CC BY
154
УДК 338.2
ОПРЕДЕЛЕНИЕ СТЕПЕНИ ВЛИЯНИЯ КРИТЕРИЯ НА КОМПЛЕКСНУЮ ОЦЕНКУ
С.А. Баркалов, В.Н. Бурков, Е.А. Власова, А.Е. Кравцов
В данной работе предложено использование относительной частоты изменения комплексной оценки при изменении значения критерия
Ключевые слова: метод, оценка, система
Введение
Формирование комплексной оценки как результата взвешенной суммы значений, характеризующих сложную систему критериев, является простым и достаточно распространенным подходом [14], основывающемся на предположении о независимости значений объединяемых критериев. При анализе реальных систем формирование набора критериев, отличающихся полнотой описания системы и удовлетворяющих такому предположению, зачастую является непростой задачей, что вызывает необходимость в таких методах формирования комплексной оценки, которые способны учитывать взаимное влияние рассматриваемых критериев.
Использование деревьев свертки, в узлах которых происходит формирование агрегированной оценки для набора пар критериев на основе матриц свертки[5-9], представляет собой один из таких подходов, позволяющих, по крайней мере, в определенной степени, учесть имеющееся взаимное влияние значений критериев друг на друга. Матрицы свертки размера Ы*Ы, используемые в узлах дерева, в табличной форме задают функцию двух переменных, сопоставляющую М-балльное значение агрегированной оценки паре Ы-балльных значений объединяемых критериев. В силу того, что такая функция необязательно соответствует линейной комбинации значений пары критериев, появляется возможность учесть их взаимное влияние. Кроме того, появляется возможность учесть влияние других критериев за счет последовательного объединения их значений (напрямую или посредством объединения с другими агрегированными оценками) и полученной агрегированной оценки в узлах дерева свертки.
Указанное достоинство использования дерева сверток по отношению к линейной комбинации значений критериев представляет собой обратную сторону сложностей, возникающих при формировании КО. В случае линейной комбинации значений критериев достаточно задать значения весов критериев,
Баркалов Сергей Алексеевич - ВГАСУ, д-р техн. наук, профессор, тел. (4732) 38-36-62 Бурков Владимир Николаевич - ИПУ РАН, д-р техн. наук, профессор, Е-таП:у1аЪ17@та11.ги Власова Екатерина Анатольевна - ВГАСУ, аспирант, тел. (4732) 31-99-85
Кравцов Александр Евгеньевич - ВГАСУ, соискатель, тел. (4732) 31-99-85
оперируя в терминах их важности по отношению к КО, или определить веса, исходя из полученных оценок взаимной важности критериев. Табличный (матричный) способ задания функции свертки критериев затрудняет понимание характера влияния критериев на агрегированную оценку и требует дополнительных усилий при выборе матрицы, удовлетворяющей представлениям о желаемом поведении результата свертки в зависимости от поведения значений критериев. Многократное применение этой операции, описываемое деревом свертки, только усложняет ситуацию. Кроме того, в силу отсутствия естественным образом определяемой меры влияния критерия на КО (важности критерия по отношению к КО) оказывается невозможно определить, насколько построенная с помощью заданного дерева сверток КО соответствует заданным в терминах важности/влияния критериев ожиданием лица, формирующего комплексную оценку.
В данной работе представлены два результата, призванные решить проблему определения меры влияния критериев на значение КО в случае использования дерева сверток. Первый связан с введением определения такой меры как отношения количества случаев, в которых изменение значения критерия привело к изменению значения КО, к числу случаев, в которых такое изменение могло произойти. Второй результат связан с получением эффективного способа вычисления таким образом заданной меры для определенного класса матриц свертки, удовлетворяющего ряду условий.
