CC BY
143
Расчет и конструирование машин
УДК 539.3 DOI 10.18698/0536-1044-2016-8-3-10
Определение параметров упругости полиуретана при больших деформациях по результатам испытаний образцов на кручение и растяжение
А.Е. Белкин1, И.З. Даштиев2, А.В. Костромицких1
1 МГТУ им. Н.Э. Баумана, 105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1
2 ОАО «ЦНИИСМ», 141371, Хотьково, Московская область, Российская Федерация, ул. Заводская, д. 1
Determining Polyurethane Elastic Parameters at Large Strains Using Torsion and Tensile Test Results
A.E. Belkin1, I.Z. Dashtiev2, A.V. Kostromitskikh1
1 BMSTU, 105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1
2 Central Research Institute for Special Machinery OAO TsNIISM, 141371, Khotkovo, Moscow region, Russian Federation, Zavodskaya St., Bldg. 1
e-mail: aefbelkin@gmail.com
Проблема повышения достоверности расчетов деталей, выполненных из полиуретана, связана с разработкой надежных математических моделей упругого поведения материала. Для эластомеров в рамках феноменологического подхода предложены разнообразные модели упругости. Выбор закона и определения параметров упругости для конкретного материала на основе испытаний его образцов является актуальной задачей. В статье приведены результаты статических испытаний на кручение и растяжение образцов литьевого полиуретана СКУ-ПФЛ-100 твердостью 92...95 ед. по Шору по шкале А. Для идентификации упругого потенциала полиуретана проведен анализ осе-симметричного напряженно-деформированного состояния цилиндрического образца по модели несжимаемого материала. При расчете резиновых деталей часто используют двухпараметрический потенциал Муни-Ривлина. С учетом сложившегося положительного опыта этот потенциал применен для описания упругости полиуретана. Значения параметров потенциала определены на основе результатов испытаний путем минимизации функции отклонений теоретических значений напряжений от экспериментальных. Показано, что выбранная модель описывает упругое поведение полиуретана с удовлетворительной точностью.
Ключевые слова: полиуретан, большие деформации, закон упругости, испытания образцов, кручение, растяжение, осесимметричная деформация, потенциал Муни-Ривлина.
The problem of increasing the reliability of calculations of polyurethane elements of constructions is associated with the development of reliable mathematical models of elastic behavior of the material. Within the framework of the phenomenological approach, the authors propose various models of elasticity for elastomers. The choice of the law of
elasticity and the determination of elasticity parameters for a specific material based on sample testing is an important problem to consider. The results of static torsion and tensile tests performed on the cast polyurethane specimen SKU-PFL-100 with the hardness of 92...95 units according to the Shore A scale are presented in the article. To identify elastic potential of the polyurethane, the axially symmetric stress-strain state of a cylindrical sample is analyzed using a model of incompressible material. When performing calculations for rubber parts, the two-parameter Mooney-Rivlin constitutive model is often used. Taking into account the positive experience of using this model, it is applied to describe polyurethane elasticity. The parameter values of the strain energy potential are determined on the basis of the test results by minimizing the function of deviations of the stress theoretical values from the experimental ones. It has been shown that the selected model describes polyurethane elastic behavior with a satisfactory accuracy.
Keywords: polyurethane, large strains, law of elasticity, sample testing, torsion, tension, axially symmetric deformation, Mooney-Rivlin potential.
Для расчета полиуретановых деталей, в частности амортизаторов, работающих при больших деформациях, необходимы надежные математические модели упругого и вязкоупругого поведения полиуретана, апробированные для широкого диапазона деформаций при различных типах напряженного состояния. В настоящее время в расчетах эластомеров часто применяют «двухзвенную» модель Бергстрема-Бойс [1-4], которая характеризуется широким набором числовых параметров, определяемых на основе экспериментальных данных. В работе [5] параметры этой модели для полиуретана определены по результатам испытаний образцов на сжатие с умеренно высокими скоростями деформирования.
Цель работы — уточнение параметров упругости полиуретана СКУ-ПФЛ-100 при медленном статическом нагружении по результатам испытаний на кручение и растяжение.
При описании только упругих свойств полиуретана будем игнорировать наблюдаемые в экспериментах эффекты вязкости. Обработку экспериментальных данных будем проводить, рассматривая полиуретан как несжимаемый материал.
Краткие теоретические сведения. Изложению результатов испытаний предпошлем краткие сведения по применению теории больших упругих деформаций [6, 7] для анализа растяжения и кручения образцов.
