КОЛЕБАНИЯ СТЕРЖНЯ, НЕСУЩЕГО МАЛУЮ ПРИСОЕДИНЕННУЮ МАССУ Текст научной статьи по специальности «Физика»

Труды МАИ. Выпуск № 110 УДК 624.074.434

http://trudymai. ru/ DOI: 10.34759/trd-2020-110-2

Колебания стержня, несущего малую присоединенную массу

Добрышкин А.Ю.

Комсомолъский-на-Амуре государственный университет, пр. Ленина, 27, Комсомольск-на-Амуре, 681013, Россия e-mail: wwwartem21@mail.ru

Аннотация

В данной работе рассмотрено колебание стержня, несущего малую присоединенную массу, в нелинейной постановке. За основу для разработки новой математической модели принято общее уравнение колебаний. Учтено место крепления, а так же влияние малой присоединенной массы на частотные характеристики собственной частоты. Определены первая и вторая собственные частотные характеристики колебаний стержня, несущего присоединенную массу. Так же определено, что наличием малой присоединенной массы является фактором, запускающим взаимодействие изгибных колебаний с радиальными. Решение бесконечной системы нелинейных алгебраических уравнений используется новый симптотический подход, основанный на введении искусственного малого параметра Рассмотрен случай, когда система близка к состоянию внутреннего резонанса.

Ключевые слова: стержень, колебания, малая присоединенная масса.

Статья поступила 02.02.2020

Математическая модель

Уравнение движения выглядит следующим образом [1-5]:

а

2д2и д2и

_ М d2w

и — eB7u--8(х - хп) —- = 0

h 0 dt2

М

дх2 dt2

h

Концы стержня жестко защемлены:

и\х=0,1 =

Здесь и - продольное перемещение; х - пространственная координата; t - время; I - длина стержня; а = ^Е/р , где Е - модуль Юнга, р -плотность материала стержня; , - некоторые коэффициенты, £ -безразмерный малый параметр, £ ^ 0.

Решение должно удовлетворять периодичности: и(х, €) = и(х, t + Т), где Т = 2п/ш - период, ш - искомая собственная частота колебаний.

Преобразование времени: т = ш, тогда:

и = щ + ещ + £2и2 + •••, О) = О)0 + £0)1 + £2й)2 Н----,

где ш0 = ^(ап/Г)2 + р1- собственная частота основного тона колебаний линейной системы (при е=0).

Подставляя выражения в исходную краевую задачу и приравнивая между собой члены при одинаковых степенях е, получаем рекуррентную систему линейных уравнений:

2д2и0 „ д2и М д2и/

д2щ д2щ д2и0 М д2\м

~д~ 0~= 2(1)0(1)1 + 0 +Т5(Х~х°'у~Уо)Ц?'

Граничные условия и условия периодичности принимают вид

Щ\х=о,1 =

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. ru/

щ(х, т) = щ(х, т + 2л), i = 0,1,2 ....

Решение краевой задачи соответствует нулевому приближению [6-9]:

v /Ч"п \ (ni \

и0 = ^Aisin I-т \ sin yYxJ>

i=i

где А1 - амплитуда основного тона колебаний, определяемая из начальных условий; А^ ]=2,3,4... - амплитуды последующих гармоник; с■1П = / (от/1)2 + , I = - собственные частоты гармоник в линейном случае,

Теоретические исследования

Далее переходим к решению, с помощью граничных условий. С целью устранения в уравнениях вековых параметров в правой части уравнения постоянные

при переменных вида 5 ^ = 1,2 ,3. . . необходимо приравнять

нулю. Такая замена позволяет получить бесконечную систему нелинейных уравнений [10-14]:

/¿-1 00 \ 4М2Л;0)1/ ,.Л2 9 _ 3 / V1 9 V ,

=ГбА>+4А>(1А2*+ I 4 ,-1,2,3....

\/с=1 к=1+1 I

Определение численных значений переменных дает возможность найти другой параметр ю1- корректировку частотной характеристики, полученную при решении нелинейного уравнения. Сопоставим вероятные характеристики уравнения. Форма колебаний определяется выражением:

00

= ^i4¿sin(n¿t)sin + 0(Е),

и

i=1

где П = ^^ ш — частоты гармоник.

