CC BY
68
УДК 539.3
ДИФРАКЦИЯ ЗВУКА В ПОЛУПРОСТРАНСТВЕ НА КОНЕЧНОМ УПРУГОМ ЦИЛИНДРЕ С НЕОДНОРОДНЫМ ПОКРЫТИЕМ
С.А. Скобельцын, Н.Ю. Пешков
Представлено решение задачи дифракции плоской звуковой волны на конечном упругом цилиндре, на боковую поверхность которого нанесен слоисто-неоднородный слой. Цилиндр находится в полупространстве, заполненном идеальной жидкостью. Граница полупространства является акустически жесткой или акустически мягкой поверхностью. Решение проводится на основе линейной теории упругости и модели распространения малых возмущений в идеальной жидкости с помощью метода конечных элементов (МКЭ). Приведены результаты расчета диаграмм направленности рассеянного звукового поля в дальней зоне, которые показывают влияние геометрических и материальных параметров цилиндра на дифракцию звука.
Ключевые слова: рассеяние звуковых волн, полупространство, неоднородный упругий цилиндр, метод конечных элементов, диаграмма рассеяния.
Введение
Решение задачи дифракции звуковых волн на упругом теле существенно зависит от формы тела и свойств его материала. Полученное решение задачи дифракции может быть использовано для идентификации параметров упругого тела. Такие решения могут быть использованы при разработке методов исследования в ультразвуковой диагностике, дефектоскопии и гидроакустике.
Рассеяние звуковых волн на однородных упругих телах цилиндрической формы исследовалось в работах [1, 2]. Изменение характеристик рассеяния звука упругих тел можно осуществить с помощью покрытий в виде непрерывно-неоднородного упругого слоя. Дифракция звуковых волн на цилиндрических упругих однородных телах с непрерывно-неоднородными покрытиями рассматривалась в [3, 4].
Широкие возможности для исследования задач дифракции дает использование метода конечных элементов [5 - 7], который уже много лет с успехом применяется в решении различных практических задач гидродинамики и теории упругости. В монографии [7] подробно изложены различные аспекты использования МКЭ при решении задач о рассеянии звука объектами различного типа: жесткими, мягкими, упругими.
В данной работе представлено решение задачи об отражении плоской звуковой волны упругим цилиндром, боковая поверхность которого покрыта неоднородным слоем, с использованием метода конечных элементов. Предполагается, что цилиндр расположен вблизи плоской поверхности идеальной жидкости. Сама граница жидкости является жесткой или идеально мягкой. Такого рода задачи решались для однородных тел и тел,
158
имеющих другую форму, в работах [8, 9]. Здесь, как и в указанных исследованиях, используется метод замены границы полупространства на симметрично расположенную копию препятствия и решения задачи с двумя телами в неограниченной области.
Постановка задачи
Пусть у границы полупространства П, заполненного идеальной жидкостью с плотностью Ро и скоростью звука со, находится упругий объект С, внутренняя (основная) часть которого - упругий однородный цилиндр радиуса ^, имеющий высоту Н. На боковую поверхность ци-
и и и О /"1
линдра нанесен неоднородный упругий слой толщины о. Считается заданным Л - расстояние от центра цилиндра О до П. Также известны модули Юнга Е и коэффициенты Пуассона V для однородной части тела - Б\, V}, р1, и для внешнего слоя - Е(г), п(г), р(г), где г - радиус-вектор точки пространства. Граница полупространства является идеально жесткой или идеально мягкой. На тело набегает гармоническая плоская звуковая волна с потенциалом смещений
^о = ехр[/(ко • г — Ш)], (1)
где к о - волновой вектор падающей волны (|к о| = к о = ю/ со ); ю - круговая частота; 1 - время. Без ограничения общности полагается |^о| = 1. Поскольку падающая волна является гармонической, то в установившейся фазе колебаний такие характеристики движения как потенциалы; векторы смещений, скорости; давления; компоненты тензоров напряжений и деформаций будут иметь зависимость от времени вида ехр(—/Ш) как и в падающей волне. Поэтому далее для функций, зависящих и от координат и от времени, зависимость от времени ехр(—/Ш) будем опускать.