При изучении осесимметричной деформации цилиндрического образца используем цилиндрические координаты г, ф, г с ортами ко-
ординатных линии ir
Координаты
произвольной точки в деформированном состоянии представим в виде
z+=Xzz; г+=Аф r; ф+=ф + у (z), (1)
где X z, Хф — кратности удлинений в осевом и окружном направлениях, у (z) — угол поворота поперечного сечения образца.
Считая осевое растяжение однородным, будем полагать X z = const. Что касается окружного удлинения, то на начальном этапе допустимо считать Хф (r), хотя из последующих рассуждений становится ясно, что и это удлинение — величина постоянная.
Положение точки деформированного образца определяется в соответствии с преобразованием координат (1) радиусом-вектором
R = Хф r cos у ir + Хф r sin у 1ф +Xz z i z.
Для выражения деформации материала через геометрические параметры Xz, Хф, у найдем тензор градиента места
F1, = VR,
где
V
-+ i,г
-+ i z
dr rЭф Эz Компоненты тензора градиента места обра-
зуют матрицу
й(Хф r) dr
й(Хф r) ,
cos у -Sin у
dr
Бт = -Хф sin у Хф cos у
-Хф r 9 sin у Хф r 9 cos у Xz
где 9 = d у/dz — относительный угол закручивания образца.
Тензор меры деформации Коши-Грина определяется как C = Fт F. Его компоненты имеют значения
Crr
r)
dr
• C = k •
> фф >
(2)
С22 = (кф Г Э) + кг ; Сф2 = С2ф = кф Г Э;
Сг ф = Сф г = 0; Сгг = Сгг =
При преобразовании координат (1) мера объемной деформации материала ] = det F имеет вид
й (кфГ)
J = kz k
z' v2
dr
Из условия несжимаемости материала J = 1 следует
кф = к г 1/2 = const.
Таким образом, при растяжении и кручении цилиндрического образца из несжимаемого материала компоненты тензора меры деформации (2) получают значения
C = C = к-ь
Czz = k-4r 6)2 + k|;
C = C = k-1 r ñ Тензор C имеет инварианты
I ic = 2 к -1 + k ;1(r ñ)2 + k2z •
I2C = 2 к z + k-2(r ñ)2 + k
l"2
z
S = 2a11 + 2a2 [ 11CI - C ] + p C-1,
(3)
Подставляя компоненты тензоров C, C
-i
Напряжения в упругом изотропном несжимаемом материале определяют через функцию удельной энергии деформации Ш (11С , I2С) соотношением [7]
где S — второй тензор напряжений Пиолы-Кирхгофа; а 1 = ЭШ/Э1Ю; а2 = ЭШ/Э 12с; р — гидростатическое давление; I — единичный тензор.
Заметим, что при упругих потенциалах общего вида коэффициенты а 1, а 2 в соотношениях упругости (3) являются функциями инвариантов 11С, 12С. Однако в частных случаях потенциалов Трелоара и Муни-Ривлина эти коэффициенты — постоянные величины.
Srr = 2a1 + 2a2 [к-1 +k;1(rñ)2 +kZ ] + pkz •
S22 = 2ai + 2a2 [к-1 + к-1 (rñ)2 + k2z ] + + p [к z +к -2(r ñ)2 ] •
Szz = 2ai + 4a 2^ + p к;2; (4)
S2 z = Sz 2 =-2a2k-1 r ñ- p к-2 r ñ;
Sr 2 = S2r = 0;
Srz = Szr =
Напряжения (4) определены в векторном базисе деформированного объема:
d R -1 ¡ ч
Er = — = ^kz2 (cos y i r + sin y i 2J •
dR -1, ,
E2 = —— = k z 2 (- Sin y i r + cos y i 2) •
rd2
dR -1 ¡ ,
Ez = — = k z 2 r ñ(-Sin y i r + cos y i 2 ) + k z iz.
На рис. 1 показан малый элемент образца в исходном и деформированном состояниях с указанием действующих по его граням напряжений.
Для перехода к истинным напряжениям a введем единичные векторы радиального er и окружного e2 направлений для деформированного объема:
er = cos y i r + sin y i 2 • e2 = - sin y i r + cos y i 2.
Связь базиса Er, E2, Ez с ортонормиро-ванным базисом er, e2, iz определяется соотношениями
-1 -1
Er =kz 2 e r • E2 =kz 2 e 2 •
Ez =kz2 rñe2 +kziz.
