Явления повреждаемости в анизотропных мягких биологических тканях: формулировка определяющих соотношений Текст научной статьи по специальности «Физика»

УДК 531/534: [57+61]

ЯВЛЕНИЯ ПОВРЕЖДАЕМОСТИ В АНИЗОТРОПНЫХ МЯГКИХ БИОЛОГИЧЕСКИХ ТКАНЯХ: ФОРМУЛИРОВКА ОПРЕДЕЛЯЮЩИХ СООТНОШЕНИЙ

А.Н. Натали, П.Г. Паван, Е.Л. Карниел

Centre of Mechanics of Biological Materials, University of Padova, Via Marzolo 9, I-35131, Padova, Italy, e-mail:[email protected]

Центр механики биологических материалов, Университет Падуя, Италия

Аннотация. В статье рассматривается формулировка феноменологической конститутивной модели для мягких соединительных тканей с учетом упругости и повреждаемости. Предложенная модель позволяет учесть большие деформации, нелинейность упругого поведения материала, диссипативные явления повреждаемости и анизотропию, которые являются отличительными характеристиками мягких соединительных тканей. Модель, учитывающая упругость и повреждаемость, определяется, исходя из функции свободной энергии Гельмгольца для изотропных и усиленных волокнами материалов, при этом вводятся соответствующие критерии повреждаемости для каждой фазы, образующей композит. Показывается, что параметры могут быть скорректированы с конкретной структурной конфигурацией составляющих компонент, таких как волокна коллагена. Это доказывает соответствие феноменологической конститутивной модели с микроструктурным строением ткани. На этом основании обсуждается оценка кратковременного механического ответа сухожилий человека. При этом сравниваются экспериментальные данные и аналитические результаты.

Ключевые слова: механика тканей, нелинейная механика, континуальная

механика повреждаемости, анизотропия.

1. Введение

Мягкие соединительные ткани являются частным классом биологических тканей, который характеризуется присутствием ряда клеток, разделеннных обширной внеклеточной матрицей, которая определяет механические свойства ткани [1]. Мягкие соединительные ткани являются главными составными частями биологических структур, таких как сухожилия и связки. Сухожилия ответственны за передачу сил к костям, развиваемым при мышечных сокращениях. Мышцы ответственны за стабилизацию суставов и передачу нагрузок между костями.

Все эти биологические структуры имеют много механических функций, и их состояние часто определяется на биомолекулярном уровне; подтверждено также, что их состояние связано с механическим поведением ткани. Действительно, чрезмерные напряжения или деформации могут изменить механические свойства тканей и активность клеток, тем самым мешая сохранению субкомпонент ткани и их механическому функционированию. С другой стороны, некоторые патологии могут

© А.Н. Натали, П.Г. Паван, Е.Л. Карниел, 2004

действовать на молекулярном уровне, изменяя структурное строение ткани и ее механические свойства. Взаимодействие между механическим содержанием и биологической функциональностью является краеугольным камнем биомеханики [2]. Отсюда следует необходимость тщательной механической характеристики соединительных тканей как материалов, так и некоторых органов и структур.

С механической точки зрения внеклеточная матрица может рассматриваться как усиленный волокнами композитный материал, сделанный из волокнистой сети коллагена и эластина, вставленных в изотропный основной материал [3]. Пространственная ориентация структур эластина очень беспорядочна. С другой стороны, локальное распределение и ориентация коллагеновых волокон определяют анизотропию материала. Макроскопическое поведение ткани есть результат комбинации механических свойств фаз. Упругое поведение мягких соединительных тканей обнаруживает сильно нелинейное поведение напряжение-деформация, которое объясняется типичной структурной организацией коллагеновых волокон [4]. Необратимые процессы могут иметь место, если ткань испытывает чрезмерные напряжения или деформации и это приводит к деградации упругих свойств. Эта деградация, в частности, захватывает коллагеновые волокна; поэтому анизотропные характеристики из-за определенной пространственной ориентации волокон также влияет на повреждаемость, которая становиться анизотропной.

Чтобы приблизиться к численному анализу механики мягких соединительных тканей, предложена конститутивная модель, способная учесть нелинейное упругое поведение тканей и возможную деградацию их упругих свойств. Эта конститутивная модель определяется в рамках теории континуальной механики повреждаемости [5] и она способна описать главные черты кратковременного механического поведения, в частности, явления повреждаемости и анизотропии [6]. Теоретические основы развиты в соответствии с кинематикой конечных деформаций, так как мягкие соединительные ткани при их функциональной активности могут испытывать большие деформации [7].

Конститутивная модель удовлетворяет термодинамическим требованиям [8] и в некоторых аспектах аналогична модели, обычно применяемой в механике эластомеров [9]. Эта модель определяется через функцию свободной энергии Гельмгольца, полученной путем соединения функций накопленной энергии, связанной с упругим поведением ткани и описывающей размягчение материала, которое зависит от внутренних переменных повреждаемости [10]. Функция накопленной энергии основана на предположении о трансверсальной изотропии материала [11] и может быть легко модифицирована, чтобы описать ортотропное поведение, которое типично для тканей с двойной локальной ориентацией коллагеновых волокон [12, 13]. Различные

переменные повреждаемости и различные критерии повреждаемости предполагаются для изотропного основного материала и для коллагеновых волокон. Это делает возможным корректно интерпретировать закон эволюции повреждаемости и, в частности, ввести анизотропную повреждаемость. Обобщенные формы критериев повреждаемости также предлагаются, чтобы распространить формулировку к анализу композитных материалов с произвольным числом фаз. Процесс повреждаемости предполагается зависящим от деформации, и переменные повреждаемости определяются в соответствии с концепцией скалярной эквивалентной меры деформации [9, 14].

