Численное моделирование термо-напряженного состояния стержня в виде усеченного конуса Текст научной статьи по специальности «Физика»

ЧИСЛЕННОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМО-НАПРЯЖЕННОГО СОСТОЯНИЯ СТЕРЖНЯ В ВИДЕ УСЕЧЕННОГО КОНУСА

А. К. Кудайкулов, Б.З. Кенжегулов*, У. Б. Утебаев*, Б. М. Токкулиев*

Евразийский национальный университет им. Л, Н, Гумилева, 010000, Астана, Казахстан *Атырауский государственный университет им, X, Доемухаметова, 060011, Атырау, Казахстан

УДК 539.3

В статье представлены результаты использования примерно-аналитического и численного способов решения задачи термо-напряжения ядра переменного сечения, застрявшего двумя концами в присутствии теплового потока и теплообмена. На основе приведенного примера приведен сравнительный анализ и определены ошибки использования указанных методов.

Ключевые слова: температура, напряженное состояние, конус, термоупругость, стержень.

In the paper ways of use of the approximately-analytical and numerical decision of a problem of a thermo-tension of the core of variable section jammed by two ends in the presence of a thermal stream and heat exchange are resulted. On the basis of the resulted example the comparative analysis is carried out and errors of use of the specified methods are defined.

Key words: temperature, stressed state the cone, thermoelasticitv, the rod.

Существующие методы исследования установившегося термомеханического состояния стержней ограниченной длины не позволяют учесть зависимость между коэффициентом теплового расширения и полем распределения температуры, условия эксплуатации и закрепления. К текущему моменту не разработана математическая модель установившегося термомеханического состояния стержней при вышеотмеченных условиях работы конструктивного элемента. Определяющие соотношения термоупругости слабо сжимаемых материалов рассмотрены в [1]. Для записи кинематических соотношений использовано разложение градиента места на силовую и температурную составляющие. Сжимаемость (или не сжимаемость) материала определяется обобщенным модулем упругости, по величине которого можно судить о степени сжимаемости материала. В [2] рассматривается проблема прочностного расчета самокомпенсирующихся трубопроводов, уложенных в грунт, при нагреве. Полагается, что компенсация температурных удлинений происходит за счет изгибных деформаций трубопровода в упругой среде с соответствующим коэффициентом жесткости. Обзор результатов (полученных в последнее время) о точной и приближенной управляемости и стабилизации в системах с распределенными параметрами, описывающими процессы управляемости и стабилизации в теориях упругости, теплопроводности и термоупругости, рассмотрен в [3].

В [4] описываются выдвигаемые тонкостенные стержни, используемые на космических аппаратах в качестве удлинителей для различных грузов и приборов, а также штанг гравитационной стабилизации. Рассмотрена связанная нелинейная задача сильного термоупругого изгиба и теплопроводности тонкостенного круглого стержня с учетом внешнего

и внутреннего теплоизлучения и получено ее численное решение. Задача об определении температурных напряжений в трехслойной системе рассмотрена в [5]. Алгоритм расчета температурных напряжений и деформаций в круглых упругих элементах в виде трехслойных пластин, состоящих из жестких слоев, выполненных из разнородных материалов и соединенных между собой промежуточным слоем, работающим на сдвиг, исследован в [6].

Предположим, дан вертикальный стержень переменного сечения и ограниченной длины Ь (см). Верхний конец его жестко защемлен. Ось Ох совпадает с осью исследуемого стержня, направим ее сверху вниз. Боковая поверхность стержня теплоизолирована. Радиус стержня г (см) по направлению оси меняется линейно, т. е. г = аж + Ь, где а и Ь — постоянные числа. Если радиус стержня на верхнем конце (при ж = 0) обозначить через Го, а на нижнем конце (ж = Ь) через гЬ, то имеем, что

г = | ——0 ) ■ ж + го, 0 ^ ж ^ Ь.

