Определение резонансных частот продольных колебаний дерева Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 517.925

Валерий Константирович Хегай,

доктор технических наук, профессор

Василий Леонидович Савич, аспирант vsavich@ugtu.net, (tmnyc@mail.ru)

Ухтинский государственный технический университет

ОПРЕДЕЛЕНИЕ РЕЗОНАНСНЫХ ЧАСТОТ ПРОДОЛЬНЫХ КОЛЕБАНИЙ ДЕРЕВА

Продольные колебания, скорость распространения продольных возмущений, лесовосстановление, корчевка пней, генераторы, вибрационная техника.

Longitudinal fluctuations, speed of distribution of longitudinal indignations, reforestation, uprooting of stub, generators, vibration technology.

Введение. При существующей технологии лесосечных работ после срезания дерева валочно-пакетирующей или валочно-трелевочной машиной на лесных делянках остаются пни, которые уже при проведении лесохозяйственных и лесовосстановительных работ приходится убирать, т. е. выкорчевывать. Корчевка пней представляет собой довольно сложный и трудоемкий процесс, и для его осуществления приходится вторично «загонять» тяжелую и дорогостоящую технику на лесные площади, разрушая уже повторно почвенную среду и подрост деревьев. Очевидно, в будущем будет представлять определенный интерес технология лесосечных работ, которая позволит избежать традиционную корчевку пней, а вместо этого выдергивать деревья из земли (почвы) вместе с корневой системой, с последующим ее отделением. Выгода такой технологии вполне очевидна. Следует отметить, что и ранее такие попытки имели место [1, 2]. Однако они не получили дальнейшего развития, на наш взгляд, из-за недостаточной предварительной теоретической и технологической проработки данной проблемы.

Одним из направлений работ для такой технологии может быть применение вибраторов (генераторов) продольных или поперечных колебаний дерева. Как известно, применение вибрационной техники и технологии во

z

z.

z,

■x

многих случаях в разных областях науки и техники является весьма эффективным. Применение такой технологии требует всестороннего изучения динамических характеристик всей системы «машина-дерево». Одними из таких важных характеристик такой системы являются собственные частоты колебаний дерева, которые и будут определять резонансные частоты в подсистеме «виброгенератордерево».

Рассмотрим задачу по определению резонанс-

ных частот продольных колебаний неспиленного дерева. При математическом моделировании последнее рассматриваем как гибкий стержень, состоРасчетная схема ящий из трех разнородных участков и опирающийся нижним концом на упругое основание с приведенным коэффициентом жесткости (рисунок).

Под упругим основанием здесь понимается прилегающая к дереву почва с корневой системой.

Каждый участок характеризуется длиной I, , площадью поперечного сечения F,, модулем упругости Е, и скоростью распространения продольных колебаний х (i = 1, 2, 3). Для каждого из участков составного стержня введем свою координатную ось Oxi , где xi е [0, I]. Осевое перемещение на i-м участке обозначим через ui(xi, t). В расчетах коэффициенты диссипации р принимаем одинаковыми на всех трех участках, т. е. |р = р = const.

Исходная задача для продольных колебаний составного (неоднородного) стержня запишется в виде [3]:

д* 2п. ди. 2 д2п. ГГЛ ,

2 '- = x2 2--g, xe [0, l ],

dt2 dt ' dx2 ' '

i = 1,2,3,

(1)

где g - ускорение свободного падения, x, = 1 - скорость распростране-

Р,

ния продольных возмущении вдоль i-ro стержня.

Граничные условия задачи (1):

1. x1 = 0: E1F1 = cu1.

дх1

О 7 П 77 17 ди1 „ „ ди2

2. x = l, x = 0: u = u,EF—- = EF—-.

dx dx2

3. x2 = l2, x3 = 0: u2 = u3,E2F2 ди2 = E3F3 дз.

dx2 dx3

4. x3 = l3: E3F3 ди3 = 0.

dx3

Решение задачи (1) будем искать в виде [3]

и(x, t) = uoi(x)+Ui(x,tX i = 1, 2, 3,

(2)

где U(x, t) - отклонение текущего поперечного сечения стержня от положения равновесия uoi (xt).