В общем случае имеет место только одна / -ая гармоника. Тогда:

а искомая АЧХ запишется в виде:

где 1=1,2,3... . Значения параметра волнообразования выше нуля относятся к твердому, а ниже нуля слабому параметру демпфирующей силы. Наличие нескольких составляющих внутреннего колебательного процесса есть особенность системы, при котором возможно расщепление частотного спектра. Малая присоединенная масса, есть одни из включений, отклоняющих от идеального механизма гармонических колебаний. Поэтому возможно взаимодействие форм колебаний, приводящих систему к резонансу. В данном исследовании установлено, что это возможно при в 1=0.

Тогда формы частот можно записать следующим образом:

4М 2А, со

16 1 4

8

16

4М 2А2й)1

М0 р2а)0

= ^л32+^А2(А2 + а2 + А2 + А2)

3

+ — (АгА2А з + А1А3А4 + АхА2А 5 + А1А4Аб + А3А4А$) з

+ — (А2А4+А2А4) + -1

4М 2А3(01 г Ыпу

М0 р2щ ^ }

= + ^ А1 +1А3(А\ + А\ + А2 +

3 3

+ - ОМ2Л4 + А2А3А4 + А^зАв + А2А4А5) + — (Л^ + А2А5 + А2А5)

4М 2Л4й)! М0 /?2о)0

01ту

3 3

+ — + Л1Л2Л5 + А2А3А5 + А3А4А$) + — (А±А2 + А3А2) +

2Л5<»1 ( ЫпЛ2

= ^ А1 + + + Л§ + +1 (А±А2А4 + Л2Л3Л4)

з

+ ^ (А2Аг + А\А3 + А\АХ + Л^Лз) +

Для решения бесконечной системы нелинейных алгебраических уравнений используется новый асимптотический подход, основанный на введении искусственного малого параметра В правой части каждого I - го уравнения системы введем параметр ^ перед каждым членом АкА¿А т, k,l,m=1,2,3 ..., для которого выполняется условие (к ¡) и (I ¡) и (т г):

4М 2А, со

4М 2А7о)

8

АМ2А3со1 2

Кп)

М0 р2а)0

= TZAi+ TZA з + 7Лз(А? + Al) + А2 16 16 4 16

+ М Л3 (А| + А2) + ^ 0М2Л4 + Л2Л3Л4 + Л^зЛб + Л2Л4Л5)

+-^(А2А5 + А2 А5)+ ■■■),

4М 2

М0 /?2б>0 >

= ^Al + |Л4(А? + А| + A3) +1 Л!Л2Л3 + ^ (Л2А? + А2А§) + ц (^ааА2 + ^ ОМ2Л5 + л2л3л5 + Л3Л4Л5) + •••),

4М 2Л5й)!

М0 /?2о)0

(

О)

liny

= ^ А1 + |Л5(А? + А| + А§ + А|) +1 (А±А2А4 + Л2Л3Л4) з

+ -^(АгА2 + А3 А2+АгА2+ А 3А2) + • • - ,

То есть, при ^ = 0 уравнения становятся «трехступенчатыми». Данную задачу можно решить методом рекуррентной последовательности. При ^ = 1 система сводится к начальной форме. Для определения оставшихся переменных запишем уравнения [15-19]:

(л)I — (л)^ т /Кл)^ т /1 (л)^ т

А]- = А{р + + ^12А\?2) + ••• , у = 2,3,4 ....

Труды МАИ. Выпуск № 110 Ьир://1гиёута1. ги/

При этом первый член ряда ®1(0) определяется из первого уравнения системы

из условия отсутствия в решении вековых членов, вызываемых основным тоном

колебаний, а все последующие члены ю1()), ] = 2,3,4... - из условий отсутствия

вековых членов, вызываемых дополнительными резонансными гармониками. Далее

мы ограничиваемся в разложении первыми двумя членами.

Решение системы отвечает случаю, когда одновременно реализуются все

нечетные гармоники:

А21 = 0,1 = 1,2,3..., Л3 = 0.014493151^!, Л5 = 0.000207090^,

0.282688А\р2

Одл = -.

О)0

Искомая АЧХ может быть записана в виде:

П; = ш0 + 0.282688^^+ 0(е2)Л = 1,3,5 ...,

V ^о /

где ю0=алЛ.

