CC BY
133
Проинтегрировав эти уравнения, получим их общие решения динамических уравнений (5) в инвариантах Римана а + ф(Ь), а — ф(Ь):
а + ф(Ь(С,П)) = a(C), (6)
а — ФШ,п)) = в (п), (6)
не изменяющих своих значений на характеристиках^, п в соотвествии с правыми произвольными функциями а(£), в (п) Из (6) получаем (7):
а(С,п) = О^^п!,
Ф№,п)) = , (7)
Ь(£,п) = Ф—1[ а1ЬвМ
Здесь ф—1 понимается как обратная функция ф.
По найденным таким образом функциям а(^,п), Ь(^, п) определяются по соотношениям (2), (3)
Р = Р №,п)), 1 = Я(а(£,п)).
Соотношения (7) представляют собой искомое общее решение динамических уравнений (5).
Кинематические уравнения (4) становятся линейными, поскольку известна функция у(Р(Ь(^,п)))- Их решение описано в [2].
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИЙ СПИСОК
1, Бленд Д. Нелинейная динамическая тероия упругости, М,: Мир, 1972, 184 с,
2, Гурьянов В. В. Монотипные плоские нелинейные сейсмические волны // Изв. АН СССР. Сер. Физика Земли. 1992. N7. С. 81-88.
УДК 539.3
Д.В. Иванов, O.A. Фомкина
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПОСТОЯННЫХ ДЛЯ МОДЕЛЕЙ НЕО - ГУКА И МУНИ - РИВЛИНА ПО РЕЗУЛЬТАТАМ ЭКСПЕРИМЕНТОВ НА ОДНООСНОЕ
РАСТЯЖЕНИЕ
Статья посвящена исследованию механических характеристик артерий виллизиевого многоугольника [1] и позвоночных артерий человека и включает в себя испытания на одноосное растяжение образцов артерий, обработку данных и получение параметров моделей, используемых для описания поведения материала стенок артерий при численном моделировании кровеносной системы человека.
Одной из основных моделей [2], применяемых при моделировании поведения стенок артерий является модель Муни - Ривлина [3]. Приведем расчет параметров данной модели. Для этого выведем зависимость напряжение -степень удлинения для одноосного растяжения с использованием функций энергии деформации данного материала.
Рассмотрим правый и левый тензоры деформаций Коши - Грина С = рТр, В = РРТ соответственно, где Р - тензор градиента деформации. Инварианты правого тензора С (аналогично для левого) определяются соотношениями 1? = ¿г(С), /2 = _— ¿Г(С2)^, /3 = ¿е£(С). Материал стенки
артерии принято считать несжимаемым [4], поэтому/3 = 1. В случае однородной деформации тензор градиента деформации в матричной форме мож-
/А? 0 0\
но записать в виде Р = I 0 А2 0 I , где А?, А2, А3 - степени удлинения. В
0 0 А3
этом соучае права1й и левый тензоры деформаций Коши - Грина С = В = А21 0 0
Р2 = I 0 А2 0 | . Тогда инварианты для тензора С определяются следу-
0 0 А3У
югцими выражениями: /? = А? + А2А3, /2 = 1Г/? — ¿г (С2)^ = + 72 + 72
2 V / А1 А А«?
/з = ¿ег(С) = 2)
1
1
123
= = (А?А2А3) = 1. Выражая из последнего равенства А3 через А?, А2, получим А3 =
А? А
1А2
Выражения для напряжений, возникающих в растягиваемом образце, через функцию энергии деформации W записываются следующим образом:
л^ 1 т л, лдW т дW ,
а и = = А2Ф — Ф + р, где Ф = 2--, У = 2—— (в случае несжимаемо-А^ д/? д/2
го материала функция энергии деформации зависит только от первых двух инвариантов W = W(/?, /2)).
В случае одноосного растяжения а22 = а33 = 0. Рассмотрим равенство
а33 = 0. Отсюд а А2Ф — 72 Ф + Р = 0 Р = 72 Ф — А2Ф. Подставим полученное
А23 А23
выражение для р в а??, а22.
а?? = А?
