Расчет теплового поля в силовых масляных трансформаторах с элегазовым охлаждением Текст научной статьи по специальности «Математика»

УДК 532.546

Расчет теплового поля в силовых масляных

трансформаторах с элегазовым охлаждением

А.С. ХИСМАТУЛЛИН, доцент кафедры электрооборудования и автоматики промышленных предприятий

Филиал ФГБОУ ВПО «Уфимский государственный нефтяной технический университет» в г. Салавате (Россия, Республика Башкортостан, 453250, г. Салават, ул. Губкина, д. 22б). E-mail: [email protected]

В статье представлены решения задач о тепловом поле в параллелепипеде с источником тепла, поддерживающим постоянную или изменяющуюся со временем температуру в верхнем сечении. Искомая температура представляется в виде суммы стационарной и нестационарной частей, для построения решения которых применен метод разделения переменных. На основе найденного решения произведены расчеты пространственно-временных зависимостей температуры применительно к масляным трансформаторам с элегазовым охлаждением. Ключевые слова: уравнение теплопроводности, метод разделения переменных, трансформатор, барботаж, система охлаждения, элегаз, адсорбер, фильтр.

Одним из важнейших факторов, влияющих на надежность функционирования силовых трансформаторов, является их эффективное охлаждение [1]. Существующие системы охлаждения силовых масляных трансформаторов имеют недостатки. Трансформаторное масло охлаждается с помощью радиаторов и вентиляторов крайне неэффективно.

В работах [2-5] предложена система охлаждения масляного трансформатора с применением всплывающих пузырьков газа. В качестве охлаждающего газа предлагается использовать элегаз, который характеризуется высоким коэффициентом теплового расширения и высокой плотностью. При высоком коэффициенте теплового расширения легко образуется конвективный поток, перераспределяющий тепловые потоки.

Измерение нестационарного температурного поля при наличии всплывающих пузырьков эле-газа и их отсутствие позволяют определить эффективный коэффициент. К сожалению, теории тепловых процессов, которая могла бы быть использована для определения коэффициента температуропроводности, нет.

Постановка задачи с постоянной температурой нагревателя

Рассмотрим температурное поле в прямоугольном параллелепипеде, ограниченном по x, у и 2 соответственно 0 < x < d/2, 0 < у < Ь/2, 0 < < 1, t > 0 (рис. 1). Внутри резервуара в начальный мо-

мент находится вода при температуре Т0, которая постепенно со временем приобретает температуру Тн, соответствующую температуре нагревателя.

Температура находится путем решения уравнения теплопроводности:

дТ_ ~dt

(д2т д2т д2Т ^

= a

дх ду2

дг2

0 <х< —, 0 <у<—,0 < г l,t> 0, 2 2

со следующим начальным условием: T\t=0 =Т0,

-d/2 ./

(1)

(2)

0 / d/2/

/ d/2 / x

/ У

/ l /

Рис. 1. Геометрия задачи

z

где а = Х/ер - коэффициент температуропроводности, X - коэффициент теплопроводности и Т0 -температура окружающей среды. Теплообмен с окружающей средой на поверхности 5 описывается по закону Ньютона:

Тогда нестационарное решение должно удовлетворять постановке

дх

= а(Т|_ - То),

(3)

s

дТ

дТ ,

(

Х=о = o, -г-

дх

дТ

дх х=^

+h

\

х=— \ 2

d Т0

= о,

дТ

— \y=0 = 0, —

ду

дУ У=~ч

+h

-То

\ У=2

Т \z=l= Т0> Т lz=0 Тн •

= 0,

(4)

dv ~ât

= a

С d2v + d2v + d2v ^ дх2 ду2 dz2

0 <х< —, 0 <у< —, 0 <z < l,t> 0, 2 2

v\t=0= 0

dv I _ n dv дх дх

dv \ = 0 дv ду y=0 ' ду

lz=0

= 1,

+ hv\ d = 0, d х=—

х=d 2

2

-hv\ b = 0, У=2

v\z=l= 0

д2vs d2vs d2vs „

_s j__s J__Î = 0

дх2

ду2

dz2

1 dw d2w d2w d2w

2

a dt дх2 ду2 дz

0 <х< — ,0 <у<Ь, 0 <z < l, t> 0, 2 2

(10)

Wt—0 —-vs ,

где S - поверхность стенки, а - коэффициент теплоотдачи среды (вода - оргстекло - воздух).