Данное уравнение соотносится с условием наложения частотных спектров при р1=0. Стоит уделить внимание случаю, когда система находится в преддверии состояния резонанса, стремиться его но, не достигает. То есть присутствует расщепление спектра. В этом состоянии переменная р1 в уравнении приближается к нулю. Тогда общее уравнение запишем в виде:

д2и д2и М д2и/

Труды МАИ. Выпуск № 110 Ьир://1гиёута1. ги/

где р1 , р2 - некоторые коэффициенты, 5 = Р1/ р1 - безразмерный малый параметр,

характеризующий степень «расстройки», 5 ^ 0.

Вводим преобразование времени. Решение краевой задачи ищем в виде асимптотических разложений по степеням 5:

и = щ + 8щ + 82и2 + •••, со = а)0 + 8а)1 + 82а)2 Н—, члены которых, в свою очередь, представляем рядами:

и = и00 + 8и01 + 82и02 Н—, а) = о)00 + 8о)01 + 82О)02 Н—, и = и10 + 8и1± + 82и12 + •••, со = а)10 + 8(0^ + 82а)12 Н—, где ю0=алЛ - собственная частота основного тона колебаний при е = 0 и 5 = 0.

Расщепляя исходную краевую задачу по степеням 5 и е, получаем следующую последовательность линейных уравнений:

2 д2Що 2 а2иоо _ „

2 д2Щ1 2 э2ц01 _ п д2Що , а з

а дх2 "оо-мГ-ШооОог-мГ+ЪЩо,

2д2и10 2 д2и10 _ д2и00

а ~дх2 ^00-^5- = 26)00^0-^5-иоо>

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. ги/

2д2и11 2 д2иг1

а „ „--о)

дх2 ~00 дг2

д и01 * . Що

- 2^00^10 и01 + 2(^01^10 + ^оо^и) д1_2

д2и10

+ 2о)00а)01 + 3(32ЩоЩо,

Граничные условия и условия периодичности запишутся в виде:

и,-,-! = О, Ч\х=0,1 '

Щ](х, т) = Щ](х, т + 2л), 1,] = 0,1,2,.... Первое уравнение последовательности с условиями позволяет определить и00:

иоо — ^ ^ ^ (~х) ^("О-

¿=1

Следующее приближение и01 может быть найдено из краевой задачи. Для предотвращения появления в разложении вековых членов, в правой части уравнения

коэффициенты при членах вида 5 1 п^ух^ 1 п ( ¿т) ,1 = 1 , 2 , 3. . . приравниваем нулю.

Получаем бесконечную систему нелинейных алгебраических уравнений: 4М 2А±

ЖЛ

'^ОО^О!

= ^А? +|^1СА| + А§ + к2 + А§)

3 3

+ - (А1А2А4 + А2А3А4 + А±А3А5 + А2А4А5) + — (А2А3 + А\А3) +

4М 8Л2

М0 р2

б'ооб'о!

= ^А1+|Л2(А? + А§+А* + А1)

3

+ — (А1А2А3 + А1А3А4 + АгА2А5 + А1А4Аб + Л3Л4Л5) з

+ — (Л?Л4+Л§Л4) + -,

4М18А

з

М0 /?2

'6>оо6>01

= ¿А I + ^ А| +1 А3(А2 + А2 + А2 + А2) 3

+ — (А1А2А3 + А2А3А4 + Л1Л3Л5 + Л2Л4Л5) + -^(А2А1+А21А5+А2А5)...>

4М32 А4

'6>ОО6>01

М0 /?2

= + ^А4(А^ + А| + А| + А|)

3 3

+ — (А1А2А3 + АгА2А5 + А2А3А5 + Л3Л4Л5) + — (А±А2 + Л3Л2) ...,

4М 50 А5

= Тб+ 1Аз(А2± + А2 + Аз + А1) + ^ (АгА2А4 + А2А3А4) + ^ (^1 + А? А3 + Л|ЛХ + А2А3)

Определяя неизвестные описанных уравнений с учетом способа гомотопической переменной, получаем:

= 0,1 = 1,2,3..., Л3 = 0.014493151^!, Л5 = 0.000207090^

_ 0.282688А\р2 а)01 --.

О)

оо

Функцию uoi можно представить в виде:

СО

и01 = ^/¿(х) sin(ir) + cos (¿т)), ¿=1

где fa (х) , С(1 ), С (2) — некоторые функции и коэффициенты.

Определение граничного уравнения даёт возможность вычислить параметр

uio.