Рис. 1. Геометрия задачи
159
Геометрическая схема задачи представлена на рис. 1. Символом на нем условно показан потенциал смещений в рассеянной волне, который требует определения в задаче. Точка О на рисунке - проекция центра цилиндра на плоскость П.
Введем глобальную ортогональную декартову систему координат Охух так, чтобы плоскость П совпадала с координатной поверхностью
г = 0. Будем считать, что направление вектора к 0 в (1) задается углом 00
между осью Ох и к0, а также углом ф0 между осью Ох и проекцией к0
на плоскость П . Тогда в системе Охух волновой вектор можно записать в
виде к0 = Аф^т 0ocos ф0, sin 0osin ф0, cos 00).
Центр цилиндра О1 будет иметь координаты (0,0, й). Также введем локальную систему координат О1Х1 у1 ¿1 так, чтобы уравнение боковой поверхности Г1 однородной части рассеивателя имело каноническую форму
x2 + y2 = R2, - h £ z1 £ h (h = H/2).
(2)
Каждой точке М(х1, у1, ¿1) поверхности Г1 будет соответствовать точка внешней боковой поверхности тела Г с локальными координатами
х{ = (Я + И )cos ф1, у{ = (Я + И )sin ф1, - И £ И, (3)
где ф1 = аг§(х1 + у) - угол между проекцией радиус вектора точки М на плоскость Ох1 у1 и положительным направлением оси Ох .
Введем параметр q - расстояние от поверхности Г внутренних точек неоднородного упругого слоя тела С. Тогда любую точку (х{, у{, внутри этого слоя по аналогии с (3) можно представить в виде
х{ = (Я + q)cos ф1, у = (Я + q)sin ф1, - И £ £ И, (4)
где 0 £ q £ 5.
Ориентацию осей локальной системы координат О^ у^ по отношению к глобальной Охух будем задавать углами Эйлера а, Ь, у так, что координаты связаны выражением
(х y, г) =(хь У1, г{) • Ту • Та +(0,0, й),
где
T =
V
cos a - sin a 0
sin a cos a 0
0 0 1
Tb =
'1 0
V
T=
cos g sin g - sin g cos g 00
0 0 1
00 cos b sin b 0 - sin b cos b
матрицы поворота. Эти углы Эйлера будем трактовать как углы поворота цилиндра при задании его ориентации по отношению к поверхности П, точнее, - по отношению к системе Oxyz .
Схематично, геометрия задачи после введения системы координат представлена на рис. 2. Упругое тело на нем представлено сечениями поверхности Т координатными плоскостями системы координат 0\Х\у\2\.
На осях х\, у1, указаны точки хх, гу и И' с локальными координатами (Я + 5,0,0), (0, Я + 5,0) и (0,0, И).
О
Рис. 2. Введение системы координат
Обозначим области, занимаемые различными средами так: ^0 -область полупространства г > 0, занятая идеальной жидкостью; ^ - об-
2 2 2
ласть цилиндра, занятая однородной упругой средой (Х1 + у1 £ Я , - И £ £ И); - неоднородный слой упругого препятствия
(Я2 £ х2 + у? £ (Я + 5)2, - И £ £ И).
В области ^0 движение частиц идеальной жидкости определяется потенциалами смещений в падающей ^0 и рассеянной волнах. Смещение и0 и давление Р0 в области ^ определяются через эти потенциалы так [10]
и 0 = вгаё(^0 + ^), Р0 = Р0«2 №> + ^). (5)
При этом потенциал ^^ должен удовлетворять уравнению Гельмгольца [10]
А^ + ¿02 ^ = 0 (6)
и условиям излучения на бесконечности.
161
Предполагается, что движение частиц в препятствии подчиняется законам линейной теории упругости [11]. Обозначим вектор смещений и тензор напряжений в области однородного цилиндра ui и О/ соответственно. Тогда гармонические колебания частиц в однородной части тела C описываются уравнениями движения
div(oi ) = -piW2ub (7)
где div(oi) - первый инвариант ковариантной производной тензора напряжений о/.