Обозначим h = а/Х, тогда граничные условия можно записать как

I п дю

w _0 = 0, —

х—0 дх

d

х=— 2

-hw\ d = 0,

I и дю

w п= 0, —

у_0 ду

+ hw\ ь = 0,

b

(11)

у=2

w „ = 0, w , = 0.

lz_0 lz_l

Сначала найдем решение стационарной задачи:

—0,

d2vs d2vs d2vs

Перейдем к безразмерной температуре: V = (Т - Т0)/(ТК - То), тогда математическую постановку задачи запишем как

дх2 ду2 ôz2

0 <х<—,0 <у<—,0 <z< l,t>0 2 2

со следующими граничными условиями:

(12)

(5)

(6)

(7)

v

дх

v

ду

ôv

—+^Х_—=0, х=0=0,

Х=— 2 дх

2

"hvsl, =0, ^Г^\у=0 =0,

у_7

у=с

dvs

ду

(13)

vs \ z=0= 1, vs\z=l = 0

Для построения решения стационарной задачи (12), (13) применим

метод разделения переменных, основанный на теории рядов Фурье. Частные решения уравнения будем искать в виде произведения

Представим решение задачи в виде суммы стационарного Vs(x, у, г) и нестационарного ю(х, у, г, Ь).

Пусть стационарное решение удовлетворяет следующей задаче:

. = X(х) Y (у)Z(z).

(14)

Общее решение стационарной задачи (12)-(13) представится как

0 <х< —, 0 <у< —, 0 <z < l,t> 0, 2 2

(8) vs (х,y,z) = 16 XX

n_0 m_0

sin(lnd/2) sin(m— 2)

dvs

дх

dvs

ду

hv

dv.

s^x_— = 0, ^=0 =0, 2 дх

(lnd + sin (lnd ))

s(%пх)cos(^ту)5зЬ((il •(( - z)) (mb + sin ( b ))sh ((

-hvs\ b = 0,

dv

ду

s \ =0

у=0 = 0,

(9)

(15)

Представим решение нестационарной задачи (9)-(10) в виде произведения

s I z=0

= 1, vsZ=l= 0.

w

(.х,у,z,t ) = X (х )Y (у)Z (z)Т (t), (16)

2

x

2

2

тогда, разделив переменные, получим

ат=х y ~z ■

(17)

_%п sin(xn"2")+h c°s(x„ d2)=o'

h cos |lm ^j Sin 2 ' =

где m = 0, 1, 2...

Для уравнения (20) имеем

cos(%z) + ^2Sin(xz).

откуда определяются собственные значения nk

^ = —, k = 1, 2, 3.

(30)

Минус перед X2 означает, что решение уравнения 2 2 Т / Т = -Х а затухает со временем Т = С • ехр(-Х2а^.

Обозначим

X' / X = -х2, (18)

У" / У = -Ц2, (19)

/ X = -г|2, (20)

2 2 2 2 тогда из (17) получим % + | + -q =Х .

Решение уравнения

d2 X / dx2 = _%2X (21)

имеет вид

X = ^1Cos(%x) + ^2sin(%x). (22)

Его производная представляется как

X' = _A1%sin(%x) +^2%cos(%x). (23)

Подставив (23) в граничные условия при х = 0, получим ^2 = 0, следовательно

Xn (x) = A„cos(x„x). (24)

Подставив в решение Xn (x) = An cos %nx в граничные условия при x = d/2, получим трансцендентное уравнение для определения %n:

Соответствующее частное решение имеет вид

Zk(г) = ^ksin| П^г |.

