ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОКРЫТИЯ ШАРА В ВОЛНОВОДЕ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ТРЕБУЕМОЕ ЗВУКООТРАЖЕНИЕ Текст научной статьи по специальности «Физика»

ИНФОРМАТИКА, ВЫЧИСЛИТЕЛЬНАЯ ТЕХНИКА И УПРАВЛЕНИЕ

ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОКРЫТИЯ ШАРА В ВОЛНОВОДЕ, ОБЕСПЕЧИВАЮЩИХ ТРЕБУЕМОЕ ЗВУКООТРАЖЕНИЕ

Пешков Никита Юрьевич

аспирант, Россия, Тула,

Тульский государственный университет, Скобельцын Сергей Алексеевич

канд. физ.-мат. наук, доцент, Россия, Тула,

Тульский государственный университет.

DETERMINATION OF THE INHOMOGENEITY PARAMETERS OF A SPHERE'S COVER

ENSURING REQUIRED SOUND REFLECTION IN A WAVEGUIDE

Peshkov Nikita Yurievich,

postgraduate, Russia, Tula, Tula State University, Skobeltsyn Sergey Alekseevich,

candidate of physico-mathematical sciences, docent,

Russia, Tula, Tula State University.

Аннотация. Разработан численно-аналитический метод идентификации параметров неоднородности материала упругого покрытия шара, находящегося в цилиндрическом волноводе, позволяющих обеспечить минимальное (максимальное) среднее давление в рассеянном поле сферической звуковой волны, излучаемой точечным источником, в дисковой области наблюдения. Шар предполагается либо абсолютно жестким (неподвижным), либо заполненным однородным упругим материалом. Проведена проверка схемы определения экстремальных характеристик неоднородности покрытия и оценено влияние параметров запуска алгоритма решения на точность их идентификации в ходе численного эксперимента. В решении задачи применяются метод конечных элементов (МКЭ) и алгоритм Хука - Дживса.

Abstract. The numerical-analytical method of identifying the inhomogeneity parameters of a material of a sphere's elastic cover, which allow to ensure minimal (maximal) average pressure in the scattered field of a spherical sound wave, which is radiated by a monopole source, within the disk observation domain in a cylindrical waveguide, has been developed. The sphere is assumed to be either absolutely rigid (moveless) or filled with an homogeneous elastic material. Verification of the scheme for determining the cover's extremal inhomogeneity characteristics has been carried out and influence of the solution algorithm's launch parameters on their identification accuracy during the numerical experiment has been evaluated. The finite element method (FEM) and the Hooke-Jeeves algorithm are used in the problem solving.

Ключевые слова: однородный упругий (абсолютно жесткий неподвижный) шар, параметры неоднородности упругого покрытия, цилиндрический волновод, рассеянное поле, потенциал смещений, экстремальное среднее давление, алгоритм Хука - Дживса, метод конечных элементов, функция формы, излучающая граница

Key words: homogeneous elastic (absolutely rigid and moveless) sphere, elastic cover's inhomogeneity parameters, cylindrical waveguide, scattered field, displacement potential, extremal average pressure, Hooke-Jeeves algorithm, finite element method, shape function, radiation boundary

Введение

Математическому моделированию неоднородных упругих покрытий однородных упругих тел различной формы, позволяющих обеспечить требуемое звукоотражение, посвящен ряд работ. В работе [1] решена задача поиска параметров неоднородности внешнего слоя упругого эллипсоида, находящегося в полупространстве вблизи его идеальной поверхности, способствующих минимизации рассеяния плоской звуковой волны. В [2] проведено моделирование неоднородного покрытия упругого шара со сферической полостью, обеспечивающего оптимальные звукоотражающие свойства. В [3] определены законы неоднородности покрытия упругого цилиндра с цилиндрической полостью, способствующие минимизации отражения плоской звуковой волны. В [4] осуществлено моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра в плоских волноводах с идеальными границами, обеспечивающего наименьшее звукоотражение в заданном сечении волновода.

