CC BY
12
TECHNICAL SCIENCES
Definition thermo-stressed state of the variable sections rod 1 2 Nogaibayeva M. , Kudaikulov A. (Republic of Kazakhstan)
Определение термо-напряженного состояния
стержня переменного сечения 12 Ногайбаева М. О. , Кудайкулов А. К. (Республика Казахстан)
1Ногайбаева Макпал Оразбаевна / Nogaibayeva Makpal - PhD докторант; 2Кудайкулов Анарбай Кудайкулович / Kudaikulov Anarbay - доктор физико-математических наук,
профессор,
Казахский национальный университет им. аль-Фараби, г. Алматы, Республика Казахстан
Аннотация: в статье представлены результаты способов использования примерно-аналитического и численного решения задачи термо-напряжения ядра переменного сечения, застрявшего двумя концами в присутствии теплового потока и теплообмена. На основе приведенного примера приведен сравнительный анализ и определены ошибки использования указанных методов.
Abstract: in the paper ways of use of the approximately-analytical and numerical decision of a problem of a thermo-tension of the core of variable section jammed by two ends in the presence of a thermal stream and heat exchange are resulted. On the basis of the resulted example the comparative analysis is carried out and errors of use of the specified methods are defined.
Ключевые слова: температура, напряженное состояние, термоупругость, стержень. Keywords: temperature, stressed state, thermoelasticity, the rod.
Рассмотрим вертикальный стержень переменного сечения и ограниченной длины L (см) с жестко защемленным верхним концом. Боковая поверхность стержня теплоизолирована. Ось Ох направлена сверху вниз и совпадает с осью исследуемого стержня. Вдоль этой оси радиус стержня Г (см) меняется линейно по закону Г = ax + b
(где а и b постоянные числа). Обозначим радиус стержня на верхнем конце (при X = 0) через Г, а на нижнем конце (X = L) через rL , тогда изменение радиуса
r = X + Г, 0<X<L.
Относительно изменения радиуса значение площади поперечного сечения стержня зависит от координаты х нелинейно
F = ж- r2 = ж-
2
r " r° 1 • х2 + 2r0 f rL - r0
0 < х < L (1)
ь ) 0 У ь
На площадь поперечного сечения верхнего защемленного конца (X = 0) стержня = ж ■ г02 подведен тепловой поток q (Вт / см2). Через площадь поперечного сечения
нижнего (X = Ь) конца стержня = ж ■ г2 происходит теплообмен с окружающей ее
средой. При этом коэффициент теплообмена И (Вт /(см2С)), а температура
окружающей среды Тсо ( С) (Рисунок 1). Требуется определить поле распределения температуры по длине стержня переменного сечения, а также величину ее удлинения за счет температурного распределения.
2
Рис. 1. Расчетная схема исследуемой задачи
Задача решается с помощью закона сохранения энергии. Сначала рассмотрим решение приближенно-аналитическим методом. Для этого поле распределения температуры по длине рассматриваемого стержня переменного сечения аппроксимируем полным полиномом второго порядка
Т = Т(х) = ах2 + Ьх + с = щ (х)Т + Ф, (х)Т + фк (х)Тк, 0 < х < Ь
(2)
где
, . Ь2 - 3Ьх + 2х2 . 4Ьх - 4х2 . 2х2 - Ьх <Рг(х)=-72-; <Р, (х)=—72—; <Рк(х)=■
Ь2
Ь2
Ь2
Т = Т(х = 0); Т = Т(х = Ь/2); Тк = Т(х = Ь).
