (8) следует найти численные значения функций Ql/2 (£0 и ^^1/2 £), где gl22 = 1 + Д£1,2 и Д^д определить в соответствии с формулой (10) с последующим
2 А?1,2
нахождением ш12 =-:— в соответствии с (7).
, 2 + А£1,2
И, наконец, получить численные значения функции Q1/2 (1 + Д£12) в соответствии с (6):
01/2(1 + Ag 1,2) =
F1,2( от1,2) 4п '
(11)
Другой метод расчета силы взаимодействия соленоида и соосного витка указан в [8].
Переходя к конкретному примеру, примем х = 2' (рис. 2) и R2 = R1 = R. Положим в примере, что ' = R, и тогда для численных значений Д£12 по формуле (10) найдем:
g Is = R =
2R
2 S = R
= 0,5; Ag2|s=R =
9s2
2R
2 ls=R
= 4,5.
Следовательно, в соответствии
2 0,5 0 2 и 2 4,5 = — = 0,2 и m
с
(7),
2,5 2 6,5
Теперь по табл. 5.5 в [1] и по конкретным значениям т12 = 0,2 и т22 = 0,69 для ^(да12) и ^(да22) имеем следующие значения: ^(0,2) = 4,941 и ^(0,69) = = 0,557. В соответствии с (11) на основании полученных численных значений для ^(0,2) и ^(0,69) делением на 4п находим Q1/2 (1,5) = 0,393 и Q1/2 (0,69) = = 0,044 для последующего определения силы между соленоидом и соосным витком.
В результате для _/£ол., виток с учетом принятых в примере условий получаем по выражению (8):
0,692.
/с
сол.,виТок k =r2 =r = -(0,393-0,044) :
2 s / R=2
2
Ию¥2 w1 2
0,349.
/с
сол.,диск.кат.
Мю¥2 w1
- ( R
(2s / Rj)
1S
1) n=1
v R1 У
[Qm(gm ) - Qm(g 2n )], (12)
Рис. 2. Соленоид радиуса R1 с числом витков w1 и соосный виток радиуса R2 на расстоянии х от плоскости, делящей соленоид на две равные части
Fig. 2. Solenoid of radius Ri with wi turns and co-axial turn of radius R2 at х distance from the plane dividing the solenoid into two equal parts
где g1n,2n = 1+
(x + s)2 + (R2n - R1)2
2R1R2 n
(13)
и п меняется от 1 до N.
Теперь рассмотрим двухслойный соленоид (рис. 3).
Сила взаимодействия в этом случае будет определена по результатам суммирования расчетных значений, полученных в соответствии с (8)-(10), но подстановкой разных величин, обусловленных геометрией двухслойного соленоида. В этом случае вместо R1 следует подставить R1' и R1", вместо ' - и 51", и результаты сложить.
Функция Q1/2 (1 + Д£) при Д£ < 0,5 может быть представлена в виде [9]: 01/2(1 + Д£) =
1 + 3 Ag
ln
2 + .
Ag
-1,2274
У
3 . + Ô Ag.
(14)
Выражение (8) можно обобщить и для случая дисковой катушки с текущим радиусом R2n, где п = и записать так:
¡¡1
w 1
«1
W1 1
Рис. 3. Двухслойный соленоид Fig. 3. Double-layer solenoid
R2
2
Для проверки правильности численного значения Q1/2 (1,5) = 0,393 подставим Дg = 0,5 в (14). В результате получим:
й/2(1,5) = й/2(1 + 0,5) = 3
1 + -0,5 / ,5 л з
= —8-[ 1п—-1,2274 + -0,5 = 0,414,
2 ^ 0,5
и разница между численным значением для этого случая (0,414) в сопоставлении с (11) с учетом под-
2 0,5 0,5 А „
становки ш =-=-= 0,2 для F с последу-
2 + 0,5 2,5
ющим делением на 4п
F (0,2) 4,941
= 0,393
4 п 4 п
достаточно мала.
Выводы
Conclusions
Даны выражения для определения электродинамических сил в соосных системах с рекомендацией
по их численной реализации и примерами.
Список использованной литературы
1. Калантаров П.Л., Цейтлин Л.А. Расчет индуктив-ностей : справочная книга. 3-е изд., перераб. и доп. Ленинград : Энергоатомиздат, 1986. 487, [1] с.
2. Babic S., Salon S., Akyel C. The mutual inductance of two thin coaxial disk coils in air // IEEE Transactions on Magnetics. 2004. Vol. 40, No. 2 (March). P. 822-825.
3. Цицикян Г.Н. О взаимной индуктивности и электродинамических силах взаимодействия коаксиальных контуров // Известия Рос. академии наук. Энергетика. 2018. № 4. С. 40-45. DOI: 10.31857/S000233100002362-2.
4. Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю., Баранов Ю.Д. Электродинамические силы в двухслойных катушках // Труды Крыловского государственного научного центра. 2019. Вып. 3(389). С. 121-126. DOI: 10.24937/ 2542-2324-2019-3-389-121-126.