2 1 1 2
А?Ф — Т77Ф + -2 Ф — А3Ф
А23
А2
?
(а?—аз)ф—(А?—ф,
2 1 1 2
а22 = А2Ф — Ф + 72 Ф — А2Ф
А2 А3
(А2 — А3)Ф — (Т2 — Т2
АА
А3 =
1
А?А2
получаем
а?? =
А? а1а5
ф — (а12 — а?аг1 ф,
а22 — ( А2 —
А?А2
Ф - (Al - А2А2
НА2
Тогда
Ф —
А2-
Л2 А2А2
(Ф + А2Ф).
1
Учитывая, что а22 — 0, имеем А2 — 2 2
А1А2
о<* а4 — а2 — —
А2
А1
1
А'
ап — Га2 — 4 ^Ф — — —) ф— (А2 — ^ )Ф — — А )Ф —
А2 А2 А
1
А
=(Л" - + ^ , л 2 .
Инварианты тензора примут вид /1 = Л2 + + = А2 + т? /2 = Т2+
АЛ2 АЛ2
+А + А2— = —2 + 2А. Окончательно получаем зависимость напряжения от А А2
степени удлинения в случае одноосного растяжения [5]
,л2 1 w dW 1 dW \ а — 2 А2--)( — + ^
AJ\dh А 31
где А = у отношение длины образца к его „анальной длине.
¿0
Рассмотрим функцию энергии деформации в следующем виде:
W — C1(/i — 3) + C2(/2 — 3).
Тогда
а — 2( А2 — 1)Ci + 2(А — Аз )C2.
(1)
Таким образом, имея данную зависимость и результаты эксперимента на одноосное растяжение, можно получить коэффициенты функции энергии деформации с помощью метода наименьших квадратов.
Расчет констант C1,C2, имеющих размерность напряжений, проводился в системе компьютерной алгебры Matlab (MathWorks Inc.). Данные диаграм-(а — А)
вого многоугольника импортировались в Matlab (MathWorks Inc.), далее по экспериментальной кривой интерполяционным методом были выбраны точки для определения констант методом наименьших квадратов. На рисунке представлены следующие кривые: пунктирная линия - экспериментальная (а — А)
(а — А)
формуле (1) с найденными константами C1 — 5.2 Н/м2, C2 — — 5.54 Н/м2.
1
не
БИБЛИОГРАФИЧЕСКИМ СПИСОК
1. Крылов В.В., Ткачев В.В., Добровольский Г.Ф. Микрохирургия аневризм вилли-зиевого многоугольника. М,, 2004. 160 с,
2. Holzapfel G.A., Gasser Т.С., Од den R.W. A Xew Constitutive Framework for Arterial Wall Mechanics and a Comparative Study of Material Models Ц J. of Elasticity. 2000. V. 61. P. 1-48.
3. Грин, А., Адкиис Дою. Большие упругие деформации и нелинейная механика сплошной среды. М,, 1965, - 456 с.
4. Care.w Т. Е., Vaishnav R. N., Pater D. J. Compressibility and Constitutive Equation for Arterial Wall // Circ. Res. 1968. V. 23. P. 61-68.
5. Пуриия Б.А., Касьянов В.А. Биомеханика крупных кровеносных сосудов человека. Рига: Зипате. 1980. 260 с.
УДК 533.6.011
B.C. Кожанов
МОДИФИКАЦИЯ МЕТОДА САПУИКОВА РЕШЕНИЯ ЗАДАЧИ О СХОДЯЩЕЙСЯ УДАРНОЙ ВОЛНЕ
В статье описывается модификация метода приближенного аналитического решения задачи о сходящейся ударной волне, предложенного Я.Г. Сапу нковым [1].
Чтобы описать автомодельное течение жидкости с отношением удельных теплоемкостей y за ударной волной (УВ) в задаче о схождении цилиндрической (v = 1) или сферичес кой (v = 2) У В необходимо решить задачу для системы трех обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
£V(f) = Д1/Д0 = - (v+1) V + к + (V-а) Д4/Д0,
£ (ln G(£))'=Д2/Д0 =—к/(V-а) - Д4/Д0, (1)