Условие отсутствия вековых членов в разложении требует, чтобы в правой части уравнения коэффициенты при членах вида s in (у х) s i n ( in), i = 1 , 2 , 3 ,. . . были приравнены нулю. Тогда уравнение примет вид:

К

а)10 -

2a)00i2'

u10 = ^ Bi sin sin(i7r).

¿=1

Стоит заметить, что дополнение Юю к сущности всех i - х гармоник определяется её номером ь

Переменная иц вычисляется из граничных условий. В текущей работе, в соответствии с вычисленными параметрами ищ характер отсутствия в уравнениях

Член иц определяется из краевой задачи. В данном случае, с учетом определения вековых параметров находим бесконечную систему уравнений, линейных по отношению к Юц и В1; 1=1,2,3...:

4М 2

———— (о)01а)10Л1 + (¿оой)^! + й)00й)0151)

о

1

2

8

з

4М 8

(й)01(о10А2 + о)00а)11Л2 + й)00й)01В2)

М0 3/?2

= ( \А1А2 + £ ОМз + А±А4 + А3А4 + Л2Л5 + А4А5) ) В±

+ [^А2+^(А2+А23+А2 + А2) + ±(А±А3 + А±А5) )В2

+ ( \а2Аъ + ^ (АгА2 + а±а4 + А3А4 + А4А5) ) в3

+1Тб+ Аз) + 1А2А4 + 5+ + АзАз) IВа

+ ( ¿а2а5 + ^(А±А2 + + Л3Л4) )в5 + ...,

4М 6

+ "оо^з + ^ОО^О^з)

= + л!) + ^Л^з + ^ 0М4 + Л^Б + Л3Л5) ) вх

+ ( ^А2А3 + ^ 0М2 + АЛ + А3А4 + Л4Л5) ) в2

+ [^А23+^(А2+А22+А2+ А2) + ±(А2А4 + А±А5) )в3

+ ( ¿а3а4 + ^ (а±а2 + а2а3 + А2А5 + А4А5) ) в4

+1 Тб+ + 1АзАв +1(А±Аз + А2Ад 155 +

4М 32

Ош01(о10А4 + о)00а)11Л4 + а)00а)01£4)

М0 3/?2

= ( ¿А4А± + ^ (А±А2 + А2А3 + Л2Л5) ) В±

1 11

+ ( — (А2 + Л§) + -А2А4 + - (АгА3 + АгА5 + А3А5) ) В2

+ (\аъа4 + ^ (АгА2 + а2а3 + А2А5 + А4А5) ) в3

+ {те+ \+ + А3+ + 1АзА5) Ва

+ ( ¿А4А5 + £(АгА2 + а2а3 + А3А4) ) в5 + ...,

4М 50

= 1 Тб(А*+ Аз) + 1А±А5 +1(А±Аз + А2Ад 1 в±

+ ( \а2А5 + ^ (А±А2 + а±а4 + А3А4) ) в2

+1 Тб+ а"4) + 1АзАв +1(А±Аз + А2Ад 1 Вз

+ ( \а4А5 + £ (АгА2 + а2а3 + А3А4) ) в4

+ [^Л2+^(А2+А22+А23+А24))В5 + -,

Выводы

Получаем:

B2i = 0 ,i = 1,2,3..., В3 = 0.0144931515!, В5 = 0.000207090^

В1А1Р2 n.¿.^¿¿Pl

шлл = 0.565352———— — 0.141344

/И - U.JUJJJL 1т1 Jtt 3 .

й) 00 1¿Ü)qo

Опишем итоговое уравнение для вычисления форм и частотных характеристик колебаний:

00

и = + 8 В i) sin (у*) sin(íljí) + 00) + 005) + 0(б72),

í=1

a = i20)2 + B;S + П7.Я7.6ЯЯ — H¿ 1 P + 0.565352 + o O)

+ o(5) + o(s8), i = 1,2,3 ..., где w00 = ая//. Полученные в данной работе численные результаты колебаний стержня, несущего присоединенную массу согласуются с имеющимися данными.

Библиографический список

1. Григолюк Э.И., Селезов И.Т. Неклассические теории колебаний стержней, пластин и оболочек. Серия: Механика деформируемого твердого тела. - М.: ВИНИТИ, 1973. Т. 5. - 272 с.

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. ru/

2. Григолюк Э.И. Нелинейные колебания и устойчивость пологих стержней и

оболочек // Известия АН СССР. Отд. техн. наук. 1955. № 3. С. 33 - 68.