В данной работе представлено решение задачи определения параметров материала упругого радиально-неоднородного покрытия шара в цилиндрическом волноводе, обеспечивающих минимальное (максимальное) среднее давление в рассеянном поле сферической звуковой волны, создаваемой точечным источником, по дисковой области наблюдения, расположенной в нормальном сечении волновода.

Математическая постановка

В трехмерном пространстве рассматривается цилиндрический волновод бесконечной длины Т радиуса И0 с центром О и осью Q1Q2, заполненный идеальной жидкостью с плотностью р0 и скоростью звука с0. Боковые стенки волновода являются абсолютно жесткими.

В волноводе находится упругий объект Е, внутренняя часть которого - шар радиуса с центром Ох, лежащим на оси Q1Q2 и смещенным от точки О на расстояние . Предполагается, что шар может быть как абсолютно жестким (неподвижным), так и заполненным однородным упругим материалом с известными физическими характеристиками: плотностью модулем Юнга Е-1 и коэффициентом Пуассона

На поверхность шара нанесен радиально-неоднородный изотропный упругий слой толщины к. Материал слоя характеризуется коэффициентом Пуассона уг, а также плотностью р2 и модулем Юнга Е2, которые являются непрерывно дифференцируемыми функциями расстояния г2 от центра шара

Р2(Г2) = Рг'[1 +а- Е2(Г2) = Е1-[1 + Ъ-

где а и Ъ - константные коэффициенты; w(r2) =

h

Из акустического пространства волновода на тело падает сферическая монохроматическая звуковая волна, излучаемая точечным источником, расположенным на оси Q1Q2. Полагается, что потенциал смещений частиц жидкости в ней имеет вид

е1(к0г5-<а1)

Щ =

(1)

где к0 - волновое число падающей волны (к0 = —); ш - круговая частота; £ - время; г5 = 1г — г5 | -

С0 10 1

расстояние от источника до текущей точки (г - радиус-вектор точки пространства, г5 - центр источника).

В результате взаимодействия с препятствием волна искажается и образуется рассеянная волна, в которой потенциал смещений частиц жидкой среды обозначим через %.

Требуется определить величины а и Ъ из интервалов [а1, а2] и [Ъ1,Ъ2], обеспечивающие минимальное (максимальное) среднее давление в рассеянном поле в области наблюдения V. V представляет собой плоский диск, размещенный в нормальном сечении волновода, радиуса И2 с центром 02, смещенным от точки О на расстояние й2.

Поставленная задача является нелинейной задачей оптимизации и формально ее можно записать в следующем виде

^ EXTR, (2)

ЫеУ) ^е[а1,а2]х[Ь1,Ь2]

где N - произвольная точка трехмерного пространства; % = (а, Ъ) - некоторый набор значений параметров неоднородности.

Геометрическая схема задачи представлена на рис. 1.

Рис. 1. Геометрия задачи

Выбор и анализ моделей движения сред

Введем глобальную ортогональную декартову систему координат Охуг так, чтобы направление оси Ох совпадало с направлением вектора Q1Q2. Схожим образом введем локальные системы координат

г

О1Х1 и 02х2у2г2. Тогда уравнения а) боковой поверхности Г0 цилиндрического волновода, б) поверхности Г1 однородной части рассеивателя Е и в) границы Г0 диска V будут иметь следующие канонические формы

а)

xER, у2 + z2 = R2

б) х2 + у2 + z2 = д2,

Х2 = 0,

у2 + z2 = Щ

в) {,2^,2-32

Каждой точке М(Х1,У1,%1) внутренней поверхности Ц^ будет соответствовать точка внешней поверхности Г2 тела с локальными координатами

(х^у^г^ = (1 + -^) (х1,у1,г1). (3)

Введем параметр ц - расстояние от поверхности Ц^ внутренних точек неоднородного упругого слоя тела Т. Тогда любую точку (х[,у1) внутри внешнего слоя по аналогии с (3) можно представить в следующем виде (х',у',г1) = (1 (х1,у1,г1),

где 0<Ч< И.

Связь между глобальной Охуг и локальной О^х^у^г^ (/ = 1,2) системами координат определяется выражением

м5ь •

где й] - смещение точки от точки О.