Главные характеристики предложенной конститутивной формулировки указываются с помощью анализа механического поведения ткани сухожилия человека. Аналитические результаты сравниваются с экспериментальными данными [15, 16], и предложена первая интерпретация взаимосвязи между структурным строением ткани и параметрами модели, что говорит о достоверности модели.

2. Кинематика

Пусть Х материальная точка сплошного тела в его отсчетной конфигурации В0.

Деформация тела определяется как однозначная функция ф, которая соотносит каждой

материальной точке X е В0 ее пространственное положение x = ф(Х)е B в

деформированной конфигурации В = ф( В0). Деформированное состояние в окрестности произвольной материальной точки X описывается линейным отображением F е Lin+, например, градиентом деформации:

Ях

F = — (1)

ЯХ

с обычным условием на якобиан J = det F > 0, чтобы обеспечить регулярность деформации. На основании теоремы о полярном разложении градиент деформации расщепляется на жесткое вращение R е Orth+ и так называемый правый тензор искажений U е Psym в соответствии со следующим соотношением:

F = RU . (2)

Эффективное состояние напряжений в окрестности материальной точки определяется правым тензором деформации Коши-Грина C е Psym :

C = U2 = Fr F, (3)

который не зависит от жесткого движения тела.

Численный анализ механического поведения почти несжимаемых материалов обычно требует расщепления тензора F на объемную и сохраняющую объем часть, которые даются следующим образом:

F = ( J3l) F, F = J ~1F, (4)

1

где 1 - единичный тензор второго ранга, J31 - объемная часть градиента деформации, которая выражает изменение объема бесконечно малой окрестности материальной точки, в то время как F есть часть, сохраняющая объем, которая представляет движение жесткого тела и часть деформации без изменения объема в окрестности точки. Соотношение (4) приводит к определению части правого тензора Коши-Грина:

C = Fг F = j ~1 с. (5)

Так как оба тензора C и C симметричны и положительно определены, то они могут быть выражены через строго положительные собственные значения и собственные векторы в соответствии со следующими уравнениями:

C = 1X?N, вN,, C = ]ТX?N, вN,, (6)

i=1 ,=1

где X, и X,, соответственно, главные растяжения и главные значения деформаций, сохраняющих объем, а N, единичные векторы, представляющие соответствующие главные направления. Главные растяжения могут быть найдены как решения полинома:

X6 - /1X4 + I?X2 -13 = 0, (7)

где коэффициенты It главные инварианты правого тензора Коши-Грина:

I1 = tr (C) , I2 = 1 [11 - tr (C2 )] , I3 = J2 = det (C) . (8)

Аналогичные соотношения существуют для правого тензора Коши-Грина, сохраняющего объем, его главных растяжений 'ki и главных инвариантов I t.

3. Г иперупругие конститутивные модели

Г иперупругие конститутивные модели широко используются в механике мягких тканей, так как они позволяют учесть нелинейное упругое поведение ткани при условии, что деформация ограничена, чтобы не получить необратимые явления. Кроме того, возможность учета несжимаемых и почти несжимаемых материалов делает гиперупругие конститутивные модели, в частности, подходящими для описания механического поведения материалов с соответствующим процентным содержанием связанной жидкой составляющей (типичная ситуация для мягких соединительных тканей).

Говорят, что материал имеет гиперупругое поведение, если работа внутренних сил не зависит от траектории нагружения [17]. В этом случае и при гипотезе об изотермичности процесса функция накопленной энергии может быть определена в зависимости только от материальной точки и градиента деформации:

W = W ( X, F ) . (9)

Чтобы удовлетворить принципу материальной индифферентности, механическое состояние материала должно зависеть только от чистого растяжения. Следовательно, функция W должна удовлетворять следующему соотношению:

W = W(X, F ) = W (X, QF), (10)

где F - произвольный элемент Lin+ и Q е Orth+ - ортогональный тензор,

соответствующий произвольному движению жесткого тела. Функция накопленной энергии тогда выражается в виде:

w = W (X, с). (11)

Для целей краткости изложения, но не ограничивая общность нижеследующего математического изложения, далее принимается гипотеза однородности. Тогда уравнение (11) будет зависеть только от правого тензора Коши-Грина. Согласно описанию континуума по Лагранжу соотношение напряжение-деформация выражается в членах второго тензора напряжений Пиола-Кирхгоффа:

3.1. Ограничения материальной симметрии

Материальная симметрия ведет к определенным ограничениям на функцию накопленной энергии. Если имеет место следующее соотношение:

W (C) =W (QT CQ), (13)

где C - любой элемент из Psym и Q - ортогональные тензоры, то последнее соотношение будет определять группу симметрии Gp материала. Для изотропного

материала группа включает все жесткие вращения (т.е. Gp = Orth+) и функция накопленной энергии зависит от C через главные инварианты [18]:

W = W (I„ I?, I,). (14)

Изотропные материалы редко соответствуют механическому поведению мягких соединительных тканей, так как сложное структурное расположение их субкомпонент приводит к анизотропному поведению.

Если структурное устройство таково, что группа симметрии материала определяется соотношением:

Gp ={Q е Orth +| Qa0 = a0}, (15)

где a0 - единичный вектор в отсчетном состоянии, то материал называют

трансверсально изотропным. Единичный вектор а0 перпендикулярен плоскости изотропии материала и в случае мягких соединительных тканей идентифицирует направление, вдоль которого волокна коллагена могут располагаться. В случае трансверсально изотропного материала можно показать [11], что функция накопленной энергии зависит от пяти инвариантов, т.е. от трех инвариантов правого тензора Коши-Грина и еще двух инвариантов

I4 = а0 ' Ca0 , I5 = а0 ' C а0 . (16)

Для четвертого инварианта возможно простое геометрическое представление, т.к. он имеет вид I4 = X2, где X - растяжение ткани вдоль направления волокна. Функция накопленной энергии переписывается в виде:

W = W(/I,/„IJ,/4,IS). (17)

Напряжения в материале тогда вычисляются по формуле:

S dW (18)

S - C (18)

,=1 ,

где производные пяти инвариантов имеют вид:

Ml = 1, Ё-L = I11 -C, Ё3. = I3C-1,

0C 0C 1 5C 3 (19)

dI dI

-4 = a0 ва0, -5 = a0 вC• a0 + a0 • Cва0.

