CC BY
18
Soloviev Vladimir Alexandrovitch, doctor of technical sciences, professor, v. soloviev@bk. ru, Russia, Penza, Penza branch of Military academy of material support,
Jaroshuk Stepan Stepanovich, employee, v. soloviev@bk. ru, Russia, Moscow, General Missile and Artillery Department,
Fedotov Alexey Vladimirovich, candidate of technical sciences, docent, department chair, v. soloviev@,bk. ru, Russia, Penza, Penza branch of Military academy of material support,
Konokhov Victor Evgenyevich, cadet, v. soloviev@bk. ru, Russia, Penza, Penza branch of Military academy of material support
УДК 593.3
ВЛИЯНИЕ НЕОДНОРОДНОСТИ ПОКРЫТИЯ НА РАССЕЯНИЕ
ЗВУКА ШАРОМ В ЦИЛИНДРИЧЕСКОМ ВОЛНОВОДЕ
С.А. Скобельцын, Н.Ю. Пешков
Представлены решения задачи дифракции плоской и сферической звуковых волн на упругом однородном шаре, на поверхность которого нанесено слоисто-неоднородное покрытие. Шар находится в цилиндрическом волноводе бесконечной длины, заполненном идеальной жидкостью. Боковые стенки волновода являются акустически мягкими, абсолютно жесткими или импедансными. Решение проводится на основе линейной теории упругости и модели распространения малых возмущений в идеальной жидкости с помощью метода конечных элементов. Приведены результаты расчета давления в рассеянном звуковом поле.
Ключевые слова: упругий шар, неоднородный упругий слой, цилиндрический волновод, рассеянное поле, потенциал смещений, импеданс, метод конечных элементов.
Исследование дифракции звуковых волн на упругих сфероидальных телах представляет значительный интерес. Сфероидальной геометрией охватывается большое многообразие форм. Многие реальные объекты хорошо аппроксимируются телами упомянутой формы. Дифракция акустических волн на упругих однородных сфероидах изучалась в ряде работ, например, [1 - 6]. В [7] рассматривался упругий неоднородный сфероидальный рассеиватель.
Изменение характеристик рассеяния звука упругих тел можно осуществить с помощью покрытий в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя. Дифракция звуковых волн на цилиндрических, сферических и сфероидальных упругих однородных телах с непрерывно-неоднородными покрытиями, находящихся в безграничном пространстве, исследовалась в [8 - 14].
Широкие возможности для исследования задач дифракции дает использование метода конечных элементов [15 - 17], который уже много лет с успехом применяется в решении различных практических задач гидродинамики и теории упругости. В монографии [17] подробно изложены различные аспекты использования МКЭ при решении задач о рассеянии звука объектами различного типа: жесткими, мягкими, упругими.
В данной работе представлено решение задачи дифракции плоской и сферической акустических волн упругим шаром с неоднородным покрытием, находящимся в цилиндрическом волноводе бесконечной длины, заполненном идеальной жидкостью и имеющем акустически мягкие, абсолютно жесткие или импедансные стенки, с использованием метода конечных элементов.
Постановка задачи. Пусть внутри цилиндрического волновода бесконечной длины Т радиуса г0 с центром О и осью ТТ, заполненного идеальной жидкостью с плотностью р 0 и скоростью звука с0, находится упругий объект Е, внутренняя часть которого - однородный упругий шар радиуса г с центром О1. На поверхность шара нанесен неоднородный упругий слой толщины И . Считается заданным d - смещение точки О1 от точки О . Также известны физические характеристики (плотность, модуль Юнга, коэффициент Пуассона) для однородной части тела - Р1, Е1, V! и для внешнего слоя - р 2 (г), Е2 (г), V 2 (г), где г - радиус-вектор точки пространства. Боковые стенки волновода являются акустически идеальными или импедансными.