Схематично, геометрия задачи после введения систем координат представлена на рис. 2. Упругое тело и дисковая область на нем представлены сечениями поверхностей Е и V координатными плоскостями систем координат 01 "У— %1 и О2X2у2^2 соответственно. На осях О1Х1, О1У1, 01X1 и О2У2, ^2^2 указаны точки А', А"; В', В"; С', С" и В, С с локальными координатами ^,0,0), (И1 + И,0,0); (0^,0), (0+ И,0); (0,0^), (0,0,И1 + К) и (0^2,0), (0,0,Я2).

Обозначим области, занимаемые различными средами так: П0 и П'0 - области цилиндрического

( х ЕЯ, ( х2 =0, волновода Т и диска V, занятые идеальной жидкостью (|у2 + < д2 и {у2 + ^ < д2); ^1 - область шара,

занятая однородной упругой средой (х2 + у2 + %2 < Я1); П2 - неоднородный слой упругого препятствия ((х1,у1,г1) = (1+■£-) (Х1,у1,г1), О^у^О Е Г1, 0<q< И).

Поскольку излучаемая точечным источником сферическая волна является гармонической, то в установившейся фазе колебаний рассматриваемые далее характеристики движения будут иметь зависимость от времени вида е- 1оЛ как и в падающей волне (см. 1). Поэтому, для удобства записи эту зависимость будем опускать.

В области П0 движение частиц идеальной жидкости определяется потенциалами смещений в падающей % и рассеянной % волнах. Смещение и0 и давление р0 в области П0 определяются через эти потенциалы так [5]

и0 = дгайО¥0), р0 = р0ш2Ч0, (4)

где = + % - потенциал смещений в суммарном акустическом поле в области П0. При этом потенциал % должен удовлетворять уравнению Гельмгольца [5]

ДЧХ + = 0 (5) и условиям излучения на бесконечности

= 0 6)' И™ [Й7 - 1коЧ)} = 0 6)' (6)

где г = |г|.

Предполагается, что движение частиц в однородной (в случае деформируемости) и неоднородной составляющих препятствия подчиняется законам линейной теории упругости [6]. Обозначим вектор смещений и тензор напряжений в области П1 через и1 и а1 соответственно. Тогда гармонические колебания частиц в однородной части тела Е описываются уравнениями движения

div(o1) = —р1ш2и1, (7) где div(a1) - первый инвариант ковариантной производной тензора напряжений Если же внутреннюю составляющую препятствия рассматривать как неподвижный абсолютно жесткий шар, то имеем и1 = 0.

Аналогично (7), в неоднородном слое препятствия уравнения движения будут иметь вид

div(a2) = -P2to2U2, (8) где и2 и а2— вектор смещений и тензор напряжений в ñ2.

Тензор напряжений выражается через компоненты вектора смещений посредством закона Гука, так что уравнения (7), (8) можно рассматривать как системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно компонент векторов смещений и1 ии2.

На поверхности Ц соединения неоднородной и однородной частей тела Е в зависимости от учета деформируемости последней должны выполняться условия

Ui L = и2,оЛ | = О2 , оЛ | = О2 (9.А)

1IP1 2 ЛПП\Pj 2ПП' 2пт v 7

или

U2ln = О, (9.Б)

где акп1 - компоненты скалярных произведений п • ак (к = 1,2, I = п,т); п - внешняя нормаль к Г^, т - индекс, определяющий два касательных к Ц^ направления. Случай а) соответствует варианту упругого шара, а б) - абсолютно жесткого.

На внешней поверхности тела - Г2 - поверхности соприкосновения жидкости и упругого материала должны быть непрерывными нормальная компонента вектора смещений и тензора напряжений

и1п1Т2 = и0п' °1пАГ2 = -Р0, °1пХ2 = 0, (10) где п - индекс, соответствующий проекции на нормаль (индекс на касательные) уже к поверхности Г2. Величины и0п и р0 в^1ражаются через потенциал 1¥0 в соответствии с (4).