(31)

Таким образом, общее решение нестационарной задачи представляется в виде тройной суммы

w

= Y*L^LCnmk cos (%nx)cos (l^my)sin

n m k V l /

: exp

( ( f u\2 Л Л

2 2 ( nk Л _a %n + lm + |yj t

V V j j

(32)

где значения хп и Цт определяются из решения трансцендентных уравнений. Подставим (32) в начальное условие и проверим условие ортогональности собственных функций, тогда решение нестационарной задачи примет вид

w

= _32Ц1

n m k

sin (%nd2) sin (l^mV2) cos (%nx)

(n d + sin(%nd))(lm b + sin(lmb))

nk

cos (lmy) sin |nk• sh(VХП +I2ml)

sh(( +I2m *l)( +I2m)l2 +n2k2)

N 2 Л Л

exp

(25)

( (

_a

V V

2 2 I nk Xn + lm +| -J

t

j j

(33)

где п = 0, 1, 2... Уравнение (25) позволяет определить собственные значения %п и тем самым множество решений.

Аналогично для уравнения относительно у находим

Ут (У) = ВтЫ^шУЪ (26)

где цт находится из трансцендентного уравнения

(27)

где хп и цт определяются из уравнений (25) и (27).

Упростив выражение (33), получим окончательное решение размерной задачи в виде сумм стационарного и нестационарного уравнения:

Т = 16 х

£ £ ( У2) ВШ( Ь12) С08(Хпх)с0З(тУ) х

п=0 т= 0 ( + 81п (^ ))(( + (ЦтЬ ))

^ ((+^т-(^ - ^))

sh

(28)

+2S

k=1

nk sin | ^г | exp

((+im • l)

(_a(%n +I2m +(n^l)2) t)

Подставив граничные условия при 2 = 0 в уравнение (30), получим = 0.

Из условия при 2 = I следует уравнение

Б2 вт^О = 0, (29)

(n+im )l2+n2k2)

х(Тн _Т)) + Т), (34)

где xn и |j,m определяются из уравнений (25) и (27).

Переменная температура нагревателя

При пропускании пузырьков элегаза, неравномерной нагрузке трансформатора и интенсивном теплообмене в среде обеспечить постоянство температуры на поверхности трансформаторного масла затруднительно [6-10]. Ниже приведено решение задачи с переменной температурой нагревателя.

Температурное поле находится путем решения уравнения теплопроводности:

д2Т д2Т д2Т 1 дТ

dv ~dt

= a

^ d2v + d2v + d2v Л dx2 dy2 dz2

0 <x< —, 0 <y< —, 0 <z < l,t> 0, 2 2

11=0

= 0,

dv i 0, dv

\x=0= dx dx x= d

"2

0, dv

dv | dy y=° dy y= b о

-hv\ d = 0,

lx=— 2

■ hv\ b = 0, 2

v \ z=0= vh(t), v\z=l= 0-

Решение задачи представим в виде свертки v (x, y, z, t) = vH (0) u (x, y,z,t) +

■5vH(^

+J—u (x, y,z,t-x)dx,

тогда задача для функции u примет вид

1 du = d2u d2u d2u a dt dx2 dy2 dz2'

u|t=0 = 0

du = 0, du + hu\

dx x=0 dx x x=d¡ 2

du = 0, du + hu\

dy y=0 dy y y=b 2

u z=0 = 1, u\z=l = 0.

дх2 ду2 дг2 а дг 0 <х<а/ 2, 0 <у<ъ/ 2, 0 <г< I, г> 0. (35)

Начальное условие не изменяется:

Т\г=0 =Т (36)

В отличие от предыдущего случая полагаем, что температура на поверхности трансформаторного масла зависит от времени по заданной зависимости, которая измеряется экспериментально:

Т\г=0= Тн(г). (37)

Для безразмерной температуры

V = (Т -Т0)/АТ = (Т -Т0У(Ттах -Т0),

где Ттах - максимальная температура, математическую постановку задачи представим в виде

,= 0, (44)

Ъ=2/2 = (45)

(46)

Решение задачи представляется в виде

u (W,( )=16\±± '

m=0 (nd+sin(%nd))

x cos(Xnx)cos(v-my)

(mb + sln (Vmb))

, . ,'nk Л -a(x2n+v2m+{nkll )2)t nk sin I — z I e x '

(47)

V2 2

Xn+Vm z

-2 Z

k=i

l

(( +vl )l2 +n2k2 )