C C

Выражения для функции накопленной энергии в случае материала с изотропной матрицей, усиленной двумя группами волокон с различной ориентацией, требуют в общем случае использования трех других инвариантов. Более общее рассмотрение этого вопроса может быть найдено в [11].

X 2 "1 и 0“

/ / “/ / р = 0 1 0

/ /

/ X1 0 0 1

X

у у

X,

X,

14 = 1 14 = 1

I, = 1 + и 2 15 = 1

Рис. 1. Влияние чисто сдвиговой деформации в плоскости (Хь Х2) на четвертый и пятый инварианты в случае двух различных расположений волокон. Четвертый инвариант постоянен для обоих случаев: при волокнах в плоскости сдвига (Х,, Х2) и в случае волокон, нормальных к плоскости сдвига (Х,, Х2). Пятый инвариант зависит от деформации сдвига в случае волокон, лежащих в плоскости сдвига (Х,, Х2)

3.2. Конститутивные модели для трансверсально изотропных мягких соединительных тканей

В случае таких соединительных тканей, исходя со структурной точки зрения, материал можно рассматривать как сделанный из изотропной матрицы основного материала, усиленной группой волокон, расположенных вдоль данного направления. Кроме того, обычно дополнительно предполагается аддитивная декомпозиция функции накопленной энергии:

Ш = Шт (/,,/„I,) + Ш' (Д,I,) + №*(1,,¡2,I,,¡4,I,). (20)

Члены Шт, Ш', Шт' являются вкладами к энергии деформации матрицы, волокон и взаимодействия матрица/волокна, соответственно. Другие упрощения иногда вводятся на основе экспериментальных данных [19]. Типичное упрощенное выражение для функции накопленной энергии имеет вид:

Ш = Шт (I,,¡2,I,) + Ш' (¡4). (21)

Простое кинематическое представление четвертого инварианта показывает, что аналогичное выражение может использоваться для описания материалов с одинаковым сдвиговым поведением в плоскости, содержащей направление волокон, и в плоскости, нормальной к направлению волокон. В то же время использование пятого инварианта делает возможным дифференцированное сдвиговое поведение для этих двух плоскостей. Эта концепция разъясняется на рис. 1, где рассмотрена деформация простого сдвига для двух различных пространственных ориентаций волокон: расположенных в плоскости сдвига и расположенных перпендикулярно плоскости сдвига. Показывается, что четвертый инвариант есть константа в обоих случаях.

Следовательно, при использовании модели, определенной соответственно функции накопленной энергии типа (21), невозможно учесть дифференциацию сдвигового поведения в двух плоскостях. Это поведение может быть рассмотрено, только включив в рассмотрение также пятый инвариант.

3.2.1. Расщепление на объемную и сохраняющую объем части

Мягкие соединительные ткани обычно имеют большое количество жидкости, в частности, воды. Часть этой воды химически связана с твердой матрицей и поэтому не

может двигаться через ткань. Также часть воды, которая свободна, движется в ткани и может рассматриваться как связанная, если ткань деформируется с большими скоростями нагружения. Действительно, в таком случае малые значения проницаемости представляют эффективное сопротивление для движения жидкости. Прямым следствием этого структурного изменения является факт, что ткань может вести себя подобно почти несжимаемым материалам. Поэтому соответствующая численная модель для анализа механического поведения мягких соединительных тканей требует расщепления функции накопления энергии и поведения напряжений на объемную и сохраняющую объем части [20]. Функция накопленной энергии тогда предлагается в следующей форме:

Ш = Шт (I,/2) + ит (I,) + Ш' (!4), (22)

где Шт - относится к девиаторной части деформации и ит - к объемной части. Альтернативные формулировки могут учитывать только часть четвертого инварианта, сохраняющего объем [3]. Второй тензор напряжений Пиола-Кирхгоффа тогда приобретает вид:

S = 213 3DEV

SW”

+ 2^F73C4 + 2^Гао ®ao. (23)

ac

где DEV [•] - стандартный девкаторный оператор в материальной конфигурации:

DEV[•] = II -1C ® C-1, (24)

Ij - единичный тензор четвертого ранга.

Для идеально несжимаемого материала предыдущее соотношение упрощается к

виду:

W = Wm (I1,12) + Wf (I4 ), (25)

так как условие I3 = 1 приводит к соотношениям 11 = I1 и I2 = I2. В этом случае

напряжения находятся по формуле:

S = 2DEV

SWm

sC

+ pC-' + 2 W ao ® a0. (26)

Г идростатическое давление в тензоре напряжений произвольно в определяющем соотношении и должно быть определено при наложении кинематического ограничения на объемное изменение и на основе граничных условий сплошной среды.