Из акустического пространства волновода на тело падает монохроматическая звуковая волна (плоская или сферическая). Полагается, что потенциал смещений частиц жидкости в ней имеет следующий вид:
а) плоская волна
= ¿(ко г), (1)
где к о - волновой вектор падающей волны (|к 0 = ко = —); ю - круговая
с0
частота; ? - время;
б) сферическая волна
Ак0^ )
^р =-, (2)
где гх =
г - %
расстояние от источника до текущей точки; г^0 - центр
источника.
Поскольку падающая волна является гармонической, то в установившейся фазе колебаний такие характеристики движения как потенциалы; векторы смещений, скорости; давления; компоненты тензоров напряжений
и деформаций будут иметь зависимость от времени вида е ш как и в падающей волне. Поэтому далее для функций, зависящих и от координат и
от времени, зависимость от времени е-гШ будем опускать.
В результате взаимодействия с препятствием и стенками волновода падающая волна искажается и образуется рассеянная волна, потенциал смещений ^ частиц жидкой среды которой требуется определить.
Геометрическая схема задачи представлена на рис. 1, а. Условно на нем показаны: однонаправленными стрелками - направление вектора к о плоской звуковой волны из (1); маркером-звездочкой - центр го сферического волнового источника из (2).
а
б
Рис. 1. Геометрическая схема задачи: а - геометрия задачи; б - введение систем координат
Введем ортогональную декартову систему координат Оху2 так, чтобы направление оси Ох совпадало с направлением вектора Т^. Также введем локальную систему координат О1Х1 у1 так, чтобы уравнение поверхности Г1 однородной части шара Е имело каноническую форму
2 + 2 + 2 2 Х1 + У1 + Zl = Г1 .
Каждой точке М(х1, У1, ) поверхности Г1 будет соответствовать точка поверхности внешней поверхности Г2 тела с локальными координа-
тами
(^ У2, %2)=(1 + Н / Г1)(хЬ У1 %).
(3)
Введем параметр д - расстояние от поверхности Г1 внутренних точек неоднородного упругого слоя тела Е. Тогда любую точку (х 2, у 2, % 2) внутри внешнего слоя по аналогии с (3) можно представить в следующем виде
^ У2, %2М1 + 4 / Г1 )(x1, Уl, %). (4)
177
где 0 £ q £ И .
Связь между глобальной Охуг и локальной О^у^ системами координат определяется выражением (х, у, г) = (Х1, у1, г{) + d.
Схематично геометрия задачи после введения систем координат представлена на рис. 1, б. Упругое тело на нем представлено сечениями поверхности Е координатными плоскостями системы координат О1Х1 у^.
На осях О1Х1, О1 у1, О^ указаны точки А , А ; В , В ; С , С с локальными координатами (гь0,0), (г + И,0,0); (0,гь0), (0,г + И,0); (0,0,г), (0,0, г1 + И).
Обозначим области, занимаемые различными средами так: &0 -область цилиндрического волновода, занятая идеальной жидкостью; -
2 2 2 2
область шара, занятая однородной упругой средой (Х1 + у1 + ¿1 £ г ); & 2 - неоднородный слой упругого препятствия
(^ У2, ¿2 )=(1+q / г1 )(xl, Уl, ¿1), (xl, уЪ ¿1 )еГъ 0 £ q £ И).
В области движение частиц идеальной жидкости определяется потенциалами смещений в падающей Тр и рассеянной волнах. Смещение и 0 и давление р0 в области & 0 определяются через эти потенциалы так [18]
и 0 = grad(Yо), Р0 = Р0Ю2 ^0, (5)
где ^0 = Тр + - потенциал смещений в суммарном акустическом поле
в области . При этом потенциал должен удовлетворять уравнению Гельмгольца [18]
ДТ, + к02 ^ = 0 (6)
и условиям излучения на бесконечности
Нш = О
Г
— , Нш
Г ) Г
V У
" "0
V
Эг
5 к Т.
о
V Г )
(7)
где г = г .
