CC BY
23
УДК 539.3
ОПРЕДЕЛЕНИЕ ПАРАМЕТРОВ НЕОДНОРОДНОСТИ АНИЗОТРОПНОГО УПРУГОГО СЛОЯ ПО ПРОХОЖДЕНИЮ ЗВУКА
С.А. Скобельцын
Рассматривается задача определения вида зависимости плотности и модулей упругости трансверсально-изотропного неоднородного упругого слоя по коэффициенту прохождения плоской звуковой волны. Предполагается, что материальные параметры упругого слоя зависят только от расстояния от его поверхности. Исследуется случай, когда зависимости представляются полиномами третьей степени. Неизвестные коэффициенты в этих полиномиальных зависимостях ищутся путем решения задачи минимизации функции многих переменных. Минимизируемая функция представляет собой меру отклонения измеренного коэффициента прохождения звуковой волны и его значения, полученного в результате численного решения задачи.
Ключевые слова: отражение звука, гармоническая плоская волна, упругий слой, обратная задача.
Применение решений задач об отражении звука упругими телами на практике основано, главным образом, на том, что по характеру отраженного акустического поля можно судить о параметрах упругого объекта-препятствия.
Одной из наиболее простых моделей исследуемого упругого объекта является плоский упругий слой. Изучению отражения звука плоским упругим слоем посвящено много работ. Общая теория задач о прохождении звуковых волн через слоистую жидкость и упругий слой развита в монографиях [1 - 4]. В статьях [5 - 10] рассмотрены частные случаи отражения звуковых волн слоистыми средами. В частности, в работах [6 - 9] рассматривается отражение звука анизотропными упругими пластинами. При этом в статьях [8 - 10] рассматривается отражение звуковых волн неоднородным упругим слоем.
В данной работе рассматривается случай прохождения звука через трансверсально-изотропный неоднородный упругий слой. Предполагается, что материальные параметры упругого слоя зависят только от расстояния от его поверхности, т.е. имеет место слоистая неоднородность. Считается, что упругий слой погружен в идеальную жидкость. Требуется определить характер зависимости параметров упругого слоя по характеристикам прохождения через слой плоской звуковой волны. Геометрическая постановка задачи показана на рис. 1.
В общем случае полагается, что жидкости по обе стороны слоя могут быть разными, свойства сред и толщина пластины Н заданы, параметры падающей и отраженной волн известны (предполагается, что они являются плоскими монохромными).
246
Р2, С2
2А
о
Р(2), /ф)
О
И
х
Рь С\
Рис. 1. Геометрия задачи
На рис. 1 используются следующие обозначения: - нижнее полупространство, занятое идеальной жидкостью с плотностью и скоростью звука \ 0.2 - верхнее полупространство, также заполненное идеальной жидкостью с плотностью р2 и скоростью звука с2 > & ~ упругий трансверсально-изотропный неоднородный слой толщины Н, плотность которого р и модули упругости изменяются по толщине
слоя. Предполагается, что ось упругой симметрии анизотропии направлена по нормали к поверхностям слоя. На упругий слой из нижнего полупространства 0.1 падает плоская звуковая волна с частотой со, потенциалом скорости и направлением распространения, определяемым волновым
вектором к] ([к^! = = со/с! - волновое число падающей волны). Введена декартова система координат х, у, 1 так, что начало координат О расположено на границе О.^ и П, а ось г совпадает с осью упругой симметрии и направлена от к 0.2. Направление оси х выбрано так, чтобы вектор к^ находился в плоскости хОг. Через 6о обозначен угол между к^ и осью 2. Таким образом, введенная система координат и предположение о характе-
ре анизотропии и неоднородности слоя делают задачу двумерной, так что смещения частиц жидкости и упругой среды происходят в плоскости хОг, и все характеристики движения не зависят от координаты у. При этом материальные параметры упругой среды будут зависеть только от 2:
В результате отражения звука порождаются две плоские волны: отраженная в полупространстве 0.1 с потенциалом Ч^ и прошедшая (преломленная) - в полупространстве с потенциалом Ч^- Волновой вектор
прошедшей волны обозначен
волновое число).
Пунктирная прямая параллельная оси 2 на рисунке показывает, что проекции к2 и волнового вектора отраженной волны на ось х должны совпадать согласно закону Снеллиуса [11].