(3)
Градиент температуры определяется из (2)
д% (х) (х) 1 дфк (х) _ 4 х - 3Ь
дх
дх
дх
■ + ■
дх
Ь
4Ь-8х , 4х-Ь
Т> ь2 Ь2 Тк
(4)
Выражение функционала, характеризующее полную тепловую энергию исследуемого переменного сечения стержня ограниченной длины [2, 3]
7 = 1 КГ © ™+1Т*+/\(Т - То )2 ^
(5)
г Ч — / Хо Яь
где V - объем стержня переменного сечения; * - площадь поперечного сечения верхнего
защемленного конца стержня; - площадь поперечного сечения нижнего конца стержня. Объем стержня переменного сечения определим как объем усеченного конуса
V = 1(г0 + Го Гь + Г2ь) -жЬ (6)
Из соотношений (4) и (5) получим интегрированный вид функционала (5)
16
I =
К„г( 4х-31 41 - 8х^ 4х-Т V, г-
2 т + Т2 + Т2 Тк
ь2
ь
т + -
ь2
тк 1 ах +|дта- +|- (т - То )2 ^
-Кх
6Ь
■ОТ? -16ТТ + 2ТТ - 16ТТк + 1бт; + 7Тк) + дЗД + -ь(Т4 -Тсо)2 (7)
2
где - = у(^о2 + ГГь + г?); - = ж • г02; -ь = у - Г2•
Далее, минимизируя функционал I по узловым значениям температуры, получим следующую систему разрешающих уравнений
лт п т^
1) = 0; ^ -77^ (14Т - 1бТу + 2Тк) + д • -0 = 0 от. бь 1
лт п ту'
2)-= 0;^ —кх(-1бТ -1бТ + 32Т ) = 0
) от. бь 1 к 1)
3) = 0; ^ от
- • К
- • -
(2т-1бт + 14т ) +
бЬ 1 1 к 2
(2тк - 2тсо) = 0
(8)
Решая систему (8), определяем узловые значения температуры
т = т„ -
ь
т = т - ^
1 со --
д-0 дь-0. К' дь-0 .
--
ь
2-К
т = т -
т к = тос
д-0 --
(9)
Подставляя (9) в (2), определим закон распределения температуры по длине исследуемого стержня переменного сечения.
(
т = т (х) =
т -
дА-0 д-(
\
К --
ь
+ А • х, 0 < х < ь -К_
Отсюда видно, что в этом случае закон распределения температуры по длине стержня переменного сечения имеет линейный характер. Тогда градиент температуры будет постоянной величиной, т. е.
от=з-^ 0 < х < ь Ох -Кх'
Для решения введем следующие исходные данные ь = 20 (см); г0 = 1 (см); г = 2 (см); К„ = 100(Вт /(см° С)); д = -1000(Вт / см2); - = 10 (Вт /(см2 •С)); т„ = 40 (°С); Е = 2-106 (кТ/см2). Коэффициент теплового расширения материала стержня « = 125 -10-7 (1/°С) •
Тогда т = 150,714 (С); т = 107,857 (С); т = 65 (С),
закон распределения температуры по длине исследуемого стержня переменного сечения 30
т(х) = 150,714 - 30 • х, 0 < х < ь = 20 см; 7
площадь ограниченной координатными осями ОТ и Ох
0
5
ь
^ =|Т(X)(х = 2157,14 (С X см) ;
0
величина удлинения исследуемого стержня
ь
МТ1 =|а-Т (х)(Х = 2157,14-125-10~7 = 0,02696
см ■
Здесь следует отметить, что полученное аналитическое решение Т = Т(х) является относительно приближенным. В целях исследования погрешности полученного аналитического решения теперь данную задачу решим численно. Для этого исследуемый стержень дискретизируем 2, 4, 8, 10, 100, 200, 300 квадратичными элементами, каждый раз полученные численные решения сравниваем с приближенно-аналитическим решением. Полученное приближенно-аналитическое решение будет завышено всего на 3,919 % от численного решения с погрешностью 0 %.
На рисунке 2 приводится разница приближенно-аналитического решения от численно -точного.
Рис. 2. Поле распределения температуры по длине стержня переменного сечения: 1 - приближенно-аналитическое решение; 2 - численное решение с погрешностью
Теперь в этом примере предположим, что оба конца рассматриваемого стержня переменного сечения жестко защемлены. В связи с этим в нем возникает сжимающее усилие и напряжение (Рисунок 3).
