CC BY-NC
7
DOI: 10.24937/2542-2324-2022-4-402-109-114 УДК 621.317.334.3
Г.Н. Цицикян , C.H. Кунаев
ФГУП «Крыловский государственный научный центр», Санкт-Петербург, Россия
ЭЛЕКТРОДИНАМИЧЕСКИЕ СИЛЫ
МЕЖДУ СООСНЫМИ ПЛОСКИМИ КАТУШКАМИ
КРУГОВОЙ ФОРМЫ
Объект и цель научной работы. Бесконтактная трансмиссия электроэнергии для различных объектов морской техники.
Материалы и методы. В работе использованы методы теоретической электротехники.
Основные результаты. Даны расчетные оценки электродинамических сил, воздействующих на индуктивно связанные соосные плоские катушки круговой формы.
Заключение. Получены выражения для электродинамических сил для сопрягаемых индуктивно связанных катушек круговой формы при бесконтактной передаче электроэнергии.
Ключевые слова: индуктивная трансмиссия, беспроводная передача электроэнергии, плоские круговые катушки. Авторы заявляют об отсутствии возможных конфликтов интересов.
DOI: 10.24937/2542-2324-2022-4-402-109-114 UDC 621.317.334.3
G.N. Tsitsikyan , S.N. Kunaev
Krylov State Research Centre, St. Petersburg, Russia
ELECTRODYNAMIC FORCES BETWEEN FLAT CIRCULAR COAXIAL COILS
Object and purpose of research. Non-contact power transfer to various marine facilities. Materials and methods. The study relied on the methods of theoretical electric engineering.
Main results. This paper gives analytical estimates for electrodynamic forces acting on inductively-coupled coaxial flat coils of circular shape.
Conclusion. The study yielded the expressions for the electrodynamic forces in inductively coupled circular coils interfaced so as to perform non-contact power transfer.
Keywords: inductive transfer, non-contact power transfer, flat circular coils. The authors declare no conflicts of interest.
Как отмечено в целом ряде публикаций [1-3, 5, 6], применение беспроводной передачи электроэнергии на основе индуктивной трансмиссии приобретает все большее распространение в области электротехники и силовой электроники, а также в сфере биомедицинского оборудования. Индуктивная трансмиссия предполагает применение катушек различной формы, в т.ч. квадратных и круглых.
В связи с этим возникает настоятельная необходимость в определении ряда ключевых величин, к числу которых прежде всего следует отнести коэффициент взаимной индукции. Из-за близости индуктивно связанных катушек большое значение приобретает оценка их силового взаимодействия, в т.ч. без магнитопровода, и здесь будут даны выражения для электродинамических сил с учетом геометрии сопрягаемых катушек.
Для цитирования: Цицикян Г.Н., Кунаев С.Н. Электродинамические силы между соосными плоскими катушками круговой формы. Труды Крыловского государственного научного центра. 2022; 4(402): 109-114. For citations: Tsitsikyan G.N., Kunaev S.N. Electrodynamic forces between flat circular coaxial coils. Transactions of the Krylov State Research Centre. 2022; 4(402): 109-114 (in Russian).
За основу принято выражение для взаимной индуктивности двух одинаковых плоских катушек круговой формы, записанное для конфигурации соосных плоских катушек круговой формы в [7] в виде выражения (7-36). Однако в силу предполагаемой малости размеров г и х по сравнению со средним диаметром d круговых плоских катушек (рис. 1) в выражении для взаимной индукции (7-36) сохранены только члены с р2 и £2, где р = г/d и £ = x/d.