4. Определяющие соотношения упругости с повреждаемостью

Использование гиперупругой конститутивной модели в анализе механического поведения мягких тканей возможно только в ограниченном диапазоне деформации, так как чрезмерная деформация может привести и к необратимой микроструктурной повреждаемости. Необратимые процессы на микроструктурном уровне отражаются на макроуровне как уменьшение прочности и жесткости. Это поведение учитывается в рамках континуальной теории повреждаемости с помощью функции свободной энергии Г ельмгольца как

у = у(С, ё, Б),

(27)

где ё и Б - неубывающие скалярные и векторные/тензорные переменные повреждаемости, соответственно. Учитывая неравенство Клаузиуса-Дюгема:

Из неравенства (28) и того факта, что переменные повреждаемости определены как неубывающие, следует, что производные функции свободной энергии Гельмгольца по переменным повреждаемости должны быть неположительны, что соответствует эффективному необратимому процессу:

Использование векторных/тензорных переменных повреждаемости полезно для оценки анизотропии явлений повреждаемости. Однако в предлагаемой модели вводятся только скалярные переменные, если необходимо подчеркнуть определенные вопросы, например, направление волокон. Это приводит к модели анизотропной повреждаемости и представляет альтернативную формулировку к использованию общего выражения (27). Функция свободной энергии определена так, что скалярная переменная повреждаемости ё меняется в пределах ё = 0 (отсутствие повреждаемости) и ё = 1 (полное локальное разрушение). Необратимость процесса повреждаемости требует выполнения условия ё > 0 .

4. 1. Критерий повреждаемости

Критерий повреждаемости необходим, чтобы определить механические условия эффективной повреждаемости материала и идентифицировать закон эволюции для внутренних переменных. Представленная модель характеризуется процессом, управляемым деформацией. Упругая область материала определяется через потенциал, предполагаемый в форме:

где х(С) - скалярная мера эквивалентной деформации, способная представить ее

-у +18 : С = Вт, > 0,

(28)

формулы для напряжений и внутренней диссипации сводятся к следующим:

8 = 2 М С ё, Б)

(29)

(30)

(31)

ф(С, ё ) = т( С) — тс ( ё),

(32)

критическое значение, а тс (ё) неубывающая функция размягчения материала. Упругая область, в частности, определяется путем:

ограниченная повреждаемостью или предельной поверхностью:

Полезно ввести тензор:

нейтральное

нагружение

упругая область |(С,ё) 0

п:С4 > 0

ё > 0

нагружение с повреждаемостью

п:Сс < 0 упругая ё = 0 разгрузка

поверхность повреждаемости ■ I (С,ё) — 0

Рис. 2. Поверхность повреждаемости в двумерном случае. Представленное поведение материала при упругой разгрузке, нейтральном нагружении и нагружении с повреждаемостью, начиная с предельной поверхности

п

дф

дС

(35)

Се30

который перпендикулярен предельной поверхности и приспособлен, чтобы математически описать процесс эволюции повреждаемости, как показано в двумерном случае на рис. 2.

Если С е 0, то неупругий процесс невозможен и материал деформируется упруго, т.е. переменная повреждаемости не подвергается какой-либо эволюции, ё = 0 . Если С е д0 и имеет место условие п : С < 0, то материал испытывает процесс упругой

разгрузки, в этом случае вновь ё = 0. Если п : С = 0, то материал остается на предельной поверхности без увеличения внутренней переменной. Наконец, если С е д0 и имеет место условие п : С > 0, то происходит процесс повреждаемости, причем ё > 0. Условие ф( С, ё)> 0 не принимается, так как если материал характеризуется величиной ё, то он не может иметь деформации большие, чем определяемые условием ф(С, ё) = 0 без ухудшения состояния повреждаемости.

Вследствие этого величина ё и функция размягчения тс (ё) изменяется и предельная

поверхность расширяется (процесс размягчения). Все эти случаи математически выражаются так называемым условием дополнительности и условием совместности, а именно:

фё = 0, фё = 0. (36)

Первое из условий (36) утверждает необходимое условие существования процесса повреждаемости (ё > 0), заключающееся в том, что деформированное состояние находится на предельной поверхности (ф = 0), а второе условие (36)

утверждает, что если имеется процесс повреждаемости (ё > 0), то потенциал не изменяется ( ф = 0 ) и деформированное состояние остается на предельной поверхности, которая вследствие этого расширяется.

Условие совместности делает возможным получить закон эволюции для переменной ё. Действительно, применяя цепное правило к производной ф, получим скорость повреждаемости:

й = —^: с/ —. (37)

дС /да

Интегрирование скорости повреждаемости по всей истории деформации делает закон эволюции:

т=,

й (, )= | а (г) ¿т. (38)

т=—ад

Скалярная мера эквивалентной деформации л:( С) задается в следующей общей

форме:

я(С) = С: Я: С . (39)

Определение тензора четвертого ранга R делает возможным ввести любое предпочтительное направление эволюции повреждаемости, тем самым учитывая анизотропное поведение ткани.

4.2. Модели упругости с повреждаемостью для мягких соединительных

тканей

Упругая модель с повреждаемостью для мягких соединительных тканей принимается в виде изотропной основной матрицы, усиленной семейством коллагеновых волокон, расположенных вдоль некоторого направления а0. Из-за композитной природы ткани и вследствие аддитивной декомпозиции функции накопленной энергии из-за гиперупругой формулировки (20) функция свободной энергии определяется как

у = gm (йт)Жт + gf ()Ж— , (40)

где две переменные повреждаемости относятся к необратимым процессам, имеющим место в изотропной матрице и усиливающих волокнах. Два скаляра gm, gf являются

функциями повреждаемости и символы Жт, - вклады к функции накопленной

энергии для материала, предполагаемого как неповреждаемый. На основе неравенства Клаузиуса-Дюгема поведение напряжений и внутренняя диссипация получаются, соответственно, в виде:

дЖт г дЖ—

Я = 2gmW + 2gfW, (41)

дС дС

П. , =— д^—Жтйт — — > 0. (42)

т‘ дйт дй— v '

Неравенство (42), произвольность скорости повреждаемости и тот факт, что все члены накопленной энергии положительно определены, означают следующие неравенства:

дат дя—

< 0, < 0. (43)

дйт ’ дй—

Поэтому каждая функция повреждаемости должна быть убывающей по отношению к соответствующей внутренней переменной, изменяясь от 1 (отсутствие повреждаемости) до 0 (полное разрушение). Соотношение (42) означает, что

внутренняя диссипация должна быть положительной в соответствии с любым процессом, способным увеличить повреждаемость ткани.

