Определение температурного поля в двухслойном толстостенном цилиндре конечных размеров при действии источника тепла постоянной мощности Текст научной статьи по специальности «Электротехника, электронная техника, информационные технологии»

3.0), либо может уступать им (в частности Aros Fractal уступает по быстродействию в 3 и более раз), но при этом обладает намного более широким функционалом и гибкими настройками. КТС позволяет полностью контролировать процесс генерации и отслеживать координаты областей участков.

Быстродействие и эффективность программы в КТС Mathematica в то же время зависят от сложности нелинейной комплексной функции и степени оптимизации алгоритма ее вычисления, эффективности используемых встроенных функций графики КТС, а также применяемых настроек директив и опций.

Система Mathematica универсальна и позволяет работать со сколь угодно малыми приближенными с машинной точностью числами. Зная необходимое комплексное преобразование, можно получить любое фрактальное изображение или его сколь угодно малую часть. Алгоритмы построения и расчета точек прозрачны, что позволяет их оптимизировать при необходимости в зависимости от особенностей конкретного комплексного преобразования (фрактала). Система показывает хорошие результаты по скорости построения изображений и обладает универсальным и удобным инструментарием для формирования фрактальных изображений и исследования фрактальных структур.

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Мандельброт Б. Фрактальная геометрия природы / Перевод с английского Логунова А.Р. - Москва, 2002.

2. Никулин Е.А. Компьютерная геометрия и алгоритмы машинной графики. -

СПб.: БХВ-Петербург, 2003.

УДК 536.2

Д.М. Матяшов, О. А. Губеладзе

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ТЕМПЕРАТУРНОГО ПОЛЯ В ДВУХСЛОЙНОМ

ТОЛСТОСТЕННОМ ЦИЛИНДРЕ КОНЕЧНЫХ РАЗМЕРОВ ПРИ ДЕЙСТВИИ ИСТОЧНИКА ТЕПЛА ПОСТОЯННОЙ МОЩНОСТИ

При долговременной эксплуатации шахтных сооружений необходимо знать, как изменяется температура воздуха внутри сооружения с течением времени. Особенно актуальным является вопрос определения температуры воздушной среды при отключении систем обеспечения температурно-влажностного режима в сооружении на определенном этапе его эксплуатации. Для решения данной задачи необходимо исследовать процессы теплообмена в массиве, окружающем сооружение.

Рассмотрим полый двухслойный цилиндр конечных размеров, размещенный в однородной среде с постоянной температурой. В полости цилиндра температура постоянная, отличная от начального распределения температуры внутри цилиндра. В некоторый момент времени начинает действовать источник тепла постоянной мощности. Требуется найти распределение температуры в цилиндре в любой момент времени.

Задача делится на два этапа. На первом этапе известна температура на внутренней и внешней поверхностях цилиндра (граничные условия 1 рода), на втором этапе во внутренней полости размещен источник тепла постоянной мощности (граничное условие 3 рода).

Для решения задачи необходимо найти распределение температуры в неограниченном цилиндре и неограниченной пластине, далее с использованием метода суперпозиции находится общее решение.

Дифференциальное уравнение (ДУ) теплопроводности в цилиндрических координатах на первом этапе запишется следующим образом: д2Т.(т,г) 1 дТ.(т,г) ^ дТ.(т,г)

- +— г

(1)

дг2 г дг ) дт

где / = 1,2 - номер слоя; а - температуропроводность /-го слоя; Т(т,г) -температура в / -м слое; г - радиус ; т - время.

Краевые условия следующие:

Т (0, г ) = Т0;

Т (т Го ) = Т ;

Т 2 (т, Го + 3) = Тр

(2)

(3)

(4)

А

дТ,

= АдТ 2

Ю+3

дг

Ю+3

(5)

(6)

дг

Т\ = Т\

Ч 70+^1 21 70+^1

где Т0 - начальная температура цилиндра; Т - температура среды в полости цилиндра; Тгр - температура среды на поверхности цилиндра; г0 - внутренний радиус цилиндра; 5 - толщина цилиндра; 51 - толщина первого слоя; Я1,Я2 - коэффициенты теплопроводности слоев.