Окончательное выражение для температуры запишется в форме

T (x,y,z,t ) = T0 +16 (0)-T )x у у sin(%nd/2) sin(mb/2) cos(xnx)cos(limy) x

n=0m=0 (n d + sin(Xnd))(lm b + sin(lmb))

(38)

(39)

-2j

, . .nk ) -a(x2n +im +(nkl )2) t nk sin I — z I e v '

k=i

((xn+im )l2+n2k2)

+i6 í

д(Тн (т))

dx

sin

(Xnd 2) sin (lmb 2)

у у

n=0 m=0 (xnd + sin (Xnd ))

cos

(Xnx )cos (lmy)

(lmb ))

(48)

(( + sin

(40)

i 2 2" ,-VXn +lm 'z

-2 У

k=i

x<¡ e

, . , nk ) -a(xn +im +(nkl)2) (t-т) nk sin I — z I e v '

((хП +|2m )l2 +n2k2 )

dx,

(41)

(42)

(43)

где хп и определяются из уравнений (25) и (27).

Полученные решения прямых задач предназначены для определения эффективной теплопроводности, температуропроводности, коэффициента теплоотдачи, на основе результатов измерения температуры в созданной установке. Такая возможность обеспечивается на основе ис-

0

0

пользования решений прямых задач в алгоритмах обратных задач на основе метода деления отрезка пополам и метода наименьших квадратов.

Для определения коэффициента температуропроводности трансформаторного масла со всплывающими элегазовыми пузырьками по экспериментальным значениям температуры созданы программы [6-7].

_____________________

~ - - -

l\V\ \ —.

U \ \

\ V \ •

\ \ \

" \ \ Ч.

\ ч

.............................

Рис. 2. Вспомогательный график для нахождения корней трансцендентного уравнения

Анализ результатов

На рис. 2 представлен график зависимости функции f (х) = -х sin(xd /2) + h cos(xd /2) при d = 0,1 и h = À/A = 36,8.

С помощью программы MathCAD получены корни уравнения f(x) = 0, на рис. 2 они обозначены точками.

На рис. 3 представлен график зависимости стационарной температуры от вертикальной координаты 2 в центре резервуара x = 0 м, y = 0 м при различных значениях коэффициента теплообмена.

0.2 0.4 0.6 0.8 г,м

Рис. 3. Распределение стационарной температуры по глубине в центре резервуара при различных значениях параметра теплообмена Л:

1 - 0,00005 м-1, 2 - 0,0005 м-1, 3 - 0,005 м-1, 4 - 0,02 м-1, 5 - 0,1 м-1, 6 - 0,5 м-1, 7 - 3 м-1, 8 -36,8 м-1

Как видно из рис. 3, при глубине меньше 0,1 м температура воды меняется по линейному закону с глубиной 2, дальнейшее изменение температуры соответствует 2 > 0,1 м стремлению к температуре окружающей среды, что также подтверждено экспериментальными измерениями на установке. Анализ графиков позволяет выделить следующие три режима:

1) при к < 0,005 м-1 - хорошая изоляция установки (температурное возмущение более 1 м),

Рис. 4. Зависимости стационарной температуры от горизонтальной координаты х при у = 0 м, Л = 6 м-1 для следующих глубин т.

I - 0,001 м, 2 - 0,005 м, 3 - 0,01 м, 4 - 0,025м, 5 - 0,04 м, 6 - 0,05 м, 7 - 0,075 м, 8 - 0,1 м, 9 - 0,15 м, 10 - 0,2 м,

II - 0,5 м

Рис. 5. Зависимости стационарной температуры от горизонтальной координаты хпри у = 0 м, Л = 0,5 м-1 для следующих глубин т.