Зная характеристики прошедшей волны Т (например, на основе измерений), требуется оценить свойства зависимостей р(г), Ху(г). Понятно, что, не делая никаких предварительных предположений о характере этих зависимостей, в общем случае эту (обратную) задачу решить невозможно [12].
Предположим, что каждый из материальных параметров упругого слоя X представляется зависимостью вида
Х = Х0 -и/(г), (1)
&0 е
где X - среднее по толщине слоя значение параметра с,; а - нормировочный коэффициент; / (г) - полином 3-й степени
2 3
/(г) = ао + о^г + «2г + «32 . (2)
При этом
(Н у1
. (3)
а
| / ( г^г
V о
Заметим, функция вида (2) может быть задана ее значениями в 4 точках. Выберем в качестве таковых четыре равноотстоящих точки отрезка 0 < г < Н: г0 = 0, г1 = Н/3, г2 = 2Н/3, г3 = Н (гк = кН/3). Введем также ограничение на максимальное и минимальное значение /(г) в точках гк. Положим
/-< /(гк) < / +, (к = 0,1,2,3). (4)
Итак, будем считать, что зависимость (1) параметра X от координаты г задается 4 числами /к = / (гк) из отрезка [ /-,/+]. При этом коэффициенты ак в формуле (2) рассчитываются по интерполяционным формулам [13], а нормировочный коэффициент а - по формуле (3). На рис. 2 показаны кривые вида (2), построенные для (/к) = (0.5,1.4,1.4,0.5) (линия с пометкой (1)) и для (/к) = (1.0,1.0,0.5,1.5) (линия с пометкой (2)). На оси абсцисс указано относительное значение г' = г / Н .
Далее полагалось, что среднее значение Х0 и границы отрезка
[ /-, / + ] для каждого искомого параметра заданы. В качестве неизвестных выступают числа /к, (к = 0,1,2,3).
Неизвестные величины будем определять на основе постановки и решения прямой задачи об отражении плоской звуковой волны упругим слоем в рамках линейных моделей движения идеальной жидкости и анизотропной неоднородной упругой среды [11, 14].
Рис. 2. Примеры изменения материальных параметров
по толщине слоя
Положим, что потенциал скорости в падающей плоской звуковой волне имеет вид
х¥р=Л0ехр[1(кгг-Ш)1 где Ац - константа, задающая амплитуду и начальную фазу падающей волны; г - радиус-вектор; ? - время.
Отраженная от слоя звуковая волна определяется потенциалом скорости в ней х¥3, а прошедшая в волна - потенциалом Ч^- Тогда скорости движения частиц жидкости в и £>2 будут определяться выражениями [11]
У2^Ч>2, (5)
где =
При этом потенциалы и Ч^ должны удовлетворять волновым уравнениям
5 "с,2 Э,2 • 2_С22 Э,2 ' (6)
249
Колебания упругой среды слоя описываются уравнениями движения [14]
Эо ^ Эо
Эх
+
xz
Эz
Р
Э 2u
x
Эо ^ Эо
Э t2
Эх
+
zz
Эz
Р
Э 2и.
Э t2
(7)
где о у - компоненты тензора напряжений; их, и2 - проекции на оси координат вектора смещений и.
При этом обобщенный закон Гука для случая трансверсально изотропного упругого материала с осью симметрии, направленной по оси 2, имеет вид [14]
' о хх Л ' ^11 ^12 ^13 0 0 0 1 (e ^ схх
о yy 112 ^11 ^13 0 0 0 e yy
о zz ^13 ^13 ^33 0 0 0 e czz
о yz 0 0 0 2144 0 0 e yz
о xz 0 0 0 0 21,44 0 e xz
Ко хУ ) V 0 0 0 0 0 ^11 -112 у 1e хУ )
(8)
где £jj - компоненты тензора малых деформаций. Заметим, в силу симметрии рассматриваемой задачи и независимости от координаты y, компоненты eyy, eyz и exy равны нулю.