и
инвариант 11С в соотношение упругости (3), получаем следующие выражения для напряжений Пиолы-Кирхгофа:
Рис. 1. Малый элемент образца в исходном и деформированном состояниях
d(r+arr) dr+
= а,
фф>
^фф = 2 Х-1 б2
a1r2 -
azz = 2ai(AZ -Xz1) + 2а2(Хг-Xz2)-
(R
- 2 Х-1 е2
j a1 rdr + a2X- r2
Vr
Напряжения на поперечном сечении образца приводятся к нормальной силе
в
N = 2л | а22 Хф гйг =
о
Переходя к базису er, еф, iz, получаем = 4п
напряжения
а„ = Хz Srr = 2^iXz + + 2«2 [Х -2 + Х -2 (r е)2 +Х z ] + p;
афф = Х-1 Sфф + 2 Х-1 (rе) Sфz + Х-1 (rе)2 Szz =
= 2«1 [Х-1 +Х-1(г е)2 ] + (5)
+ 2«2 [Х -2 + Х -2 (r е)2 +Х z ] + p; a zz = Х1 Szz = 2ai XI + 4а2Х z + p;
(Хz-Х-2) 11 + (1-Х-3) 12-х-2 е213
(7)
и крутящему моменту
R
M = 2пjХфrazфХфrdr = 4п(Х-114 +Х-215)е, (8)
где
R
R
11 = j a1 rdr; 12 = j a2 rdr;
о о
R (R }
I3 = j j a1 rdr + a2X-1 r2 rdr; 14 = j a1 r3 dr;
о V r J
R
R
0
агф = Х2 5гф+Х2 г6 5гг = 2Х2 г9 (а1 + а2Хг*).
Гидростатическое давление определяется из уравнения равновесия в радиальном направлении
15 = j a2 r3 dr.
которое с учетом соотношений упругости (5) и свойства однородности окружной деформации (Хф = const) преобразуется к виду
darr
-= 2a1 X-1 r е2. (6)
dr
Интегрируя уравнение (6) и выполняя условие a rr = 0 на ненагруженной цилиндрической поверхности образца, находим радиальное напряжение
R
arr =-2 X-1 е2 j a1 rdr
r
и гидростатическое давление
p = arr - 2a1X-1 - 2a2 [X-2 + X-2 (rе)2 + Xz ].
Тогда окружные и осевые нормальные напряжения (5) принимают вид
( r ^
Испытания образцов на кручение проводят при отсутствии либо осевых деформаций (т. е. при Х 2 = 1), либо нормальной силы (7). В первом случае крутящий момент и нормальная сила выражаются формулами
М = 4 л (14 +15) 6;
(9)
N =-4 л13 62.
Во втором случае решение несколько сложнее. Сначала из условия N = 0 устанавливают зависимость кратности удлинения от относительного угла закручивания образца, т. е. Х2 (6), а затем с помощью соотношения (8) — взаимосвязь этого угла и крутящего момента.
При одноосном растяжении нормальная сила и кратность удлинения в продольном направлении связаны зависимостью
N/А = 2а1(Хг -Х-2) + 2а2(1 -Х-3), (10)
где А — площадь поперечного сечения неде-формированного образца.
Результаты испытаний на кручение образцов полиуретана СКУ-ПФЛ-100. Испытания проводили на машине ¡шйоп 55MT5-SPL, используя цилиндрические образцы круглого сплошного сечения диаметром Б = 25 мм с длиной рабочей части Ь = 120 мм. Каретку испытательной машины закрепляли с помощью скоб так, что при закручивании отсутствовало продольное удлинение образца, т. е. выполнялось условие Х 2 = 1.
Для каждого образца проводили пять нагру-жений. Установление диаграммы кручения наблюдалось уже после второго цикла нагрузка-разгрузка. В качестве примера на рис. 2 показа-
ны масштабированные диаграммы кручения одного из образцов в координатах вЯ, МЯ/]р, где ]р = пЯ4/2 — полярный момент инерции поперечного сечения образца. Как видно из рисунка, после первого нагружения происходит размягчение материала, однако при последующих нагружениях его жесткостные характеристики стабильны. Обрабатывались данные последнего нагружения.
Все испытания проводили с малой скоростью закручивания образцов 1 рад/мин, соответствующей скорости деформирования вЯ ~ - 0,0017 с"1.