Наконец, на границе области П0- Г0- боковых стенках волновода должно выполняться условие

и4о = 0- (П)

Описание алгоритма решения

Для решения задачи (2) идентификации параметров неоднородности внешнего упругого

покрытия шара, при которых среднее значение потенциала смещений в рассеянном поле сферической звуковой волны ^ в дисковой области наблюдения V достигает экстремального значения (обратной задачи дифракции), применим метод Хука - Дживса [7]. Этот метод был разработан в 1961 году, но до сих пор является весьма эффективным и оригинальным. Процесс состоит из последовательности шагов исследующего поиска вокруг опорного вектора, за которым в случае успеха следует поиск по образцу. Блок-схема алгоритма представлена на рис. 3.1.

Рис. 3.1. Блок-схема алгоритма Хука - Дживса

Для получения сведений о локальном поведении функции в окрестности некоторого опорного вектора %0riqin проводится исследующий поиск. Эти сведения будут использоваться для нахождения подходящего направления поиска по образцу, с помощью которого можно надеяться достичь большего убывания (возрастания) функции %(%). Блок-схема этой процедуры представлена на рис. 3.2.

Рис. 3.2. Блок-схема исследующего поиска

При поиске по образцу используется информация, полученная в процессе исследующего поиска, и минимизация (максимизация) функции 1¥5(^) завершается поиском в направлении, заданном образцом. Блок-схема этой процедуры представлена на рис. 3.3.

Процедура вычисления значения функции ^ (¡¡) в некотором векторе ^си5ют состоит из следующих шагов:

1) Численное решение прямой задачи дифракции (системы уравнений (5), (7), (8) с граничными условиями (9), (10), (11) и условиями излучения (6)) для параметров %сиБ^т, используя МКЭ. В итоге получаем значения потенциала 1¥Б в узлах КЭ сетки области П0 - .

2) Аналитическое вычисление 1¥5 по области П'0 через узловые значения ..

Рис. 3.3. Блок-схема поиска по образцу

Получение аналитической части решения

Для аналитического вычисления % по области П0, используя результат численного решения прямой задачи дифракции, осуществим следующее преобразование геометрической схемы задачи (2): введем квадратную область П0 (х2 = 0, —Я2 < у2,%2 < Д2) в нормальном сечении волновода Т так, что П0 окажется вписанной в П0. В итоге при формировании тетраэдральной конечно-элементной сетки в процессе решения задачи (5), (7), (8) области П0 и П0 = Ло\Л0 будут триангулированы. КЭ сетка совокупности областей Л0 и Л0 представлена на рис. 4.1.

Рис. 4.1. Схема разбиения П'0 и П0 на конечные элементы

До конца раздела условимся перенести обозначения с недискретизированных областей на дискретизированные, а для не триангулированной области наблюдения использовать обозначение V. Выражение для среднего значения функции %Б(г) в области V имеет вид

jp- =

s Sv

|/ij'vs(r)dni,+ /ij"nvvs(r)d[n0nv]| Sv

К (12)

где 5^ = иЩ - площадь V.

Согласно технологии МКЭ [8] в каждом из элементов Л0. и П0. областей П0 и П0 соответственно

( I = 1,1 и ]' = 1,], где I и у - количество элементов в областях П0, П0) потенциал смещений % будет представлен так

N?(r)

-

а

т,1

+<i ■ У2+ат,1 ■ ъ.

ат,1

ат,2

т,3

ат,1 <2 а2

ат,1 апг,2

т,3 ат,3

KJ =

'[атз]

\атЛ ■ =-

l 3AJ I' 2

,\ат2]

утл

Ут,2

Ут3

, (13)

т,и

Уг

т,11 т,12

т,Ь

Ут

2

2

т,11 _ т,12 £2 £2

утХг

■утХ1

т, 1

2

1

т, 2

2

т

и„ии

т, 3

0 0

2

к

где т и 5™: • - глобальный номер элемента в П0 и П0и его площадь; I - локальный номер узла в т

12 §

-м элементе; Мгт, ^ и (у!!1,1, г^1,1) - функция формы, значение потенциала % и пара координат (у2,г2) для I -го узла т -го элемента;

Подставляя выражение (13) в формулу (12), приведем ее к следующему виду

{— к3=1Ы=1(н7чт№

V =

Ts

Sv

rni

(14)

т¡.