Аналогично, в неоднородном слое препятствия уравнения движения будут иметь вид
div(o) = —pw2u, (8)
где u и о - вектор смещений и тензор напряжений в Wf.
Тензор напряжений выражается через компоненты вектора смещений посредством закона Гука, так что уравнения (7), (8) можно рассматривать как системы дифференциальных уравнений второго порядка относительно компонент векторов смещений ui и u .
На поверхности Gi соединения неоднородного слоя и однородного цилиндра должны быть непрерывными смещения и тензор напряжений:
uilGi = ulGi , sinnG = Onn|Gi , °int|Gi = Ont|Gi (x = 1,2), (9)
где оnt, Oint - компоненты скалярных произведений о-n, Oi • n (n -внешняя нормаль к Gi); t - индекс, определяющий два касательных к Gi направления.
" ' ''' ''' h i
На внешней поверхности тела - Gi =Gi U Gi (Г/ = Г/ U Г/, где
Г/ = R2 £ xf2 + y2 £ (R + h)2, zf =±h), if = (xf2 + y2 £ R2, zf =±h)) - поверхности соприкосновения жидкости и упругого материала должны быть непрерывными нормальная компонента вектора смещений и тензора напряжений:
un|rfUGf = u0n, °nn|rfUGf =— p0, Ontlr1UGf = 0;
(10)
u1n|Gfh = u0n , O1nn|Gfh =— p0, O1nt|Gfh = 0 (t = 1,2),
где n - индекс, соответствующий проекции на нормаль (индекс t на каса-
к
тельные) уже к поверхности Г/. Величины u0 и p0 выражаются через потенциалы Y и Y в соответствии с (4).
Наконец, на границе полупространства П в зависимости от ее типа должно выполнятся условие
а) u 0z\z=0 = 0 или б) p0Iz=0 = 0, (11)
162
где случай а) соответствует варианту жесткой поверхности П, а б) - абсолютно мягкой.
Таким образом, в математической постановке задача состоит в нахождении решений уравнений (6), (7) и (8), удовлетворяющих граничным условиям (9), (10), (11) и условиям излучения (7).
Решение задачи
Для решения задачи применим подход, использованный в [12] при решении задачи о рассеянии звука сфероидом в присутствии подстилающей поверхности. Исключим из рассмотрения границу полупространства П, расширив область Q0 до полного пространства, введя в рассмотрение второй рассеиватель C', являющийся зеркальным отражением цилиндра C относительно плоскости z = 0, и вторую падающую плоскую волну Y1, распространяющуюся в направлении волнового вектора k1 = k0 (sin 00 cos j>0, sin 00 sin j>0, - cos 00 ).
Рис. 3. Введение второго тела
Рис. 3 иллюстрирует это изменение постановки задачи. На нем О2 -центр тела Б' (глобальные координаты (0,0, - d)), О2^2У222 - локальная
система координат, в которой поверхность однородной части тела Б имеет вид аналогичный (2). Эту поверхность обозначим Г2, область второго
цилиндра - 02. Внешнюю поверхность цилиндра, определяемую соотно-
»
шениями аналогичными (3), обозначим Г^, а область неоднородного слоя ! » между Г2 и Г2 - О.
В случае абсолютно жесткой - а) или абсолютно мягкой - б) поверхности П потенциал смещений во второй падающей плоской волне должен быть равен [13]
а) 4*1 = ехр(/ к1 • г), б) Ч = - ехр(/ к1 • г). Тогда граничные условия (11) на плоскости г = 0 будут удовлетворены автоматически.
Таким образом, исходная задача сводится к задаче дифракции двух плоских волн на двух идентичных телах, находящихся в безграничном пространстве Оо, заполненном однородной идеальной жидкостью.
В силу линейной постановки задачи следует найти решение задачи дифракции каждой из двух плоских волн на двух цилиндрах, а затем полученные результаты просуммировать.
Рассмотрим корректировку математической постановки задачи о дифракции плоской звуковой волны 4о на двух упругих цилиндрах с неоднородными внешними слоями. Уравнения (7), (8) должны быть продублированы для областей О 2 и О2 соответственно. Обозначим векторы смещений и тензоры напряжений в областях О 2 и О2 через и 2, о 2 и и',
о'.