Решение ищется в виде суммы частного решения неоднородного ДУ (1) и общего решения однородного ДУ вида

д 2Т.(т, г) 1 дТ.(т, г)

■ + — г

= 0.

(7)

дг2 г дг

Для отыскания частного решения воспользуемся методом разделения переменных и представим искомую функцию в виде

N(т,г)= 2(т) • Х(г). (8)

Здесь

Х(г) = ±[А/о (цг )+Би¥0 (цг )]

^1(т) = £ехр(- аДг),

(9)

(10)

- характеристические числа задачи; Jlj{jujr), 7,(// г) - функции Бесселя первого рода нулевого порядка.

Подставив (8) в граничные условия (3) - (6) и учтя, что J0(z) = — 3(г) , У'(г) = —У1(г) [1], получим определитель для нахождения собственных чисел характеристического уравнения, который имеет вид

3(цго) ) 0 0

(11)

3 (ц(г +5,)) 70 (Ц(г +5,)) — з0 (ц(г0 +5,)) — 7 (ц(г +5,))

3 ц(г0 + 5)) к7( ц(г0 +51)) —3 ц(г +51)) — ^2^( ц(г0 + 5))

0 0 Л (ц(г +5)) 70 (ц(г0 + 5))

Система имеет решение, отличное от тривиального, только когда определи тель (11) равен нулю.

Решая определитель относительно и, определим собственные числа зада-

чи.

Необходимо найти коэффициенты Aj,Bj в (9) для каждого из характеристических чисел . Выразив В ■ через А и воспользовавшись условием ортогональности функций, получим

} г((0,г) - Т(г})

А =■

30 (/ )- ¥0 )•

30 {М/о )

ёг

(

}г 3о [и?)- 7о (иг )•

30 (М/о)

Л2

(12)

ёг

- V ¥о {м,Г У

Здесь Т.(г) - распределение температуры в стационарном режиме. Интегрирование (12) проводится численным методом. Для определения Т(г ) решим (7), решение представим в виде

Т(г) = Л11пг + В1. (13)

Подставив (13) в (3) - (6), получим

^; Д=А Л2; В = Те - Л! 1п( г0) ;

1п

Го + 51

Г

V 0 у

А

Г0 + 51 V Г0 +5 У

А

В2 = - Л21п(г0 + 5).

Распределение температуры в неограниченном цилиндре при постоянной температуре в полости запишется как:

Т/ I \Т1 (г) + Н1(т,г) если Г0 - г-(го + 5)'

Т (т, г) = •! . . / ч / ч / ч (14)

4 [Т2(г) + N2(т,г) если (г0 +51)- г - (г0 +5)

Решение для неограниченной многослойной пластины приведено в [2]. В соответствии с принципом сложной суперпозиции [3] относительная температура ограниченного цилиндра представляется как произведение относительных температур цилиндра и пластины.

На втором этапе решения задачи ДУ теплопроводности для неограниченного цилиндра имеет вид

д2Т.(т,г) 1 дТ.(т,г) ^ о дТ.(т,г)

- а.

дг2

■ + —

г дг

+ -

сР

дт

(15)

где о - мощность источника тепла; оп р - соответственно удельная теплоемкость и плотность . -го слоя.

Краевые условия следующие:

Т(0,г) = Т (т,г) ; (16)

А дТ -А~дТ

+ а(Т - Т(т,г)) = 0: Т2(т,г0 +5) = Тгр;

А дТ1

1 дг

= АдТ■

г0+51

дг

(17)

(18) (19)

г0+51

Т\ = Т1 . (20)

Ч10+51 2\<0+51

Согласно [4] при свободной конвекции на вертикальной стенке коэффициент теплоотдачи равен

а(т) = 1,66 • \/(Т, (т)-Т(т,га)) . (21)

Перенесем в (15) свободный член в правую часть уравнения. Тогда решение

уравнения (15) запишется как сумма общего решения уравнения (7) и частного

решения уравнения (15) при граничных условиях (17)-(20). Общее решение (7) с учетом (21) запишется как

Т( г) = А1пг + В1, (22)

а (т)) г А

где А = ------; Л =~Л ; ^ = 2п • гйИ - площадь внутренней поверхно-

1,663 А А2

сти цилиндра; И - высота цилиндра. Коэффициенты В1, В2 находятся так же, как и на первом этапе решения.