H >k =

Jk

где К - количество отрезков ломаной границы Г0 области П0; т, и т^ - глобальные номера I -го элемента из П0 и ]' -го элемента из П0, смежного с к -м участком границы Г0 (Г0к).

Для вычисления Низ (14) осуществим биективное отображение области интегрирования П0. в область интегрирования 0, изображенную на рис. 4.2, путем введения следующего преобразования координат у2, 22

V

У2

'11 У2 0]\ i1^

[ёт] ) • ( ув

га /

Ы • (у<в

\zQ)

(15)

= (ахьэ™1'1 ахьэ™1'2 - ах1зт1 ах18т»ъ - ах1зт-1), где ах¿5 - обозначение оси для подстановки соответствующих координат.

Рис. 4.2. Образ области интегрирования Л'0. Используя тождество (15) и правило замены переменных в кратном интеграле, получим следующее

ЯШ1

Цт1 — I d(y2,Z2) I 1 \d(ye,ze)\

т ,

где

I S(y2,Z2) I

\d(ye,Z0)\

= [ёт^2 ■ [¿тХ - [ётХ ■ [ёт]2 - определитель матрицы Якоби отображения (У2,^2) ^ (Ув,2в).

т.!

Для вычисления к из (14) запишем выражение интеграла в полярных координатах (г, ф) (рис. 4.3), связанных с декартовыми (у2,г2):

mjk'lk,i mjylk,2 mjylk,i mjylk,2 mjylk,2 mjk'lk,i

где = ■

У 2

-У 2

mjk'lk,i mjk'lk,2 У 2 У 2

22 = пУ2 + № к -го участка границы Г0 (1к1 и 1к 2 - локальные номера узлов -го элемента с полярными координатами (И2,ф0к1) и (112,Фок^) соответственно); | отображения (у2,г2) ^ (г,ф).

- коэффициенты в уравнении

. узлов Ш]к -го элемента с полярными = - определитель матрицы Якоби

i

Z

- Z

Z

Z

2

2

2

2

Рис. 4.3 Введение полярных координат (г, ф)

т

Преобразуя (16), получим следующее значение интеграла #г к

т,

v

у 7

~ т / / ч

н,(Ф)

нГА (ф) = Уз

к

Ф

у 6

+ §4 -6*

Ф°к ,1 у

f \

°

Ф

vyk у

kk

+ У 2-§к

Ф

k

54

4Ф °

.8? ,

V ?ФУ

ук ук ук ук\ / Рк Р2 R 2 Р2

уЬу2'у3'у4/ ,R2

2 Рк

1 +

(Рк )'

ук

у6

У7

= 11

Рк),

к к к к у 1Ф 3Ф 4Ф ?Ф

бш ф,

R2 •

У 5

V1 у

/

6

Л'

1 2 3

3а , а , 2а ,

V тк'1 тк,1 тк,1 у

соб

( 2ф)

sin (2ф)

р2

У Г

Ф

кк ' у 4 А

Ф

, ^ . ^ V АФ

где о - оператор поэлементного умножения матриц.

\Т

соб ф

<

1

Построение КЭ модели участка цилиндрического волновода

Численное решение прямой задачи дифракции с использованием МКЭ основано на подходе [9, 10], подразумевающим искусственное ограничение бесконечной области цилиндрического волновода с помощью условия, моделирующего излучающие границы. Это условие позволяет моделировать излучение вводимой границей области П0 сферической волны в окружающую среду. Участки границы с таким условием характеризуются минимальным, направленным внутрь области волновода Т, отражением звукового поля %0. Граничное условие, имитирующее излучающую границу, имеет вид

an

+ = 0,(17)

V 0 rj s 2(1+ikors) 'V '

где п - внешняя нормаль к границе; Лц - оператор Лапласа в касательной плоскости для текущей точки границы.