В экспериментах с разными образцами зафиксирована весьма высокая повторяемость результатов. Разброс характеристик испытанных образцов незначителен, о чем можно судить по близости кривых 1 и 2, показанных на рис. 3.
Следует отметить, что в испытаниях на кручение изучаемые деформации материала ограничены, поскольку при некотором угле закручивания образец теряет устойчивость (рис. 4). Именно потеря устойчивости при малых деформациях является причиной, по которой приходится отказываться от испытания тонкостенных полиуретановых трубок.
шип, МПа
/
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Ш
Рис. 2. Диаграммы кручения полиуретанового образца при первом (1), втором (2) и третьем (3) циклах нагружения
МШЗт МПа
3 > 1
1 2
/Х1
----- /
0 0,1 0,2 0,3 0,4 0,5 0,6 0,7 Ш?
Рис. 3. Диаграммы кручения «тренированных» образцов, построенные по экспериментальным данным (1, 2) и модели Муни-Ривлина (3)
Рис. 4. Потеря устойчивости цилиндрического образца сплошного сечения при кручении
Результаты испытаний на растяжение. Испытания проводили на образцах — «лопатках» (рис. 5) на машине 1ш1:гоп ЕкСхорик 1000.
На начальном этапе деформирования образцов для повышения точности измерения удлинений использовали экстензометр 1ш1:гоп с базой 12,5 мм (рис. 6), с помощью которого
Границы захватов испытательной машины
Рис. 5. Образец для испытаний на растяжение
Рис. 6. Образец в захватах испытательной машины 1ш1;гоп ЕкСхорик 1000 с установленным экстензометром
с^МПа
■у
л-
от него незначительны, и он может рассматриваться как удовлетворительное приближение.
Из последней формулы (5) следует, что распределение касательных напряжений такое же, как и в задаче линейной теории упругости:
' z ф
= 2(Ао + Ал) г е.
(13)
1,0 1,1 1,2 1,3 1,4 1,5 1,6 1,7 Х2
Рис. 7. Диаграммы растяжения полиуретана СКУ-ПФЛ-100, построенные по экспериментальным данным (1,2) и модели Муни-Ривлина (3)
определяли относительные удлинения до 40 %. Заметим, что большие удлинения измерить с применением экстензометра невозможно из-за технических ограничений.
Большие удлинения образца определяли по положению захватов испытательной машины, поэтому измеряли удлинения как рабочей части образца, так и его переходных частей, прилежащих к захватам. Для исправления машинной диаграммы вводился коэффициент коррекции относительных удлинений, определенный как отношение деформации по экстензометру к деформации, полученной по положению захватов. Исправленные машинные диаграммы двух образцов приведены на рис. 7 (кривые 1, 2).
Определение параметров упругости. В рамках феноменологического подхода предложены разнообразные модели упругости эластомеров [8, 9]. Для резины часто используют двухпара-метрический потенциал Муни-Ривлина
W (11С, 12С ) = АоЦ 1С " 3) + Аоl(I2 с - 3), (11)
где До, А01 — коэффициенты, подлежащие определению по результатам испытаний.
Рассмотрим использование этого потенциала применительно к полиуретану. Исходя из выражения (11), находим а 1 = А10, а 2 = А01. В соответствии с формулой (9) устанавливаем, что при кручении образца в условиях запрета продольных деформаций (X г = 1) связь крутящего момента и относительного угла закручивания образца является линейной даже при больших деформациях:
М = 2(Ао + Ал) /рб. (12)
Диаграммы кручения, полученные по экспериментальным данным (см. рис. 3), не соответствуют линейному закону, однако отклонения
Причем величина G = 2^0 + А01) имеет смысл модуля сдвига материала.
Значения касательных напряжений (13) и крутящего момента (12) пропорциональны сумме параметров упругости ^о + А01), поэтому по результатам испытаний на кручение или простой сдвиг невозможно определить каждый из параметров в отдельности. В связи с этим потребовались испытания второго вида, в качестве которого используем растяжение.
При одноосном растяжении образца из материала Муни-Ривлина условные напряжения (10) подчиняются закону
а £л = 2(Аlо +Х-^ХЛ г-X-2). (14)
Для поиска параметров упругости А10 и А01 использовали алгоритм минимизации функции отклонений теоретических значений напряжений от экспериментальных. Поиск осуществляли двумя способами. В первом варианте по результатам испытаний на кручение и растяжение составлялась совместная функция отклонений I
1 -а £ф (Dio, Doi)/а|ХР
F = I
i=1
+ Z |~1-а zh(Dio, Doi)/aSp j=i
(15)
где индексы «Ш» и «ехр» соответствуют теоретическим и экспериментальным данным; аф — касательные напряжения (13) у лицевой поверхности образца (г = R) при кручении;
а ефр = Mexp R/Jp; аЦ — условные напряжения растяжения (14); аexp = N exp/A; i, j — номера точек сравнения.