Тензор модулей упругости содержит 5 независимых параметров 111, I12, 1i3, I33, 144. Как показано в [6, 7], в рассматриваемом случае модуль I12 не входит в выражения, определяющие отраженную и преломленную волны. Поэтому, наблюдая только процесс отражения звука, модуль I12 определить нельзя. Таким образом, в качестве 5 искомых неизвестных выступают плотность р и модули упругости 1ц, I13, I33, 144. Соответствующие им переменные fk, определяющие зависимости вида (1), (2), будем обозначать , где l = 0 соответствует набору переменных fk для плотности р; l = 1,2,3,4 - для модулей упругости 1ц, I13, I33, I44 соответственно.
В силу закона Снеллиуса [11], требующего, чтобы в установившемся состоянии скорость распространения волновых процессов вдоль поверхности взаимодействия была одинаковой, следует потребовать, чтобы зависимость потенциалов всех волн от координаты x (вдоль поверхности взаимодействия) и от времени была такой же, что и в падающей волне - exp[i(Xx -wt)], где Х = ^sin 0о - проекция волнового вектора k1 на ось х . При этом общая фазовая скорость c распространения волн вдоль оси x (поверхностей упругого слоя) будет определяться выражением c = Xw.
Граничные условия на поверхностях г — 0, г = Н (на границах сопряжения идеальной жидкости и упругого материала) состоят в требованиях равенства нормальных составляющих смещения (скорости), равенства нормальных напряжений и отсутствия касательных напряжений
z = 0: Экг/Э* = К1г, <512 =-р\, оХ1 = 0;
1-Н\ ди-/дГ = У22, о-- =~Р2, атг =0;
г/ г/ ™ ЭЧ/1 дЧ/2
где Т^-, - компоненты векторов (5); р1=-р1—-, р2 = -р2—— -
дt
давление звука в жидкостях £>1? С12. Решая уравнения (6), получим
где -^к\ -, = ^к2 -- проекции волновых векторов к], к2
на ось г; А9 В — коэффициенты отражения и преломления, которые должны определяться граничными условиями (9).
Представим компоненты смещения и тензора напряжений в упругом слое в форме
их = щ {г) ехр[/(^х - со?)], и- = и3 (2) ехр[¡(Ьрс - со?)],
оХ2 =а1(7)ехр[/(^х-соО]? =
Подставляя эти представления в уравнения движения (7) и закон Гука (8), получим следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций и3(2), а^), 03(2)
и' = Си + £>Р, Р' = МТ + Л>, (10)
Т т
где и = (щ, г/3) , Р = (О], 03) , штрих обозначает дифференцирование по
( о
2, С =
^ в = 0 ^ р = { 0 -^13/^33'
ч-г^13/Х33 0 ^ ^ 0 1/Х33у у ^ц-А^/^-рсо2 О ^
£ =
О -рсо2
Из граничных условий (9) можно получить выражения
А = А0 + со/к1гг/3(0), В = -а/к2: ехр(-гк2-Н)и3(Н), (11)
А также краевые условия для дифференциальных уравнений (10)
г&1-о3(0) - р1со2г/3(0) = 2р1со&1-4), а^О) = 0, 1к2^3(Н) - р2со2г/3(Я) = 0, ^(Я) = 0.
(12)
Таким образом, для определения коэффициентов А и В вначале требуется решение краевой задачи (10), (12). В общем случае ее решение выполняется численно [8].
Будем считать, что для нахождения параметров /¡к (I = 0,1,...,4), (к = 0,1,2,3), введенных выше и характеризующих зависимость материальных параметров упругого слоя от координаты 2, проводится серия N экспериментов по определению коэффициента прохождения плоской звуковой волны В для различных частот ю и углов падения 0о. Действительные значения параметров /¡к для материала исследуемого слоя обозначим * *
/к, а значения коэффициента прохождения - Вт (т = 1,2,...,М - номер
* *
эксперимента), Вт объединим в вектор В . В общем случае можно счи-
*
тать, что при проведении экспериментов по определению Вт возможна
погрешность п (она может быть связана с неточным заданием величин ю,
*
00 и, собственно, погрешностями измерения Вт).