I - 0,005 м, 2 - 0,025 м, 3 - 0,050 м, 4 - 0,075м, 5 - 0,125 м, 6 - 0,175 м, 7 - 0,225 м, 8 - 0,300 м, 9 - 0,400 м, 10 - 0,5 м,

II - 1,000 м

Рис. 6. Зависимости стационарной температуры от горизонтальной координаты х при у = 0 м, Л = 0,05 м-1 для следующих глубин т. 1 - 0,005 м, 2 - 0,025 м, 3 - 0,05 м, 4 - 0,075м, 5 - 0,125 м, 6 -0,175 м, 7 - 0,25 м, 8 - 0,4 м, 9 - 0,55 м, 10 - 0,75 м, 11 - 1,000 м

Рис. 7. Разности температуры между границей и центром по глубине для стационарного случая при следующих значениях коэффициента теплообмена Л:

1 - 0,005 м-1, 2 - 0,0025 м-1, 3 -0,0005 м-1, 4 - 0,00005 м-1

2) при 0,005 м-1 < h < 0,5 м-1 - средняя изоляция (температурное возмущение около 1 м),

3) при h > 0,5 м-1 - соответствует слабой изоляции (температурное возмущение около 0,1 м).

Как видно из рис. 4-6, с увеличением z температура воды уменьшается и стремится на больших глубинах к температуре окружающей среды. Обнаружены невысокие значения разницы температуры между центром и стенками резервуара при одинаковых значениях глубины 2.

На рис. 7 представлены распределения разности температуры между границей и центром по глубине для стационарного случая. Как видно из

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Nigmatulin R.I., Filippov A.I., Khismatullin A.S. Transcillatory heat transfer in a liquid with gas bubbles // Thermophysics and Aeromechanics. 2012. Т. 19. С. 589.

2. Bashirov M.G., Minlibayev M.R., Hismatullin A.S. Increase of efficiency of cooling of the power oil transformers // Нефтегазовое дело. 2014. № 2. С.358-367.

3. Баширов М.Г., Хисматуллин А.С., Хуснутдинова И.Г. Применение барботажа в системе охлаждения силовых трансформаторов // Транспорт и хранение нефтепродуктов и углеводородного сырья. 2014. № 3. С. 29-32.

4. Филиппов А.И., Минлибаев М.Р., Хисматуллин А.С. Установка для исследования коэффициента температуропроводности в жидкости // Новые промышленные технологии. 2010. № 2. С. 62-63.

5. Хисматуллин А.С. Теоретическое и экспериментальное исследование теплопереноса в жидкости с газовыми пузырьками // Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук / Башкирский государственный университет. - Уфа, 2010.

6. Хисматуллин А.С., Баширов М.Г., Исхаков Р.Р. Программа записи выходных данных эксперимента трансформаторного масла с всплывающими элегазо-выми пузырьками. Свидетельство о государственной

графика, при хорошей изоляции разности температуры между границей и центром примерно 10-3, при средней - примерно 101, а при плохой изоляции составляет несколько градусов. Эти данные важны для определения места положения датчиков [8-10].

Выводы

На основе решения задач о температурном поле произведены расчеты пространственно-временных зависимостей температуры применительно к масляным трансформаторам с элегазо-вым охлаждением и анализ сделанных расчетов.

регистрации программ для ЭВМ № 2015614072. Дата гос. регистрации 06.04.2015.

7. Хисматуллин А.С., Баширов М.Г., Исхаков Р.Р. Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ № 2015614073 Программа анализа выходных данных эксперимента по определения коэффициента температуропроводности трансформаторного масла с всплывающими элегазовыми пузырьками. Правообладатель: ФГБОУ ВПО УГНТУ. Дата гос. регистрации 06.04.2015.

8. Баширов М.Г., Хисматуллин А.С., Камалов А.Р. Ис-ледование изменения теплопроводности масла при барботаже в системе охлаждения силовых трансформаторов // Современные проблемы науки и образования. 2014. № 6. С. 338.

9. Хисматуллин А.С., Филиппов А.И., Серебренников Н.П., Минлибаев М.Р. Определение коэффициента трансцилляторного переноса при барботаже в жидкости // Вестник Воронежского государственного технического университета. 2010. № 2. С. 52-53.

10. Муллакаев М.С. Ультразвуковая интенсификация технологических процессов добычи и переработки нефти, очистки нефтезагрязненных вод и грунтов // Диссертация на соискание ученой степени доктора технических наук / Московский государственный университет инженерной экологии. - М., 2011. 419 с.