Тогда значение площади поперечного сечения стержня зависит от координаты ж нелинейно

^ = п • г = п

п

гь - го Ь

гЬ~Го\ 2,0 —Ь— I ■ ж + 2го

2

ж + го = гь - го

Ь

ж + г2

,0 < ж < Ь.

(1)

Пусть на площадь поперечного сечения верхнего защемленного конца (ж = 0) стержня $о = п ■ г2 подведен тепловой поток q (Вт/см2). Через площадь поперечного сечения нижнего (ж = Ь) конца стержня БЬ = п ■ гЬ происходит теплообмен с окружающей ее средой. При этом коэффициент теплообмена — к (Вт/(см2 ■ °С)), а температура окружающей среды — Тсо (°С) (рис. 1).

Требуется определить поле распределения температуры по длине стержня переменного сечения, а также величину удлинения за счет температурного распределения.

Эту задачу решим, пользуясь законами сохранения энергии. При этом сначала ее решим приближенно-аналитическим методом. Для этого поле распределения температуры по длине рассматриваемого стержня переменного сечения аппроксимируем полным полиномом второго порядка

Т = Т(ж) = аж2 + Ьж + с = ^г(ж)Тг + (ж)Тз + (ж)Тк, 0 ^ ж ^ Ь,

(2)

где

<#(ж) =

Ь2 — 3Ьж + 2ж2

Ь2

Т Т г

<Р] (ж) Т (ж = 0);

4Ьж - 4ж2

Т 1 з

Ь2 Т(ж

<£к(ж) = Ь/2); Тк

2ж2 Ьж

Ь2 Т (ж

Ь).

(3)

2

Теперь напишем выражение функционала, которое характеризует полную тепловую энергию исследуемого переменного сечения стержня ограниченной длины [7, 8]

х = 0

х = Ь

Теплоизоляция

К Тса

Рис. 1. Расчетная схема исследуемой задачи

1=X +X+к 2(т - м (4)

где V — объем стержня переменного сечения; Б0 — площадь поперечного сечения верхнего защемленного конца (х = 0) стержня, куда подведен тепло вой поток площадь попе-

речного сечения нижнего конца (х = Ь) стержня, через которую происходит теплообмен. Как известно, объем усеченного конуса определится следующим образом

V =3(г02 + готь + г2) • пЬ. (5)

Градиент температуры определяется из (2)

дТ = (х) + (х) + дук (х) = 4х - 3Ьт + 4Ь - 8хт + 4х - Ьт (6)

дх дх дх дх Ь2 1 Ь2 7 Ь2 к

Пользуясь соотношениями (4) и (6), из (4) получим интегрированный вид функционала

(4):

т Кхх [ь (4х - 3Ь 4Ь - 8х 4х - Ь \2, Г 1 = Ц -^т- Т + Т + -дТ-Тк) ¿х + ]3о Я™+

/* 7 Ту

+ / Ъ(Т - Тсо)2¿Б = -р-(7Т2 - 16ТТ + 2ТТк - 16ТТк + 16Т? + 7Т^)+ иБь 2 6Ь

ЪБ

+дБоТ + (Тк - ТСо)2, (7)

где Б = 3(г0 + гогь + г|); Бо = п • г°°; = п • г|.

Далее, минимизируя функционал I по узловым значениям температуры, получим следующую систему разрешающих уравнений:

180 160 140

0

— 120 го

^ 100 го

| 80

1 60

Н 40 20 0

1

---- 2 ,/

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 Длина стержня (см)

Рис. 2. Поло распределения температуры по длине стержня переменного сечения: 1 приближенно-аналитическое решение: 2 численное решение с погрешностью

2) 3)

3/ = 0; Б' Кхх

-

дТ 6Ь

3/ = 0; Б' Кхх

37 3/

6Ь

= 0; Б • Кхх

дТк

6Ь

(14Т - 16Т + 2Тк) + д • Бо (-16Т - 16Тк + 327}) = 0;

(2Т - 167} + 14Тк) +

Л • Бт 2

(27к - 2Тсо) = 0.