Решая теоретически задачу об отражении звука упругим слоем в соответствии с (10) - (13) для тех же частот и углов падения при некотором наборе параметров /¡к, построим вектор В, составленный из расчетных значений коэффициента прохождения В (см. (11)). Для характеристики степени отличия действительного набора параметров /¡к и использованного при расчетах /¡к будем использовать функцию
*
2 N (
ф(/к) = В - В* = X (Вп - В* ). (13)
п=1
Очевидно, что в отсутствии погрешностей при проведении
*
экспериментов по определению Вт в том случае, когда при расчетах ис-
*
пользуются /¡к = /к, функция (13) должна обращаться в 0. Следовательно,
*
задачу поиска параметров неоднородности /¡к можно сформулировать как задачу
ф(/к)\ еП/ ® тш, (14)
где В/ определяет диапазон изменения параметров в соответствии с (4) и
некоторые дополнительные ограничения, например шаг изменения, при поиске.
Задача (14) является нелинейной задачей оптимизации функции многих переменных. Поскольку тип функциональной зависимости ф от ее параметров оценить не представляется возможным, то метод решения задачи (14) стоит выбирать, исходя из того, что характер зависимости ф( /¡к)
от ее параметров может быть достаточно общим.
252
Для анализа подхода к поиску параметров неоднородности упругого слоя на основе задачи (14) был построен алгоритм минимизации функции Ф(/1к) на основе комбинации методов случайного поиска и покоординатного спуска [15] и проведен ряд численных экспериментов.
Рассматривалась задача определения параметров неоднородности для упругого слоя со следующими средними значениями материальных
параметров в формуле (1)): р° = 2700кг/м3, Х°и =10.5-Ю10Н/м23
Х?3=5.3 1010Н/м2, А§з=10.5-Ю10Н/м2, ^4 = 2.6-Ю10Н/м2. Предполагается, что упругий слой помещен в идеальную жидкость с параметрами
Р1 =Р2 = Ю00кг/м3, с\ =С2 =1485м/с.
На рис. 3, 4 показывается, что изменение характера зависимости от 2 материального параметра упругого слоя заметно проявляется в величине коэффициента прохождения В при = 1. Графики построены для вели-
2
чины | В | при частоте со, соответствующей величине к\Н = 10, и показывают долю энергии звуковой волны, прошедшей из в -
Рис. 3. Энергия прошедшей волны при переменной плотности
По оси абсцисс откладывается величина угла падения . На каждом рисунке штриховой линией изображена зависимость для однородного слоя (//£ =1), а сплошной - для случая (//£) = 1,0; 0,5; 1,5) (см. линию (2)
253
на рис. 2). На рис. 3 показан случай 1 = 0, т.е. переменной является плотность а на рис. 4 - 1 = 1 - т.е. переменным параметром является модуль упругости I (2).
Рис. 4. Энергия прошедшей волны при переменном модуле упругости Хп
Поиск минимума функции (14) выполнялся путем просмотра N случайных начальных точек из множества Dj при /_ = 0.5, /+ =1.5 с последующим поиском минимума в окрестности полученной начальной точки путем покоординатного спуска при случайном порядке выбора очередной координаты для спуска. Шаг изменения параметра полагался равным 0,1.
Эксперименты показывают, что для нахождения переменных fa для одного материального параметра (при одном фиксированном /) достаточно использовать N от 300 до 500. При поиске fa для двух материальных параметров требуется N > 2000.
Был проведен анализ зависимости точности определения параметра
fa от ошибки измерения ц. Ошибка измерения Вт задавалась в виде двух рядов одинаково псевдослучайных нормально распределенных чисел
r\i и х\2, которые добавлялись к Вт в виде комплексного числа щ +7Т|2-Среднее значение r\j полагалось равным 0, а среднее квадратическое отклонение а выступало в качестве задаваемого параметра.
Машиностроение и машиноведение На рис. 5 демонстрируется механизм влияние величины о на точ-
j|C
ность определение параметра f - f\\ при искомом значении f\\ = 1. Нижняя штриховая линия показывает зависимость Ф(/ц) в случае отсутствия ошибок измерения (о = 0). Минимум этой кривой (и функции Ф) оказывается в точке t -1 (тонкий пунктирный отрезок). Сплошной тонкой линией изображена зависимость Ф(/) при а = 0,002. Минимальное значение Ф на этой кривой также приходится на t = 1, т.е. ошибки в определении параметра нет. Сплошной утолщенной линией представлена зависимость Ф(/) при а = 0,005. В этом случае минимум кривой обозначен утолщенным пунктирным отрезком. Таким образом, абсолютная ошибка определения (ц составляет около 0,03.