3. Антуфьев Б.А. Колебания неоднородных тонкостенных конструкций. -М.: Изд-во МАИ, 2011. - 176 с.

4. Сысоев О.Е., Добрышкин А.Ю., Нейн Сит Наинг. Аналитическое и экспериментальное исследование свободных колебаний разомкнутых оболочек из сплава Д19, несущих систему присоединенных масс // Труды МАИ. 2018. № 98. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=90079

5. Z. Wang, Q. Han, D.H. Nash, P. Liu. Investigation on inconsistency of theoretical solution of thermal buckling critical temperature rise for cylindrical shell // Thin-Walled Structures, 2017, no. 119, pp. 438 - 446. DOI: 10.1016/j.tws.2017.07.002

6. Sysoev O.E., Dobryshkin A.Y., Nyein Sit Naing, Baenkhaev A.V. Investigation to the location influence of the unified mass on the formed vibrations of a thin containing extended shell // Materials Science Forum, 2019, vol. 945, pp. 885 - 892.

7. Y. Qu, Y. Chen, X. Long, H. Hua, G. Meng. Free and forced vibration analysis of uniform and stepped circular cylindrical shells using a domain decomposition method // Applied Acoustics, 2013, vol. 74, no. 3, pp. 425 - 439.

8. Y. Qu, H. Hua, G. Meng. A domain decomposition approach for vibration analysis of isotropic and composite cylindrical shells with arbitrary boundaries // Composite Structures, 2013, vol. 95, pp. 307 - 321.

9. Y. Xing, B. Liu, T. Xu. Exact solutions for free vibration of circular cylindrical shells with classical boundary conditions // International Journal of Mechanical Sciences, 2013, vol. 75, pp. 178 - 188.

Труды МАИ. Выпуск № 110 http://trudymai. ru/

10. M. Chen, K. Xie, W. Jia, K. Xu. Free and forced vibration of ring-stiffened conical-

cylindrical shells with arbitrary boundary conditions // Ocean Engineering, 2015, vol. 108, pp. 241 - 256.

11. H. Li, M. Zhu, Z. Xu, Z. Wang, B. Wen. The influence on modal parameters of thin cylindrical shell under bolt looseness boundary // Shock and Vibration, 2016, vol. 2016, Article ID 4709257, 15 p.

12. Foster N., Fernández-Galiano L. Norman Foster in the 21st Century, AV Monografías, 2013, Artes Gráficas Palermo, 163 - 164.

13. Eliseev V.V., Moskalets A.A., Oborin E.A. One-dimensional models in turbine blades dynamics // Lecture Notes in Mechanical Engineering, 2016, vol. 9, pp. 93 - 104.

14. Hautsch N., Okhrin O., Ristig A. Efficient iterative maximum likelihood estimation of highparameterized time series models, Berlin, Humboldt University, 2014, 34 p.

15. Белосточный Г.Н., Мыльцина О.А. Статическое и динамическое поведение пологих оболочек под действием быстропеременных температурно-силовых воздействий // Труды МАИ. 2015. № 82. URL: http: //trudymai .ru/published.php?ID=58524

16. Кузнецова Е.Л., Тарлаковский Д.В., Федотенков Г.В., Медведский А.Л. Воздействие нестационарной распределенной нагрузки на поверхность упругого слоя // Труды МАИ, 2013, № 71. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=46621

17. Demin A.A., Golubeva T.N., Demina A.S. The program complex for research of fluctuations' ranges of plates and shells in magnetic field // 11th Students' Science Conference «Future Information technology solutions», Bedlewo, 3-6 October 2013, pp. 61 - 66.

18. Нуштаев Д.В., Жаворонок С.И., Клышников К.Ю., Овчаренко Е.А.

Численно-экспериментальное исследование деформирования и устойчивости

цилиндрической оболочки ячеистой структуры при осевом сжатии // Труды МАИ.

2015. № 82. URL: http://trudymai.ru/published.php?ID=58589

19. Грушенкова Е.Д., Могилевич Л.И., Попов В.С., Попова А.А. Продольные и

изгибные колебания трехслойной пластины со сжимаемым заполнителем,

контактирующей со слоем вязкой жидкости // Труды МАИ. 2019. № 106. URL:

http://trudymai.ru/published.php?ID= 105618