Предполагается, что движение частиц в препятствии подчиняется законам линейной теории упругости [19]. Обозначим вектор смещений и тензор напряжений в области шара и1 и 01 соответственно. Тогда гармонические колебания частиц в однородной части тела Е описываются уравнениями движения
Б1у(о1 ) = -р1Ю2и1, (8)
где Э1у(о1) - первый инвариант ковариантной производной тензора напряжений 01.
Аналогично в неоднородном слое препятствия уравнения движения будут иметь вид
Div(o2 ) = -p2W2u 2, (9)
где u 2 и о 2 - вектор смещений и тензор напряжений в W 2 •
Тензор напряжений выражается через компоненты вектора смещений посредством закона Гука, так что уравнения (8), (9) можно рассматривать как системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно компонент векторов смещений u и u 2 •
На поверхности Ц соединения внешнего неоднородного слоя и шара должны быть непрерывными смещения и тензор напряжений:
ul|ц = u2|ц, Gi =о2nn|Gl, 01щ|Г1 =S2ш|Г1 (Т = 1,2), (10) где оjnj - компоненты скалярных произведений n Oj (i = 1,2, j = n, t); n - внешняя нормаль к Ц; t - индекс, определяющий два касательных к Г направления.
На внешней поверхности тела Г2 - поверхности соприкосновения жидкости и упругого материала - должны быть непрерывными нормальная компонента вектора смещений и тензора напряжений
и1п Г2 = и0п Г2, 01пп Г2 =- р01Г2 , °1ИХГ2 = 0 (Т = 1,2), (11)
где п - индекс, соответствующий проекции на нормаль (индекс т на касательные) уже к поверхности Г2. Величины и0 и р0 выражаются через
потенциал ^ в соответствии с (5).
Наконец, на границе области & 0 - Г0 - боковых стенках волновода - в зависимости от их типа должны выполняться условия
а) р0|Г0 = 0, б) и0п г0 = 0 или в) р0 IГ0 = /ю2/и0п Г0 , (12)
где - входной акустический внешней области. Случай «а» соответствует варианту акустически мягких стенок волновода; «б» - абсолютно жестких стенок, а «в» - импедансных.
Таким образом, в математической постановке задача состоит в нахождении решений уравнений (6), (8) и (9), удовлетворяющих граничным условиям (10), (11), (12) и условиям излучения (7).
Решение задачи. Решение задачи будем проводить численно с использованием метода конечных элементов на основе подхода [20, 21], основанного на искусственном ограничении бесконечной области цилиндрического волновода с помощью условий, моделирующих излучающие границы. Эти условия позволяют моделировать излучение вводимой границей области волны соответствующего типа в окружающую среду. Участки границы с такими условиями характеризуются минимальным отражением плоских, цилиндрических и сферических волн соответственно. Следовательно, если поле, формируемое объектами внутри области имеет характер близкий типу излучающей границы, то его отражение, направленное внутрь области, оказывается минимальным. Граничное условие, имитирующее излучающую границу, имеет следующий вид:
179
а) плоская волна
—О + 1ко Ш, + — А||Ш, = О, (13)
Эп 2к0 11
где п - внешняя нормаль к границе; А ц - оператор Лапласа в касательной
плоскости для текущей точки границы; б) сферическая волна
ЭШ(
Эп
0 +
1 ^
гк0 +--
г, А цШс
у
Ш 2(1 + ¡к о г,) 0' ( )
Усечем бесконечную область О0, вводя в рассмотрение две торце/У
вые излучающие границы Го, расположенные перпендикулярно оси цилиндрического волновода Т1Т2 на расстояниях OQl и OQ2 от начала системы координат Оху2 так, чтобы внутри поверхности Го = Го и Го оказались препятствие Е и источник звуковых колебаний.
__________/У
При этом минимальное расстояние от упругого тела до границ Го должно иметь порядок характерного размера упругого тела К = г + к.
Геометрическая схема задачи, модифицированная добавлением излучающих границ, представлена на рис. 2. В скорректированной постановке задачи условия излучения (7) заменяются одним из граничных условий
(13), (14).