4.2.1. Критерии повреждаемости. Различные критерии повреждаемости вводятся для двух фаз ткани (изотропная матрица и коллагеновые волокна) в основном соответственно характеристикам материальной симметрии. Однонаправленное расположение коллагеновых волокон приводит к следующей скалярной мере эквивалентной деформации:

я7 (С ) = С: Я7 : С, (44)

где тензор четвертого ранга К7 определяется на основе локальной ориентации волокон

Я7 = ап ® ап ® ап ® ап

ао ^ “о ^ “о ^ “о • (45)

Отсюда следует, что я7 (С) равно четвертой степени удлинения материала вдоль направления волокон:

я7 ( С ) = 14 =Х4. (46)

Функция размягчения волокон определяется как четвертая степень

максимального удлинения вдоль направления волокон, не увеличивающая повреждаемость волокон:

я7 (й ) = [*,7Ш (й7)

(47)

Определение скаляра я7 делает возможным определить поверхность повреждаемости волокон. На рис. 3 поверхность повреждаемости представлена в пространстве главных удлинений, соответственно, если все компоненты вектора а0 вдоль главных направлений деформаций не равны нулю (рис. 3 а), только одна компонента вектора а 0 вдоль главных направлений деформации равна нулю (рис. 3в) и

вектор а 0 параллелен одному из главных направлений деформации (рис. 3с).

*1

4

а01 Ф О,а02 Ф О,а03 Ф 0 а0є(^^3) а„/ЛЧ3

а Ь с

Рис. 3. Изображение поверхности повреждаемости волокон в пространстве главных удлинений, соответственно, если все компоненты вектора а0 вдоль главных направлений деформаций не равны нулю (а), только одна компонента вектора а0 вдоль главных осей деформации равна нулю (в) и вектор а0 параллелен одному из главных направлений

деформации (с)

Рис. 4. Представление поверхности повреждаемости матрицы в пространстве главных

удлинений

Следующая мера эквивалентной деформации предлагается для изотропной матрицы:

Соответствующая поверхность повреждаемости в пространстве главных удлинений изображена на рис. 4.

4.3. Обобщенные модели упругости с повреждаемостью для композитных материалов

Предложенная модель может быть обобщена, чтобы описать механическое поведение биологических тканей или других реальных композитных материалов, состоящих из п фаз. Основное предположение состоит в том, что функция накопленной энергии, связанная с упругим поведением материала, может быть определена как сумма п слагаемых, связанных с каждой отдельной фазой:

Следовательно, функция свободной энергии Гельмгольца предлагается в следующей форме:

- функции размягчения. Важно заметить, что соответственно конкретной структуре ткани ряд фаз включает также поверхности, когда их биохимическая или химическая структура будет приводить к различному поведению относительно главных компонент, что будет влиять на механическое поведение материала. Второй тензор Пиола-Кирхгоффа получается из удовлетворения неравенства Клаузиуса-Дюгема:

пт (С) = С: С,

(48)

что приводит к выражению

(49)

п

(50)

п

I=1

где d = Г <Л\ d2,..., йп ] переменные повреждаемости, связанные с различными фазами, а

в то время как внутренняя диссипация приводит к неравенству:

= -£ 1 * 0, (53)

1,1=1 дС1

где скаляры 5 являются невозрастающими функциями ассоциированных переменных повреждаемости:

У

< 0 и ] е I1, •, п}. (54)

дd1

Определение критерия повреждаемости для композитного материала требует введения потенциалов повреждаемости:

фг(С,С ) = лг(С)-тгг (С ) /е{1,...,п} . (55)

п}

Соотношения (55) совместимы с предположением о рассмотрении отдельно необратимых процессов в различных фазах материала. Механическое поведение /-й фазы должно зависеть от состояния произвольной ]-й фазы, то есть функция £ может зависеть от параметров повреждаемости всех фаз, но повреждаемость /-ой фазы может зависеть от состояния только /-й фазы.

Можно определить упругую область и поверхность повреждаемости для каждой фазы композита:

0’= {С е РБут| ф’(С, Я' )< 0} /е{1,..., п}, (56)

д0/ = {С е Рвут ф/(С, С ) = 0} /е{1,..., п}. (57)

Эволюция внутренних переменных описана в разделе 4.1 с использованием условий дополнительности и совместности, что теперь делается для каждой фазы:

ф/Л' = 0, ф/Л' = 0 /е{1,..., п}. (58)

Повреждаемость /-й фазы увеличивается, если имеют место условия С е д0/ и П : С > 0, в этом случае

п =дф7дС|Сед0 /'е{l,•••, п), (59)

что представляет собой тензор второго ранга. В противном случае имеем С = 0. В соответствии со вторым соотношением (58) получаем эволюционное уравнение для /-й переменной повреждаемости:

с =-дф: с/ ^ /е{1,..., п}. (60)

дС I дС 1 ’

Упругая область для всего композитного материала, которая есть множество всех состояний деформации, представленных тензором С, получается из условия, что ни одна из фаз не подвергается необратимым явлениям. Она дается пересечением упругих областей отдельных фаз:

0 = П 0/ = {С е Рвут | ф/ (С, С )< 0 V / е {1,..., п}}. (61)

Наконец, аналогичным образом поверхность повреждаемости всего материала получается в виде:

а Ь с

Рис. 5. Изображение поверхности повреждаемости композита в пространстве главных удлинений, соответственно, если все компоненты вектора а0 вдоль главных осей деформации не равны нулю (а), только одна компонента вектора а0 вдоль главных осей деформации есть нуль (в) и вектор а0 параллелен одному из главных направлений

деформации (с)

5© = {С е РБуш I фу (С, $ )< 0 V у е{1,..., п}

- Л ) (62)

л 31 е{1,...,п} | фг (С,$ ) = 0}.