Рис. 5. Влияние ошибок измерения на определение параметра
Некоторые средние характеристики влияния ошибки измерения а при проведении 1000 наблюдений представлены в таблице.
Зависимость погрешности определения параметров от ошибок измерения
а /02 А А 2
5 е 5 е 5 е
0,01 0,0000 0,0000 0,0004 0,0049 0,0010 0,0052
0,05 0,0006 0,0124 0,0008 0,0208 0,0020 0,0187
0,10 0,0079 0,0238 0,0022 0,0397 0,0079 0,0379
В первой колонке таблицы указаны значения о ошибок измерения Bm, в колонках, сгруппированных по две, показаны выборочные значения погрешности определения отдельных параметров: /02 - в плотности упругого материала, /ц и /12 - в модуле упругости 1ц. В колонках, обозначенных 5, показано значение выборочного среднего погрешности - систематической ошибки, в колонках, обозначенных e, - среднее квадратиче-ское значение погрешности. Как видно, среднее квадратическое значение погрешности определения параметров почти линейно зависит от ошибки измерения о .
Таким образом, проведенные исследования показывают, что определение совокупности переменных /¡^, определяющих характер изменения материальных параметров упругого слоя, в количестве больше 4 требует большого объема вычислений. Кроме того, точность определения /¡^ существенно зависит от точности задания коэффициента преломления B .
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ (проект № 1641-710083) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014).
Список литературы
1. Лямшев Л.М. Отражение звука тонкими пластинами и оболочками в жидкости. М.: Изд-во АН СССР, 1955. 73 с.
2. Beranek L.L. The transmission and radiation of acoustic waves by solid structures, Noise Reduction. New York: McGraw-Hill, 1971. 346 p.
3. Бреховских Л.М. Волны в слоистых средах. М.: Наука, 1973.
344 с.
4. Бреховских Л.М., Годин О.А. Акустика слоистых сред. М.: Наука, 1989. 416 с.
5. Thomson W.T. Transmission of elastic waves through a stratified solid medium // Journal of Applied Physics. 1950. V. 21. P. 89 - 93.
6. Лонкевич М.П. Прохождение звука через слой трансверсально-изотропного материала конечной толщины // Акуст. ж. 1971. Т. 17. Вып. 1. С. 85 - 92.
7. Шендеров Е.Л. Прохождение звука через трансверсально-изотропную пластину // Акуст. ж. 1984. Т. 30. Вып. 1. С. 122 - 129.
8. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Прохождение звуковых волн через трансвесально-изотропный плоский слой // Акуст. ж. 1990. Т. 36. Вып. 5. С. 740 - 744.
9. Толоконников Л.А. Отражение и преломление плоской звуковой волны анизотропным неоднородным слоем // Прикладная механика и техническая физика. 1999. Т. 40. № 5. С. 179 - 184.
256
10. Ларин Н.В., Толоконников Л.А. Прохождение плоской звуковой волны через неоднородный термоупругий слой // Прикладная математика и механика. 2006. Т. 70. Вып. 4. С. 650-659.
11. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
12. Ватульян А.О. К теории обратных коэффициентных задач в линейной механике деформируемого тела // Прикладная математика и механика. 2010. Т. 74. Вып. 6. С. 911-918.
13. Корн Г., Корн T. Справочник по математике. М.: Наука, 1968.
720 с.
14. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
15. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1988. 549 с.
Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доц., skbl@rambler.ru, Россия, Тула, Тульский государственный университет
DETERMINING THE PARAMETERS OF ANISOROPIC ELASTIC LAYER ON THE SOUND TRANSMISSION
S.A. Skobeltsyn
The problem of determining the depending form of density and elastic modules transversely isotropic inhomogeneous elastic layer at a rate of passage plane sound wave is considered. It is assumed that the elastic layer material parameters depend only on the distance from the surface. We study the case when the dependence represented by polynomials of the third degree. The unknown coefficients in this dependencies are searched by solving the problem of minimizing a function of several variables. Function to be minimized is a gauge of the deviation of the measured transmission coefficient of a sound wave and the value obtained by numerical solution of the problem.
Key words: sound reflection, harmonic plane wave, elastic layer, inverse
problem.
Skobeltsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, skbl@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
