CC BY
20
УДК 539.3
ИДЕНТИФИКАЦИЯ ПАРАМЕТРОВ АНИЗОТРОПНОГО ПОКРЫТИЯ УПРУГОГО ШАРА ПО ОТРАЖЕННОМУ ЗВУКУ
С.А. Скобельцын
Решается задача определения величины плотности и модулей упругости трансверсально-изотропного покрытия упругого шара по измеренному звуковому давлению в окрестности шара при рассеянии плоской звуковой волны. Предполагается, что материальные параметры внутренней изотропной части шара и диапазон изменения параметров покрытия известны. Конкретные значения материальных параметров покрытия предлагается искать путем решения задачи минимизации функции многих переменных, которая представляет собой меру отклонения измеренных значений давления в рассеянной звуковой волны и их значений, полученных в результате численного решения задачи дифракции.
Ключевые слова: дифракция звука, гармоническая плоская волна, упругий шар, обратная задача.
Практическое использование решений задач об отражении звука упругими телами часто основано на том, что по характеру отраженного акустического поля можно судить о параметрах упругого объекта-препятствия.
Для анализа влияния упругих свойств материала конечного упругого препятствия на рассеяние звука часто используют модель упругого шара. Изучению отражения звука шаровыми объектами посвящен ряд работ. Основные элементы модели рассеяния звуковых волн упругими сферическими объектами рассмотрены в [1 - 2]. В работах [3 - 4] исследуются резонансные явления, возникающие при дифракции акустических волн на упругом шаре. Авторы работ [5 - 7] рассматривают задачи о рассеянии звуковых волн сферическими упругими телами с полостями. Влияние покрытий на отражение звука упругими сферическими объектами рассматривается в работах [8 - 9]. В работе [10] предложено решение задачи дифракции плоской звуковой волны трансверсально-изотропным сферическим слоем с полостью, заполненной идеальной жидкостью.
В данной работе рассматривается случай рассеяния звука упругим шаром с трансверсально-изотропным покрытием в виде шарового слоя. Внутренняя часть шара представляет собой изотропный упругий материал. Считается, что упругое тело помещено в идеальную жидкость. Требуется по характеристикам отражения плоской звуковой волны определить значения материальных параметров внешнего слоя шара. Геометрическая постановка задачи показана на рис. 1.
Содержащая акустическая среда Qj характерезуется плотностью pj и скоростью звука q.
Рис. 1. Геометрия задачи
Внутренняя часть шара радиусом Rq представляет собой однородную упругую среду с плотностью po и модулями упругости Ламе - lq, m0. Внешняя часть шара - трансверсально-изотропный упругий слой с внутренним радиусом Rq и внешним - R. Свойства материала слоя характеризуются плотностью p и модулями упругости l j. Предполагается, что
ось упругой симметрии анизотропии направлена по нормали к поверхностям слоя.
На упругий слой внешнего пространства Qj падает плоская звуковая волна с частотой w, потенциалом скорости Yp и направлением
распространения, определяемым волновым вектором kj (|kj = k\ = w / q -
волновое число падающей волны). Введена декартова система координат x, y, z так, что начало координат O совпадает с центром тела, а ось z направлена по вектору kj. С декартовой системой связана сферическая система координат r, 6, j так, что x = r sin 9 cos j, y = r sin 9 sin j,
z = r cos 9. Такое введение сферической системы координат и предположение о характере анизотропии покрытия шара делают задачу двумерной, поскольку, очевидно, что нет зависимости от угла j и смещения частиц жидкости и упругой среды могут происходить только по координатам r и 9.
В результате дифракции звука порождаются: отраженная акустическая волна в полупространстве О1 с потенциалом Ч5 и упругие колебания в шаре. Зная величины Я^, Я, р1; р0, 1 о, то, характеристики падающей и отраженной волны Ч5 (например, на основе измерений), требуется оценить значения свойств р, анизотропного покрытия шара.
Будем считать, что для искомых параметров известны интервалы изменения
ра £р£рЪ-
Ц £1У Щ ■
(1)
и относительная точность 5 с которой нужно определить их значения.
Неизвестные величины р, будем определять на основе
постановки и решения прямой задачи о рассеянии плоской звуковой волны неоднородным упругим шаром в рамках линейных моделей движения идеальной жидкости и анизотропной неоднородной упругой среды [11, 12].
Положим, что потенциал скорости в падающей плоской звуковой волне имеет вид
Чр = Ар ехр[/(к1 • г -ш)], (2)
где Ар - константа, задающая амплитуду и начальную фазу падающей
волны; г - радиус-вектор; * - время.