Мера влияния критерия на КО
Как было указано выше, влияние значения критерия на значение агрегированной оценки в случае использования матриц свертки зависит от значения другого критерия, с которым происходит свертка. В то время как при использовании единственной матрицы свертки (и объединения двух критериев) характер влияния критериев можно определить, исходя из результатов анализа значений в элементах рассматриваемой матрицы, в случае иерархического построение КО при использовании дерева сверток проведение такого анализа представляется куда более трудоемкой задачей. В любом случае, для определенного критерия при заданном наборе значений остальных сворачиваемых критериев его изменение может вызвать изменение КО. В данной работе частоту возникновения такой ситуации предлагается
использовать в качестве численнои меры влияния критерия на значение КО, безотносительно численного значения вызываемого изменения. Основным преимуществом данного подхода представляется его применимость к КО, получаемых при использовании произвольных деревьев свертки с произвольными матрицами свертки в узлах дерева, при отсутствии необходимости в проведении детального анализа поведения КО в зависимости от рассматриваемого критерия. Другим положительным качеством такого определения представляется возможность интерпретации его значения в терминах важности критерия по отношению к КО, что позволит определять степень соответствия построеннои КО представлениям о важности объединяемых критериев со стороны лица, формирующего КО.
Используя данное определение, численное значение для степени влияния может быть определено в результате прямого перебора всех случаев изменения заданного критерия (для всевозможных ситуации, в которых такое изменение могло бы привести к изменению КО), но в общем случае такой подход представляется достаточно трудоемким. Рассмотрим класс матриц свертки трехбалльных оценок, удовлетворяющих следующим условиям (I):
1. Если оценки по критериям совпадают, то
агрегированная оценка равно оценкам
критериев, т.е. диагональные элементы матриц свертки равны - 1, 2, 3 (условие
тождественности комплексной оценки
значению критериев при равенстве их значений).
2. Агрегированные оценки соседних строк и столбцов могут отличаться не более чем на 1, т. е. при изменении оценки по критериям на 1 агрегированная оценка меняется не более чем на 1 (ограниченность изменений комплексной оценки при изменении критериев).
3. Агрегированные оценки по строкам и столбцам не убывают (условие монотонности). Описанный набор условий может быть естественным образом обобщен на квадратные матрицы свертки произвольного размера.
Надо заметить, что в силу пункта 1 условий (I), описанные матрицы обладают тем свойством (II), что диапазон значений принимаемых результатом свертки не уже, чем диапазон значений свертываемых критериев. Важность данного свойства заключается в том, что значение агрегированной оценки всегда покрывает весь диапазон возможных (в данном случае, трехбалльных) значений.
Ряд свойств описанного класса матриц, определяемых условиями (I), позволяет получить выражение для числа случаев, в которых изменение значения критерия привело к изменению значения КО в достаточно компактной форме. Для простоты изложения, ограничим рассмотрение матрицами сверток размером 3^3, используемых для сворачивания пары трехбалльных оценок. Для матрицы (нестандартная нумерация, начало в левом нижнем углу)
М =
ш13 ш23 ш33'
ш12 ш22 ш32
11 £ ш31 ,
(1)
возможно определить пару матриц разностей (или "частных производных")
М1 =
ш23 1 13 ш33 - ш23 '
ш22 1 12 ш32 1 22
ш21 - ш11 ш31 1 2
и
М2 =
ш13 - ш
12
ш23 - ш
22
ш33 - ш
32
ш12 - ш11 ш22 - ш21 ш32 - ш31у
для первого и второго критерия, соответственно. В силу пунктов 2 и 3 условий (I), элементы матриц (2) и (3) принимают одно из двух значений - 0 или 1. Соответственно, степень влияния критерия можно оценить как отношение числа ненулевых значений в соответствующей ему матрицы (2) или (3) к числу её элементов (равному 6). Относительную степень влияния (по отношению к другому критерию) можно определить из отношения количества ненулевых элементов матриц (2) и (3).
Данное определение меры степени влияния критерия (теперь уже на общую КО) может быть обобщено и на случай дерева сверток определяющего КО. Рассмотрим случай свертки трех критериев К1, К2, К3 в результате последовательного применения матриц М1 и М2 следующим образом:
ш22 - ш2
ш32 - ш3
(2)
(3)
КО = М2 (М1 (К1, К2), К)
(4)
где выражение вида М1(К ¡, К2) означает использование матрицы свертки М1 для получения значения свертки критериев К1 и К2. Для определения количества случаев, в которых изменение критерия К1 привело к изменению КО, рассмотрим следующую матрицу, которую можно определить для любой матрицы свертки 3х3, удовлетворяющей условиям (I), и первого из сворачиваемых критериев:
М1 =
^ш13(ш23 -ш13) ш23(ш33 -ш23)^ ш12(ш22 -ш12) ш22(ш32 -ш22) шп(ш21 - шп) ш21(ш31 - ш2!) ,
(5)
Элементы такой матрицы совпадают с элементами соответствующей подматрицы для матрицы М для ненулевых элементов М и равны нулю в противоположном случае.