Из условия F (D10, D01) ^ min определяли значения D10, D01.
Во втором варианте сначала обрабатывали результаты испытаний на кручение и из условия
Ü(G) = Z 1 - аzhp(G)/аexp
i=1
Zф
>min (16)
определяли значение модуля сдвига G = 2(А0 + D01).
Затем решали задачу минимизации отклонений при одноосном растяжении. Из соотношения упругости (14) исключали параметр Dol = G /2 - D1o и минимизировали функцию
Р2(АО) = I [1 Zh (До)/12. (17) 1=11 11 Таким образом достигалось возможное наилучшее приближение теоретических диаграмм к экспериментальным.
При формировании функций цели (15)-(17) точки сравнения касательных напряжений распределялись равномерно по оси угловой деформации в интервале 0 < 9Я < 0,8; аналогично точки сравнения нормальных напряжений следовали с равным шагом по переменной Xг в интервале 1 < X2 < 1,8.
В таблице приведены значения параметров закона упругости Муни-Ривлина при различном числе точек сравнения.
Из данных таблицы следует, что реализованные способы поиска постоянных упругости приводят к практически одинаковым результатам, устойчивым по отношению к числу точек сравнения. На рис. 3 и 7 показаны теоретические диаграммы кручения и растяжения, построенные по модели Муни-Ривлина при найденных значениях постоянных. Их сравнение с экспериментальными диаграммами свидетельствует о том, что двухпараметрическая модель Муни-Ривлина (11) в целом позволяет описать упругое поведение полиуретана СКУ-ПФЛ-100 при статическом нагружении в рассмотренном диапазоне деформаций с достаточной для практических целей точностью. Точ-
Значения параметров закона упругости Муни-Ривлина
Число точек сравнения D10, МПа D01, МПа G, МПа
10 1,48/1,43 0,91/1,00 4,78/4,86
20 1,44/1,42 0,95/0,99 4,78/4,82
30 1,45/1,42 0,94/0,99 4,78/4,82
50 1,44/1,41 0,95/1,00 4,78/4,82
100 1,44/1,41 0,96/1,00 4,80/4,82
Примечание. Значения в числителе дроби получены при совместной, а в знаменателе — при раздельной последовательной обработке данных.
ность описания начального участка кривых деформирования, где, согласно испытаниям, наблюдается снижение жесткости полиуретана (рис. 3), можно повысить путем учета в потенциале дополнительных по отношению к модели (11) слагаемых.
Выводы
1. Представлен подробный анализ больших упругих деформаций цилиндрических образцов при кручении и растяжении, предназначенный для идентификации модели упругости полиуретана.
2. Приведены результаты статических испытаний образцов из литьевого полиуретана СКУ-ПФЛ-100 на кручение и растяжение, по которым определены значения параметров закона упругости Муни-Ривлина, обеспечивающие наилучшее приближение к эксперименту в рамках рассматриваемой модели.
Литература
[1] Bergström J.S., Boyce M.C. Constitutive Modeling of the Large Strain Time-Dependent Be-
havior of Elastomers. Journal of Mechanic Physics Solids, 1998, vol. 46, pp. 931-954.
[2] Bergström J.S., Boyce M.C. Mechanical behavior of particle filled elastomers. Rubber Chemis-
try and Technology, 1999, vol. 72, pp. 633-656.
[3] Quintavalla S.J., Johnson S.H. Extension of the Bergström-Boyce model to high strain rates.
Rubber Chemistry and Technology, 2004, vol. 77, pp. 972-981.
[4] Qi H.J., Boyce M.C. Stress-Strain Behavior of Thermoplastic Polyurethane. Mechanics of Ma-
terials, 2005, vol. 37, is. 8, pp. 817-839.
[5] Белкин А.Е., Даштиев И.З., Семенов В.К. Математическая модель вязкоупругого пове-
дения полиуретана при сжатии с умеренно высокими скоростями деформирования. Вестник МГТУ им. Н.Э. Баумана. Сер. Машиностроение, 2014, № 6, c. 44-58.