Отраженная от слоя звуковая волна определяется потенциалом скорости в ней - Ч5, а прошедшая в О2 волна - потенциалом Ч. Тогда скорость движения частиц жидкости в О1 будут определяться выражением [11]
У1= (3)
где ^1= Чр + Ч5.
При этом потенциал Ч5 должен удовлетворять волновому уравнению
1 Э 2Ч
" 2 2,2 ' С1 Э *
и условиям излучения на бесконечности [13]
41® = оТ I):
I г I
( ЭЧ ) ( 1 )
- = о
ч Эг Г V г 2 у
(4)
(5)
В изотропной части шара (г £ Я0) можно ввести потенциалы продольных Ч и поперечных Ф 0 волн так, что вектор смещения здесь будет представляться так
и0= У¥о + Ух Ф0. (6)
С учетом симметрии задачи потенциал поперечных волн Фо может быть записан в виде Фо = гФоег, где Фо - скалярная функция координат г и 0, а ег - орт координаты г.
Потенциалы ^о и Ф о удовлетворяют волновым уравнениям
1 Э2^о . _ 1 Э2Фо
о АФГ - о
AYr
cf Э t2
c„
Э t2
(7)
где ci = Л/(lo + 2mo)/Po , cx=y[m 0 / po - скорости продольных и поперечных волн, соответственно.
Колебания упругой среды во внешнем слое шара описываются общими уравнениями движения упругой среды в сферической системе координат:
Эогг 1 Эоrq 1 /_ А _ ч Э2ur
+ + -(2srr - оее + Ore ctg0) = P—f -,
Эг r Э0 r Э t
Эо^1 Эаее+1 (3ore + Oqe ctg e)=p^, (8)
Эг r Э0
Э t2
где с у - компоненты тензора напряжении, а иг, и0 - проекции на оси координат вектора смещений и.
Компоненты тензора напряжений выражаются через компоненты вектора смещения посредством обобщенного закона Гука, который для случая трансверсально изотропного упругого материала с осью симметрии направленной по оси г имеет вид [14]
(9)
(о ^ \j rr (^11 ^12 ^12 0 0 0 1 ( 8 rr
Oee ^12 122 123 0 0 0 8ee
°ФФ ^12 123 122 0 0 0 8фф
O0j 0 0 0 122 -123 0 0 8ej
Orj 0 0 0 0 2155 0 8rj
V Or0 у V 0 0 0 0 0 2155 , V 8re
где £j - компоненты тензора малых деформаций. Заметим, в силу симметрии рассматриваемой задачи и независимости от координаты ф, компоненты £фф, £0ф и £Гф равны нулю.
Тензор модулей упругости содержит 5 независимых параметров 111, 1l2, 122, 123, I55. Таким образом, в качестве искомых неизвестных параметров внешнего упругого слоя выступают 6 величин: плотность р и модули упругости 1ц, 1l2, 122, 123, I55.
147
r
Рассматривая установившийся процесс рассеяния звуковой волны упругим шаром следует положить зависимость от времени всех характеристик движения такой же, что и в падающей волне, т. е. exp(-iwt ). Далее этот множитель будем опускать.
Граничные условия на поверхности r = R - границе сопряжения идеальной жидкости и упругого материала - состоят в требованиях равенства нормальных составляющих смещения (скорости), равенства нормальных напряжений и отсутствия касательных напряжений. На поверхности r = R0 будем рассматривать условия непрерывности кинематических и динамических характеристик колебаний. Таким образом, совокупность граничных условий может быть представлена системой:
r = R : dur /Эt = Vir, Srr =-Pi, Sr0= 0; r = Ro: ur = u0r, ue = uoe, srr =s0rr, °re = °0re;
dY
где Viz, u0 j - компоненты векторов (3), (6); pi =-pi—1 - давление звука
Э t
в области Wi ; 00 j - компоненты тензора напряжений в изотропной части шара.
Решая уравнения (4) и (7) методом разделения переменных [ 14], получим представление потенциалов в виде разложений:
¥
Y s = I Anhn (kir ) Pn (cos e),
n=0
¥ ¥ (ii) Y0 = I Binjn (kir ) Pn (cos e), Ф0 = I B^nJn (V) Pn (cos e),
n=0 n=0
где hn (x) - сферическая функция Ханкеля первого рода порядка n ; Pn (x) - полином Лежандра степени n ; ki = w/ ci, kt = w/ ct - волновые числа продольных и поперечных волн во внутренней части шара; jn ( x) - сферическая функция Бесселя первого рода порядка n . Выбор типа сферических функций Бесселя производится на основании требования условий излучения (5) и условий ограниченности значений потенциалов Y0, Ф 0 в начале координат.