ACCOUNT OF THERMAL FIELD IN POWER OIL TRANSFORMERS GAS COOLING

Hismatullin A.S., docent of the Department «Electrical equipment and automation of industrial enterprises» Branch Ufa State Petroleum Technological University (USPTU) (22B, Gubkin St., 453250, Salavat, the Republic of Bashkortostan, Russia) E-mail: [email protected]

ABSTRACT

Solutions of tasks on a thermal field in a parallelepiped with heat source maintaining a constant or temperature changing over time in the top section are presented in article. Required temperature is presented in the form of the sum of stationary and non-stationary parts to which creation of the decision the method of division of variables is applied. On the basis of the found solution calculations of existential dependences of temperature in relation to oil transformers with gas-insulated cooling are made. Keywords: heat equation, separation of variables, transformer, bubbling, cooling system, sulfur hexafluoride, the adsorption filter.

REFERENCES

1. Nigmatulin R.I., Filippov A.I., Khismatullin A.S. Transcillatory heat transfer in a liquid with gas bubbles. Thermophysics and Aeromechanics. 2012. T. 19. C. 589.

2. Bashirov M.G., Minlibayev M.R., Hismatullin A.S. Increase of efficiency of cooling of the power oil transformers. The electronic scientific journal Oil and gas business, 2014. no. 2. p.p. 358-367. Available at: http://www.ogbus.ru/eng/autors/Bashirov/ Bashirov_7e.pdf (Accessed 1 July 2015).

3. Bashirov M.G., Hismatullin A.S., Khusnutdinova I.G. Application of bubbling in the cooling system of power transformers Transport i hranenie nefteproduktov i uglevodorodnogo syrya [Transport and storage of oil products and hydrocarbons], 2014, no. 3, pp. 29-32. (in Russian)

4. Filippov A.I., Minlibaev M.R., Hismatullin A.S. Installation for the study of the thermal diffusivity in liquid Novye promyshlennye tekhnologii [New industrial technologies]. 2010, no. 2. pp. 62-63. (in Russian)

5. Hismatullin A.S. Teoreticheskoe i ehksperimental'noe issledovanie teploperenosa v zhidkosti s gazovymi puzyrkami Cand. Diss. [Theoretical and experimental study of heat transfer in a liquid with gas bubbles. Cand. Diss.] Bashkir State University. Ufa, 2010. 130 p.

6. Hismatullin A.S., Bashirov M.G., Iskhakov R.R. Programma zapisi vyhodnyh dannyh ehksperimenta transformatornogo masla s vsplyvayushchimi ehlegazovymi puzyrkam [The program records the

output of the experiment transformer oil with gas-insulated bubbles pop]. Certificate of state registration of computer programs, no. 2015614072, 2015.

7. Hismatullin A.S., Bashirov M.G., Iskhakov R.R.. Programma analiza vyhodnyh dannyh ehksperimenta po opredeleniya koehfficienta temperaturoprovodnosti transformatornogo masla s vsplyvayushchimi ehlegazovymi puzyrkami [The program analyzes the output data of the experiment on the determination of the thermal diffusivity of transformer oil to pop bubbles of gas-insulated]. Certificate of state registration of computer programs, no. 2015614073, 2015.

8. Bashirov M.G., Hismatullin A.S., Kamalov A.R. Researches of thermal conductivity change in the bubbling oil in the cooling system of power transformers Sovremennye problemy nauki i obrazovaniya [Modern problems of sci-ence and education], 2014, no. 6. pp. 338. (in Russian)

9. Hismatullin A.S., Filippov A.I., Serebrennikov N.P. Minlibaev M.R. De-termination of transtsillyatornogo transfer while bubbling in liquid Vestnik Voronezhskogo gosudarstvennogo tekhnicheskogo universiteta [Herald of the Voronezh State Technical University], 2010, no. 2, pp. 52-53. (in Russian)

10. Mullakaev M.S. Ul'trazvukovaya intensifikaciya tekhnologicheskih processov dobychi i pererabotki nefti, ochistki neftezagryaznennyh vod i gruntov Doct. Diss. [Ultrasonic intensification of technological processes of extraction and refining, oil-polluted water and soil. Doct. Diss.] Moscow, 2011. 419 p.