Это выражение с небольшим видоизменением записано как
M = w2 dф, 4
где w - количество витков в сопрягаемых катушках, и предположено, что р = г/d < 0,5 и £ = x/d < 1/3. Учитывая сказанное,
ф =
{ -, 2 2 ,3 х r
1 н---^ + -
4 d2 24d2
ln
{ 16d2
2 , 2 J Vx + r J
2 {
2
1 + 5 • ^
V 8 d2 j
ln
{ 2 1 + ? J
V Л J
- 4
{1+2 X2
V+ 3 • d2 J
X r — arctg—
r X
л 37 x2 43 r2
-1 +---t +--г
24 d2 144 d2
(2)
Тогда на основании (1-3) для электродинамической силы взаимодействия /х при токах в катушках /1 и /2 имеем:
_ Д.0/2^Ф _ Д0/2 х _ 4 ~ 4 Х
3 4 I m 2 d2
16d 2
2 2 X2 + r
-, 2 2 , 3 x r 1 +---^ +
4 d2 24d2
2X
2 x 5 x + —
.3 Л { „2 Л 2
(1) -4
r 2 d r 1 +
ln
r
1 + "2
x
{ 2x2 Л
d
■2
{ r Л 4 x
arctg l x J"
2 Л
! 5 x
1 +---^
8 d2
2 2 x2 +r 2
2x 2
2 2 x2 + r2 x
2 Л
, 2 x'
1 + 3 ^ Z
dx
, п x Л 37 x
x| — arctg- | +----
. 2 r J 12 d2
Ho'1'2 w 4
3 x,
---ln
2 d
{ 16d2
2 , 2 Vx + r J
3 x2 r-
1 +---T + -
4 d2 24d2
2 xd
{2xd 5 x3
—Г +---T
r2 2 dr2
V
4d
r
ln
{ 2 Л ' + ? J
V x J
л 5 x2
1 +---r-
2 , 2 x +r
2xd
2 2 x2 + r 2
/ 2 Л
, 2x 1 + —^
d 2
J
arctg | - 1 +
r Л 4 xd
. 2 2 x J x2 + r
2
, 2 x 1+2 •
J
37 x 12d
. (4)
и в пренебрежении членами более высокого порядка малости при ограничении по р и по Заметим еще, что
После ряда преобразований fx можно записать в следующем виде:
r п x
arctg — = — arctg—.
x 2 r
(3)
fx =
Ho'1'2w
3 x,
---ln
2 d
{ 16d2 Л x2 + r2
3x + — +
d
Рис. 1. Две сопрягаемые плоские катушки со средним диаметром d, шириной намотки r и расстоянием между плоскостями, равным х
Fig. 1. Two interfaced flat coils with average diameter d, winding width r and inter-plane distance х
xd i , 5 x2 Л
н——| 2 +----
••2 1 2 d2
2 Л
lnl1 + 7
4d { 2x ~11 + d
2 Л
r
arctg— x
fx
Теперь при r ^ 0, w = 1 будем иметь: _ W
„ x. 4d 3x d 3—ln— + — + —
d x d x
' 5 x2 2 +----
2 d2
J
4d_
x
{1 + —
v + d 2 J
(5)
{3x, 4d 1 d 5 xЛ ^
= ^1 ^lnT -2• x "8 • d J. (6)
Воспользуемся теперь выражением для взаимной индуктивности двух витков, записанного как
х
(5-17) в [7], и, учитывая члены с x/d не выше второй степени, будем иметь:
d
M = Мч,-
( л / Л 2
1+4 Sx.
3 I d
, 4d ln--
J
2-1 -( x
4 I d
(7)
соответственно силу по направлению 5 как = ^ (ь.^+0,5).
Полагая r/d = 0,2, будем иметь для этой силы = Цом212 -1,748, где м - число витков и / - ток в витке.
Таблица. Численная оценка безразмерного параметра
Table. Numerical estimate of the non-dimensional parameter
Определяя на основе (7) производную дМ/дх, получим для силы / выражение (6). Тем самым проверяется и правильность выражения (5). Можно теперь оценить влияние конечной ширины г катушки, сопоставляя (5) и (6) без учета размерного коэффициента д0 1112 и при м = 1. В этом случае по выражению (6), принимая x/d = 0,2, получаем следующий численный результат:
30,2ln—— 0,5—— 0,625-0,2 = 4 0,2 0,2
= 0,4494 - 2,5 - 0,125 = -2,1756.