Усечем бесконечную область П0, вводя в рассмотрение две торцевые излучающие границы Г0, расположенные перпендикулярно оси цилиндрического волновода Q1Q2 на расстояниях ОТ± и ОТ2 от начала системы координат Охуг, так, чтобы внутри поверхности Г0 = Г0 и Г0 оказалось препятствие Е и источник звуковых колебаний. При этом минимальное расстояние от упругого тела до границ Г0 усеченной области жидкости П_0 должно иметь порядок характерного размера упругого тела И = И1+ к.

Геометрическая схема задачи (5), (7), (8), модифицированная добавлением излучающих границ, представлена на рис. 5.1.

Рис. 5.1. Добавление излучающих границ Г0

В скорректированной постановке прямой задачи дифракции условия излучения (6) заменяются граничным условием (17).

Произведем дискретизацию совокупности областей жидкой и упругих сред П = П0 и П1 и П2 посредством разбиения их на конечные элементы в форме тетраэдров. Иллюстрация этой процедуры представлена на рис. 5.2.

Рис. 5.2. Схема разбиения П на конечные элементы

Все неизвестные функции в П представляются в виде линейных комбинаций функций формы узлов [11]. В частности для потенциала % можно записать

ч5(Г) = 1!1=1Щ(ГЖ1 , (18)

где - узловые значения потенциала в области П; М((г) - функции формы конечно-элементной

модели; Ь - количество узлов. Будем считать, что множество значений I = 1,1 охватывает узлы всей КЭ-сетки области П, а в узлах, не относящихся к П0, положим = 0.

В форме, аналогичной (18), выразим и смещение в упругом препятствии (в областях П1 и П2)

и(г) = Я^^иь

где и - узловые значения вектора смещений в упругом препятствии. Здесь и рассматривается как общее обозначение для смещений и1 и и2.

В результате граничные условия (9), (10), (11) и (17) будут содержать в качестве неизвестных только узловые значения функций %, и1 и и2 из ограниченной области П. После этого можно решать краевую задачу для уравнений (5), (7), (8) с указанными граничными условиями стандартной технологией МКЭ [11]. В результате решения находим все узловые значения неизвестных функций , и¡.

Проведение численного моделирования

Представленная модель решения задачи была использована для численных исследований определения параметров неоднородности %ех1г, при которых % в области V достигает экстремального значения, в математическом пакете МЛТЬЛБ Я2018Ь [12].

Предполагалось, что цилиндрический волновод Т имеет радиус И0 = (4) м, а излучающие границы Г0 расположены на расстояниях ОТ1 = ОТ2 = (17) м от его центра О. В качестве идеальной среды, заполняющей область П0, использовалась жидкость с плотностью ро = 1000кг и скоростью звука

2 о /

кг

М3

сп = 1485 м.

с

Подразумевалось, что область наблюдения V имеет радиус Я2 = (1) м, а ее центр О2 смещен от центра

системы координат Оху2 на вектор й2, имеющий координаты й2 = (— (1), 0,0^ м или й = (8,0,0^м.

Рассматривалось упругое препятствие Е, имеющее следующие фиксированные геометрические характеристики: И1 = 0,5м, й = (1) м, смещение й1 = ((7) ,0,0)м центра О1 от точки О. Для

деформируемого шара плотность и модули упругости в области П1 задавались так: р1 = 1760-^, Е1 = 2,9

109Па и v1 = —.

1 200

Величины а и b принимали значения из интервала [— (3) '3]'

Частота падающей волны выбиралась такой, что k0R = 4,4, а радиус-вектор центра волнового источника rSo имел глобальные декартовы координаты (Ц), 0,0| м.

Параметры запуска алгоритма Хука - Дживса предполагались следующими:

f _ 3 _ 1 _ 13

Г = 32'S = 1000 'Л =~8' У v = 2.

Визуализации исполнения алгоритма решения представлены на рис. 6.1, 6.2.