На поверхностях Г2, Г2 должны быть введены граничные условия, подобные (8), (9)
I ' I ' I '
и 2 1г2 = и , о2пп 1г2 = опп, °2ит|г2 = опт; (12)
/ 1
и
/ __/ __/ _ Л
1п 1г2 иг2 = и0п , опп 1г2 иг2 =-Ро, 0пт1г2 иГ = 0;
и2пГ = и0п, о2ппГ =-p0, о2птГ = 0 (т = 1,2),
(13)
Т 0п> 2пп 1Г2 2пХ|Г2'
где индексы п и т в (12) определяют нормаль и касательные к Г2, а в (13) 2.
В новой постановке условия (7) сохраняют свой вид, а условия (11) исключаются.
Заметим, что в общем случае зависимостей Е (г), у(г), р(г) для неоднородного слоя рассеивателя аналитическое решение поставленной задачи невозможно.
Будем решать сформулированную задачу численно с использованием метода конечных элементов на основе подхода, предложенного в работах [12, 14, 15].
В соответствии с этим подходом в области жидкости, прилегающей к телам С и С, выделим сферическую поверхность Г0 радиуса Л0 такого, чтобы внутри этой поверхности оказались оба препятствия и некоторая
I
область жидкости О0, содержащая упругие тела. При этом минимальное расстояние от упругих тел до поверхности Г0 должно иметь порядок характерного размера упругого тела.
Рис. 4. Геометрия задачи с учетом области О
Тогда совокупность областей жидкой и упругих сред
I I
О = О о и О и О и О 2 и О 2 можно рассматривать как некоторое неоднородное сферическое препятствие для падающей волны ¥о (см. рис. 4).
Решение уравнений движения во всей области такого неоднородного препятствия будем выполнять с помощью МКЭ. Для этого, к уравнени-
I I
ям вида (7), (8) для упругих областей О1, О1, О2 и О2 необходимо доба-
»
вить уравнения, описывающие колебания жидкости в Оо. Введем новую
I I
переменную - потенциал смещений в О о - ¥. Поскольку в О о находится та же жидкость, что и в целом Оо, то ¥ должен удовлетворять волновому уравнению вида (6)
Д¥ + £<?¥ = о. (14)
Немного изменится вид граничных условий (1о), (13) на поверхно-
" " Э¥ 2
стях Г1, Г2. В них необходимо заменить иоп и ро на-и рою ¥.
п Эп
»
На сферической внешней поверхности области Оо надо ввести
»
условия согласования параметров движения жидкости в Оо и во внешней среде Оо.
Эп
Го
Эп ' *1го =¥о+ ^, (15)
где п - орт, направленный по внешней нормали к границе Г0. Первое условие (15) выражает требование равенства нормальных смещений в частицах, расположенных по обе стороны от Г0, а второе - требование равенства давлений.
Разобьем все подобласти шара О на конечные элементы в форме тетраэдров. Иллюстрация этой процедуры представлена на рис. 5.
Рис. 5. Схема разбиения W на конечные элементы
Все неизвестные функции в W представляются в виде линейных комбинаций координатных функций узлов [7]. В частности для потенциала Y можно записать
Y(r )= I y kfk (r). (16)
к=1
В (16) yк - узловые значения потенциала в области W; fk (r) координатные функции конечно-элементной модели; K - количество узлов. Будем считать, что множество значений к = 1, K охватывает узлы всей КЭ-сетки
I
области W, а в узлах, не относящихся к Wq , положим yк ° 0.
Во внешней области содержащей жидкости потенциал смещений Ys в рассеянной волне будем искать в виде разложения по сферическим гармоникам с учетом условий излучения
¥ П
Y = I IAnmhn (коrP (cos 0)emj , (17)
n=0 m=-n
где hn (x) - сферическая функция Ханкеля первого рода порядка n;
Pm (cos ö) - присоединенный многочлен Лежандра степени n порядка m ; r, ö, j - координаты сферической системы координат, связанной с системой x, y, z; Anm - неизвестные коэффициенты, подлежащие определению из граничных условий.