Теперь примем и отношение r/d равным 0,2. Тогда в соответствии с выражением (5) с учетом 1/4 найдем, что численная оценка для выражения в квадратных скобках (5), умноженная на 1/4, равна -1,8746. Полагая теперь, что x/d = 0,2, но r/d = 0,4, будем иметь оценку -1,4544. В таблице для трех значений r/d дана численная оценка безразмерного параметра, входящего в (5).
Таким образом, с увеличением отношения r/d при x/d = 0,2 оценка имеет тенденцию к снижению. Следовательно, численные значения заметно различаются, если учитывать конечный размер г сопрягаемых конструкций плоских катушек.
Следует заметить, что катушка с шириной намотки г и усредненным диаметром d испытывает растягивающие усилия, направленные вдоль радиусов из точки пересечения диаметров d с осевой линией (рис. 2) [8].
При р = r/d < 0,2 индуктивность Ь такой катушки можно записать в виде [8]
Ь = Ц^ - 0,5
r/d 0,2 0,3 0,4
x/d = 0,2 -1,875 -1,652 -1,454
Рис. 2. Плоская катушка с шириной намотки r с усредненным диаметром d
Fig. 2. Flat coil with winding width r and average diameter d
Заметим еще, что при токах i1 и i2, изменяющихся по синусоидальному закону как V2/j sin(raf) и л/2/2 sin(rat - ф), и тем самым i1i2 =
= 71/2[cos9 - cos(2rat - ф)], средняя во времени сила взаимодействия будет определяться выражением
М0/1/2w2 cos ф
умноженным на квадратную скоб-
4
ку в (5).
Уместно здесь рассмотреть и строгое выражение для коэффициента взаимной индукции соосных витков, в т.ч. разных радиусов.
Строгое выражение для взаимной индуктивности двух витков радиусами Я1 и Я2 известно и записано в виде [9]
m=Ô1 ( я ),
(8)
где Q1 (g) - присоединенная сферическая функция
Лежандра второго рода с полуцелым индексом,
х2 + Я,2 + Я2
g =---— и х - расстояние между плоско-
2Л1Л2
стями расположения двух контуров.
2
2
Выражая R1 и R2 через d1 /2 и d2 /2, будем иметь для М:
m=g ), 2 2
2 di do
x2 + -2-
где g = 2-
djd2
m=g ), 2 2
где g =
2 x2 + d2
d 2
= 1 + :
2 x2
d
2
(10)
Qx (g) = Qx
( 2 - к2
2 V
f - к J K (к) - к E(к), (11)
2 - к 2 2 и g = ———, задаем к
2
-. Предположим, что
к2 g+1 x/d, как и в ранее разобранном примере, равно 0,2. Имеем
2
g = 1 + 2-0,04 = 1,08 и к2
1,08 + 1
= 0,96.
Тогда, вычисляя Q1 (g) через полные эллипти-
Аналогично можно сопоставить выражения для электродинамической силы между двумя витками с токами 11 и /2 одинакового радиуса d/2 [9]. Тогда в соответствии с [9]:
„ . . 2x
F = M0V2 ~Г d
(1 - к2)2
К(к)-
2 - к 2
- Е(к)
(12)
Полагая теперь d1 = d2 = d, запишем в этом частном случае
2к(1 - к2)2
и при к2 = 0,96 для численного значения F получим:
(9) F = М0¥2 - 0,4
(1 - 0,96)2 л/096
K(0,96) -
2 - 0,96
Учитывая, что в [8] Q1 (g) записано через пол-
2
ные эллиптические интегралы К(к) и Е(к), а именно
т Е(0,96)
2-V0%(1 - 0,96)2 = М0^1*2 -0,4 3,016 —
1,04
-1,05
0,98 2-0,98-0,2
= Ц0/1/2 -0,4[0,6155-2,7857] ^ -ц0/1/2 -0,868.
Можно теперь сопоставить этот результат с результатом, вытекающим в соответствии с (6), но при г = 0 и x/d = 0,2:
30,2ln — - 0,5- —— 0,625-0,2 4 0,2 0,2
F = M0V2
= М0ii[0,449-2,5-0,125] = |M0i2 -0,87. Данные оценки практически совпадают.