Для решения уравнений движения (8) разложим компоненты смещения и тензора напряжений в упругом анизотропном слое по полиномам Лежандра:
¥¥
ur = I uin (r)Pn (cos eX ue= I u2n (r)Pn (cos n=i n=i
srr = Z s1n (r ) ^n (cos q), sr0 = Z s2n (r) ^n (cos
n=1 n=1
Подставляя эти представления в уравнения движения (8) и закон Гука (9) и используя ортогональность полиномам Лежандра, получим для каждого n следующую систему обыкновенных дифференциальных уравнений для функций uin (r), U2n (r), Sin (r), S2n (r):
U' = CU + DP, P = EU + FP,
(12)
T T
где U = (u1n, U2n) , P = (s1n, S2n) , штрих обозначает дифференцирование
по
C = 1
r
E = -V
r
f
- 2a ща -1 1 .2,2
D
1/In 0
0 1/1
55 )
f=1
r
2(a -1) «1 - a - 3
22
v
a = 112/ ^11
щ = n +1;
- 2Ъ - рг ю щЪ
2(144 - с) щс - 2144 - рг2ю2
Ъ = 2акХ2 -122 -123 ; 144 = (122 -123)/2; с =122 - а112 • Из граничных условий (10) можно получить выражения для Ап, В1П, В2П через значения функций и1п (г), и2п (г), С1п (г), С2п (г) на поверхностях анизотропного слоя и краевые условия для дифференциальных уравнений (12)
[P + GU]r=R = K, [P + ЯU]r=
r=Ro
0.
(13)
где компоненты матриц О, К, Н определяются так, как показано в [10].
Таким образом, для определения коэффициентов Ап, В1п и В2п
вначале требуется решение краевой задачи (12), (13). В общем случае ее решение выполняется численно [15].
Предполагается, что для идентификации материальных параметров р, 1ц, 112, 122, 123, ^55 анизотропного покрытия шара проводится серия к экспериментов по определению давления Р = р - Рр в рассеянной
волне в т точках в окрестности шара для различных частот ю. Действительные значения параметров р, 1 ^ для материала исследуемого слоя
* * *
обозначим р , 1у, а измеренные значения давления - Р^ (q = 1,2,...,М -
*
порядковый номер замера давления М = к х т), Pq объединим в вектор
*
W . В общем случае можно считать, что при проведении экспериментов
*
по определению Р^ возможна погрешность - п (она может быть связана с
*
неточным заданием величин ю, погрешностями измерения Р^)
оо
сю
r
Решая теоретически задачу об отражении звука упругим слоем в соответствии с (10)-(13) для тех частот, при которых выполнялись измерения, для некоторого набора параметров р, Х^-, построим вектор В, составленный из расчетных значений давления Р.
А+---- / / / [ -----• В
1 1 1 1 1 \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ 1 \ V 1 / + // ^^
7Г / / / / / / / / / / Л 1 / /Л 1 А * уч 1 0.2 ч \\ (9=0
тг/2
Рис. 2. Влияние модуля упругости 111
На рис. 2, 3 представлены модельные расчеты | Р | для двух типов анизотропного материала покрытия на расстоянии К от поверхности шара.
В качестве параметров изотропной части шара использовались величины: р0 = 2700кг/м3, Х0 = 5.3-1010 Н/м2, т0 = 2.6-1010 Н/м2. Предполагается, что упругий шар помещен в идеальную жидкость с параметрами:
Р1 = 1000 кг/м , С1 = 1485 м/с. Соотношение радиусов определено величиной К /(К - ^0) = 3. Волновой размер тела задавался значением = 5 .
А+---- п - I -----• в
->> и II и \\ \\ \\ \\ \ \ \ \ I 1 у
7Г II // // и II II [1 || \\ .4 1 0.2 Зч (9=0
\Л тг/2
Рис. 3. Влияние модуля упругости 112
150
Параметры материала покрытия выбирались почти совпадающими с параметрами изотропной части шара за исключением одного модуля упругости. На рис. 2 в покрытии модуль упругости 1ц уменьшен на 20% по сравнению с его значением в изотропной части шара (ниже такое покрытие называется покрытием типа 1). На рис. 3 в покрытии подобным образом изменен модуль упругости 112 (далее обозначается как покрытие типа 2).