Разложим также по сферическим гармоникам и потенциал смещений в падающей плоской волне [16]
¥ n
Yo = I I gnmJn (V )Pnm (cos ö)e'mj, (18)
n=0 m=—n
где gnm = ' (2n + l)(n), m)! Pm (cos öo )e—'mjo; j (x) - сферическая функ-(n + m)!
ция Бесселя первого рода порядка n.
Подставляя (16), (17), (18) во второе граничное условие (15) и, используя ортогональность сферических гармоник, получим выражения Anm через узловые значения yk на поверхности r = R
A = 1
Лnm
hn (ko R)
1 M
— gnmJn (k0 R ) + IV/ (fl, Ynm )
Nnm /=1
(19)
4p(n + m)! ,
где Nnm = 7-—- норма сферической гармоники
(2n + 1)(n — m)!
p
Ynm = Pnm (cos Ö)e'mj; (f, Ynm )= J
2p
<iö - скаляр-
| // (Л, 0, ф^т (0, ф)вт 0ф 0 _ ное произведение на поверхности Г0 координатной функции /к (Л, 0, ф) и сферической гармоники Упт (0, ф). В формуле (19) множество значений / = 1,М соответствует множеству узлов, расположенных на поверхности
Г0.
После подстановки коэффициентов (19) в формулу (17) получим зависимость потенциала смещений от узловых значений потенциала 4.
В форме, аналогичной (16), будем искать и смещение в упругой ча-
I I
сти препятствия (в областях О1, О1, О2 и 02)
и(г )= | и к/к (г). к=1
Здесь и рассматривается как общее обозначение для смещений и1, и, и2 и и , введенных выше.
В результате граничные условия (9), (10), (12), (13) и первое из (15) будут содержать в качестве неизвестных только узловые значения функций ¥, и1, и, и2 и и из ограниченной области О. После этого можно решать краевую задачу для уравнений (14), (7), (8) и уравнений, аналогичных уравнениям (7) и (8) для E , с указанными граничными условиями стандартной технологией МКЭ [7]. В результате решения находим все узловые значения неизвестных функций уk, иk (k = 1,K). Подставляя найденные значения у/ (/ = 1,M) в (19), найдем коэффициенты в разложении потенциала смещений в рассеянном поле (17).
Аналогично решим задачу о рассеянии второй падающей волны ¥1
I
и найдем коэффициенты Апт в разложении потенциала смещений в рассеянном поле, подобном (17). Тогда, потенциал смещений в рассеянном поле, полученном от действия двух волн, можно представить в виде
¥ П
Ys = I I КтК (Ч г )Гпт (9, ф), (20)
п=0 т=—п
I
где Впт = Апт + Апт .
Численные исследования
Используя асимптотическое поведение сферической функции Хан-келя при больших значениях аргумента, представим (г, 9, ф) при г ®¥ из (20) в виде
®¥» X /(2г )ехр(|*0Г )ф(9, ф),
где Я' = ^(Я + И) + (Н/2) - характерный размер исходного упругого препятствия; Ф(9, ф) - нормированная форм-функция рассеянного поля в дальней зоне, определяющая распределение амплитуды и фазы отраженной волны вдали от препятствия,
2 ¥ п
Ф(9, ф) =-г I I (— 0п+1 БптУпт (9, ф).
^ Я п=0 т=—п
При проведении численных исследований решения анализировалось распределение по углам 9 и ф амплитуды рассеянного поля, поэтому расчеты выполнялись для функции
F (9, ф)= 2
^ Я
¥ п
I I (— i )п+1 Впт^пт (9, ф)
п=0 т=—п
(21)
В качестве функциональных зависимостей переменных параметров упругой среды в неоднородном слое препятствия рассматривались две линейных зависимости, в которых функции зависят только от расстояния q от однородной части цилиндра (4)
Л(д) = 3/2 - д/к, /2 (я) = 12 + д/к .
Зависимость параметров материала неоднородного слоя от координат представлялась в виде
Е=Е1/(д), п=пь Р = Р1У(д),
где / (д) - одна из функций /1 (д), /2 (д) или /0 (д)° 1 (последняя предполагает постоянство значения параметра во всем слое).