Для модели, предложенной в разделе 4.2, поверхность текучести всего материала изображена на рис. 5 для тех же случаев, что показаны на рис. 3.

5. Механический анализ сухожилий человека

Предложенная конститутивная модель адаптируется для исследования

растяжения ткани ахиллова сухожилия человека при квазистатическом нагружении [15, 16].

Сухожилие является биологической структурой с предпочтительным направлением, которое по отношению к его центральной области направлено в соответствии с растягивающей аксиальной силой, действующей на структуру. Наличие растягивающей аксиальной силы вызывает ориентацию коллагеновых волокон вдоль одного направления. Поэтому можно предположить в качестве гипотезы, что

сухожилия являются трансверсально изотропными материалами с плоскостью

симметрии, перпендикулярной к оси сухожилия.

Ткань сухожилия, нагруженная растягивающем усилием, имеет типичное нелинейное поведение (рис. 6а) с областью начальной малой жесткости, вторая часть имеет примерно постоянную жесткость и третья часть обнаруживает поведение с размягчением. Последнее связано с постепенным разрушением ткани. Поведение напряжение-деформация может быть объяснено, рассматривая микроструктурное переустройство ткани при увеличении нагрузки. В разгруженном состоянии коллагеновые волокна имеют характерную витую структуру (рис. 6в).

сг

а

Ь

Рис. 6. Типичная кривая напряжение-деформация при растяжении мягкой соединительной ткани (а) и в структуре хвостового сухожилия крысы на микроснимке, полученном с помощью сканирующего микроскопа (Ь). Показано также микроскопическое поведение коллагеновых волокон при нагружении ткани прогрессивным нагружением (а). Коллагеновые волокна подвергаются прогрессивному разматыванию, а межволоконные связи подвергаются прогрессивному выравниванию вдоль направления нагружения. Эти явления вызывают прогрессивное восстановление внутри - и межволоконных связей, определяя микроскопическое упрочнение ткани вплоть до области повреждаемости

Рястягивающие нагрузки вызывают прогрессивное разматывание волокон. При растяжении ткани не все коллагеновые волокна разматываются с одинаковой деформацией, но они прогрессивно удлиняются. Прогрессивное вовлечение волокон в этот процесс и появление межволоконных связей увеличивает жесткость, когда же основная часть волокон размотана, результаты становятся приближенно постоянными. Нормальное физиологическое поведение ткани имеет верхнюю границу в этом диапазоне. Дальнейшее увеличение деформации вызывает прогрессивное разрушение сети волокон: сначала жесткость уменьшается лишь слегка, а затем наступает резкое уменьшение.

Чтобы интерпретировать типичное нелинейное механическое поведение и возможные явления повреждаемости, применяется конститутивная упругая модель с повреждаемостью, разработанная в разделе 4. Функция свободной энергии Г ельмгольца предполагается в виде (40), где член, связанный с функцией накопленной энергии изотропной матрицы, определяется в соответствии с конститутивной моделью Муни-Ривлина:

Скаляры С1 и С2 являются коэффициентами, определяемыми с помомщью модуля сдвига, и К - объемный модуль. Слагаемое с накопленной энергией волокон находится в виде:

Коэффициент С3 есть упругий коэффициент, связанный с объемным содержанием коллагеновых волокон и их жесткостью в полностью натянутом состоянии. Скаляр у вводится, чтобы оценить разматывание волокон. Эти константы рассчитываются на основе экспериментальных данных о предельных значениях деформаций, в диапазоне которых ткань считается неповрежденной. Важно заметить,

(63)

(64)

что использование экспоненциальной функции в (64) делает возможным описать нелинейность соотношения напряжение-деформация. Соотношение (64) верно только при 14 > 1 (напряженное состояние растяжения), в то время как при 14 < 1

(напряженное состояние сжатия) вклад коллагеновых волокон равен нулю. Это находится в соответствии с гистологическими наблюдениями [21, 22] и данными механических экспериментов. С другой стороны, замечено, что сухожилия в основном подвергаются напряжениям растяжения, если рассматриваются физиологические условия.

Если анализ механического поведения сухожилий ограничен умеренно большими деформациями, то функция свободной энергии может быть определена в виде:

у (С,ё7) = ит (У) + Жт (I,I 2) + gf (ё7)ЖГ (14). (65)

Смысл определения умеренно больших деформаций означает тот факт, что анализ ограничен диапазоном деформаций, в котором только поведение размягчения волокон имеет значительное влияние на уменьшение жесткости ткани, так как вклад изотропной основной матрицы значительно меньше. Напротив, повреждаемость изотропной основной матрицы должна рассматриваться при увеличении деформации. По аналогичным принципам предположение (65) не позволяет описать феномен повреждаемости, возникающей при наличии сжимающих напряжений, что снова должно включить основную матрицу.