а) Обеспечение минимальности lVS

б) Обеспечение максимальности Рис. 6.1. Визуализация итераций решения при упругом шаре и Л2 =

а _

а) Обеспечение минимальности Vs

0.7 0.6 0.5 ^0.4 0.3 0.2 0.1 0

- X

- X

- х

х" х'

О 0.2 0.4 0.6

а _

б) Обеспечение максимальности 1¥8 Рис. 6.2. Визуализация итераций решения при абсолютно жестком шаре и й2 =

На рис. 6.1, 6.2 крестовыми маркерами отмечены экстремальные параметры неоднородности (аийг7-> ^ийгу) внешнего упругого покрытия шара, полученные на промежуточных итерациях алгоритма

Хука - Дживса. По мере приближения к окончанию решения обратной задачи дифракции сферической звуковой волны (2) маркеры пропорционально увеличиваются в размерах.

Также построены дискретные зависимости промежуточного экстремального значения ^ в области V - ^ех*(/) от номера ] итерации алгоритма Хука - Дживса (рис. 7.1, 7.2).

Solution iteration

а) Обеспечение минимальности среднего давления

Solution iteration

б) Обеспечение максимальности среднего давления

Рис. 7.1. Зависимости Vsextr(j) при упругом шаре и d2 = d\

5 6 7 8

Solution iteration

а) Обеспечение минимальности среднего давления

2 3 4

Solution iteration

б) Обеспечение максимальности среднего давления Рис. 7.2. Зависимости V,?xtr(j) при абсолютно жестком шаре и d2

d2

Рис. 6.1, 6.2, 7.1, 7.2 наглядно демонстрируют, как учет деформируемости шара, а также положение области наблюдения V влияют на скорость и характер сходимости алгоритма Хука - Дживса.

Стоит отметить, что во всех случаях проведения численного моделирования точка с координатами (aextr, bextr) находится вблизи границы квадратной области [а1,а2] х [Ъ1,Ъ2]. Было установлено, что положение точки (аехХг,ЪехХг) по отношению к этой границе варьируется в зависимости от значений механических характеристик материала шара.

Заключение

Анализ результатов показывает, что предложенный алгоритм решения может быть использован для идентификации экстремальных параметров неоднородности (aextr, ЪехХг) упругого препятствия Е с удовлетворительной точностью.

Необходимо подчеркнуть, что для повышения эффективности работы алгоритма Хука - Дживса следует особое внимание уделить подбору параметров запуска S, ], v. В процессе численного решения задачи (2) существенное влияние на точность определения конечного экстремального набора величин (aextr, Ъех1г) оказывало изменение шага ( по параметру неоднородности и его делителя

Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).

Список литературы

1. Скобельцын С.А. Минимизация рассеяния звука сфероидом вблизи идеальной поверхности выбором параметров внешнего слоя // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 421 - 437.

2. Толоконников Л.А. Математическое моделирование неоднородного покрытия упругого шара со сферической полостью и оптимальными звукоотражающими свойствами // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 3. С. 137 - 153.

3. Толоконников Л.А. Определение законов неоднородности покрытия упругого цилиндра с цилиндрической полостью, обеспечивающих минимальное звукоотражение // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2017. Вып. 4. С. 67 - 81.

4. Толоконников Л.А., Ларин Н.В. Математическое моделирование неоднородного покрытия упругого цилиндра, находящегося в плоском волноводе // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2018. Вып. 9. С. 315 - 323.

5. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.

6. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.

7. Хук Р., Дживс Т.А. Прямой поиск решения для числовых и статических проблем. 1961. 212 - 219 с.

8. Сегерлинд Л.Дж. Применение метода конечных элементов. М.: Мир, 1979. 392 с.

9. Скобельцын С.А. Решение задач акустики с использованием метода конечных элементов: монография. Тула: ТулГУ, 2018. 224 с.

10. Acoustics Module User's Guide. Stockholm: COMSOL AB, 2018. 698 p.

11. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer Publishing Company Inc., 2013. 226 p.

12. MATLAB Programming Fundamentals. MA.: The MathWorks, Inc., 2018. 1418 p.

References

1. Skobel'tsyn S.A. Minimizing the scattering of sound by a spheroid near an ideal surface by selecting parameters of the outer layer. Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie nauki. 2018. No. 9, pp. 421 - 437.