ческие интегралы К(к) и Е(к) [8], получим:
Qi(1,08) =
2
л/096
K (0,96) -
л/0,96
Е(0,96) =
1 3 137 - 2 1
[1,04 - 3,016 - 2 -1,05] = ' ,_' = 1,058,
л/0,96
л/0,96
d
и, следовательно, (9) равно ц0 — -1,058.
Теперь проведем сравнение с численным результатом, вытекающим из выражения (7), при x/d = 0,2 имеем:
d
M = М0-
4 ) 4 1
1 + --0,04 Iln--2---0,04
3 J 0,2 4
= |0 d [2,996 - 2 - 0,01] = |0 d 0,986.
Эти оценки достаточно близки (1,058 и 0,986).
Выводы
Conclusions
Дана оценка влияния конечного размера r сопрягаемых плоских дисковых катушек круговой формы (рис. 1) с током на величину электродинамических сил (выражения (5-6) с примерами расчетов). Записаны строгие выражения для коэффициентов взаимной индуктивности и электродинамических сил одинаковых соосных контуров и проведены соответствующие сопоставления с известными приближениями.
Оценки электродинамических сил для соосных контуров по строгому выражению (12) и приближенному выражению (6) при x/d = 0,2 при протекании токов в контурах практически совпадают, а оценки коэффициентов взаимной индукции при x/d = 0,2 достаточно близки. Пример применения системы бесконтактного заряда в морской технике описан в недавно опубликованной работе [10].
2
Список использованной литературы
1. Soma M., Galbraith D.C., White R.L. Radio-Frequency Coils in Implantable Devices: Misalignment Analysis and Design Procedure // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 1987. Vol. 34, No. 4. P. 276-282. DOI: 10.1109/TBME. 1987.326088.
2. Restoring Force Between Two Noncoaxial Circular Coils / Ki-Bong Kim, E. Levi, Z. Zabar, L. Birenbaum // IEEE Transactions on Magnetics. 1996. Vol. 32, No. 2. P. 478-484. DOI: 10.1109/20.486535.
3. Design of a Contactless Energy-Transfer System for Desktop Peripherals / P. Meyer, P. Germano, M. Mar-kovic, Y. Perriard // IEEE Transactions on Industry Applications. 2011. Vol. 47, No. 4. P. 1643-1651. DOI: 10.1109/TIA.2011.2153812.
4. Grover F.W. Inductance Calculations: Working formulas and Tables. New York : Van Nostrand, 1947. XIV. 236 p.
5. Ren Y. Magnetic Force Calculation Between Misaligned Coils for a Superconducting Magnet // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. 2010. Vol. 20, No. 6. P. 2350-2353. DOI: 10.1109/TASC.2010.2068297.
6. Modeling of Mutual Coupling Between Planar Inductors in Wireless Power Applications / S. Raju, R. Wu, M. Chan, C.P. Yue // IEEE Transactions on Power Electronics. 2014. Vol. 29, No. 1. P. 481-490. DOI: 10.1109/TPEL.2013.2253334.
7. Калантаров П.А., Цейтлин Л.А. Расчет индуктивно-стей : справочная книга. 3-е изд., перераб. и доп. Ленинград : Энергоатомиздат, 1986. 487, [1] с.
8. Цицикян Г.Н. Оценка стягивающих и растягивающих сил в тороидальных и линейных накопителях электроэнергии // Труды Крыловского гос. науч. центра. 2021. Вып. 4(398). С. 123-128. DOI: 10.24937/25422324-2021-4-398-123-128.
9. Цицикян Г.Н. О коэффициентах взаимной индукции и силах взаимодействия круговых коаксиальных контуров // Электричество. 2019. № 6. С. 59-65. DOI: 10.24160/0013-5380-2019-6-59-65.