Для определения функции размягчения волокон тс7 (ё7) устанавливается

корреляция между максимальным удлинением X/ит и переменной повреждаемости Максимальное удлинение ткани, испытываемое без появления повреждаемости, обозначается как Х,гт0, в то время как член Хйт1 есть удлинение, соответствующее

разрушению всех волокон. Максимальное удлинение X,гт находится как взвешенное среднее, где вес есть переменная повреждаемости

ХГ1гт = Х1гт,0 + (ХйтД - Хйт,0 ) ^ . (66)

Функция повреждаемости связана с функцией размягчения с помощью следующего соотношения:

1 - ехр >, (х -х,«4

1 - ехр 1 1 “СО Iх т о 4 - г* т 4 1 1

(67)

где Р7 есть скаляр. Параметры Хйт0, Хйт1, Рмогут быть оценены на основе части

размягчения кривой, где процессы повреждаемости имеют место.

При соответствующей геометрии, условиях нагружения и граничных условиях предположения об одноосном напряженном состоянии и несжимаемости имеют место. Константы С1 и С2 связаны с начальной сдвиговой жесткостью матрицы. Знание начального сдвигового модуля и предположение о несжимаемости делают возможным определение начального модуля Юнга матрицы. Экспериментальная оценка начального модуля Юнга позволяет получить ограничение для суммы С1 и С2. Аналитическое

решение в терминах тензора напряжений Коши получено затем и сравнено с типичной экспериментальной кривой напряжение-деформация. Хорошее соответствие между аналитическим решением и экспериментальными результатами показано на рис. 7 и 8.

удлинение

Рис. 7. Сравнение аналитических и экспериментальных результатов в опыте одноосного растяжения образца из ахиллова сухожилия человека

удлинение

Рис. 8. Сравнение аналитических и экспериментальных результатов в опыте одноосного растяжения образца из ахиллова сухожилия человека, предварительно подвергнутого

циклическому нагружению

Для этого случая упругие константы положены равными С1=2,0 МПа , С2= 4,0

МПа и С3 = 4,0 МПа и у = 10,0. Параметры функции повреждаемости равны Хйт0 = 1,09,

Хйт1 = 1,195 и = -1,0. Параметры модели были определены путем минимизации

среднеквадратического отклонения в соответствии с ограничениями на константы Муни-Ривлина. Процедура минимизации аналогична схеме, предложенной в [23].

Важно отметить соотношение, имеющееся между параметрами модели и микроструктурным строением ткани. В частности, далее внимание обращается на параметры, связанные с функцией повреждаемости. Важность этих параметров указывается путем анализа теста на растяжение образца ткани после приложения циклического растягивающего нагружения. Экспериментальная кривая напряжение-деформация в последнем случае показана на рис. 8 в сравнение с аналитическим решением. Экспериментальная кривая подгоняется с упругими параметрами С1 = 2,0

МПа, С2= 4,0 МПа, С3= 4,0 МПа и принимая другие параметры, равными у = 25,0,

Х«то= 1,02, Хйт1 = 1,08 и Р ^ = -2,8, соответственно. Изменение параметра и его влияние

на соотношение напряжение-деформация (рис. 9) может быть коррелированно с предположением, что циклические нагрузки могут индуцировать упрочнение ткани из-за разматывания коллагеновых волокон.

удлинение волокон

Рис. 9. Влияние параметра у на поведение волокон. Этот параметр феноменологически оценивает амплитуду начального закручивания коллагеновых волокон

Л после Л до

А 1іт,0 Л 1іт,0

Рис. 10. Влияние параметров в/, Хйт0 и ХЛт1 на поведение размягчения волокон. Параметр в/ ответственен за распределение амплитуды закручивания волокон, а верхние индексы «до» и «после» относятся к ситуации до и после циклического нагружения, соответственно

Поэтому параметр у соотносится к начальной амплитуде закручивания волокон. Параметр Р указывает распределение закручивания волокон. Действительно, можно показать, что при Р=-1,0 распределение совершено однородно, в то время как

значение Р^ = -2,8 связано с распределением, сдвинутым к малым значениям

закручивания, которое может рассматриваться как эффект циклического нагружения (рис. 10).

Наконец, циклическое нагружение означает малое начальное закручивание, сильную ориентацию внутриволоконных связей вдоль направления нагрузки и частичную повреждаемость. Вследствие этого найдено уменьшение величин XЦт0 и

ХЦт,1 •

6. Заключительные замечания

Модель показывает свою эффективность в моделировании механического поведения ткани сухожилия. Однако ее легко адаптировать, чтобы описать поведение других мягких соединительных тканей, характеризуемых аналогичной структурой,

включая наличие коллагеновых волокон, усиленных и включающих анизотропные характеристики.

Хотя модель является феноменологической, найдено ясное соответствие между микроструктурным строением ткани и параметрами модели. Это означает, что модель имеет отчетливое микромеханическое соответствие и вследствие этого может быть адаптирована, чтобы интерпретировать на структурном условие изменения компонент ткани. Например, изменение процентного содержания коллагеновых волокон или типа коллагена, что может быть определено с помощью клеточной активности, имеет сильное влияние на механические свойства ткани. Возможность учесть эти аспекты в модели является привлекательной особенностью.

Мягкие соединительные ткани обнаруживают также поведение, зависящее от времени, которое связано с ползучестью фиброзных структур и также с движением жидких фаз, а именно воды, которая не связана с твердыми компонентами, но может двигаться внутри ткани под влиянием различных напряжений, возникающих в ткани. Вязкие явления не рассматриваются в данной работе, так как основное внимание направлено на явление повреждаемости. Построенная конститутивная модель удобна для использования метода конечных элементов. Это приближение должно привести к исследованию анатомических структур со сложными геометрическими конфигурациями, в которых возникает многоосное напряженно-деформированное состояние.

Благодарность

Настоящая работа выполнена при поддержке Фонда Fondazione Cassa di Risparmio di Padova e Rovigo (Италия).