Рассматривалось препятствие, однородная часть которого представляла собой цилиндр, геометрические характеристики которого подбирались для различных отношений Л / Н, к / Н, й / Н к высоте Н. Расстояние й устанавливалось таким, что й > Л +1.
Плотность и модули упругости в однородной части цилиндра заданы так: р1 = 2700 кг/м3, Е1 = 6.944 -1010 Па и = 53/158.
В качестве идеальной среды, заполняющей полупространство, использовалась жидкость с плотностью Р0 = 1000 кг/м и скоростью звука с0 = 1485 м/с.
Волновой вектор падающей плоской волны к 0 был ориентирован так, что 00 = 135° и ф0 = 0.
На рис. 6, 7 представлены диаграммы рассеяния для однородного цилиндра С\ (/(д) = /0), имеющего следующие геометрические характеристики: Н = 1 м, Л = 0.5 м, к = 0.25 м, й = 2 м . Частота падающей волны выбиралась такой, что к0 Л = 3.5.
Рис. 6. Диаграмма ^(0,0) для С\, углы Эйлера [0, 0, 0]
169
Ориентация цилиндра задавалась следующими углами Эйлера: [0, 0, 0], [45°, 45°, 0] (в порядке: а, Ь, 7). Схематично ориентация цилиндра иллюстрируется проекцией внешнего его слоя на плоскость диаграммы, изображенной в нижней части рисунка. На графиках в полуплоскости ф = —р величина 9 условно полагается отрицательной.
Сравнение диаграмм на рис. 6, 7 показывает существенное влияние ориентации цилиндра на рассеянное поле. При этом лепесток диаграммы направленный в сторону источника падающей волны практически не изменяется. А в других направлениях величина Б (9,0) изменяется с коэффициентом от 1.5 до 15.
На рис. 8 - 10 представлены диаграммы рассеяния для цилиндра С2 со следующими геометрическими параметрами: Н = Я = 0.75 м, 8 = 0.25 м, d = 2.25 м . Ориентация цилиндра задана углами Эйлера [90°, 90°, 0]. В этом случае падающая плоская волна распространяется по нормали к оси цилиндра. Предполагалось, что частота падающей волны такая, что ^ Я = 4.
Рис. 8 иллюстрирует случай рассеяния волны однородным цилиндром. На рис. 9 показан случай, когда покрытие цилиндра является неоднородным с законом / = /1^). В этом случае модуль Юнга и плотность имеют максимальное значение на внешней поверхности неоднородного слоя и в 3 раза меньшее на внутренней поверхности. Для случая, представленного на рис. 10 - / = /2^) - характер изменения по толщине внешнего слоя цилиндра для плотности и модуля Юнга - обратный.
170
Рис. 8. Диаграмма ^(0,0) для С2, /(д) = /0 (д)
Рис. 9. Диаграмма ^(0,0) для С2, /(д) = /1(д)
Как видно неоднородность, как и ориентация цилиндра С1 практически не изменяет коэффициент отражения при 0= -45°. А основные изменения наблюдаются в диапазонах -90° £ 0 £ -60°, -20° £ 0 £ 90°.
171
Однако влияние неоднородности менее значительно, чем ориентация цилиндра. Например, в наибольшем лепестке теневой области неоднородность типа /2(#) приводит к изменению (увеличению) коэффициента отражения при 9= 45° только 1.3 раза.
Заключение
Представленное решение показывает эффективность использования метода конечных элементов для решения задач о рассеянии звука при достаточно сложных конфигураций упругих рассеивающих объектов. Он позволяет представить решение неким однотипным алгоритмом, который сохраняет свою структуру при широком диапазоне изменения параметров задачи.
Проведенные вычисления показывают возможность его использования для анализа трехмерных задач дифракции звука даже без использования специализированных вычислительных средств.