[6] Лурье А.И. Нелинейная теория упругости. Москва, Наука, 1980. 512 с.
[7] Голованов А.И., Султанов Л.У. Математические модели вычислительной нелинейной
механики деформируемых тел. Казань, Изд-во Казанского государственного ун-та, 2009. 465 с.
[8] Киричевский В.В., Сахаров А.С. Нелинейные задачи термомеханики конструкций из
слабосжимаемых эластомеров. Киев, Буд1вельник, 1992. 216 с.
[9] Черных К.Ф. Нелинейная теория упругости в машиностроительных расчетах. Ленин-
град, Машиностроение, 1986. 336 с.
References
[1] Bergström J.S., Boyce M.C. Constitutive Modeling of the Large Strain Time-Dependent Be-
havior of Elastomers. Journal of Mechanic Physics Solids, 1998, vol. 46, pp. 931-954.
[2] Bergström J.S., Boyce M.C. Mechanical behavior of particle filled elastomers. Rubber Chemis-
try and Technology, 1999, vol. 72, pp. 633-656.
[3] Quintavalla S.J., Johnson S.H. Extension of the Bergström-Boyce model to high strain rates.
Rubber Chemistry and Technology, 2004, vol. 77, pp. 972-981.
[4] Qi H.J., Boyce M.C. Stress-Strain Behavior of Thermoplastic Polyurethane. Mechanics of Ma-
terials, 2005, vol. 37, is. 8, pp. 817-839.
[5] Belkin A.E., Dashtiev I.Z., Semenov V.K. Matematicheskaia model' viazkouprugogo
povedeniia poliuretana pri szhatii s umerenno vysokimi skorostiami deformirovaniia [Mathematical Model of Viscoelastic Behavior of Polyurethane under Compression with Moderately High Strain Rates]. Vestnik MGTU im. N.E.Baumana. Ser. Mashinostroenie [Herald of the Bauman Moscow State Technical University. Ser. Mechanical Engineering]. 2014, no. 6, pp. 44-58.
[6] Lur'e A.I. Nelineinaia teoriia uprugosti [Nonlinear Theory of Elasticity]. Moscow, Nauka
publ., 1980. 512 p.
[7] Golovanov A.I., Sultanov L.U. Matematicheskie modeli vychislitel'noi nelineinoi mekhaniki
deformiruemykh tel [Mathematical models of the nonlinear computational mechanics of deformable bodies]. Kazan', KSU publ., 2009. 465 p.
[8] Kirichevskii V.V., Sakharov A.S. Nelineinye zadachi termomekhaniki konstruktsii iz
slaboszhimaemykh elastomerov [Nonlinear problems for strongly thermomechanics designs of elastomers]. Kiev, Budivel'nik publ., 1992. 216 p.
[9] Chernykh K.F. Nelineinaia teoriia uprugosti v mashinostroitel'nykh raschetakh [Nonlinear
theory of elasticity in engineering calculations]. Leningrad, Mashinostroenie publ., 1986. 336 p.
Информация об авторах
БЕЛКИН Александр Ефимович (Москва) — доктор технических наук, профессор кафедры «Прикладная механика». МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1, e-mail: aefbelkin@gmail.com).
ДАШТИЕВ Идрис Зилфикарович (Хотьково) — доктор технических наук, зам. главного конструктора. ОАО «ЦНИИСМ» (141371, Хотьково, Московская область, Российская Федерация, ул. Заводская, д. 1).
КОСТРОМИЦКИХ Алексей Викторович (Москва) — инженер НИИАПП. МГТУ им. Н.Э. Баумана (105005, Москва, Российская Федерация, 2-я Бауманская ул., д. 5, стр. 1).
Статья поступила в редакцию 08.04.2016 Information about the authors
BELKIN Aleksandr Efimovich (Moscow) — Doctor of Science, Professor, Department of Applied Mechanics. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1, e-mail: aefbelkin@gmail.com).
DASHTIEV Idris Zilfikarovich (Khotkovo) — Doctor of Science, Deputy Chief Designer. Central Research Institute for Special Machinery OAO TsNIISM (141371, Khotkovo, Moscow region, Russian Federation, Zavodskaya St., Bldg. 1).
KOSTROMITSKIKH Aleksey Viktorovich (Moscow) — Engineer, Scientific and Research Institute for Automation of Manufacturing Processes NIIAPP. Bauman Moscow State Technical University (105005, Moscow, Russian Federation, 2nd Baumanskaya St., Bldg. 5, Block 1).