Список литературы

1. How is a tissue built? / S.C. Cowin // Journal of Biomechanical Engineering. - 2000. - Vol. 122 (6). - P. 553-569.

2. Fung, Y.C. Biomechanics, Mechanical Properties of Living Tissues / Y.C. Fung. - 2nd ed. New York: Springer, 1993. - 567 p.

3. Finite element implementation of incompressible, transversely isotropic hyperelasticity / J.A. Weiss, B.N. Maker, S. Govindjee // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1996. - Vol. 135. - P. 107-128.

4. Possible role of decorin glycosaminoglycans in fibril to fibril force transfer in relative mature tendons - a computational study from molecular to microstructural level / A. Redaelli, S. Vesentini, M. Soncini, P. Vena, S. Mantero, F.M. Montevecchi // Journal of Biomechanics. - 2003. - Vol. 136. - P. 1555 - 1569.

5. Continuum damage mechanics revised: A principle for mechanical and thermal equivalence / K.S.

Alfredsson, U. Stigh // International Journal of Solids and Structures. - 2004. - Vol. 41 (15). - P. 4025-

4045.

6. A transversally isotropic elasto - damage constitutive model for the periodontal ligament / A. N. Natali, P.G. Pavan, E.L. Carniel, C.Dorow // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. -2003. - Vol 6(5-6). - P. 329-336.

7. Maurel, W. Biomechanical Models for Soft Tissue Simulation / W. Maurel, Y. Wu, N. Magnenat Thalmann, D. Thalmann. - Berlin: Springer, 1998.

8. Wang, C.C. Introduction to Rational Elasticity / C.C. Wang, C. Truesdell. - Leyden: Noordhoff, 1973.

9. On a fully three-dimensional finite-strain visco-elastic damage model: Formulation and computational

aspects / J.C. Simo //Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. - 1987. - Vol. 60. - P. 153-157.

10. On the relevance of Continuum Damage Mechanics as applied to the Mullins effect in elastomers / G. Chagnon, E. Verron, L. Gornet, G. Marckmann, P. Charrier // Journal of the Mechanics and Physics of Solids. Article in Press.

11. Spencer A.J.M. Contiuum Theory of the Mechanics of Fibre-Reinforced Composites / A.J.M. Spencer. -New York: Springer - Verlag, 1984.

12. On the constitutive modeling of biological soft connective tissues. A general theoretical framework and explicit forms of the tensors of elasticity for strongly anisotropic continuum fibre-reinforced composites at finite strains / G. Limbert, M. Taylor // International Journal of Solids and Structures. -2002. - Vol. 39. - P. 2343-2358.

13. An anisotropic model for the anulus tissue and enhanced finite element analyses of intact lumbar disc bodies / R. Eberlein, G.A. Holzapfel, C.A.J. Shulze - Bauer // Computer Methods in Biomechanics and Biomedical Engineering. - 2001. - Vol. 4. - P. 209-229.

14. A constitutive model of the artery with damage / J. Hokanson, S. Yazdani // Mechanical Research

Communications. - 1996. - Vol. 24 (2). - P. 151-159.

15. In vitro fatigue of human tendons / H. Schechtman, D.L. Bader // Journal of Biomechanics. - 1997. - Vol. 30(8). - P. 829-835.

16. Fatigue damage of human tendons / H. Schechtman, D.L. Bader // Journal of Biomechanics. - 2001. - Vol. 35. - P. 347-353.

17. Marsden, J.E., Mathematical Foundations of Elasticity / J.E. Marsden, T.J.R. Hughes. - New York: Prentice-Hall, Englewood Cliffs, 1983.

18. Gurtin, M.E. An Introduction to Continuum Mechanics / M.E. Gurtin. - San Diego: Academic Press, 1981.

19. Holzapfel, G.A. Nonlinear Solid Mechanics / G.A. Holzapfel. - New York: Wiley, 2000.

20. Thermodynamic relations for high elastic materials / P.J. Flory // Transactions of Faraday Society. - 1961. -

Vol. 57. - P. 829-838.

21. Collagen self-assembly and the development of tendon mechanical properties / F.H. Silver, J.W. Freeman, G.P. Seehra // Journal of Biomechanics. - 2003. - Vol. 36. - P. 1529-1553.

22. Collagen structure and functional implications / V. Ottani, M. Raspanti, A. Ruggeri // Micron. - 2001. -Vol. 32. - P. 251-260.

23. Identification of a model for the stress-strain behaviour of the periodontal ligament / M.C. Campi, P. Fogazzi, F. Genna, M. Prandini. // Proc. XIII Convegno Italiano di Meccanica Computazionale, AIMETA. -2000.

DAMAGE PHENOMENA IN ANISOTROPIC SOFT BIOLOGICAL TISUES: A CONSTITUTIVE FORMULATION

A.N. Natali, P.G. Pavan, E.L. Carniel (Padova, Italy)

The paper concerns with the formulation of a phenomenological elasto-damage constitutive model for biological soft connective tissues. The model proposed is capable of accounting for large strains, non-linearity of elastic material response, dissptive damage phenomena and anisotropy, which are all distinctive characteristics of soft connective tissues. The elasto-damage model is defined starting from Helmholtz free-energy functions for isotropic and fibre-reinforced materials, introducing suitable damage criteria for each phase making up the composite. It is shown that the parameters can be correlated with the particular structural configuration of the sub-components, such as collagen fibres. This proofs the consistency of the phenomenological constitutive model with the micro-structural arrangement of the tissue. On this basis, the evaluation of short-term mechanical response of human tendons is reported, comparing experimental data and analytical results.

Key words: tissue mechanics, nonlinear mechanics, continuum damage mechanics, anisotropy.

Получено 14 сентября 2004