10. ГерасимовВ.А., КомлевА.В., Филоженко А.Ю. Новая методика расчета силового трансформатора для системы бесконтактного заряда аккумуляторных батарей подводного робота // Труды Крыловского гос. науч. центра. 2022. Вып. 2(400). С. 116-126. DOI: 10.24937/2542-2324-2022-2-400-116-126.
References
1. Soma M., Galbraith D.C., White R.L. Radio-Frequency Coils in Implantable Devices: Misalignment Analysis and Design Procedure // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 1987. Vol. 34, No. 4. P. 276-282. DOI: 10.1109/TBME. 1987.326088.
2. Restoring Force Between Two Noncoaxial Circular Coils / Ki-Bong Kim, E. Levi, Z. Zabar, L. Birenbaum // IEEE Transactions on Magnetics. 1996. Vol. 32, No. 2. P. 478-484. DOI: 10.1109/20.486535.
3. Design of a Contactless Energy-Transfer System for Desktop Peripherals / P. Meyer, P. Germano, M. Mar-kovic, Y. Perriard // IEEE Transactions on Industry Applications. 2011. Vol. 47, No. 4. P. 1643-1651. DOI: 10.1109/TIA.2011.2153812.
4. Grover F.W. Inductance Calculations: Working formulas and Tables. New York : Van Nostrand, 1947. XIV. 236 p.
5. Ren Y. Magnetic Force Calculation Between Misaligned Coils for a Superconducting Magnet // IEEE Transactions on Applied Superconductivity. 2010. Vol. 20, No. 6. P. 2350-2353. DOI: 10.1109/TASC.2010. 2068297.
6. Modeling of Mutual Coupling Between Planar Inductors in Wireless Power Applications / S. Raju, R. Wu, M. Chan, C.P. Yue // IEEE Transactions on Power Electronics. 2014. Vol. 29, No. 1. P. 481-490. DOI: 10.1109/TPEL.2013.2253334.
7. Kalantarov P., Tseitlin L. Calculation of inductances. Reference book. 3rd ed., rev. and enl. Leningrad : Energo-atomizdat, 1986 (in Russian).
8. Tsitsikyan G. Estimation of compressive and tensioning forces in linear storages of electric power // Transactions of Krylov State Research Centre. 2021. Vol. 4(398). P. 123-128 (in Russian).
9. Tsitsikyan G. On reciprocal induction coefficients and interaction forces of circular coaxial circuits // Elektri-chestvo (Electricity). 2019. No. 6. P. 59-65 (in Russian).
10. Gerasimov V., Komlev A., Filozhenko A. New design method for power transformer in contactless charging of storage batteries for undersea robot // Transactions of the Krylov State Research Centre. 2022. Vol. 2(400). P. 116-126 (in Russian).
Сведения об авторах
Цицикян Георгий Николаевич, д.т.н., профессор, начальник сектора - заместитель начальника отдела филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, Благодатная ул., д. 6. Тел.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: George.20021940@mail.ru. https://orcid.org/0000-0002-8813-6003.
Кунаев Семен Николаевич, инженер филиала «ЦНИИ СЭТ» ФГУП «Крыловский государственный научный центр». Адрес: 196128, Россия, Санкт-Петербург, Благодатная ул., д. 6. E-mail: semen-kunaev@mail.ru. https://orcid.org/0000-0003-1756-0760.
About the authors
Georgy N. Tsitsikyan, Dr. Sci. (Eng.), Prof., Head of Sector -Deputy Head of Department, TSNII SET branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodatnaya st. St. Petersburg, Russia, post code 196128. Tel.: +7 (812) 748-52-39. E-mail: George.20021940@mail.ru. https://orcid.org/0000-0002-8813-6003.
Semyon N. Kunaev, Engineer, TSNII SET branch of Krylov State Research Centre. Address: 6, Blagodat-naya st. St. Petersburg, Russia, post code 196128. E-mail: semen-kunaev@mail.ru. https://orcid.org/0000-0003-1756-0760.
Поступила / Received: 26.07.22 Принята в печать / Accepted: 14.10.22 © Цицикян Г.Н., Кунаев С.Н., 2022