5. Цицикян Г.Н., Кунаев С.Н. Строгие и приближенные выражения для коэффициентов взаимной индукции и электродинамических сил соосных витков и плоских (дисковых) катушек с током // Труды Кры-ловского государственного научного центра. 2022. Вып. 2(400). С. 127-132. DOI: 10.24937/2542-23242022-2-400-127-132.
6. Цицикян Г.Н. О коэффициентах взаимной индукции и силах взаимодействия круговых коаксиальных
контуров // Электричество. 2019. № 6. С. 59-65. DOI: 10.24160/0013-5380-2019-6-59-65.
7. Цицикян Г.Н., Бобровников П.В., Антипов М.Ю. Руководство по расчету индуктивностей и электродинамических сил в токоведущих частях электротехнических комплексов. Монография. Санкт-Петербург : Крыловский государственный научный центр, 2020. 118 с.
8. Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю. Электродинамические силы, действующие на контур с током в поле соленоида при его перемещении вдоль оси // Электричество. 2020. № 8. C. 58-62. DOI: 10.24160/0013-53802020-8-58-62.
9. Цицикян Г.Н. Электродинамические силы в токо-ведущих частях электротехнических комплексов. Монография. Санкт-Петербург : Крыловский государственный научный центр, 2016. 94 с.
10. Цицикян Г.Н., Антипов М.Ю. Индуктивность и электродинамические силы в круговых витках с параллельными осями // Электричество. 2023. № 1. C. 52-56. DOI: 10.24160/0013-5380-2023-1-52-56.
References
1. KalantarovP.L., Tseitlin L.A. Calculation of inductances. Reference book. Leningrad : Energoatomizdat, 1986. 487 [1] p. (in Russian).
2. Babic S., Salon S., Akyel C. The mutual inductance of two thin coaxial disk coils in air // IEEE Transactions on Magnetics. 2004. Vol. 40, No. 2 (March). P. 822-825.
3. Tsitsikyan G.N. On mutual inductance and electromagnetic forces in interaction between co-axial circuits // Izvestia Ros. Akademii nauk. Energetika. 2018. No. 4. P. 40-45. DOI: 10.31857/S000233100002362-2 (in Russian).
4. Tsitsikyan G.N., AntipovM.Yu., Baranov Yu.D. Electro-dynamic forces in two-layered coils // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2019. Vol. 3(389). P. 121-126. DOI: 10.24937/2542-2324-2019-3-389-121126 (in Russian).
5. Tsitsikyan G.N., Kunaev S.N. Exact and approximate expressions for mutual inductance coefficients and electro-dynamic forces of co-axial turns and planar (disk) coils with current // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2022. Vol. 2(400). P. 127-132. DOI: 10.24937/2542-2324-2022-2-400-127-132 (in Russian).
6. Tsitsikyan G.N. On reciprocal induction coefficients and interaction forces of circular coaxial circuits // Elektrichestvo (Electricity). 2019. No. 6. P. 59-65. DOI: 10.24160/0013-5380-2019-6-59-65 (in Russian).
7. Tsitsikyan G.N., Bobrovnikov P.V., Antipov M.Yu. Guidebook on calculation of inductances and electro-dynamic forces in live parts of electric systems. St. Pe-
tersburg : Krylov State Research Centre, 2020. 118 p. (in Russian).
8. Tsitsikyan G.N., AntipovM.Yu. The electrodynamic forces acting on current loop placed in the solenoid field in moving it along the axis // Elektrichestvo (Electricity). 2020. No. 8. P. 58-62. DOI: 10.24160/0013-5380-20208-58-62 (in Russian).
9. Tsitsikyan G.N. Electrodynamic forces in live parts of electric systems. St. Petersburg : Krylov State Research Centre, 2016. 94 p. (in Russian).
10. Tsitsikyan G.N., Antipov M.Yu. Inductance and electrodynamic forces in circular turns with parallel axis // Elektrichestvo (Electricity). 2023. No. 1. P. 52-56. DOI: 10.24160/0013-5380-2023-1 -52-56 (in Russian).
Сведения об авторах
Цицикян Георгий Николаевич, д.т.н., профессор, начальник сектора - заместитель начальника отдела филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петер-
бург, Благодатная ул., д. 6. Тел.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: [email protected]. https://orcid.org/0000-0002-8813-6003.
Григорьев Владислав Викторович, начальник сектора филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, Благодатная ул., д. 6. Тел.: +7 (812) 748-52-40. E-mail: [email protected]. https://orcid.org/0000-0001-5599-4004.
About the authors
Georgy N. Tsitsikyan, Dr. Sci. (Eng.), Prof., Head of Sector -Deputy Head of Department, TSNII SET branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st. St. Petersburg, Russia, post code 196128. Tel.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: [email protected]. https://orcid.org/0000-0002-8813-6003.
Vladislav V. Grigoryev, Head of Sector, TSNII SET branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st., St. Petersburg, Russia, post code 196128. Tel.: +7 (812) 748-52-40. E-mail: [email protected]. https://orcid.org/0000-0001-5599-4004.
Поступила / Received: 27.05.24 Принята в печать / Accepted: 15.11.24 © Цицикян Г.Н., Григорьев В.В., 2024