(8)

Здесь следует отметить, что во всех скобках сумма коэффициентов перед узловыми значениями всегда будет равно пуню.

(14 - 16 + 2) = 0; (-16 - 16 + 32) = 0; (2 - 16 + 14) + (2 - 2)

0.

Решая систему (8), определим узловые значения температуры

дБо дЬБо

Т ± г =Т со

Т =Т со

Тк =Т ос

ЛБс дБ0

лб^

дБ0 ЛБг

Б хх дЬБо

2 Б Кх

(9)

Подставляя (9) в (2), определим закон распределения температуры по длине исследуемого стержня переменного сечения:

Т = Т(х) = (тсо - - # 1 + • х, 0 ^ х ^ 7

БКТ

ЛБт

БКТ

Отсюда видно, что в этом случае закон распределения температуры по длине стержня переменного сечения имеет линейный характер. Тогда градиент температуры будет постоянной величиной, т. е.

дТ дБо

дх = Мх ■0 *х * Ь

Примем следующие исходные данные: Ь = 20 см; г0 = 1 ; ть = 2 ; Кхх = 100 В/(см^ °С); д = -1000 В/см2; к =10 В/(см2 • °С); Тсо = 40 °С; Е = 2 • 106 кГ/см2. Коэффициент теплового расширения материала стержня а = 125 • 10-7 1/°С,

При этих исходных данных имеем

Т = 150,714 °С; Т) = 107,857 °С; Тк = 65 °С.

Тогда закон распределения температуры по длине исследуемого стержня переменного сечения имеет следующий вид

30

T(х) = 150,714 - у • ж, 0 * ж * Ь = 20 см.

Тогда площадь ограниченной координатными осями От и Ох, а также прямой Т(х) = 30

150,714 —7 • х будет равна

Бт, = / Т(х)вхх = 2157,14 °С х см. ио

Величина удлинения исследуемого стержня будет

А£т, = / а • Т(х)вхх = 2157,14 • 125 • 10-7 = 0,02696 см. ио

Здесь следует отметить, что полученное аналитическое решение Т = Т(х) является относительно приближенным. В целях исследования погрешности полученного аналитического решения теперь данную задачу решим численно. Для этого исследуемый стержень диекретизируем 2, 4, 8, 10, 100, 200, 300 квадратичными элементами, каждый раз полученные численные решения сравниваем с приближенно-аналитическим решением. Эти сравнения приводятся в сравнительной таблице. В этой таблице видно, что полученное приближенно-аналитическое решение будет завышено всего на 3,919 % от численного решения с погрешностью 0 %,

На рис. 2 приводится разница между приближенно-аналитическим решением и численно-точным.

Таким образом, выяснили, что во многих инженерных расчетах можно пользоваться удобным приближенно-аналитическим решением.

Теперь в этом примере предположим, что оба конца рассматриваемого стержня переменного сечения жестко защемлены. В связи с этим в нем возникают сжимающее усилие и напряжение (рис. 3).

Для того чтобы найти величину сжимающего усилия Я, сначала вычислим осреднен-ную величину площади поперечного сечения. Площадь поперечного сечения левого конца стержня будет = п • т0 = п, а правого конца Гь = п • т2ь = 4п, Тогда вычисляем арифметическое среднее значение площади поперечного сечения. Каждое значение площади поперечного сечения определяется по формуле (1).

Тогда предполагая, что один конец стержня свободен и на нем приложено сжимающее Я

Я

Таблица

Сравнительная таблица

№ Число Площадь Величина удлинения Разница

варианта дискретных элементов Бт(°С х см) стержня ДАт (см) в %

1 1 2157,1428 0,026964 100,00

2 2 2102,2759 0,026278 97,45

3 4 2080,9040 0,026011 96,46

4 8 2074,7349 0,025934 96,18

5 10 2073,9677 0,025924 96,14

6 100 2072,6026 0,025907 96,08

7 200 2072,5921 0,025907 96,08

8 300 2072,5902 0,025907 96,08

=<10>

где ¥ср — арифметическое среднее значение площади поперечного сечения.