На рисунках представлена зависимость нормированного значения | Р | от угла 0 . Пунктирной линией представлены значения для случая, когда материал покрытия совпадает с материалом изотропной части шара.
Показаны участки зависимостей для 0> 30°, где видны явные отличия значений, полученных для случая анизотропного покрытия и без него. Из анализа подобных диаграмм можно определить наиболее информативные области для идентификации наличия, типа и степени анизотропии покрытия шара. Например, на представленных рисунках видно, что для рассматриваемых типов анизотропии покрытия эффект введения анизотропии
больше проявляется в окрестности угла обратного отражения 0 = 180° и в
области боковых лепестков при 45° £ 0 £ 95°. Пунктирными отрезками АВ с маркерами показан участок второй области. Далее в расчетах использовалась эта область для получения измеренных значения давления.
Для характеристики степени отличия действительного набора па**
раметров р , 1 у и использованного при расчетах р, 1у будем использовать функцию
* 2 М(
Q(p, Ц) = W - W = I р - P*)
q=1
2 M
q (14)
"У
Очевидно, что в отсутствии погрешностей при проведении
*
экспериментов по определению Pq в том случае, когда при расчетах ис-
**
пользуются р = р , ly =1у, функция (14) должна обращаться в 0. Следо-
**
вательно, задачу поиска параметров анизотропного слоя р , ly можно сформулировать как задачу
Q(p, 1У) Л ® min, (15)
где Df определяет диапазон изменения параметров в соответствии с (1) и
некоторыми дополнительными ограничениями, например, шагом изменения, при поиске.
Задача минимизации (15) является нелинейной задачей оптимизации функции многих переменных. Поскольку тип функциональной зависимости Q от ее параметров оценить не представляется возможным, то
метод решения задачи (15) стоит выбирать, исходя из того, что характер зависимости Q(р, ) от ее параметров может быть достаточно общим.
Для поиска параметров анизотропии покрытия упругого слоя на основе задачи (15) использовался алгоритм минимизации функции Q(р, ) на
основе комбинации методов случайного поиска и покоординатного спуска [16].
На рис. 4 показана возможная схема размещения датчиков давления для идентификации параметров анизотропии при условиях, подобных условиям, при которых проводились описанные выше расчеты.
СГ
Рис. 4. Схема размещения датчиков давления
Датчики предлагается разместить на плоском квадратном участке ЛВСВ так, чтобы вектор Ц был параллелен его поверхности, а одна из сторон направлена по вектору к1. Пусть плоскость ЛВСБ отстоит от поверхности шара на расстояние р, а сторона ЛВСБ равна а. Тогда в соответствии с участком ЛВ, выбранном на рис. 2, 3, можно задать координаты вершин области ЛВСВ так: Л(0, р,-а/3), В (0, р,2а/3), С (а, р,2а/3), В(а, р,-а /3). Пусть на участке ЛВСВ равномерно расположены датчики давления, например, так, как показано на рис. 4.
На рис. 5 - 7 иллюстрируется поле давлений в рассеянной волне, которое можно зафиксировать в окрестности шара с покрытием. Расчеты проводились для случая а = 3Я и р = Я в условиях свойств материалов и параметров падающей волны, описанных выше. На графиках строится поверхность характеристики давления р' = Яе(^) / (р1ю) в рассеянной волне в области ЛВСБ. На горизонтальных осях координат откладываются относительные координаты х' = х / Я, 2' = 2 / Я в пределах квадрата ЛВСБ.
152
На рис. 5 показана поверхность р в случае отсутствия анизотропного покрытия. Диапазон значений величины р образует интервал [-0.2,0.2]. Маркерами в виде точек обозначены значения, которые могут быть зафиксированы в системе датчиков со схемой размещения, представленной выше.
Рис. 5. Давление в рассеянной волне для шара без покрытия
X 1 о
0.5 -0.5
О -1
Рис. 6. Отклонение давления для покрытия типа 1
Графики на рис 6 и 7 показывают не саму характеристику давления р', а ее отклонение от соответствующей величины в случае шара без покрытия, т. е. от значений, представленных на рис 5. Как видно, масштаб значений этих отклонений на порядок ниже, чем само давление в рассеянной волне.