Рис. 2. Геометрия задачи с учетом границ Го
Проведем дискретизацию совокупности областей жидкой и упругих сред О = О о и О1 и О2 путем разбиения их на конечные элементы в форме тетраэдров. Иллюстрация этой процедуры представлена на рис. 3.
Все неизвестные функции в 0 представляются в виде линейных комбинаций координатных функций узлов [17]. В частности, для потенциала Ш, можно записать
Ш, (г)= I у, /к (г), (15)
к=1 18о
где у ^ - узловые значения потенциала в области &; /к (г) - координатные функции конечно-элементной модели; К - количество узлов. Будем считать, что множество значений к = 1, К охватывает узлы всей конечно-элементной сетки области &, а в узлах, не относящихся к & 0, положим
Рис. 3. Схема разбиения & на конечные элементы
В форме, аналогичной (14), будем искать и смещение в упругом
К
препятствии (в областях и & 2) и (г )= X и к/к (г).
к=1
Здесь и рассматривается как общее обозначение для смещений и1 и и 2, введенных выше.
В результате граничные условия (10), (11), (12), и одно из (13) - (14) будут содержать в качестве неизвестных только узловые значения функций ^, и1 и и 2 из ограниченной области &. После этого можно решать краевую задачу для уравнений (6), (8), (9) с указанными граничными условиями стандартной технологией метода конечных элементов [17]. В результате решения находим все узловые значения неизвестных функций
у к, и к (к = 1К).
Численные исследования. Представленная модель решения задачи была использована для численных исследований определения рассеянного поля звуковой волны (плоской, цилиндрической или сферической) в математическом пакете МЛТЬЛБ [22].
При проведении численных исследований анализировались значения потенциала смещений в рассеянной звуковой волне ^ в ограниченном числе точек Р1,Р2,...,Р/, полученные в пакете конечно-элементного анализа СОМ8ОЬ МиШрИуБЮБ [23] V1 располагались в нормальном сечении волновода с центром Г. Рис. 4 иллюстрирует такую схему размещения точек расчета давления (потенциала ^).
В качестве функциональных зависимостей параметров упругой среды в неоднородном слое рассматривались две линейных зависимости
^1(к ) = о.5 + д / к, (к ) = 1.5 - д / к.
Зависимость параметров материала неоднородного слоя от координат представлялась в виде
р 2 (д ) = р1^(д X Е2 (д ) = ЕМч),
где w(q) - одна из функций ^(д), ^2 (д) или ^о (д)° 1 (последняя предполагает постоянство значения параметра во всем слое).
Предполагались следующие геометрические и физические характеристики цилиндрического волновода Т:
геометрические параметры: радиус го = 3 м; расстояния Ой = OQ2 = 4 м;
физические параметры области Оо: плотность ро = 1ооо кг/м3; скорость звука со = 1485 м/с.
Рассматривалось упругое препятствие Е, имеющее нижеперечисленные геометрические и физические параметры:
геометрические характеристики: радиус / = 1 м; толщина внешнего неоднородного слоя к = о,3 м;
физические характеристики области О1: плотность
р1 = 27оо кг/м3 ;
модуль Юнга Е1 = 6,9443 ^1о Па; коэффициент Пуассона у1 = 53/158.
Частота падающей волны выбиралась такой, что ко К = 3.
На рис. 5 - 9 представлены сеточные поверхности, иллюстрирующие распределение давления в рассеянной волне для случая, когда сечение измерения (точка ^) находится на расстоянии 3/1 от центра шара. На оси значений откладывается величина р, - нормированное значение давления.
-я -я
Рис. 5. Распределение давления р8 при центральном расположении источника и шара
На горизонтальных осях откладываются значения декартовых координат в сечении волновода.
На рис. 5 - 8 приведены расчеты для случая сферического источника звука при акустически мягких стенках волновода. Поверхности р8 имеют колебательную форму с максимумом на прямой, проходящей через источник и центр шара. Очевидно, колебания в форме р8 связаны с собственными колебаниями волновода.