Введем следующие обозначения. Пусть
Ы(М_к, I) - количество элементов в к столбце матрицы М имеющих значение I;
Ы(М> I) - количество элементов в матрице М имеющих значение I;
Ы(М_к) - количество ненулевых элементов в к столбце матрицы М.
Заметим, что ненулевые элементы М°* имеют значения равные либо 1, либо 2. Используя данные обозначения, можно утверждать, что количество
случаев, в которых изменение критерия К1 привело к изменению значения КО (4) равно
Ы2 = М(Мг*, Щ(М2*_1) + ^(М1*, 2)Ы(М2*_2) (6)
Аналогичная процедура может быть применена к любой последовательности матриц в узлах дерева свертки, ведущих от критерия до КО. Вкупе с определением полного числа случаев, в которых изменение значения критерия могло оказать влияние на изменение КО, выражение (6) дает возможность оценить определённую выше важность критерия по отношению к КО.
Аналогично, для случая свертки четырех критериев К1, К2, К3, К4 в результате последовательного применения матриц М1, М2 и М3 следующим образом:
КО = Мз(М2 (М1 (Къ К2), Кз), К) (7)
общее количество случаев, в которых изменение критерия К1 привело к изменению значения агрегированной оценки на этапе для матрицы М2 можно разбить на следующие составляющие:
• Ы2(1,1) = Ы(М1*, ¡)Ы(М2*_1, ¡) - возможное количество изменений в 1 столбце со значения «1» (может увеличится только на одно значение),
• N/¡,2) = Ы(М1*, ¡Щ(М2*_1, 2) - возможное количество изменений в 1 столбце с «2»,
• Ы2(2,1) = Ы(М1*, 2)Ы(М2*_2, ¡) - возможное количество изменений во 2 столбце с «1»,
• И2(2,2) = И(М1*, 2)Ы(М2*_2, 2) - возможное количество изменений во 2 столбце с «2».
В общем случае Ы2(.I,]) = Ы(М1*,1)Ы(М2*_1, ]) -количество случаев, в которых изменение критерия К1 привело к изменению значения оценки для матрицы М2 в столбце I со значения] на значение ]+1.
Тогда для матрицы М3 количество случаев, в которых изменение критерия К1 привело к изменению значения оценки в столбце i со значения ] на значение ]+1 будет определяться по формуле:
N3(1,]) = (N2(1,1) + Ы2(2,1))*Ы(М3*_1,])
Соответственно общее количество случаев, в которых изменение критерия К1 привело к изменению значения КО (7) равно
N3 =11 N3 0, ]) (8)
1=1 ]=1
Для произвольного числа п матриц в последовательности свертки, ведущей от рассматриваемого критерия к КО для количества случаев, в которых изменение критерия К1 привело к изменению комплексной оценки имеет место следующее выражение:
Nn =11 Nn (/, ]) (9)
1=1 ]=1
где
^0,]) = (N^¡(¡,0 + N„.¡(2,1)) *ЩМп*_1,]) (10)
Для получения выражения степени влияния критерия K¡ на значение комплексной оценки КО ос-
тается определить полное число случаев, в которых изменение рассматриваемого критерия могло привести к изменению значения КО. Не трудно убедиться, что количество таких случаев зависит только от количества матриц, встречающихся на пути от рассматриваемого критерия до вершины дерева свертки (значения комплексной оценки), и не зависит от полного числа сворачиваемых критериев (и структуры дерева, не содержащей указанные матрицы). Действительно, рассмотрим один из узлов дерева на пути от рассматриваемого критерия до вершины дерева свертки, в котором (в силу бинарности дерева) сходятся два поддерева — содержащее и не содержащее интересующий критерий. Элементы множества значений критериев, принадлежащих такому поддереву, не содержащему рассматриваемый критерий, и приводящие к одному и тому же значению агрегированной оценки, определяемой этим поддеревом, эквивалентны с точки зрения возможности изменения рассматриваемого критерия воздействовать на изменение КО. В силу свойства (II) всегда существует п таких непустых множеств, где п
- «балльность» оценки, и все поддерево может быть заменено на некий эквивалентный критерий. В результате, полное число случаев, в которых изменение критерия могло привести к изменению значения КО, оказывается равным
N=(n-¡)nk,