х 1 о
0.5 -0.5
0 -1
Рис. 7. Отклонение давления для покрытия типа 2
Рис. 6 показывает, что в пределах области ЛБСБ есть ряд участков, в которых влияние анизотропии покрытия типа 1 проявляется в отклонении давления до 10 %. Значения, представленные на рис. 7, показывают, что влияние анизотропии покрытия типа 2 меньше в 2 - 3 раза, и при наличии погрешностей в измерениях его трудно будет идентифицировать. Однако сравнение поверхностей отклонения р показывает, что отклонение,
связанное с анизотропией типа 2 на большей части участков имеет другой знак. Это показывает, что алгоритм поиска параметров анизотропии покрытия может быть уточнен, если использовать не только величину абсолютного отклонения, но и учитывать направление отклонения на отдельных участках измерения.
Таким образом, проведенный анализ показывает, что в целом предлагаемый алгоритм может быть использован для идентификации параметров анизотропии покрытия шара, но для уточнения результатов определения параметров материала можно использовать априорную информацию о характере анизотропии.
Работа выполнена при финансовой поддержке РФФИ и Правительства Тульской области (проект № 16-41-710083) и Министерства образования и науки РФ (госзадание № 1.1333.2014).
Список литературы
1. Faran J.J. Sound scattering by solid cylinders and spheres // J. Acoust. Soc. Amer. 1951. V. 23. P. 405-420.
2. Hickling R. Analysis of echoes from a solid elastic sphere in water // J. Acoust. Soc. Amer. 1962. V. 34, P. 1582-1592.
3. Кулько В.Ф., Михнова М.С. Резонансные явления, возникающие при падении акустических волн на шар // Отбор и передача информации (Киев) 1979. № 58. С. 128-132.
4. Flax L., Gaunaurd G.C., Uberall H. Theory of resonance scattering // Physical Acoustics. 1981. V. 15. P. 191-294.
5. David H.Y. Yen Interaction of a Plane Acoustic Wave with an Elastic Spherical Shell // J. Acoust. Soc. Amer. 1970. V. 47. P. 1325-1333.
6. Векслер Н.Д. Дифракция плоской звуковой волны на полой упругой сфере // Акустический журнал. 1975. Т. 21. Вып. 5. С. 321335.
7. Толоконников Л.А., Филатова Ю.М. Дифракция плоской звуковой волны на упругом шаре с произвольно расположенной сферической полостью // Известия Тульского государственного университета. Естественные науки. 2010. Вып. 1. С. 115-123.
8. Guild M.D., Alu A., Haberman M.R. Cancellation of acoustic scattering from an elastic sphere // J. Acoust. Soc. Amer. 2011. V. 129. P. 13551365.
9. Толоконников Л.А. Рассеяние плоской звуковой волны упругим шаром с неоднородным покрытием // Прикладная математика и механика, 2014. Т. 78, Вып. 4. C. 519-526.
10. Скобельцын С.А., Толоконников Л.А. Рассеяние звука неоднородным трансверсально-изотропным сферическим слоем // Акустический журнал. 1995. Т. 41. № 6. С. 917-923
11. Исакович М.А. Общая акустика. М.: Наука, 1973. 496 с.
12. Новацкий В. Теория упругости. М.: Мир, 1975. 872 с.
13. Скучик Е. Основы акустики, Т. 2. М.: Мир, 1976. 542 с.
14. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970. 712 с.
15. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы [Электронный ресурс]. М.: БИНОМ. Лаборатория знаний, 2012. 636 с.
16. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач М.: Наука, 1988. 549 с.
Скобельцын Сергей Алексеевич, канд. физ.-мат. наук, доц., [email protected], Россия, Тула, Тульский государственный университет
PARAMETERS IDENTIFICA TION OF ANISOTROPIC COATING OF ELASTIC SPHERE ON THE SOUND REFLECTION
S.A. Skobeltsyn
The problem of determining the values of the density and elastic modules transversely isotropic inhomogeneous coating elastic sphere is considered. For solution using sound pressure in the vicinity of the sphere in the scattering of a plane sound wave. The initial data are the material parameters of the isotropic part of the inner ball and the range of variation of the coating parameters. The value of the parameters of the coating material is proposed to seek solution to the problem by minimizing the function of many variables. This function is a measure of the deviation of the measured pressure values in the scattered sound waves and their values obtained from the numerical solution of the problem of diffraction.
Key words: sound diffraction, harmonic plane wave, elastic sphere, inverse
problem.
Skobeltsyn Sergey Alekseevich, candidate of physical and mathematical sciences, do-cent, skbl@rambler. ru, Russia, Tula, Tula State University