-я -Я
Рис. 6. Распределение давления р8 при неоднородном покрытии шара
На рис. 5, 6 приведены результаты для случая центрального расположения источника и шара в волноводе. Форма поверхности р8 имеет выраженную центральную симметрию.
Неоднородность покрытия шара (рис. 6) приводит только к изменению абсолютных значений давления в рассеянном поле, а распределение относительной величины р8 меняется не больше чем на 5%.
Смещение источника (рис. 7) и шара (рис. 8) по оси х приводит к смещению в соответствующую сторону максимума в распределении давления р8 и нарушает центральную симметрию этого распределения.
-я -я
Рис. 9. Распределение давления р8 при абсолютно жестких стенках
В случае абсолютно жестких стенок (рис. 9) при центральном расположении источника и шара распределение р8 центрально симметрично. При этом количество колебаний в поверхности р8 такое же, что и в случае акустически мягких стенок. Изменяется только абсолютное значение давления и незначительно (на 5...7 %) отношение максимумов в отклонениях поверхности.
Заключение. Представленное решение показывает эффективность использования метода конечных элементов для решения задач о рассеянии звука при достаточно сложных конфигураций упругих рассеивающих объектов. Он позволяет представить решение неким однотипным алгоритмом, который сохраняет свою структуру при широком диапазоне изменения параметров задачи.
Полученные результаты показывают, что при рассмотренной частоте звука физические параметры задачи (тип боковых стенок волновода и функция неоднородности внешнего слоя упругого препятствия) оказывают заметное влияние на характер рассеянного поля. Следует ожидать, что повышение частоты падающей волны приведет к более выраженным изменениям в рассеянном поле звука.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
Список литературы
1. Flax L., Dragonette L., Varadan V.K., Varadan V.V. Analysis and computation of the acoustic scattering by an elastic prolate spheroid obtained from the T-matrix formulation // J. Acoust. Soc. Amer. 1982. V.71. № 5. P.1077 - 1082.
2. Клещев А. А. Трехмерные и двумерные (осесимметричные) характеристики упругих сфероидальных рассеивателей // Акуст. журн. 1986. Т. 32. Вып. 2. С. 268 - 271.
3. Hackman R.H., Sammelmann G.S., Williams K.L., Trivett D.H. A re-analysis of the acoustic scattering from elastic spheroids // J. Acoust. Soc. Amer. 1988. V. 83. № 4. P. 1255 - 1266.
4. Рождественский К.Н., Толоконников Л. А. О рассеянии звуковых волн на упругом сфероиде // Акуст. журн. 1990. Т. 36. Вып. 5. С. 927 - 930.
5. Толоконников Л. А. Дифракция звуковых волн на упругом сфероиде с малым эксцентриситетом в вязкой среде // Известия Тульского государственного университета. Сер. Математика. Механика. Информатика. 1997. Т. 3. Вып. 1. С. 152 - 157.
6. Клещев А. А. Резонансное рассеяние звука на упругих сфероидальных телах и оболочках // Акуст. журн. 2014. Т. 60. № 3. С. 253 - 261.
7. Толоконников Л. А., Лобанов А.В. Дифракция плоской звуковой волны на неоднородном упругом сфероиде // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2011. Вып. 2. С. 176 - 191.
8. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265 - 274.
9. Толоконников Л.А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С.202 - 208.
10. Иванов В.И., Скобельцын С.А. Влияние неоднородного покрытия на прохождение звука через упругую оболочку // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С.179 - 192.
11. Толоконников Л. А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика. 2014. Т. 78. Вып. 4. С. 519 - 526.
12. Толоконников Л.А., Родионова Г.А. Дифракция сферической звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 3. С. 131 - 137.
13. Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с неоднородным покрытием и произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2014. Вып. 2. С. 181 - 193.
14. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. О дифракции звука на упругом сфероиде с непрерывно-неоднородным покрытием // Современные проблемы математики, механики, информатики: матер. междунар. науч. конф. Тула: Изд-во ТулГУ, 2013. С. 457 - 464.
15. Harari I., Hughes T.J.R. Finite element method for the Helmholtz equation in an exterior domain: model problems // Comp. Methods Appl. Mech. Eng. 1991. V. 87. P. 59-96.
16. Gan H., Levin P. L., Ludwig R. Finite element formulation of acoustic scattering phenomena with absorbing boundary condition in the frequency domain // J. Acoust. Soc. Am. 1993. V. 94. № 3, Pt. 1, P. 1651-1662.
17. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer Publishing Company Inc., 2013. 226 p.
18. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
19. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
20. Скобельцын С.А. Решение задач акустики с использованием метода конечных элементов: монография. Тула: Изд-во ТулГУ, 2018. 224 с.
21. Acoustics Module User's Guide. Stockholm: COMSOL AB, 2018.
698 p.
22. MATLAB Programming Fundamentals. MA.: The MathWorks, Inc., 2018. 1418 p.
23. LiveLink for MATLAB User's Guide. Stockholm: COMSOL AB, 2018. 352 p.
Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, skhlaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Пешков Никита Юрьевич, аспирант, nikita.peshkoffayandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
EFFEC T OF COA TING INHOMO GENEITY ON SCA TTERING OF SO UND BY A BALL IN A CYLINDRICAL WAVEGUIDE
S.A. Skohel'tsyn, N.Y. Peshkov 186
The solution of the diffraction problem for the plane and spherical sound waves on a homogeneous elastic sphere, whose surface is covered by an inhomogeneous layer, is presented. The sphere is located in a cylindrical waveguide of infinite length filled with an ideal fluid. The waveguide's side walls are hard or impedance. The solution is realized at the base of the linear theory of elasticity and the model of propagation of the small vibrations in an ideal fluid using the finite element method. The results of calculation of the scattered sound field pressure.
Key words: elastic sphere, inhomogeneous elastic layer, cylindrical waveguide, scatteredfield, displacement potential, impedance, finite element method
Skobel'tsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, skblarambler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Peshkov Nikita Yurievich, postgraduate, nikita.peshkoffayandex. ru, Russia, Tula, Tula State University
УДК 53.043
АНАЛИЗ ПРОЦЕССОВ МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПОСТРОЕНИЯ ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫХ СХЕМ В ДИНАМИЧЕСКОМ ПРОГРАММИРОВАНИИ
Д. С. Кочергин
Проанализирован метод динамического программирования в общем случае для решения задач оптимизации процессов. Выделены основные достоинства метода динамического программирования при любом способе задания целевой функции, указаны достоинства его перед другими вычислительными методами. Определены условия для общей задачи оптимизации и построения математической модели.
Ключевые слова: динамическое программирование, критерий Ричарда Беллма-на, оптимизация, вычислительная схема, целевая функция.
В современном мире многое зависит от того, насколько эффективно работает то или иное предприятие, будь то промышленный или оборонный комплекс, либо, например, строительная фирма. Комплекс - это сложная система, состоящая из большого подмножества других систем, имеющая множество ответвлений, факторов производства, распределений, учитывающая влияние человеческого фактора. При расчете оптимального управления учесть всю сложность структуры и эффективность её реализации путем стандартных расчетов, не имея систематизации действий, невозможно.
Одной из важных задач управления является задача оптимального распределения ресурсов, решение которой необходимо любому производству. Поиск оптимального управления полезен как для мелких фирм, так и для крупных комплексов. Однако не всегда возможно аналитически представить решение сложной прикладной задачи управления. Во многих случаях оказывается весьма эффективным метод динамического программирования, который позволяет исследуемому объекту подстраиваться под окружающую среду и оптимально реагировать на изменение внутренних параметров того или иного предприятия в соответствии с принятым критерием оптимизации.