Рис. 3. Расчетная схема защемленного двумя концами стержня переменного сечения
о
Для определения величины сжимающего усилия Я, необходимо вычислить осредненную величину площади поперечного сечения. Площадь поперечного сечения левого конца стержня будет ¥0 - ж • го -ж, а правого конца ¥ - ж •Г2 - 4 ж. Тогда вычисляем
арифметическое среднее значение площади поперечного сечения. Каждое значение площади поперечного сечения определяется по формуле (1).
Предположив, что один конец стержня свободен, и на него приложено сжимающее усилие Я, по закону Гука, определим величину сжатия исследуемого стержня
пт
Д п - ^ <10)
где ¥ - арифметическое среднее значение площади поперечного сечения.
Учитывая условия совместности деформации для защемленного двумя концами стержня переменного сечения
Д£к + Мт - 0. (11)
Подставляя (10) в (11), получим пь + д^ - о, отсюда имеем
Е¥ т
ср
М,. • Е • ¥ К = _-
ь
В нашем примере при принятых исходных данных
-_0,025907• (2•I06)• 7,33°376 -_379816,118 -_1§990 8 а2)
20 20 ' Следует отметить, что если площадь поперечного сечения исследуемого стержня была
бы постоянной и ¥ - ж • г2 - ж, то величина сжимающего усилия была бы
К-_°,°259°7•(2-Ш6)ж -_8134,9 (кГ). 20
Значения термоупругого напряжения в любом сечении рассматриваемого стержня переменного сечения определяется в соответствие закона Гука . л К
с(х) --
¥ (х)
где Е(х) определяется формулой (1). В частности
п К
с(х - 0) ----- - _6044,959 (кГ/см2) ;
¥ (х - 0) ж • гс
п п
с(х - ь/2) - с(х -10) ----- - _2686,648 (кГ/см2);
¥ (х -10) ж • г;
п п
с(х - Ь) - с(х - 20) ----- - _1511,239 (кГ/см2).
¥ (х - 20) ж • гь
Теперь, пользуясь соотношениями (17) и (1), можем построить поле распределения термоупругого напряжения по длине исследуемого стержня переменного сечения (Рисунок 4).
Рис. 4. Поле распределения напряжений по длине стержня переменного сечения
Таким образом, выяснили, что во многих инженерных расчетах можно пользоваться удобным приближенно-аналитическим решением (рис. 3).
А также определено, что значение напряжения на площадях по длине исследованного защемленного с обеих концов усеченного конуса будет разным (рис. 4).
Литература
1. Huebner K. H. The Finite Element Method for Engineers. Wiley, N.Y., 1975. P. 187.
2. Ноздрев В. Ф. Курс термодинамики. М.: Мир, 1967. С. 247.
3. Кудайкулов А. К. Математическое (конечно-элементное) моделирование прикладных задач распространения тепла в одномерных конструкционных элементах. Учебное пособие. Туркестан: им.Х. А. Ясави МКТУ, «Байтерек», 2009. С. 168.
Methodology of experimental research designs and the basic characteristics
of resistant gas-static bearings Krasilnikova O. (Russian Federation) Методика экспериментального исследования конструкций и основных характеристик упорных газостатических подшипников Красильникова О. А. (Российская Федерация)
Красильникова Ольга Алексеевна / Krasilnikova Olga - кандидат технических наук, доцент,
кафедра кораблестроения, Государственное образовательное учреждение высшего образования Комсомольский-на-Амуре государственный университет, г. Комсомольск-на-Амуре
Аннотация: в работе представлена методика проведения экстремальных экспериментов методом симплекс-планирования по поиску конструкций упорных подшипников с уплотнением рабочей поверхности, доставляющих экстремум функции.
Abstract: the paper presents the methodology for conducting extreme experiments by the method of simplex-planning for the search of structures of the thrust bearings with the seal working surface that delivers the extremum of the function.
Ключевые слова: метод симплекс-планирования, гладкощелевой УГСП, питающие отверстия (питатели), периферийное и втулочное лабиринтные уплотнения.