Но из-за условия совместности деформации для защемленного двумя концами стержня переменного сечения должно быть

+ А£т = 0. (11)

Подставляя (10) в (11), получим ЕТ + Д£т = 0, отсюда имеем

„ Д1т • Е • 7ср

Е =--ь-•

В нашем примере при принятых исходных данных получим

а> X к а. с со X

О

-1000 -2000 -3000 -4000 -5000 -6000 -7000

0 1 1 1 1 8 10 12 1 4 16 1 8 2(

Длина стержня (см) i i i i

i i i

i i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i i i i

i i i i i i i i i

Рис. 4. Поло распределения напряжений по длнне стержня переменного сечения

R = -

0,025907 ■ (2 ■ 106) ■ 7,330376 379816,118

20

20

— 18990,8 кг.

(12)

Следует отметить, что если площадь поперечного сечения исследуемого стержня была бы постоянной и ^ = п • т2 = п, то величина сжимающего усилия была бы

Я = - °.025907-(2-1°6) • п = _8!34 г.

20 '

Значения термоунругого напряжения в любом сечении рассматриваемого стержня переменного сечения определяются в соответствие с законом Гука:

a(x)

R

F (x)

где F (x) определяется формулой (1). В частности

RR

a(x = 0) =

F (x = 0) п ■ r0

= -6044,959 кГ/см2;

a(x = L/2) = a(x = 10) = a(x = L) = a(x = 20) =

R

R

F (x = 10) п ■ r2x

R

R

F (x = 20) п ■ r\

- 2686,648 к Г/см2

-1511,239 кГ/см2

Теперь, пользуясь соотношениями (17) и (1), можем построить ноле распределения термоунругого напряжения но длине исследуемого стержня переменного сечения (рис. 4).

Список литературы

1. МИХЛИП С. Г. Вариационно-сеточная аппроксимация / Численные методы и автоматическое программирование: сб. записок научных семинаров, ЛОМИ. М.: Наука, 1974. Т. 48. С. 32 188.

2. Дьяконов Е. Г. Проекционно-разностные и разностные методы решения нелинейных стационарных задач теории упругости и пластичности / Численные методы механики сплошной среды: сб. науч. тр. 1976. Т. 7. № 5. С. 14-78.

3. Марчук Г. И. Методы вычислительной математики. М.: Наука, 1977.

4. Дьяконов Е. Г. О некоторых модификациях проекционно-разностных методов // Вестник Московского унив., сер. «Вычислительная математика и кибернетика». 1977. № 2. С. 3-19.

5. Fung Y. С. Foundations of Solid Mechanics. N. J.: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1965.

6. Huebner К. H. The Finite Element Method for Engineers. N. Y.: Wiley, 1975.

7. ноздрев В. Ф. Курс термодинамики. М.: Мир, 1967.

8. Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979.

Кудайкулов Анарбай Кудайкулович — д-р физ.-мат. паук, проф.,

зав. кафедрой Евразийского национального университета им. Л. Н. Гумилева, e-mail: kudaykulov2006@mail.ru

Кенжегулов Бекет Зинешевич — д-р технич. наук, проф., декан физ.-мат. факультета Атырауского государственного

университета им. X. Досмухаметова, e-mail: kenzegulov_bzQmail.ru, тел.: +7(7122) 27-63-4-1

Утебаев Улан Баймуратович, — магистрант 2 курса Атырауского государственного университета им. X. Досмухаметова,

e-mail: ulan83utebaev@mail.ru

Токкулиев Бахтияр Маратович, — магистрант 2 курса Атырауского государственного университета им. X. Досмухаметова,

e-mail: bak_84_84@mail.ru

Дата поступления — 09.07.2015