Полученные результаты показывают, что при рассмотренных частотах звука геометрические характеристики задачи оказывают значительно большее влияние на характер рассеянного поля, чем неоднородность материала препятствия. Но при определенных сочетаниях зависимостей в изменении параметров в диаграмме рассеяния есть заметные изменения. Следует ожидать, что повышение частоты падающей волны приведет к более выраженным изменениям форм-функции рассеяния при смене зависимостей в неоднородном покрытии цилиндра.
Исследование выполнено за счет гранта Российского научного фонда (проект 18-11-00199).
Список литературы
1. Ларин Н.В. Рассеяние плоской звуковой волны однородным термоупругим сплошным цилиндром // Известия Тульского государственного университета. Технические науки. 2016. Вып. 7. Ч. 2. С. 191 - 202.
2. Лямшев Л.М. Рассеяние звука упругими цилиндрами // Акустический журнал. 1959. Т. 5. Вып. 1. С. 58 - 63.
3. Толоконников Л. А. Рассеяние наклонно падающей плоской звуковой волны упругим цилиндром с неоднородным покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 2. Ч. 2. С. 265 - 274.
4. Толоконников Л. А. Дифракция цилиндрических звуковых волн на цилиндре с неоднородным упругим покрытием // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2013. Вып. 3. С. 202 - 208.
5. Harari I., Hughes T.J.R. Finite element method for the Helmholtz equation in an exterior domain: model problems // Comp. Methods Appl. Mech. Eng. 1991. V. 87. P. 59-96.
6. Gan H., Levin P. L., Ludwig R. Finite element formulation of acoustic scattering phenomena with absorbing boundary condition in the frequency domain // J. Acoust. Soc. Am. 1993. V. 94. № 3, Pt. 1, P. 1651-1662.
7. Ihlenburg F. Finite element analysis of acoustic scattering. New York: Springer Publishing Company Inc., 2013. 226 p.
8. Иванов В.И., Скобельцын С. А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 132-145.
9. Толоконников Л.А, Логвинова А.Л. Дифракция плоской звуковой волны на двух неоднородных цилиндрах с жесткими включениями // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 1. С. 54-66.
10. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
11. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
12. Скобельцын С. А., Толоконников Л.А. Дифракция плоской звуковой волны на упругом сфероиде с неоднородным покрытием в присутствии подстилающей поверхности // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2015. Вып. 2. С. 64-75.
13. Клещев А. А. Рассеяние звука сфероидальными телами, находящимися у границы раздела сред // Акуст. журн. 1977. Т. 23, Вып. 3. С. 404410.
14. Скобельцын С.А. Подход к решению задач о рассеянии упругих волн с использованием МКЭ // Тезисы доклада международной научной конференции "Современные проблемы математики, механики, информатики" Тула: ТулГУ. 2004. С. 135-136.
15. Иванов В.И., Скобельцын С. А. Моделирование решений задач акустики с использованием МКЭ // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2008. Вып. 2. С. 132-145.
16. Скучик Е. Основы акустики. Т. 2. М.: Мир, 1976. 542 с.
Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доцент, skhlaramhler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет,
Пешков Никита Юрьевич, аспирант, nikita.peshkoffayandex. ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
SOUND DIFRACTION BY AN FINITE ELASTIC CYLINDER WITH INHOMOGENEOUS COA TING IN THE HALF-SPACE
S.A. Skohel'tsyn, N.Y. Peshkov
The solution of the diffraction problem for a plane sound wave on a finite elastic cylinder, the side surface of which has an inhomogeneous layer, is presented. The cylinder is in a half-space filled with an ideal fluid. The boundary of the half-space is an acoustically rigid or acoustically soft surface. The solution is hased on the linear theory of elasticity and the model of propagation of small vihrations in an ideal fluid using the finite element method (FEM). The results of the calculation of the directivity patterns of the scattered sound field in the far zone, which are shown the influence of the geometric and material properties of the cylinder on the diffraction of sound, are presented.
Key words: scattering of sound waves, half-space, inhomogeneous elastic cylinder, e finite element method, scattering pattern.
Skohel'tsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, docent, skhla ramhler. ru, Russia, Tula, Tula State University,
Peshkov Nikita Yurievich, postgraduate, nikita.peshkoffayandex. ru, Russia, Tula, Tula, Tula State University