2. Tolokonnikov L.A. Mathematical modelling of the inhomogeneous covering of an elastic sphere with the spherical cavity and optimum sound reflexion. Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie nauki. 2017. No. 3, pp. 137 - 153.

3. Tolokonnikov L.A. Determination of the inhomogeneity laws for an covering of an elastic cylinder with cylindrical cavity, providing minimum sound reflexion. Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie nauki. 2017. No. 4, pp. 67 - 81.

4. Tolokonnikov L.A., Larin N.V. Mathematical modelling of an inhomogeneous coating of an elastic cylinder in a plane waveguide. Izvestiya Tul'skogo gosudarstvennogo universiteta. Tekhnicheskie nauki. 2018. No. 9, pp. 315 - 323.

5. Isakovich M.A. Obshchaya akustika. M.: Nauka, 1973. 496 P.

6. Novackij V. Teoriya uprugosti. M.: Mir, 1975. 872 P.

7. Hooke R., Jeeves T.A. ''Direct search'' solution of numerical and statistical problems. 1961. 212 - 219 P.

8. Segerlind L.J. Applied finite element analysis. М.: Mir, 1979. 392 P.

9. Skobel'tsyn S.A. Solving of acoustic problems by means finite element analysis: monography. Tula: TSU, 2018. 224 P.

10. Acoustics Module User's Guide. Stockholm: COMSOL AB, 2018. 698 p.

11. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer Publishing Company Inc., 2013. 226 p.

12. MATLAB Programming Fundamentals. MA.: The MathWorks, Inc., 2018. 1418 p.

ВЫЧИСЛЕНИЕ ЗАВИСИМОСТИ КОМПЛЕКСНОГО РАДИУСА И ДВУХ УГЛОВ ОТ ВРЕМЕНИ

В АТОМЕ ВОДОРОДА.

Якубовский Евгений Георгиевич,

пенсионер

COMPUTING THE COMPLEX RADIUS DEPENDENCY AND THE TWO ANGLES VERSUS TIME

IN THE HYDROGEN ATOM

Yakubovsky Evgeny Georgievich,

pensioner

Аннотация. Используя определение скорости частиц вакуума или линии тока из уравнения Шредингера удалось определить зависимость радиуса и двух углов от времени. Получилось в общем случае несколько комплексных значений радиуса и двух углов в зависимости от времени. Но используя непрерывные координаты удалось определить изменение комплексных радиуса и двух углов для атома водорода. Полученные полная кинетическая энергия атома отличается от его собственной электрической энергии, которая обеспечивает излучение атома.

Abstarct. Using the definition of the velocity of vacuum particles or streamlines from the Schrodinger equation, it was possible to determine the dependence of the radius and two angles on time. In the general case, several complex values of the radius and two angles were obtained as a function of time. But using continuous coordinates, it was possible to determine the change in the complex radius and two angles for the hydrogen atom. The resulting total kinetic energy of the atom differs from its own electrical energy, which provides the radiation of the atom.

Ключевые слова: описание атома водорода, детерминизм, зависимость радиуса и двух углов от времени

Key words: description of the hydrogen atom, determinism, dependence of the radius and two angles on time

Сингулярностей скорости или линий тока в виде мнимых дельта функций, описывающих вращение или колебание, у скорости электронов гораздо больше, чем количество электронов. Количество точек пересечения радиальных и азимутальных сингулярностей равно =х (lk + 1 )пгк > Z. Если радиальное квантовое число равно нулю, то образуется радиальная сингулярность, описывающая окружности под постоянным азимутальным углом, а не точечная. Если азимутальное квантовое число равно нулю, то образуется сферическая сингулярность с постоянным радиусом. В случае основного состояния электронов в атоме, образуется полная симметрия расположения электронов в шаре и сингулярностей нет, среда однородная.

Электрон последовательно проходит все свои мнимые сингулярности, и при измерении выбирается одно из положений электрона, что сделать очень трудно, необходимо малая постоянная времени у измерителя, много меньшая чем отношение радиуса Бора к скорости света в вакууме. По-видимому,