Подставляя (2) в уравнение (1), после некоторых преобразований находим

д2U. дUi 2 д2U,

-dt2" + ^дГ = Х'-^

L + V-^r = X,^T-, хе[0,li] дх,

i = 1, 2,3.

(3)

Граничные условия:

1. x = 0: ^ = HU,, h = —. 1 дх 1 E1F1

2. x1 = l1, x2 = 0: U1 = U2,

3. x2 = l2, x3 = 0: U2 = U3.

„ , дU3 „

4. x3 = l3: —3 = 0.

3 3 дx3

дU1 = Q дм2 Q = E2F 2

e2f2

дх

дЦ2 дx2

дx,

=

2

дu3

дx2

©2 =

E1F1

EF

E2 F2

Займемся поиском собственных частот продольных колебаний. Для этого обратимся к задаче (3) и сделаем замену переменных (перейдем к безразмерным координатам):

т. = ^, х = x . l, ?i l

(4)

d2U. дП. д2U. л и,-1. ,

—Т + р—3 = -у—4, и* = —, ^6[0,i,]

дг,. дг, dq,.

i = 1, 2,3.

Граничные условия:

1. q. = 0: dUl = hU,, h0 = hi, = -Ci1-.

S1 dq, 010 1 ElFl

2. ?1 = 1, q2 = 0: U1 = U2, ^ = ©*^, ©* =©1 f.

i2

dq1 dq2

U = ©. дП

dq2 2 дqз

3. q2 = 1, q3 = 0: U2 = U3, = ©2^-, ©2 =©212

дП

4. q3 = 1: —3 = 0.

3 дх

Как известно из теории колебаний механических систем, даже сравнительно значительные диссипативные силы оказывают несущественное влияние на собственные частоты колебаний механических систем [4]. Поэтому с целью упрощения исследований, что, однако, практически не скажется на конечных результатах принимаем коэффициент и* = 0. Тогда задача (5) принимает следующий вид:

д2 U,

"дгт “^Т

i = 1,2,3.

(6)

Граничные условия останутся неизменными, как и в задаче (5). Решение задачи (6) будем искать в форме

U(q,, г,) = A,(q,j, (7)

где j = - мнимая единица; ю, - безразмерный постоянный параметр.

После подстановки (7) в (6) получим обыкновенные дифференциальные уравнения:

Afe) + ю2At(q,) = 0, , = 1,2,3. (8)

Граничные условия:

1. q, = 0: А; = ho ■ 4(0).

2. q1 _ 1, q2 _ 0: A1(1)eJ'“lXl = A2(0)eJ'“2X2,

A,(1) e^1 _©* A2(0) eJa2%2.

3. q2 _ 1, q3 _ 0: A2 (1)ej“2X2 = A3 (0'УЮЛ,

A2(1)eJOhX2 _©*2 A3(0)eJOhX3.

4. q3 _ 1:4(1) _ 0.

Граничные сечения колеблются одинаково. Поэтому имеем

со1т1 =ю2т2 =ю3т3. (9)

Подставив сюда значения т, , сократив на время t, получим следующее равенство:

Ш1 д2 =!Мз. = Q

l1 l2 l3

(10)

где Q - круговая частота.

С учетом равенства (9) граничные условия задачи (8) перепишем в виде:

1. q1 _ 0: А;_ ho ■ A1 (0);

2. q1 _ 1, q2 _ 0: A1 (1) _ Л(0), A[(1) _ ©A(0);

3. q2 _ 1,q3 _ 0: 4(1) _ 4(0), 4(1) _©24(0); *

4. q3 _ 1: 4(1) _ 0.

Решение уравнений (8) записываются как

44) _ C11si^co1q1 + C21co^o1q1; A2(q2) _C12sinco2q2 + C22cosco2q2; > 404_C1,3sin®3q3 + C2,3cos®3q3.,

(12)

Продифференцируем A, (q,) no q,.