где п - «балльность» оценки (количество элементов в диапазоне изменения оценки) и к — количество матриц на пути от рассматриваемого критерия до вершины дерева свертки, поскольку только в (п-1) случаев возможно изменение рассматриваемого критерия. Соответственно, полное выражение для меры влияния критерия на КО в случае матриц размера „х„, удовлетворяющих условиям (I), выглядит следующим образом:
N
ж=-^
N
Для произвольной размерности матрицы (ш-балльной шкалы) аналогично получаются следующие формулы:
N^1,]) = N(M¡ *,i)N(M2*_i, ]) - количество случаев, в которых изменение критерия К1 привело к изменению значения оценки для матрицы М2 в столбце i со значения] на значение]+¡, где ij е ¡,ш - ¡
Тогда для третий матрицы (7) количество случаев, в которых изменение критерия К1 привело к изменению значения оценки в столбце i со значения ] на значение]+¡ будет определяться по формуле:
ш-1
N3(7', ]) = N (М *_ N 2 (к, 0
к=1
И общее количество случаев, в которых изменение критерия К привело к изменению значения КО (7) равно
ш-1 ш-1
N 3 =ZZN3(7, ])
<■=1 ]=1
Если же в последовательности свертки, ведущей от рассматриваемого критерия к КО, не три, а п количество матриц, то количество случаев, в которых изменение критерия K¡ привело к изменению комплексной оценки определяется по формуле:
ш-1 ш-1
N =Ц^ 0, ])
1=1 ]=1
где
ш-1
Nn (/', ]) = N (Мп*_ ])! Nn-l(k, /■) к=1
Заключение
Использование деревьев свертки позволяет учитывать возможное взаимное влияние объединяемых в комплексную оценку критериев, но заметным образом усложняет анализ зависимости КО от них. Предложенный в данной работе подход к определению меры влияния критерия на КО оказывается применим к произвольным деревьям свертки с произвольными матрицами в их узлах, и, таким образом, позволяет анализировать поведение КО произвольной сложности в терминах «важности» критериев с точки зрения степени их влияния на КО. Такая возможность представляется особенно полезной, если КО была построена на основании системы условий относительно «важности» критериев и требуется
оценить ее соответствие заданным условиям, делая возможным использование методов оптимизации при построении КО. Определенная трудоемкость в вычислении описанной меры влияния критериев может быть заметно сокращена в случае рассмотренного класса матриц свертки за счет полученных выражений для нее, включающих лишь значения элементов матриц, находящихся на пути от рассматриваемого критерия до вершины дерева, и, таким образом, оказывается пропорциональна средней глубине дерева свертки, а не количеству листьев в нем. В качестве направления дальнейших исследований автор рассматривает автоматизированное построение КО на основе деревьев свертки, использующее описанную меру влияния критериев для оптимизации получаемых деревьев свертки.
Литература
1. Keeney Ralph L.Decisions with Multiple Objectives: Preferences and Value Tradeoffs/ Ralph L. Keeney, Howard Raiffa: Cambridge University Press, 1999. - 569 р.
2. Yager R.R. Ordered Weighted Averaging Aggregation Operators in Multicriteria Decision making / R.R. Yager // IEEE Transactions on Systems, Man and Cybernetics,
- 1988. - № 18. - P. 183-190.
3. Poyhonen M. Notes on the weighting biases in value trees/ M. Poyhonen, R.P. Hamalainen // Journal of Behavioral Decision Making, - 1998. - Vol. 11, P. 139-150.
4. Глотов В.А. Комплексное оценивание многомерных объектов / В.А. Глотов, В.В. Павельев. - М.: ИПУ РАН, 1984 - 56 с.
Воронежский государственный архитектурно-строительный университет Институт проблем управления им. В.А. Трапезникова РАН (г. Москва)
THE MECHANISM OF THE COMPLEX ESTIMATION OF OBJECTS IN SYSTEMS OF
ORGANIZATIONAL MANAGEMENT
S.A. Barkalov, V.N. Byrkov, E.A. Vlasova, A.E. Kravchov
In the given work use of relative frequency of change of a complex estimation at change of value of criterion is offered. Keywords: a method, an estimation, system