Частное решение уравнения (15) ищется в виде Р(т,г ) = И (т,г )+ 0(г ), где И(т, г) - частное решение уравнения (1) при краевых условиях (16) - (20); 0(г ) - частное решение уравнения вида

д2Т(т,г) 1 дТ(т,г) \ о

л 7 +---------и 7 1 =-------------------------------------. (23)

дг2 г дг ) с1р

Решение (23) отыскивается в виде

Я (г) = Л1пг + В + С г2. (24)

Подставляя (24) в (23), получим

С о о

4ас р 4А

I Iг I I

где А - коэффициент теплопроводности I -го слоя.

Подставив (24) в граничные условия (17) - (20), получим

(аМ. • А. - 2СЛ‘;

1,663 а

Л2 =А (л, + 2С1 (г + 51) )-2С2 (г + 51 )2;

А2

В2 = Т „ -А!п(г0 +5)-С2(г + 5)2;

В, = В2 + А 1п( +5) + С2 (г + 5,)2 - А п(г0 + 5,) - С, (г + 5,)2.

Частное решение уравнения (23) равно

С(г) = \Я(г )если г0 - г -(г0 + 51);

[Я2 (г) если (г0 + 5,)- г - (г0 +5)

При отыскании И(т,г), являющегося решением уравнения (1), определитель запишется в виде

31( мг0) ¥1( И) 0 0

30 (м(г0 +51 )) ¥0 (м(г0 + 51 )) - ■ (И(г + 51)) - ¥0 (м(г0 + 51 ))

А131( М(г0 + 51 )) А1¥1( М(г0 + 51 )) -А231( М(г0 + 51 )) -А2¥1( М(г0 + 51 ))

00 Коэффициенты А. равны

■0 (м(г0 + 5)) ¥0 (м(г0 + 5))

} г(Т(т,г) - Т(г)\ )0(м/)-¥0(М/)

А =■

■ (м/) ¥1 (м/ )

ёг

■А (м/0) ¥1 (м/0 )

ёг

Тогда И. (т,г ) = £ А

■

• ехр(- м^а.т).

Общее решение уравнения (15) запишется следующим образом:

Т (т, г) = И1 (т, г) + 0(г) + Т(г).

Зная коэффициент теплоотдачи на внутренней стенке шахтного сооружения, можно найти температуру стенки сооружения в любой момент времени, откуда с использованием (21) выражается температура воздуха в сооружении. Таким образом, было получено аналитическое выражение для температурного поля двухслойного полого цилиндра конечных размеров, внутри которого действует источник постоянной мощности.

Расчет, проведенный по полученным формулам, подтверждается данными экспериментальных исследований [5].

БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК

1. Бейтмен Г., Эрдейи А. Высшие трансцендентные функции. -М.: Наука, 1966. - 296 с.

2. Беляев Н.М., Рядно А.А. Методы теории теплопроводности: Учебное пособие. Ч. I. -М.: Высшая школа, 1982. - 327 с.

3. Пехович А.И., Жидких В.М. Расчеты теплового режима твердых тел. -Л.: Энергия, 1976. -352 с.

4. Богословский В.Н. Строительная теплофизика. -М.: Высшая школа, 1982. - 460 с.

5. Агафонов Ю. Н., Жук В. И. и др. Определение характеристик конвективного теплообмена при прогнозировании теплового режима шахтных сооружений. РК техника. Научнотехнический сборник, 1988, с. 26-33.

УДК 681.533

А.П. Цепа

МОДЕЛИРОВАНИЕ ПЕРВИЧНОГО ПРЕОБРАЗОВАТЕЛЯ ПЛОТНОСТИ КАМЕРТОННОГО ТИПА С ПРИМЕНЕНИЕМ МЕТОДА КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

Рассматривается первичный преобразователь (І III) камертонного типа, основанный на частотном методе измерения. В ПП возбуждаются колебания на механическом резонансе системы, включающей в себя мембрану и лопасти камертона. При погружении ПП в жидкость мембрана и лопасти нагружаются жидкостью. Это нагружение можно приближенно описать добавлением к системе эквивалентной присоединенной массы жидкости, в результате чего резонансная частота из-

j=l