44) _ ® 1(CU costo^ - C21 smco^); 4(q2) _co2(C12cosco2q2 -C22sinco2q2); > 404 _ro3(C1,3cosro3q3 -C2,3smra3q3). ^

(13)

^1,1® 1 h0p2,1’

C^sino^ + C^coscc^ = С22; C^coscc^-C21simo^r|1C12; C1 2sinco2 + C2 2cosco2 = C2 3; C1 2cosco2 - C2 2sinco2 = r2C) 3; C1 3cosco3 - C2 3sinco3 = 0 ,

aw

где Г = ^©!, Г2 = ^©2‘

CD1 C02

Из системы уравнений (14) находим С1( , C2 i и их соотношения, т. е. Си

—-, i = 1, 2, 3.В результате имеем:

Q,i

^1,1 = Ао. С 21 сс>1

С,

jr- = tg^°1 + ^ 1)^1 = arctg

^2,1

^ = tg(ff>2 + Т 2 ), т 2 = arctg

^2,2

С13

= tg “3.

^ 2,3

С,

11 с.

(

\

2,2 у

с'

'■С,

2,3 у

(15)

Воспользуемся системой уравнений (15) для нахождения собственных частот продольных колебаний неоднородного стержня. С этой целью будем двигаться от вершины дерева к его основанию, т. е. от конца третьего участка до начала первого участка:

С13

-Т~ = Igo^ Ч'г = arctg(^2t^°3);

^2,3

с

= tg (со2 + arctg^tg Ю3));

^2,2

Т = arctg (ri1tg(ff>2 + arctg^tg ю3)));

С11

-f- = tg (c^ + arctg(r!tg(co2 + arctg(^tg co3)))); ^2,1

tg(ff>1 + arctgOl1tg^o^b arctgO^tg ra3))))

Из последнего равенства (16) получаем уравнение для определения собственных (резонансных) частот продольных колебаний стержня, состоящего из трех участков

h

+ arctg^tg^ + arctg(r|2tgco3))) = m ж + arctg—, (17)

со1

m = 0,1, 2,....

Безразмерная частота со,- выражается через резонансную круговую частоту Q как

со, = —Q, ,' = 1,2,3. X,

(18)

Выразив все параметры соj , со2 и со3 по формуле (18) через Q и подставив их в (17), а также приняв х1 = Х2 = Х3 = X, получим уравнение для определения множества частот продольного резонанса:

i

X

Q+arctg

L L ^

—Q + arctg(r|2tg—Ц) I

X X ))

m arctg

hox l1n,

(19)

m = 0,1, 2,....

Как видно из уравнения (19) собственные (резонансные) частоты продольных колебаний неоднородного (составного) стержня зависят от многих факторов: длины участков lj , l2 и l3 ; площади поперечного сечения участков F\ , F2 и F3 ; скорости распространения продольных возмущений вдоль стержня х, приведенного коэффициента жесткости.

Библиографический список

1. Зима, И.М. Механизация лесохозяйственных работ [Текст] / И.М. Зима, Т.Т. Малюгин. - Изд. 2-е, доп. и перераб. - М.: Леей. пром-сть, 1964. - 550 с.

2. Лесная энциклопедия: В 2 т. [Текст] / гл. ред. Г. И. Воробьев. - М.: Сов. энциклопедия, 1986. - 631 с.

3. Юнин, Е.К. Динамика глубокого бурения [Текст] / Е.К. Юнин, В.К. Хе-гай. - М.: Недра, 2004. - 286 с.

4. Пановко, Я.Г. Введение в теорию механических колебаний [Текст] / Я.Г. Пановко. - М.: Наука, 1980. - 270 с.

В статье рассматривается методика определения резонансных частот продольных колебаний дерева, которые являются определяющими факторами при использовании вибрационной технологии лесосечных работ.

Рассматриваемая технология позволит избежать традиционную корчевку пней, которую необходимо проводить после лесосечных работ.

Применение такой технологии требует всестороннего изучения динамических характеристик всей системы «машина-дерево». Одними из таких важных характеристик этой системы являются собственные частоты колебаний дерева.

* * *

In article It is considered the technique of definition of resonant frequencies of longitudinal fluctuations of a tree which are determining factors at use of vibrating technology wood-cutting works is examined.

The considered technology will allow to avoid traditional uprooting of stubs which is necessary for carrying out the ambassador wood-cutting works.

Application of such technology demands all-round studying of dynamic characteristics of all system «machine - tree». One of such important characteristics of such system are own frequencies of fluctuations of a tree.